Correction détaillée des exercices 42 à 46
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 42
Partie I. On considère \(g(t)=1+t-e^t\) et \(h(t)=(1-t)e^t\).
Partie I — Question 1-a
Montrer que \(g(t)\le0\) et \(h(t)\le1\) pour tout \(t\in\mathbb R\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
\(g'(t)=1-e^t\). La fonction \(g\) croît jusqu’à \(0\), puis décroît, et \(g(0)=0\). Donc \(g(t)\le0\).
\(h'(t)=-te^t\). La fonction \(h\) croît jusqu’à \(0\), puis décroît, et \(h(0)=1\). Donc \(h(t)\le1\).
Partie I — Question 1-b
En déduire que, pour tout \(t\lt 1\),
\[ 1+t\le e^t\le\frac1{1-t}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
\(g(t)\le0\) donne \(1+t\le e^t\). De plus, \(h(t)\le1\) donne \((1-t)e^t\le1\). Comme \(1-t\gt 0\), on obtient \(e^t\le\dfrac1{1-t}\).
Partie I — Question 2
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_-^*\),
\[ \frac{x}{x-1}\le x\left(e^{1/x}-1\right)\le1. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\lt 0\), on applique l’encadrement précédent à \(t=1/x\), puis on multiplie par \(x\lt 0\), ce qui renverse les inégalités. On obtient exactement :
\[ \boxed{\frac{x}{x-1}\le x\left(e^{1/x}-1\right)\le1.} \]On considère :
\[ f(x)= \begin{cases} xe^{1/x},&x\lt 0,\\ x\ln(1+x),&x\ge0. \end{cases} \]Partie II — Question 1
Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Les limites à gauche et à droite valent \(0=f(0)\), donc \(f\) est continue en \(0\).
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to0^-}e^{1/x}=0, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to0^+}\ln(1+x)=0. \]Ainsi, \(f\) est dérivable en \(0\) et \(\boxed{f'(0)=0}\).
Partie II — Question 2-a
Étudier les variations de \(f\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\lt 0\), \(f'(x)=e^{1/x}\left(1-\frac1x\right)\gt 0\).
Pour \(x\gt 0\), \(f'(x)=\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\gt 0\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Partie II — Question 2-b
Montrer que, pour tout \(x\lt 0\),
\[ \frac1{x-1}\le xe^{1/x}-x-1\le0. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On retranche \(1\) aux trois membres de l’encadrement de la partie I et on utilise \(\frac{x}{x-1}-1=\frac1{x-1}\).
Partie II — Question 2-c
Déterminer l’asymptote oblique à gauche et la position relative.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
L’encadrement précédent donne \(xe^{1/x}-x-1\to0\) lorsque \(x\to-\infty\).
L’asymptote est donc \(\boxed{y=x+1}\). Sur \(]-\infty;0[\), la courbe reste au-dessous de cette droite.
Partie II — Question 3
Étudier l’intersection avec \(y=x\), puis tracer \(\mathcal C_f\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\lt 0\), l’équation \(xe^{1/x}=x\) n’a pas de solution.
Pour \(x\ge0\), \(x\ln(1+x)=x\) donne \(x=0\) ou \(x=e-1\).
Les intersections sont \(O(0;0)\) et \(A(e-1;e-1)\).
Sur la figure suivante, la courbe pleine représente \(\mathcal C_f\). La courbe en pointillés sera utilisée à la question 4-b.
Courbes de \(f\) et de \(f^{-1}\), symétriques par rapport à \(y=x\).
Partie II — Question 4-a
Montrer que \(f\) admet une réciproque et déterminer son intervalle de définition.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est continue, strictement croissante, avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\). Elle réalise donc une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).
Ainsi, \(f^{-1}\) est définie sur \(\boxed{J=\mathbb R}\).
Partie II — Question 4-b
Tracer la courbe de \(f^{-1}\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Elle est la symétrique de \(\mathcal C_f\) par rapport à la droite \(y=x\). Sur la figure de la question 3, elle est représentée en pointillés.
Exercice 43
Dans chaque cas, étudier les variations et le signe de \(u\), puis les limites et les variations de \(f\).
Cas 1
\[ f(x)=e^{-x}+\ln(1+x),\qquad u(x)=1-(x+1)e^{-x}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Domaine : \(]-1;+\infty[\). On a \(u'(x)=xe^{-x}\), donc \(u\) admet un minimum nul en \(0\). Ainsi \(u\ge0\).
\[ f'(x)=\frac{u(x)}{1+x}\ge0. \]De plus, \(f(x)\to-\infty\) en \(-1^+\) et \(f(x)\to+\infty\) en \(+\infty\). La fonction \(f\) est strictement croissante.
Cas 2
\[ f(x)=\frac{x+1}{2e^x-1},\qquad u(x)=1+2xe^x. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Domaine : \(\mathbb R\setminus\{-\ln2\}\). On a \(u'(x)=2e^x(x+1)\) et \(u(-1)=1-\frac2e\gt 0\), donc \(u\gt 0\).
\[ f'(x)=-\frac{u(x)}{(2e^x-1)^2}\lt 0. \]Les limites sont \(+\infty\) en \(-\infty\), \(-\infty\) à gauche de \(-\ln2\), \(+\infty\) à droite, et \(0\) en \(+\infty\). La fonction décroît sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Cas 3
\[ f(x)=\frac{(x-2)e^x}{e^x+1},\qquad u(x)=e^x+x-1. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
\(u'(x)=e^x+1\gt 0\) et \(u(0)=0\). Le signe de \(u\) est donc celui de \(x\).
\[ f'(x)=\frac{e^xu(x)}{(e^x+1)^2}. \]Ainsi, \(f\) décroît sur \(]-\infty;0]\), puis croît sur \([0;+\infty[\). On a \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\), \(f(0)=-1\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Exercice 44
\[ f(x)= \begin{cases} (\ln x)^x=e^{x\ln(\ln x)},&x\gt 1,\\ 0,&x=1. \end{cases} \]Question 1
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(x\ln(\ln x)\to+\infty\), on obtient \(\boxed{f(x)\to+\infty}\).
Question 2
Montrer que \(f\) est continue sur \([1;+\infty[\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Sur \(]1;+\infty[\), la continuité est immédiate. Lorsque \(x\to1^+\), \(x\ln(\ln x)\to-\infty\), donc \(f(x)\to0=f(1)\).
Question 3
Calculer :
\[ \lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}h. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Le premier facteur tend vers \(1\). Pour \(h\gt 0\), on utilise l’encadrement classique
\[ \frac{h}{1+h}\le \ln(1+h)\le h. \]En prenant les logarithmes puis en multipliant par \(h\gt 0\), on obtient
\[ h\ln h-h\ln(1+h) \le h\ln(\ln(1+h)) \le h\ln h. \]Or \(h\ln h\to0\) et \(h\ln(1+h)\to0\). Ainsi \(h\ln(\ln(1+h))\to0\), puis
\[ [\ln(1+h)]^h=e^{h\ln(\ln(1+h))}\to1. \]Par conséquent, \(\boxed{f'_d(1)=1}\).
Question 4-a
Étudier \(\varphi(x)=1+\ln x\,\ln(\ln x)\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction décroît sur \(]1;e^{1/e}]\), puis croît. Son minimum vaut \(1-\frac1e\gt 0\).
Question 4-b
En déduire que \(f\) est croissante.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
Question 5-a
Montrer que :
\[ \ln\left(\frac{f(x)}x\right)=x\ln(\ln x)-\ln x. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Cela résulte directement de \(\ln f(x)=x\ln(\ln x)\).
Question 5-b
Calculer la limite de \(x\ln(\ln x)-\ln x\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\ge e^e\), l’expression est supérieure à \(x-\ln x\), qui tend vers \(+\infty\). La limite vaut donc \(+\infty\).
Question 5-c
En déduire \(\lim_{x\to+\infty}f(x)/x\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme le logarithme de \(f(x)/x\) tend vers \(+\infty\), on a \(\boxed{f(x)/x\to+\infty}\).
Question 6
Tracer la courbe de \(f\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Elle part de \((1;0)\), avec demi-tangente \(y=x-1\), puis elle croît et possède une branche parabolique de direction \((Oy)\) au voisinage de \(+\infty\).
Courbe de \(f(x)=(\ln x)^x\) et demi-tangente à droite en \(1\).
Exercice 45
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(e^{\sqrt{x+1}}-e^{\sqrt x}\right)^{1/\sqrt x}=e. \]Calcul de la limite
Établir la limite sans développement limité.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(\delta_x=\sqrt{x+1}-\sqrt x=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\).
\[ e^{\sqrt{x+1}}-e^{\sqrt x}=e^{\sqrt x}(e^{\delta_x}-1). \]Après élévation à la puissance \(1/\sqrt x\), le premier facteur donne \(e\).
Pour \(x\) assez grand, \(0\lt \delta_x\lt 1\), et l’encadrement
\[ \delta_x\le e^{\delta_x}-1\le\frac{\delta_x}{1-\delta_x} \]donne, après passage au logarithme,
\[ \ln\delta_x \le \ln(e^{\delta_x}-1) \le \ln\delta_x-\ln(1-\delta_x). \]Or
\[ \ln\delta_x=-\ln\!\left(\sqrt{x+1}+\sqrt x\right), \]donc \(\dfrac{\ln\delta_x}{\sqrt x}\to0\). De plus, \(\ln(1-\delta_x)\to0\), donc \(\dfrac{\ln(1-\delta_x)}{\sqrt x}\to0\). Par encadrement,
\[ \frac1{\sqrt x}\ln(e^{\delta_x}-1)\to0. \]Ainsi, le second facteur tend vers \(1\), et la limite demandée vaut \(\boxed{e}\).
Exercice 46
Pour \(n\in\mathbb N^*\), on pose \(f_n(x)=xe^x-n\).
Question 1
Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([-1;+\infty[\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
avec égalité seulement en \(-1\). La fonction est donc strictement croissante.
Question 2
Montrer que \(f_n(x)=0\) possède une unique solution \(u_n\in[0;+\infty[\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
\(f_n(0)=-n\lt 0\), tandis que \(f_n(x)\to+\infty\). La continuité et la stricte croissance donnent une unique solution, caractérisée par :
\[ u_ne^{u_n}=n. \]Question 3
Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction \(\psi(x)=xe^x\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\). Or \(\psi(u_n)=n\lt n+1=\psi(u_{n+1})\). Donc \(u_n\lt u_{n+1}\).
Question 4
Montrer que, pour \(n\ge3\),
\[ \ln n-\ln(\ln n)\le u_n\le\ln n. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(\psi(x)=xe^x\). Pour \(n\ge3\), on a \(\psi(1)=e\lt 3\le n=\psi(u_n)\). Comme \(\psi\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), on obtient \(u_n\gt 1\).
La relation \(u_ne^{u_n}=n\) donne alors
\[ u_n+\ln u_n=\ln n. \]Comme \(\ln u_n\gt 0\), on a d’abord \(u_n\le\ln n\). Par croissance du logarithme, \(\ln u_n\le\ln(\ln n)\). Finalement,
\[ u_n=\ln n-\ln u_n\ge\ln n-\ln(\ln n). \]Question 5
Déterminer \(\lim u_n/\ln n\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Par encadrement, \(\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{\ln n}=1}\).
Méthodes et repères utiles
- Encadrements exponentiels obtenus par étude de fonctions auxiliaires.
- Étude séparée à gauche et à droite pour une fonction définie par morceaux.
- Dérivée logarithmique pour les expressions de la forme \(u(x)^{v(x)}\).
- Monotonie de \(x\mapsto xe^x\) pour une suite définie implicitement.
Source : manuel Al Moufid, exercices 42 à 46, pages imprimées 230 et 231.
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