Correction détaillée des exercices 9 à 13
Fonctions exponentielles — Équations exponentielles
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 9 Équations exponentielles élémentaires
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme népérien :
\[ \ln\left(e^{x-1}\right)=\ln3. \]Comme \(\ln(e^u)=u\), on obtient :
\[ x-1=\ln3. \]Donc :
\[ x=1+\ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit \(e=e^1\). L’exponentielle étant injective sur \(\mathbb R\), on a :
\[ x-4=1. \]Ainsi :
\[ x=5. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
L’exponentielle est injective, donc :
\[ 2x=x^2. \]On ramène tout dans le même membre :
\[ x^2-2x=0. \]On factorise :
\[ x(x-2)=0. \]Par conséquent :
\[ x=0\quad\text{ou}\quad x=2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
En utilisant \(e^ae^b=e^{a+b}\), on obtient :
\[ e^2e^x=e^{x+2}. \]De plus, \(1=e^0\). L’équation devient :
\[ e^{x+2}=e^0. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x+2=0. \]Donc :
\[ x=-2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(1=e^0\), l’injectivité de l’exponentielle donne :
\[ (x-1)(x-2)=0. \]Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ x-1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0. \]Ainsi :
\[ x=1\quad\text{ou}\quad x=2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit :
\[ \frac1{e^2}=e^{-2}. \]L’équation devient :
\[ e^{x^2+3x}=e^{-2}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x^2+3x=-2. \]Donc :
\[ x^2+3x+2=0. \]On factorise :
\[ (x+1)(x+2)=0. \]Par conséquent :
\[ x=-1\quad\text{ou}\quad x=-2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\), on a \(x^2\ge0\). Comme la fonction exponentielle est croissante :
\[ e^{x^2}\ge e^0=1. \]Or :
\[ \frac1{16}\lt 1. \]L’égalité est donc impossible dans \(\mathbb R\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On a :
\[ (e^x)^2=e^{2x}. \]De plus :
\[ \frac1{16}=\frac1{2^4}=e^{-\ln16}. \]L’équation devient :
\[ e^{2x}=e^{-\ln16}. \]Donc :
\[ 2x=-\ln16. \]Ainsi :
\[ x=-\frac12\ln16=-\ln4. \]Exercice 10 Transformations et équations avec contraintes
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme :
\[ \sqrt e=e^{\frac12}, \]l’injectivité de l’exponentielle donne :
\[ 2x+3=\frac12. \]Donc :
\[ 2x=-\frac52, \qquad x=-\frac54. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ e^x-1=0 \quad\text{ou}\quad e^x-3=0. \]Premier cas :
\[ e^x=1=e^0 \iff x=0. \]Deuxième cas :
\[ e^x=3 \iff x=\ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(e^{3x+6}>0\), on a :
\[ \sqrt{e^{3x+6}} = e^{\frac{3x+6}{2}}. \]L’équation devient :
\[ e^x=e^{\frac{3x+6}{2}}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x=\frac{3x+6}{2}. \]Donc :
\[ 2x=3x+6 \iff x=-6. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On transforme chaque membre :
\[ \sqrt[3]{e}=e^{\frac13} \quad\text{et}\quad (e^{x^2})^9=e^{9x^2}. \]Ainsi :
\[ e^{\frac13+2x}=e^{9x^2}. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ \frac13+2x=9x^2. \]On multiplie par \(3\) :
\[ 27x^2-6x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-6)^2-4\times27\times(-1)=144. \]Donc :
\[ x=\frac{6\pm12}{54}. \]On obtient :
\[ x=\frac13 \quad\text{ou}\quad x=-\frac19. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On regroupe les exponentielles du membre de gauche :
\[ e^{-2x}e^{x+\ln3} = e^{-x+\ln3}. \]L’équation devient :
\[ e^{-x+\ln3}=e^{2x-\ln9}. \]Par injectivité :
\[ -x+\ln3=2x-\ln9. \]Or \(\ln9=2\ln3\). Ainsi :
\[ -x+\ln3=2x-2\ln3. \]Donc :
\[ 3x=3\ln3 \iff x=\ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
L’expression est définie lorsque :
\[ x\ne3. \]On écrit \(e=e^1\). Par injectivité de l’exponentielle :
\[ \frac{3x-1}{x-3}=1. \]Comme \(x\ne3\), on peut multiplier par \(x-3\) :
\[ 3x-1=x-3. \]Donc :
\[ 2x=-2 \iff x=-1. \]Cette valeur vérifie bien \(x\ne3\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Le membre de droite est positif. On peut élever les deux membres au carré :
\[ 1-e^{-2x}=\frac14. \]Donc :
\[ e^{-2x}=\frac34. \]En appliquant le logarithme :
\[ -2x=\ln\left(\frac34\right). \]Ainsi :
\[ x=-\frac12\ln\left(\frac34\right) = \frac12\ln\left(\frac43\right). \]Cette valeur est positive et vérifie bien la condition \(1-e^{-2x}\ge0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\), on a \(e^{-x}>0\), donc :
\[ e^{-x}+7>0. \]On peut multiplier par le dénominateur :
\[ e^{-x}-7=2(e^{-x}+7). \]Donc :
\[ e^{-x}-7=2e^{-x}+14. \]Ainsi :
\[ e^{-x}=-21. \]Or une exponentielle est toujours strictement positive. Cette égalité est impossible.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(81=3^4\), on a :
\[ \ln81=4\ln3. \]En appliquant le logarithme :
\[ |x^2-4|=4\ln3. \]On distingue deux cas.
Premier cas :
\[ x^2-4=4\ln3. \]Donc :
\[ x^2=4(1+\ln3), \]d’où :
\[ x=\pm2\sqrt{1+\ln3}. \]Deuxième cas :
\[ x^2-4=-4\ln3. \]Donc :
\[ x^2=4(1-\ln3). \]Or \(3>e\), donc \(\ln3>1\). Par conséquent :
\[ 4(1-\ln3)\lt 0. \]Ce deuxième cas n’admet aucune solution réelle.
Exercice 11 Équations résolues par changement d’inconnue
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Posons :
\[ t=e^x. \]Alors \(t>0\) et \(e^{2x}=t^2\). L’équation devient :
\[ t^2+t-12=0. \]On factorise :
\[ (t-3)(t+4)=0. \]Donc \(t=3\) ou \(t=-4\). Comme \(t>0\), on conserve seulement :
\[ t=3. \]Ainsi :
\[ e^x=3 \iff x=\ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). Alors \(e^{-x}=\dfrac1t\). L’équation devient :
\[ 3t+\frac4t=7. \]Comme \(t>0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 3t^2-7t+4=0. \]On factorise :
\[ (3t-4)(t-1)=0. \]Donc :
\[ t=\frac43 \quad\text{ou}\quad t=1. \]Par conséquent :
\[ x=\ln\left(\frac43\right) \quad\text{ou}\quad x=0. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=e^{2x}>0. \]Alors \(e^{4x}=t^2\), et l’équation devient :
\[ t^2-3t-4=0. \]On factorise :
\[ (t-4)(t+1)=0. \]Comme \(t>0\), on retient seulement \(t=4\). Ainsi :
\[ e^{2x}=4. \]En appliquant le logarithme :
\[ 2x=\ln4=2\ln2. \]Donc :
\[ x=\ln2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=e^{x-2}>0. \]Comme \(3-x=1-(x-2)\), on a :
\[ e^{3-x}=\frac e{e^{x-2}}=\frac et. \]L’équation devient :
\[ t+\frac et=1+e. \]On multiplie par \(t>0\) :
\[ t^2-(1+e)t+e=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-e)=0. \]Donc :
\[ t=1 \quad\text{ou}\quad t=e. \]Si \(e^{x-2}=1\), alors \(x=2\).
Si \(e^{x-2}=e\), alors \(x-2=1\), donc \(x=3\).
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ e^{6x+\ln2}>0 \quad\text{et}\quad e^{3x+\ln5}>0. \]La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive :
\[ e^{6x+\ln2}+e^{3x+\ln5}>0. \]Elle ne peut donc jamais être égale à \(0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=e^{\frac x2}>0. \]Alors :
\[ e^x=t^2 \quad\text{et}\quad e^{\frac{3x}{2}}=t^3. \]L’équation devient :
\[ t^3-3t^2+3t-2=0. \]Or :
\[ t^3-3t^2+3t-2=(t-1)^3-1. \]Ainsi :
\[ (t-1)^3=1. \]Donc :
\[ t-1=1 \iff t=2. \]Par conséquent :
\[ e^{\frac x2}=2 \iff \frac x2=\ln2 \iff x=2\ln2=\ln4. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
La première fraction exige :
\[ e^x-2\ne0 \iff x\ne\ln2. \]Posons \(t=e^x>0\). Alors \(e^{-x}=\dfrac1t\), et :
\[ -\frac2{1+e^{-x}} = -\frac2{1+\frac1t} = -\frac{2t}{t+1}. \]L’équation devient, avec \(t\ne2\) :
\[ \frac{2t-1}{t-2} = -\frac{2t}{t+1}. \]On effectue le produit en croix :
\[ (2t-1)(t+1)=-2t(t-2). \]Après développement :
\[ 2t^2+t-1=-2t^2+4t. \]Donc :
\[ 4t^2-3t-1=0. \]On factorise :
\[ (4t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t>0\), on retient seulement \(t=1\). Ainsi :
\[ e^x=1 \iff x=0. \]Cette valeur respecte bien \(x\ne\ln2\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ a=e^x \quad\text{et}\quad b=e^{-x}. \]On utilise l’identité :
\[ (a+b)^3+(a-b)^3=2a^3+6ab^2. \]Comme \(ab=e^xe^{-x}=1\), on obtient :
\[ (e^x+e^{-x})^3+(e^x-e^{-x})^3 = 2e^{3x}+6e^{-x}. \]L’équation devient :
\[ 2e^{3x}+6e^{-x}=7e^x. \]On multiplie par \(e^x>0\) :
\[ 2e^{4x}-7e^{2x}+6=0. \]Posons \(t=e^{2x}>0\). Alors :
\[ 2t^2-7t+6=0. \]On factorise :
\[ (2t-3)(t-2)=0. \]Donc :
\[ t=\frac32 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Ainsi :
\[ e^{2x}=\frac32 \iff x=\frac12\ln\left(\frac32\right), \]ou :
\[ e^{2x}=2 \iff x=\frac12\ln2. \]Exercice 12 Équations polynomiales en une expression exponentielle
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On a :
\[ (e^{x^2})^3=e^{3x^2}. \]Donc :
\[ e^{x^3}(e^{x^2})^3 = e^{x^3+3x^2}. \]L’équation devient :
\[ e^{x^3+3x^2}=e^x. \]Par injectivité de l’exponentielle :
\[ x^3+3x^2=x. \]On factorise :
\[ x(x^2+3x-1)=0. \]Donc \(x=0\), ou bien :
\[ x^2+3x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=3^2-4\times1\times(-1)=13. \]Les deux autres solutions sont :
\[ x=\frac{-3-\sqrt{13}}2 \quad\text{ou}\quad x=\frac{-3+\sqrt{13}}2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). L’équation devient :
\[ t^3-2t^2-t+2=0. \]On regroupe les termes :
\[ t^2(t-2)-(t-2)=0. \]Donc :
\[ (t^2-1)(t-2)=0. \]Puis :
\[ (t-1)(t+1)(t-2)=0. \]Comme \(t>0\), on retient :
\[ t=1 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Ainsi :
\[ x=0 \quad\text{ou}\quad x=\ln2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
L’équation est définie lorsque :
\[ 2x-1\ne0 \iff x\ne\frac12. \]Posons :
\[ t=e^{\frac{2x}{2x-1}}>0. \]Alors :
\[ e^{\frac{4x}{2x-1}}=t^2 \quad\text{et}\quad e^{\frac{6x}{2x-1}}=t^3. \]L’équation devient :
\[ t^3-2t^2-t+2=0. \]Comme dans la question précédente :
\[ (t-1)(t+1)(t-2)=0. \]Puisque \(t>0\), on a :
\[ t=1 \quad\text{ou}\quad t=2. \]Premier cas : \(t=1\).
\[ e^{\frac{2x}{2x-1}}=1=e^0. \]Donc :
\[ \frac{2x}{2x-1}=0 \iff 2x=0 \iff x=0. \]Deuxième cas : \(t=2\).
\[ e^{\frac{2x}{2x-1}}=2. \]En appliquant le logarithme :
\[ \frac{2x}{2x-1}=\ln2. \]Donc :
\[ 2x=\ln2(2x-1). \]Ainsi :
\[ 2x(1-\ln2)=-\ln2. \]Finalement :
\[ x=\frac{\ln2}{2(\ln2-1)}. \]Les deux valeurs obtenues sont différentes de \(\frac12\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
L’équation est définie pour :
\[ x\ne0. \]Posons :
\[ t=e^{\frac1x}>0. \]Alors :
\[ e^{\frac2x}=t^2. \]L’équation devient :
\[ t^2+t-6=0. \]On factorise :
\[ (t-2)(t+3)=0. \]Comme \(t>0\), on conserve seulement :
\[ t=2. \]Ainsi :
\[ e^{\frac1x}=2. \]En appliquant le logarithme :
\[ \frac1x=\ln2. \]Donc :
\[ x=\frac1{\ln2}. \]Exercice 13 Équations à bases quelconques
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit :
\[ 100=10^2. \]Comme la fonction \(u\mapsto10^u\) est injective :
\[ 3x-1=2. \]Donc :
\[ 3x=3 \iff x=1. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme :
\[ \ln(10^{x+2})=\ln5. \]Donc :
\[ (x+2)\ln10=\ln5. \]Comme \(\ln10\ne0\), on obtient :
\[ x+2=\frac{\ln5}{\ln10}. \]Ainsi :
\[ x=\frac{\ln5}{\ln10}-2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On applique le logarithme :
\[ \ln(7^x)=\ln21. \]Donc :
\[ x\ln7=\ln21. \]Comme \(\ln7\ne0\) :
\[ x=\frac{\ln21}{\ln7}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On applique le logarithme :
\[ \ln(5^{-x})=\ln3. \]Donc :
\[ -x\ln5=\ln3. \]Ainsi :
\[ x=-\frac{\ln3}{\ln5}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On applique le logarithme :
\[ (15-3x)\ln2=\ln11. \]Donc :
\[ 15-3x=\frac{\ln11}{\ln2}. \]Ainsi :
\[ 3x=15-\frac{\ln11}{\ln2}. \]Finalement :
\[ x=5-\frac{\ln11}{3\ln2}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(1{,}2>0\) et \(1{,}2\ne1\), on applique le logarithme :
\[ (x+3)\ln(1{,}2)=\ln e. \]Or \(\ln e=1\). Donc :
\[ (x+3)\ln(1{,}2)=1. \]Ainsi :
\[ x+3=\frac1{\ln(1{,}2)}. \]Donc :
\[ x=\frac1{\ln(1{,}2)}-3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit :
\[ \sqrt7=7^{\frac12}. \]Alors :
\[ (\sqrt7)^{3-x^2} = \left(7^{\frac12}\right)^{3-x^2} = 7^{\frac{3-x^2}{2}}. \]L’équation devient :
\[ 7^x=7^{\frac{3-x^2}{2}}. \]La fonction \(u\mapsto7^u\) est injective, donc :
\[ x=\frac{3-x^2}{2}. \]Ainsi :
\[ x^2+2x-3=0. \]On factorise :
\[ (x-1)(x+3)=0. \]Donc :
\[ x=1 \quad\text{ou}\quad x=-3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On met \(3^{x+1}\) en facteur :
\[ 3^{x+1}+3^{x+2} = 3^{x+1}(1+3) = 4\cdot3^{x+1}. \]D’autre part :
\[ 12\sqrt3 = 4\cdot3\sqrt3 = 4\cdot3^{\frac32}. \]L’équation devient :
\[ 4\cdot3^{x+1}=4\cdot3^{\frac32}. \]Après simplification par \(4\) :
\[ 3^{x+1}=3^{\frac32}. \]Donc :
\[ x+1=\frac32. \]Ainsi :
\[ x=\frac12. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On transforme séparément les termes qui peuvent s’écrire à l’aide de \(4^x\) et de \(3^x\).
Tout d’abord :
\[ 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}2 = \frac{4^x}{2}. \]Ensuite :
\[ 4^{x+\frac12} = 4^x\,4^{\frac12} = 2\cdot4^x. \]Enfin :
\[ \begin{aligned} 9^{\frac x2-1} &= \frac{9^{\frac x2}}9\\ &= \frac{\left(3^2\right)^{\frac x2}}9\\ &= \frac{3^x}{9}. \end{aligned} \]L’équation devient alors :
\[ \frac12\,4^x + 3^x + 2\cdot4^x - \frac{3^x}{9} = 0. \]On regroupe les termes de même nature :
\[ \left(\frac12+2\right)4^x + \left(1-\frac19\right)3^x = 0. \]Donc :
\[ \frac52\,4^x+\frac89\,3^x=0. \]Or, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 4^x>0 \qquad\text{et}\qquad 3^x>0. \]Par conséquent :
\[ \frac52\,4^x+\frac89\,3^x>0. \]Le membre de gauche ne peut donc jamais être nul.
Méthodes à retenir
- \(e^u=e^v\) équivaut à \(u=v\), car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
- Lorsqu’on pose \(t=e^u\), il faut toujours conserver la condition \(t>0\).
- Une équation contenant un quotient doit être accompagnée des restrictions provenant de ses dénominateurs.
- Pour une base \(a>0\) et \(a\ne1\), \(a^u=b\) se résout par \(u\ln a=\ln b\), à condition que \(b>0\).
- Une somme d’exponentielles strictement positives ne peut pas être nulle.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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