Correction détaillée des exercices 38 à 41
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 38
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\ln\left(e^{2x}+e^x+1\right)-x. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Écriture symétrique et parité
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(x)=\ln\left(e^x+e^{-x}+1\right), \]puis en déduire que \(f\) est paire.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on factorise par \(e^x\) à l’intérieur du logarithme :
\[ e^{2x}+e^x+1 =e^x\left(e^x+1+e^{-x}\right). \]Donc :
\[ \begin{aligned} f(x) &=\ln(e^x)+\ln\left(e^x+1+e^{-x}\right)-x\\ &=x+\ln\left(e^x+1+e^{-x}\right)-x\\ &=\ln\left(e^x+e^{-x}+1\right). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f(-x) &=\ln\left(e^{-x}+e^x+1\right)\\ &=f(x). \end{aligned} \]Question 2 — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\), on utilise l’écriture :
\[ f(x)=x+\ln\left(1+e^{-x}+e^{-2x}\right). \]Le logarithme tend vers \(0\), donc \(f(x)\to+\infty\).
La fonction \(f\) étant paire, on en déduit aussi :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]Question 3 — Asymptotes
Montrer que les droites d’équations \(y=x\) et \(y=-x\) sont des asymptotes à la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Au voisinage de \(+\infty\),
\[ f(x)-x =\ln\left(1+e^{-x}+e^{-2x}\right)\longrightarrow0. \]La droite \(y=x\) est donc une asymptote oblique à \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).
Au voisinage de \(-\infty\),
\[ f(x)+x =\ln\left(e^{2x}+e^x+1\right)\longrightarrow0. \]La droite \(y=-x\) est donc une asymptote oblique à \(\mathcal C\) au voisinage de \(-\infty\).
Question 4 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
À partir de l’écriture symétrique, on obtient :
\[ f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}+1}. \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(e^x-e^{-x}\), c’est-à-dire celui de \(x\).
- \(f'(x)\lt0\) sur \(]-\infty;0[\) ;
- \(f'(0)=0\) ;
- \(f'(x)\gt0\) sur \(]0;+\infty[\).
De plus :
\[ f(0)=\ln3. \]Question 5 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, possède un minimum au point \((0;\ln3)\), et admet les asymptotes \(y=-x\) à gauche et \(y=x\) à droite.
La courbe C représente \(f\) et la courbe Γ représente \(g=e^{-f}\).
Question 6 — Étude de g
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ g(x)=e^{-f(x)}. \]Étudier les variations de \(g\), puis tracer sa courbe \(\Gamma\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ g(x)=\frac1{e^x+e^{-x}+1}. \]La fonction \(g\) est paire. Sa dérivée vérifie :
\[ g'(x)=-f'(x)e^{-f(x)}. \]Comme \(e^{-f(x)}\gt0\), le signe de \(g'(x)\) est l’opposé de celui de \(f'(x)\).
- \(g'(x)\gt0\) sur \(]-\infty;0[\) ;
- \(g'(0)=0\) ;
- \(g'(x)\lt0\) sur \(]0;+\infty[\).
De plus :
\[ g(0)=\frac13, \qquad \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0. \]Exercice 39
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-2e^x+2}}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\), donc :
\[ f(x)\longrightarrow\frac0{\sqrt2}=0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(e^x\) :
\[ f(x) =\frac1{\sqrt{1-2e^{-x}+2e^{-2x}}} \longrightarrow1. \]Question 2 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ D(x)=e^{2x}-2e^x+2=(e^x-1)^2+1\gt0. \]La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=e^xD(x)^{-1/2} -e^x(e^{2x}-e^x)D(x)^{-3/2}\\ &=\frac{e^x(2-e^x)}{D(x)^{3/2}}. \end{aligned} \]Le dénominateur et \(e^x\) sont strictement positifs. Ainsi, le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2-e^x\).
- \(f'(x)\gt0\) sur \(]-\infty;\ln2[\) ;
- \(f'(\ln2)=0\) ;
- \(f'(x)\lt0\) sur \(]\ln2;+\infty[\).
La valeur maximale est :
\[ f(\ln2)=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2. \]Question 3 — Position relative à y = 1
Étudier la position relative de la courbe \(\mathcal C\) et de la droite \(\Delta\) d’équation \(y=1\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est strictement positive. On peut donc comparer \(f(x)^2\) à \(1\) :
\[ \begin{aligned} f(x)^2-1 &=\frac{e^{2x}}{e^{2x}-2e^x+2}-1\\ &=\frac{2(e^x-1)}{e^{2x}-2e^x+2}. \end{aligned} \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f(x)^2-1\), et donc celui de \(f(x)-1\), est celui de \(e^x-1\), c’est-à-dire celui de \(x\).
- si \(x\lt0\), alors \(f(x)\lt1\) ;
- si \(x=0\), alors \(f(0)=1\) ;
- si \(x\gt0\), alors \(f(x)\gt1\).
Question 4-a — Dérivée seconde
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f''(x)= \frac{e^x(e^x-1)} {\left(e^{2x}-2e^x+2\right)^{5/2}} \left((e^x-1)^2-5\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
En dérivant l’expression :
\[ f'(x)=\frac{e^x(2-e^x)} {\left(e^{2x}-2e^x+2\right)^{3/2}}, \]puis en réduisant au même dénominateur et en factorisant, on obtient :
\[ \boxed{ f''(x)= \frac{e^x(e^x-1)} {\left(e^{2x}-2e^x+2\right)^{5/2}} \left((e^x-1)^2-5\right).} \]Question 4-b — Concavité et points d’inflexion
Étudier la concavité de \(\mathcal C\), puis déterminer ses points d’inflexion.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les facteurs \(e^x\) et \(\left(e^{2x}-2e^x+2\right)^{5/2}\) sont strictement positifs.
Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de :
\[ (e^x-1)\left((e^x-1)^2-5\right). \]Les zéros possibles sont :
\[ e^x=1 \qquad\text{ou}\qquad e^x=1+\sqrt5. \]La valeur \(1-\sqrt5\) est négative et ne peut pas être égale à \(e^x\).
- \(f''(x)\gt0\) sur \(]-\infty;0[\) ;
- \(f''(x)\lt0\) sur \(]0;\ln(1+\sqrt5)[\) ;
- \(f''(x)\gt0\) sur \(]\ln(1+\sqrt5);+\infty[\).
Question 5 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La construction utilise les limites, le maximum \(\left(\ln2;\sqrt2\right)\), la position par rapport à \(y=1\), ainsi que les deux points d’inflexion.
Allure de la courbe C de l’exercice 39.
Exercice 40
On considère la fonction numérique \(f\) définie par :
\[ f(x)=\sqrt{1-e^{-2x}}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Il faut :
\[ 1-e^{-2x}\ge0. \]Comme la fonction exponentielle est strictement croissante :
\[ e^{-2x}\le1 \iff -2x\le0 \iff x\ge0. \]Question 2-a — Transformation du quotient
Montrer que, pour tout \(x\in D\setminus\{0\}\),
\[ \frac{f(x)}x = \sqrt{ \frac2x \times \frac{e^{-2x}-1}{-2x} }. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ \begin{aligned} \frac{f(x)}x &=\sqrt{\frac{1-e^{-2x}}{x^2}}\\ &=\sqrt{ \frac2x \times \frac{1-e^{-2x}}{2x} }\\ &=\sqrt{ \frac2x \times \frac{e^{-2x}-1}{-2x} }. \end{aligned} \]Question 2-b — Limite en 0 et interprétation
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x, \]puis interpréter géométriquement le résultat.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On sait que :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^{-2x}-1}{-2x}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}\frac2x=+\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x=+\infty. \]Question 3 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\gt0\),
\[ f'(x)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\gt0. \]La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
De plus :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]Question 4 — Branche infinie
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\),
\[ f(x)\to1. \]La droite :
\[ \boxed{y=1} \]est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).
Au voisinage de \(0\), il n’y a pas de branche infinie, mais une demi-tangente verticale.
Question 5 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe part de l’origine avec une demi-tangente verticale, reste strictement croissante et s’approche de l’asymptote horizontale \(y=1\).
La courbe C part de O avec une demi-tangente verticale et se rapproche de \(y=1\).
Question 6-a — Identité utile
Montrer que, pour tout \(x\in D\setminus\{0\}\),
\[ f(x)=f'(x)\left( -1+\frac1{2(1+f(x))} +\frac1{2(1-f(x))} \right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ f(x)^2=1-e^{-2x}, \]donc :
\[ e^{-2x}=1-f(x)^2. \]Ainsi :
\[ f'(x)=\frac{1-f(x)^2}{f(x)}. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} -1+\frac1{2(1+f)} +\frac1{2(1-f)} &=-1+\frac1{1-f^2}\\ &=\frac{f^2}{1-f^2}. \end{aligned} \]En multipliant par \(f'(x)=\dfrac{1-f^2}{f}\), on obtient bien \(f(x)\).
Question 6-b — Primitives
En déduire les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R_+^*\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\), on a \(0\lt f(x)\lt1\). Les quantités \(1+f(x)\) et \(1-f(x)\) sont donc strictement positives.
En posant \(u=f(x)\), l’identité précédente donne :
\[ f(x) = f'(x)\left( -1+\frac1{2(1+f(x))} +\frac1{2(1-f(x))} \right). \]Une primitive est donc :
\[ \begin{aligned} F(x) &=-f(x) +\frac12\ln(1+f(x)) -\frac12\ln(1-f(x)). \end{aligned} \]Exercice 41
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{2x-1}{x^3}e^{-1/x},&\text{si }x\ne0,\\[5pt] 0,&\text{si }x=0. \end{cases} \]Question 1-a — Continuité en 0
Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to0^+\), posons \(t=1/x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ f(x)=(2x-1)x^{-3}e^{-1/x} =(2/t-1)t^3e^{-t}\longrightarrow0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0). \]Lorsque \(x\to0^-\), on a \(-1/x\to+\infty\), et les facteurs \(\dfrac{2x-1}{x^3}\) et \(e^{-1/x}\) sont tous deux positifs et tendent vers \(+\infty\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty. \]Question 1-b — Dérivabilité à droite en 0
Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(0\), puis interpréter géométriquement le résultat.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \frac{f(x)-f(0)}x =\frac{2x-1}{x^4}e^{-1/x}. \]En posant \(t=1/x\), on obtient :
\[ \frac{f(x)}x =(2/t-1)t^4e^{-t}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f'_d(0)=0. \]Question 2 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\ne0\), on dérive :
\[ f'(x)= -\frac{(x-1)(4x-1)}{x^5}e^{-1/x}. \]Le facteur exponentiel est strictement positif.
- Sur \(]-\infty;0[\), \(f'(x)\gt0\) ;
- sur \(]0;\frac14[\), \(f'(x)\lt0\) ;
- sur \(]\frac14;1[\), \(f'(x)\gt0\) ;
- sur \(]1;+\infty[\), \(f'(x)\lt0\).
Les valeurs utiles sont :
\[ f\left(\frac14\right)=-\frac{32}{e^4}, \qquad f\left(\frac12\right)=0, \qquad f(1)=\frac1e. \]De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Question 3 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthonormé.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale aux voisinages de \(-\infty\) et \(+\infty\). La droite \(x=0\) est une asymptote verticale à gauche, tandis que la courbe passe par \(O(0;0)\) avec une demi-tangente horizontale à droite.
Les deux branches sont séparées : \(x=0\) est une asymptote verticale à gauche, tandis que la courbe passe par O à droite.
Question 4 — Primitive de forme imposée
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(F\) définie par :
\[ F(x)=\left(a+\frac bx\right)e^{-1/x} \]soit une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R_+^*\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} F'(x) &= \left[ -\frac b{x^2} +\left(a+\frac bx\right)\frac1{x^2} \right]e^{-1/x}\\ &= \frac{(a-b)x+b}{x^3}e^{-1/x}. \end{aligned} \]On veut \(F'(x)=f(x)\), donc :
\[ (a-b)x+b=2x-1. \]Par identification :
\[ a-b=2 \qquad\text{et}\qquad b=-1. \]On obtient alors \(a=1\).
Méthodes et repères utiles
- Une écriture symétrique en \(e^x\) et \(e^{-x}\) permet souvent de reconnaître immédiatement la parité.
- Pour comparer une fonction positive à \(1\), il est parfois plus simple de comparer son carré à \(1\).
- Une limite infinie du quotient \(f(x)/x\) en \(0^+\) traduit une demi-tangente verticale.
- Les fonctions comportant \(e^{-1/x}\) à droite de \(0\) s’étudient efficacement avec le changement de variable \(t=1/x\).
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », exercices 38 à 41, page imprimée 229.
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