Correction des exercices 09 à 13 — Fonctions exponentielles
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces cinq exercices permettent d’approfondir la résolution des équations exponentielles. Ils commencent par les propriétés fondamentales de l’exponentielle népérienne et conduisent progressivement à des équations comportant des racines, des quotients, des valeurs absolues et des changements d’inconnue. Pour chaque question, il faut identifier la structure de l’équation avant de choisir la propriété adaptée. La stricte positivité de l’exponentielle joue un rôle essentiel : elle permet de déterminer les valeurs admissibles, de rejeter certaines racines et parfois de conclure directement à l’impossibilité d’une égalité. Les substitutions ramènent plusieurs équations exponentielles à des équations polynomiales familières. Enfin, les fonctions exponentielles de base quelconque exigent de vérifier les conditions sur la base avant d’utiliser le logarithme. L’objectif est de comprendre une démarche réutilisable plutôt que d’appliquer mécaniquement des transformations.
Repère de cours — Équations exponentielles
La fonction exponentielle népérienne est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Elle est donc injective. Pour tous réels \(u\) et \(v\) :
\[ e^u=e^v\iff u=v. \]Pour tout réel \(u\), on a \(e^u>0\). Si \(b>0\), alors :
\[ e^u=b\iff u=\ln b. \]Les propriétés algébriques permettent notamment d’écrire :
\[ e^{u+v}=e^ue^v,\qquad e^{-u}=\frac1{e^u},\qquad (e^u)^n=e^{nu}. \]Lorsqu’on introduit une nouvelle inconnue égale à une exponentielle, elle est nécessairement strictement positive. Cette condition doit être utilisée pour sélectionner les racines admissibles. Pour une base \(a>0\), différente de \(1\), l’équation \(a^u=b\), avec \(b>0\), équivaut à \(u\ln a=\ln b\).
Exercice 09 — Équations exponentielles élémentaires
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{x-1}=3 &&2)\ e^{x-4}=e\\ &3)\ e^{2x}=e^{x^2} &&4)\ e^2e^x=1\\ &5)\ e^{(x-1)(x-2)}=1 &&6)\ e^{x^2+3x}=\frac1{e^2}\\ &7)\ e^{x^2}=\frac1{16} &&8)\ (e^x)^2=\frac1{16}. \end{aligned} \]Méthode générale. On commence par chercher une même base exponentielle. L’injectivité permet alors de comparer les exposants. Lorsque le membre de droite est un nombre positif qui ne s’écrit pas immédiatement comme une puissance simple de \(e\), on utilise le logarithme. Enfin, la croissance et la positivité de l’exponentielle permettent de détecter les équations impossibles.
Méthode. Puisque \(3>0\), on peut appliquer le logarithme aux deux membres. On obtient alors une équation du premier degré.
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Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme népérien :
\[ \ln\left(e^{x-1}\right)=\ln3. \]Comme \(\ln(e^u)=u\), on obtient :
\[ x-1=\ln3. \]Donc :
\[ x=1+\ln3. \]Interprétation. L’équation admet une solution unique, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante.
Méthode. On écrit \(e=e^1\), puis on utilise l’injectivité de l’exponentielle.
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On écrit \(e=e^1\). L’exponentielle étant injective sur \(\mathbb R\), on a :
\[ x-4=1. \]Ainsi :
\[ x=5. \]Interprétation. Lorsque les deux membres ont la même base exponentielle, l’équation se réduit directement à une égalité d’exposants.
Méthode. On compare les exposants, puis on factorise le polynôme obtenu.
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L’exponentielle est injective, donc :
\[ 2x=x^2. \]On ramène tout dans le même membre :
\[ x^2-2x=0. \]On factorise :
\[ x(x-2)=0. \]Par conséquent :
\[ x=0\quad\text{ou}\quad x=2. \]Interprétation. Une équation exponentielle peut conduire à plusieurs solutions lorsque l’égalité des exposants donne une équation polynomiale.
Méthode. Le produit se transforme en une seule exponentielle. On utilise ensuite \(1=e^0\).
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En utilisant \(e^ae^b=e^{a+b}\), on obtient :
\[ e^2e^x=e^{x+2}. \]De plus, \(1=e^0\). L’équation devient :
\[ e^{x+2}=e^0. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x+2=0. \]Donc :
\[ x=-2. \]Interprétation. Le regroupement des exponentielles permet de supprimer le produit initial.
Méthode. L’exponentielle vaut \(1\) exactement lorsque son exposant vaut \(0\). On applique ensuite la règle du produit nul.
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Comme \(1=e^0\), l’injectivité de l’exponentielle donne :
\[ (x-1)(x-2)=0. \]Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ x-1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0. \]Ainsi :
\[ x=1\quad\text{ou}\quad x=2. \]Interprétation. Les deux facteurs de l’exposant donnent les deux solutions réelles.
Méthode. On transforme l’inverse en puissance d’exposant négatif, puis on résout une équation du second degré.
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On écrit :
\[ \frac1{e^2}=e^{-2}. \]L’équation devient :
\[ e^{x^2+3x}=e^{-2}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x^2+3x=-2. \]Donc :
\[ x^2+3x+2=0. \]On factorise :
\[ (x+1)(x+2)=0. \]Par conséquent :
\[ x=-1\quad\text{ou}\quad x=-2. \]Interprétation. La transformation en exposant négatif évite une manipulation logarithmique supplémentaire.
Méthode. Avant tout calcul, on compare les valeurs possibles des deux membres. Le carré d’un réel est toujours positif ou nul.
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Pour tout réel \(x\), on a \(x^2\ge0\). Comme la fonction exponentielle est croissante :
\[ e^{x^2}\ge e^0=1. \]Or :
\[ \frac1{16}\lt1. \]L’égalité est donc impossible dans \(\mathbb R\).
Interprétation. Le membre de gauche ne peut jamais atteindre une valeur strictement inférieure à \(1\).
Méthode. Contrairement à la question précédente, on a ici une puissance de l’exponentielle. Il faut utiliser \((e^x)^2=e^{2x}\).
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On a :
\[ (e^x)^2=e^{2x}. \]De plus :
\[ \frac1{16}=\frac1{2^4}=e^{-\ln16}. \]L’équation devient :
\[ e^{2x}=e^{-\ln16}. \]Donc :
\[ 2x=-\ln16. \]Ainsi :
\[ x=-\frac12\ln16=-\ln4. \]Piège à éviter. Ne pas confondre \(e^{x^2}\) avec \((e^x)^2\). Ces deux expressions sont différentes.
Exercice 10 — Transformations et équations avec contraintes
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{2x+3}=\sqrt e &&2)\ (e^x-1)(e^x-3)=0\\ &3)\ e^x=\sqrt{e^{3x+6}} &&4)\ \sqrt[3]{e}\,e^{2x}=(e^{x^2})^9\\ &5)\ e^{-2x}e^{x+\ln3}=e^{2x-\ln9} &&6)\ e^{\frac{3x-1}{x-3}}=e\\ &7)\ \sqrt{1-e^{-2x}}=\frac12 &&8)\ \frac{e^{-x}-7}{e^{-x}+7}=2\\ &9)\ e^{|x^2-4|}=81. \end{aligned} \]Repère de cours. Ces équations combinent plusieurs règles : puissances, racines, équations produits, quotients et valeurs absolues. Lorsqu’une expression contient un dénominateur, on commence par préciser qu’il ne s’annule pas. Lorsqu’une racine carrée intervient, le radicande doit être positif ou nul. Les solutions obtenues doivent respecter ces conditions.
Méthode. La racine de \(e\) s’écrit comme une puissance fractionnaire. Les deux membres auront alors la même base.
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Comme :
\[ \sqrt e=e^{\frac12}, \]l’injectivité de l’exponentielle donne :
\[ 2x+3=\frac12. \]Donc :
\[ 2x=-\frac52, \qquad x=-\frac54. \]Interprétation. La racine a été transformée en une puissance de même base, ce qui permet une résolution directe.
Méthode. On commence par appliquer la propriété du produit nul, puis on résout séparément les deux équations.
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Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ e^x-1=0 \quad\text{ou}\quad e^x-3=0. \]Premier cas :
\[ e^x=1=e^0 \iff x=0. \]Deuxième cas :
\[ e^x=3 \iff x=\ln3. \]Interprétation. Chaque facteur donne une solution admissible.
Méthode. L’exponentielle étant positive, la racine carrée est bien définie. On transforme ensuite la racine en puissance.
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Comme \(e^{3x+6}>0\), on a :
\[ \sqrt{e^{3x+6}} = e^{\frac{3x+6}{2}}. \]L’équation devient :
\[ e^x=e^{\frac{3x+6}{2}}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x=\frac{3x+6}{2}. \]Donc :
\[ 2x=3x+6 \iff x=-6. \]Interprétation. La positivité de l’exponentielle justifie la transformation de la racine.
Méthode. On écrit les racines et les puissances avec une même base, puis on résout le trinôme obtenu par injectivité.
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On transforme chaque membre :
\[ \sqrt[3]{e}=e^{\frac13} \quad\text{et}\quad (e^{x^2})^9=e^{9x^2}. \]Ainsi :
\[ e^{\frac13+2x}=e^{9x^2}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ \frac13+2x=9x^2. \]On multiplie par \(3\) :
\[ 27x^2-6x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-6)^2-4\times27\times(-1)=144. \]Donc :
\[ x=\frac{6\pm12}{54}. \]On obtient :
\[ x=\frac13 \quad\text{ou}\quad x=-\frac19. \]Interprétation. Une équation exponentielle peut se ramener à une équation du second degré.
Méthode. On regroupe les facteurs exponentiels et on utilise la propriété du logarithme d’une puissance.
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On regroupe les exponentielles du membre de gauche :
\[ e^{-2x}e^{x+\ln3} = e^{-x+\ln3}. \]L’équation devient :
\[ e^{-x+\ln3}=e^{2x-\ln9}. \]Par injectivité :
\[ -x+\ln3=2x-\ln9. \]Or \(\ln9=2\ln3\). Ainsi :
\[ -x+\ln3=2x-2\ln3. \]Donc :
\[ 3x=3\ln3 \iff x=\ln3. \]Interprétation. La simplification des propriétés exponentielles et logarithmiques conduit à une équation linéaire.
Méthode. On vérifie d’abord que le dénominateur de l’exposant ne s’annule pas. On peut ensuite comparer les exposants.
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L’expression est définie lorsque :
\[ x\ne3. \]On écrit \(e=e^1\). Par injectivité de l’exponentielle :
\[ \frac{3x-1}{x-3}=1. \]Comme \(x\ne3\), on peut multiplier par \(x-3\) :
\[ 3x-1=x-3. \]Donc :
\[ 2x=-2 \iff x=-1. \]Cette valeur vérifie bien \(x\ne3\).
À retenir. Les valeurs interdites d’une expression doivent rester exclues pendant toute la résolution.
Méthode. On vérifie la condition de définition du radical, puis on élève les deux membres au carré. La solution devra satisfaire l’équation initiale.
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Le membre de droite est positif. On peut élever les deux membres au carré :
\[ 1-e^{-2x}=\frac14. \]Donc :
\[ e^{-2x}=\frac34. \]En appliquant le logarithme :
\[ -2x=\ln\left(\frac34\right). \]Ainsi :
\[ x=-\frac12\ln\left(\frac34\right) = \frac12\ln\left(\frac43\right). \]Cette valeur est positive et vérifie bien la condition \(1-e^{-2x}\ge0\).
Interprétation. La vérification finale garantit que la transformation par élévation au carré n’a pas introduit de solution étrangère.
Méthode. Le dénominateur est toujours positif. On effectue le produit en croix, puis on examine le signe de l’exponentielle.
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Pour tout réel \(x\), on a \(e^{-x}>0\), donc :
\[ e^{-x}+7>0. \]On peut multiplier par le dénominateur :
\[ e^{-x}-7=2(e^{-x}+7). \]Donc :
\[ e^{-x}-7=2e^{-x}+14. \]Ainsi :
\[ e^{-x}=-21. \]Or une exponentielle est toujours strictement positive. Cette égalité est impossible.
Interprétation. La positivité de l’exponentielle exclut toute solution réelle.
Méthode. On utilise le logarithme, puis on traite l’équation à valeur absolue en distinguant les deux possibilités.
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Comme \(81=3^4\), on a :
\[ \ln81=4\ln3. \]En appliquant le logarithme :
\[ |x^2-4|=4\ln3. \]On distingue deux cas.
Premier cas :
\[ x^2-4=4\ln3. \]Donc :
\[ x^2=4(1+\ln3), \]d’où :
\[ x=\pm2\sqrt{1+\ln3}. \]Deuxième cas :
\[ x^2-4=-4\ln3. \]Donc :
\[ x^2=4(1-\ln3). \]Or \(3>e\), donc \(\ln3>1\). Par conséquent :
\[ 4(1-\ln3)\lt0. \]Ce deuxième cas n’admet aucune solution réelle.
Interprétation. Le deuxième cas est impossible car un carré réel ne peut être strictement négatif.
Exercice 11 — Équations résolues par changement d’inconnue
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{2x}+e^x-12=0 &&2)\ 3e^x+4e^{-x}=7\\ &3)\ e^{4x}-3e^{2x}-4=0 &&4)\ e^{x-2}+e^{3-x}=1+e\\ &5)\ e^{6x+\ln2}+e^{3x+\ln5}=0\\ &6)\ e^{\frac{3x}{2}}-3e^x+3e^{\frac x2}-2=0\\ &7)\ \frac{2e^x-1}{e^x-2}=-\frac2{1+e^{-x}}\\ &8)\ (e^x+e^{-x})^3+(e^x-e^{-x})^3=7e^x. \end{aligned} \]Repère de cours — Changement d’inconnue. Lorsque plusieurs termes sont des puissances d’une même exponentielle, on peut poser \(t=e^x\) ou \(t=e^{kx}\). Cette substitution transforme l’équation exponentielle en équation polynomiale. Il faut impérativement conserver \(t>0\), résoudre l’équation algébrique, puis revenir à \(x\). Pour certaines questions, la positivité seule suffit à conclure.
Méthode. On reconnaît un polynôme du second degré en \(e^x\). Le changement d’inconnue doit être accompagné de sa condition de positivité.
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Posons :
\[ t=e^x. \]Alors \(t>0\) et \(e^{2x}=t^2\). L’équation devient :
\[ t^2+t-12=0. \]On factorise :
\[ (t-3)(t+4)=0. \]Donc \(t=3\) ou \(t=-4\). Comme \(t>0\), on conserve seulement :
\[ t=3. \]Ainsi :
\[ e^x=3 \iff x=\ln3. \]Interprétation. La racine négative du polynôme est rejetée puisqu’elle ne peut être la valeur d’une exponentielle.
Méthode. L’exponentielle d’un opposé est l’inverse de l’exponentielle. Le changement d’inconnue permet de supprimer cet exposant négatif.
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Posons \(t=e^x>0\). Alors \(e^{-x}=\dfrac1t\). L’équation devient :
\[ 3t+\frac4t=7. \]Comme \(t>0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 3t^2-7t+4=0. \]On factorise :
\[ (3t-4)(t-1)=0. \]Donc :
\[ t=\frac43 \quad\text{ou}\quad t=1. \]Par conséquent :
\[ x=\ln\left(\frac43\right) \quad\text{ou}\quad x=0. \]Interprétation. Les deux racines auxiliaires sont strictement positives et donnent chacune une solution réelle.
Méthode. Les exposants \(4x\) et \(2x\) suggèrent une substitution par \(e^{2x}\).
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Posons :
\[ t=e^{2x}>0. \]Alors \(e^{4x}=t^2\), et l’équation devient :
\[ t^2-3t-4=0. \]On factorise :
\[ (t-4)(t+1)=0. \]Comme \(t>0\), on retient seulement \(t=4\). Ainsi :
\[ e^{2x}=4. \]En appliquant le logarithme :
\[ 2x=\ln4=2\ln2. \]Donc :
\[ x=\ln2. \]Interprétation. Le choix adapté de l’inconnue auxiliaire fait apparaître un trinôme simple.
Méthode. Les exposants \(x-2\) et \(3-x\) sont liés. Une substitution par \(e^{x-2}\) permet d’exprimer l’autre terme à l’aide de son inverse.
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Posons :
\[ t=e^{x-2}>0. \]Comme \(3-x=1-(x-2)\), on a :
\[ e^{3-x}=\frac e{e^{x-2}}=\frac et. \]L’équation devient :
\[ t+\frac et=1+e. \]On multiplie par \(t>0\) :
\[ t^2-(1+e)t+e=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-e)=0. \]Donc :
\[ t=1\quad\text{ou}\quad t=e. \]Si \(e^{x-2}=1\), alors \(x=2\).
Si \(e^{x-2}=e\), alors \(x-2=1\), donc \(x=3\).
Interprétation. La relation entre les deux exposants permet de ramener l’équation à un polynôme du second degré.
Méthode. Avant d’introduire une nouvelle inconnue, on examine le signe de chaque terme.
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ e^{6x+\ln2}>0 \quad\text{et}\quad e^{3x+\ln5}>0. \]La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive :
\[ e^{6x+\ln2}+e^{3x+\ln5}>0. \]Elle ne peut donc jamais être égale à \(0\).
À retenir. Une somme de termes strictement positifs ne peut pas être nulle.
Méthode. Les exposants sont des multiples de \(x/2\). On transforme donc l’équation en polynôme du troisième degré en posant \(t=e^{x/2}\).
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Posons :
\[ t=e^{\frac x2}>0. \]Alors :
\[ e^x=t^2 \quad\text{et}\quad e^{\frac{3x}{2}}=t^3. \]L’équation devient :
\[ t^3-3t^2+3t-2=0. \]Or :
\[ t^3-3t^2+3t-2=(t-1)^3-1. \]Ainsi :
\[ (t-1)^3=1. \]Donc :
\[ t-1=1 \iff t=2. \]Par conséquent :
\[ e^{\frac x2}=2 \iff \frac x2=\ln2 \iff x=2\ln2=\ln4. \]Interprétation. L’identité remarquable permet de résoudre l’équation polynomiale sans recherche compliquée de racines.
Méthode. On détermine d’abord les valeurs interdites. Ensuite, le changement \(t=e^x\) simplifie les deux quotients.
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La première fraction exige :
\[ e^x-2\ne0 \iff x\ne\ln2. \]Posons \(t=e^x>0\). Alors \(e^{-x}=\dfrac1t\), et :
\[ -\frac2{1+e^{-x}} = -\frac2{1+\frac1t} = -\frac{2t}{t+1}. \]L’équation devient, avec \(t\ne2\) :
\[ \frac{2t-1}{t-2} = -\frac{2t}{t+1}. \]On effectue le produit en croix :
\[ (2t-1)(t+1)=-2t(t-2). \]Après développement :
\[ 2t^2+t-1=-2t^2+4t. \]Donc :
\[ 4t^2-3t-1=0. \]On factorise :
\[ (4t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t>0\), on retient seulement \(t=1\). Ainsi :
\[ e^x=1 \iff x=0. \]Cette valeur respecte bien \(x\ne\ln2\).
Interprétation. La condition initiale sur le dénominateur et la positivité de \(t\) sont nécessaires pour sélectionner les solutions.
Méthode. On reconnaît la somme de deux cubes construits à partir des mêmes termes. Une identité remarquable simplifie l’expression avant le changement d’inconnue.
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Posons :
\[ a=e^x \quad\text{et}\quad b=e^{-x}. \]On utilise l’identité :
\[ (a+b)^3+(a-b)^3=2a^3+6ab^2. \]Comme \(ab=e^xe^{-x}=1\), on obtient :
\[ (e^x+e^{-x})^3+(e^x-e^{-x})^3 = 2e^{3x}+6e^{-x}. \]L’équation devient :
\[ 2e^{3x}+6e^{-x}=7e^x. \]On multiplie par \(e^x>0\) :
\[ 2e^{4x}-7e^{2x}+6=0. \]Posons \(t=e^{2x}>0\). Alors :
\[ 2t^2-7t+6=0. \]On factorise :
\[ (2t-3)(t-2)=0. \]Donc :
\[ t=\frac32 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Ainsi :
\[ e^{2x}=\frac32 \iff x=\frac12\ln\left(\frac32\right), \]ou :
\[ e^{2x}=2 \iff x=\frac12\ln2. \]Interprétation. L’identité remarquable réduit l’équation, puis la substitution donne un trinôme dont les deux racines sont admissibles.
Exercice 12 — Équations polynomiales en une expression exponentielle
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{x^3}(e^{x^2})^3=e^x\\ &2)\ e^{3x}-2e^{2x}-e^x+2=0\\ &3)\ e^{\frac{6x}{2x-1}} -2e^{\frac{4x}{2x-1}} -e^{\frac{2x}{2x-1}}+2=0\\ &4)\ e^{\frac2x}+e^{\frac1x}-6=0. \end{aligned} \]Repère de cours. Cet exercice prolonge le changement d’inconnue : les exposants peuvent contenir des polynômes ou des fractions rationnelles. Pour les fractions, on détermine les valeurs interdites avant toute transformation. Les racines de l’équation auxiliaire ne sont admissibles que lorsqu’elles sont positives, puisqu’elles représentent des exponentielles.
Méthode. On regroupe les exponentielles du premier membre pour obtenir une seule exponentielle, puis on factorise l’équation polynomiale résultante.
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On a :
\[ (e^{x^2})^3=e^{3x^2}. \]Donc :
\[ e^{x^3}(e^{x^2})^3 = e^{x^3+3x^2}. \]L’équation devient :
\[ e^{x^3+3x^2}=e^x. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x^3+3x^2=x. \]On factorise :
\[ x(x^2+3x-1)=0. \]Donc \(x=0\), ou bien :
\[ x^2+3x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=3^2-4\times1\times(-1)=13. \]Les deux autres solutions sont :
\[ x=\frac{-3-\sqrt{13}}2 \quad\text{ou}\quad x=\frac{-3+\sqrt{13}}2. \]Interprétation. La factorisation fait apparaître une première solution, puis un trinôme fournit deux autres valeurs.
Méthode. Après substitution, on obtient un polynôme du troisième degré. Un regroupement de termes permet de le factoriser.
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Posons \(t=e^x>0\). L’équation devient :
\[ t^3-2t^2-t+2=0. \]On regroupe les termes :
\[ t^2(t-2)-(t-2)=0. \]Donc :
\[ (t^2-1)(t-2)=0. \]Puis :
\[ (t-1)(t+1)(t-2)=0. \]Comme \(t>0\), on retient :
\[ t=1 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Ainsi :
\[ x=0 \quad\text{ou}\quad x=\ln2. \]Interprétation. Le regroupement permet de factoriser le polynôme sans développer de nouvelles expressions.
Méthode. L’expression rationnelle commune aux exposants suggère une substitution. Avant cela, on exclut la valeur qui annule son dénominateur.
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L’équation est définie lorsque :
\[ 2x-1\ne0 \iff x\ne\frac12. \]Posons :
\[ t=e^{\frac{2x}{2x-1}}>0. \]Alors :
\[ e^{\frac{4x}{2x-1}}=t^2 \quad\text{et}\quad e^{\frac{6x}{2x-1}}=t^3. \]L’équation devient :
\[ t^3-2t^2-t+2=0. \]Comme dans la question précédente :
\[ (t-1)(t+1)(t-2)=0. \]Puisque \(t>0\), on a :
\[ t=1 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Premier cas : \(t=1\).
\[ e^{\frac{2x}{2x-1}}=1=e^0. \]Donc :
\[ \frac{2x}{2x-1}=0 \iff 2x=0 \iff x=0. \]Deuxième cas : \(t=2\).
\[ e^{\frac{2x}{2x-1}}=2. \]En appliquant le logarithme :
\[ \frac{2x}{2x-1}=\ln2. \]Donc :
\[ 2x=\ln2(2x-1). \]Ainsi :
\[ 2x(1-\ln2)=-\ln2. \]Finalement :
\[ x=\frac{\ln2}{2(\ln2-1)}. \]Les deux valeurs obtenues sont différentes de \(\frac12\).
Interprétation. Le changement d’inconnue permet de réutiliser la factorisation précédente, tout en conservant la restriction provenant du dénominateur.
Méthode. Les exposants sont liés par un facteur 2. On pose donc \(t=e^{1/x}\), après avoir exclu \(x=0\).
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L’équation est définie pour :
\[ x\ne0. \]Posons :
\[ t=e^{\frac1x}>0. \]Alors :
\[ e^{\frac2x}=t^2. \]L’équation devient :
\[ t^2+t-6=0. \]On factorise :
\[ (t-2)(t+3)=0. \]Comme \(t>0\), on conserve seulement :
\[ t=2. \]Ainsi :
\[ e^{\frac1x}=2. \]En appliquant le logarithme :
\[ \frac1x=\ln2. \]Donc :
\[ x=\frac1{\ln2}. \]Interprétation. La solution obtenue est non nulle et respecte donc la condition de définition initiale.
Exercice 13 — Équations à bases quelconques
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ 10^{3x-1}=100 &&2)\ 10^{x+2}=5\\ &3)\ 7^x=21 &&4)\ 5^{-x}=3\\ &5)\ 2^{15-3x}=11 &&6)\ (1{,}2)^{x+3}=e\\ &7)\ 7^x=(\sqrt7)^{3-x^2}\\ &8)\ 3^{x+1}+3^{x+2}=12\sqrt3\\ &9)\ 2^{2x-1}+3^x+4^{x+\frac12}-9^{\frac x2-1}=0. \end{aligned} \]Repère de cours — Fonction exponentielle de base \(a\). Pour \(a>0\) et \(a\ne1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est injective. Si les deux membres ont la même base, leurs exposants sont égaux. Lorsque la base du second membre est différente, on utilise le logarithme népérien, en vérifiant la positivité des nombres concernés. Les propriétés des puissances restent valables.
Méthode. On transforme le nombre \(100\) en une puissance de \(10\), puis on compare les exposants.
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On écrit :
\[ 100=10^2. \]Comme la fonction \(u\mapsto10^u\) est injective :
\[ 3x-1=2. \]Donc :
\[ 3x=3 \iff x=1. \]Interprétation. L’utilisation d’une base commune permet de résoudre directement l’équation.
Méthode. Comme les deux membres sont positifs, on applique le logarithme pour faire apparaître l’exposant.
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Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme :
\[ \ln(10^{x+2})=\ln5. \]Donc :
\[ (x+2)\ln10=\ln5. \]Comme \(\ln10\ne0\), on obtient :
\[ x+2=\frac{\ln5}{\ln10}. \]Ainsi :
\[ x=\frac{\ln5}{\ln10}-2. \]Interprétation. Le logarithme permet de résoudre une équation exponentielle même lorsque le second membre n’est pas une puissance simple de la base.
Méthode. On applique le logarithme puis on isole l’inconnue en divisant par \(\ln7\), qui est non nul.
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On applique le logarithme :
\[ \ln(7^x)=\ln21. \]Donc :
\[ x\ln7=\ln21. \]Comme \(\ln7\ne0\) :
\[ x=\frac{\ln21}{\ln7}. \]Interprétation. La solution est unique puisque la fonction exponentielle de base \(7\) est strictement croissante.
Méthode. Le logarithme transforme l’exposant \(-x\) en facteur, ce qui donne une équation du premier degré.
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On applique le logarithme :
\[ \ln(5^{-x})=\ln3. \]Donc :
\[ -x\ln5=\ln3. \]Ainsi :
\[ x=-\frac{\ln3}{\ln5}. \]Interprétation. La solution est négative, ce qui est cohérent avec une puissance de base supérieure à \(1\) et un exposant \(-x\) positif.
Méthode. On utilise le logarithme, puis on résout l’équation linéaire obtenue en isolant \(x\).
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On applique le logarithme :
\[ (15-3x)\ln2=\ln11. \]Donc :
\[ 15-3x=\frac{\ln11}{\ln2}. \]Ainsi :
\[ 3x=15-\frac{\ln11}{\ln2}. \]Finalement :
\[ x=5-\frac{\ln11}{3\ln2}. \]Interprétation. Le passage au logarithme transforme l’équation exponentielle en équation affine.
Méthode. La base \(1{,}2\) est strictement positive et différente de \(1\), ce qui autorise l’utilisation du logarithme.
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Comme \(1{,}2>0\) et \(1{,}2\ne1\), on applique le logarithme :
\[ (x+3)\ln(1{,}2)=\ln e. \]Or \(\ln e=1\). Donc :
\[ (x+3)\ln(1{,}2)=1. \]Ainsi :
\[ x+3=\frac1{\ln(1{,}2)}. \]Donc :
\[ x=\frac1{\ln(1{,}2)}-3. \]Interprétation. La méthode est valable pour toute base strictement positive différente de \(1\).
Méthode. On transforme la racine en puissance de base \(7\). L’injectivité de cette fonction exponentielle ramène ensuite le problème à un trinôme.
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On écrit :
\[ \sqrt7=7^{\frac12}. \]Alors :
\[ (\sqrt7)^{3-x^2} = \left(7^{\frac12}\right)^{3-x^2} = 7^{\frac{3-x^2}{2}}. \]L’équation devient :
\[ 7^x=7^{\frac{3-x^2}{2}}. \]La fonction \(u\mapsto7^u\) est injective, donc :
\[ x=\frac{3-x^2}{2}. \]Ainsi :
\[ x^2+2x-3=0. \]On factorise :
\[ (x-1)(x+3)=0. \]Donc :
\[ x=1 \quad\text{ou}\quad x=-3. \]Interprétation. La réduction à une base commune permet de remplacer l’équation exponentielle par une équation polynomiale.
Méthode. On met la plus petite puissance de \(3\) en facteur et on écrit le second membre sous une forme comparable.
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On met \(3^{x+1}\) en facteur :
\[ 3^{x+1}+3^{x+2} = 3^{x+1}(1+3) = 4\cdot3^{x+1}. \]D’autre part :
\[ 12\sqrt3 = 4\cdot3\sqrt3 = 4\cdot3^{\frac32}. \]L’équation devient :
\[ 4\cdot3^{x+1}=4\cdot3^{\frac32}. \]Après simplification par \(4\) :
\[ 3^{x+1}=3^{\frac32}. \]Donc :
\[ x+1=\frac32. \]Ainsi :
\[ x=\frac12. \]Interprétation. La factorisation permet de comparer les deux membres sous une même base.
Méthode. Les bases sont différentes, mais elles sont liées : \(4\) est une puissance de \(2\), et \(9\) une puissance de \(3\). On regroupe donc les termes de même nature, puis on étudie leur signe.
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On transforme séparément les termes qui peuvent s’écrire à l’aide de \(4^x\) et de \(3^x\).
Tout d’abord :
\[ 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}2 = \frac{4^x}{2}. \]Ensuite :
\[ 4^{x+\frac12} = 4^x\,4^{\frac12} = 2\cdot4^x. \]Enfin :
\[ \begin{aligned} 9^{\frac x2-1} &= \frac{9^{\frac x2}}9\\ &= \frac{\left(3^2\right)^{\frac x2}}9\\ &= \frac{3^x}{9}. \end{aligned} \]L’équation devient alors :
\[ \frac12\,4^x + 3^x + 2\cdot4^x - \frac{3^x}{9} = 0. \]On regroupe les termes de même nature :
\[ \left(\frac12+2\right)4^x + \left(1-\frac19\right)3^x = 0. \]Donc :
\[ \frac52\,4^x+\frac89\,3^x=0. \]Or, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 4^x>0 \qquad\text{et}\qquad 3^x>0. \]Par conséquent :
\[ \frac52\,4^x+\frac89\,3^x>0. \]Le membre de gauche ne peut donc jamais être nul.
Interprétation. Les transformations font apparaître une somme strictement positive. L’équation ne peut donc admettre aucune solution réelle.
À retenir
La première difficulté d’une équation exponentielle est de reconnaître sa structure. Si les deux membres peuvent être exprimés avec la même base, l’injectivité ramène le problème à une égalité d’exposants. Si le second membre est un nombre strictement positif, le logarithme permet d’isoler l’exposant.
Lorsqu’une équation contient plusieurs puissances liées, un changement d’inconnue permet de retrouver une équation polynomiale. On doit alors conserver la condition de positivité de la nouvelle inconnue et revenir à la variable initiale. Les valeurs interdites provenant des dénominateurs doivent également être respectées.
Enfin, la positivité de l’exponentielle permet parfois de conclure directement. Une somme de termes strictement positifs ne peut être nulle, et une exponentielle ne peut jamais prendre une valeur négative. Ces observations constituent des outils essentiels pour résoudre efficacement les équations du chapitre.
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