Correction détaillée des exercices 47 à 50
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 47
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R^*\) par :
\[ f(x)=\frac{e^{-x}}x. \]Question 1 — Étude de la fonction
Étudier la fonction \(f\) : limites et variations.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R^*\), et :
\[ f'(x) = -\frac{(x+1)e^{-x}}{x^2}. \]Comme \(e^{-x}\gt 0\) et \(x^2\gt 0\), le signe de \(f'(x)\) est l'opposé de celui de \(x+1\).
- \(f'(x)\gt 0\) sur \(]-\infty;-1[\) ;
- \(f'(-1)=0\) ;
- \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-1;0[\) et sur \(]0;+\infty[\).
Les limites sont :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \] \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]De plus :
\[ f(-1)=-e. \]Question 2-a — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C_f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \]la droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
Lorsque \(x\to+\infty\), \(f(x)\to0\). La droite \(y=0\) est donc une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
Enfin, lorsque \(x\to-\infty\),
\[ f(x)\to-\infty \qquad\text{et}\qquad \frac{f(x)}x=\frac{e^{-x}}{x^2}\to+\infty. \]Question 2-b — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthonormé.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La construction utilise les variations, le point \(A(-1;-e)\), l'asymptote verticale \(x=0\), l'asymptote horizontale \(y=0\) à droite et la branche parabolique à gauche.
La droite \(x=0\) est une asymptote verticale et la droite \(y=0\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
Question 3-a — Inégalité exponentielle
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x\ge x+1. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons \(\varphi(x)=e^x-x-1\). Alors :
\[ \varphi'(x)=e^x-1. \]La fonction \(\varphi\) décroît sur \(]-\infty;0]\), puis croît sur \([0;+\infty[\), et \(\varphi(0)=0\).
Question 3-b — Encadrement utile
En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\),
\[ x^2f(x)\le\frac{x}{1+x}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt 0\), l'inégalité précédente donne :
\[ e^x\ge1+x. \]Les deux membres étant positifs :
\[ e^{-x}\le\frac1{1+x}. \]En multipliant par \(x\gt 0\),
\[ xe^{-x}\le\frac{x}{1+x}. \]Or \(x^2f(x)=xe^{-x}\). Ainsi :
\[ \boxed{x^2f(x)\le\frac{x}{1+x}.} \]Question 4 — Encadrement de la suite
La suite \((u_n)\) est définie par :
\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n^2f(u_n)=u_ne^{-u_n}. \]Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ 0\lt u_n\le\frac1{n+1}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La positivité est immédiate par récurrence.
Pour \(n=0\), \(u_0=1=\frac1{0+1}\).
Supposons \(0\lt u_n\le\frac1{n+1}\). D'après la question 3-b :
\[ u_{n+1} =u_n^2f(u_n) \le\frac{u_n}{1+u_n}. \]La fonction \(t\mapsto\frac{t}{1+t}\) est croissante sur \(\mathbb R_+\). Par conséquent :
\[ u_{n+1} \le \frac{\frac1{n+1}}{1+\frac1{n+1}} =\frac1{n+2}. \]Question 5-a — Somme des termes
Pour \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ v_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_k. \]Montrer que :
\[ v_n=-\ln(u_n). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La relation de récurrence donne :
\[ u_{k+1}=u_ke^{-u_k}. \]En prenant le logarithme :
\[ \ln u_{k+1}=\ln u_k-u_k, \]d'où :
\[ u_k=\ln u_k-\ln u_{k+1}. \]En sommant de \(k=0\) à \(n-1\),
\[ v_n =\ln u_0-\ln u_n. \]Comme \(u_0=1\), \(\ln u_0=0\). Donc :
\[ \boxed{v_n=-\ln u_n.} \]Question 5-b — Limites
Déterminer les limites des suites \((u_n)\) et \((v_n)\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
L'encadrement :
\[ 0\lt u_n\le\frac1{n+1} \]donne :
\[ \boxed{u_n\to0.} \]Alors \(\ln u_n\to-\infty\). Comme \(v_n=-\ln u_n\),
\[ \boxed{v_n\to+\infty.} \]Exercice 48
Partie A. On considère la fonction :
\[ f(x)=2e^x-2-xe^x=(2-x)e^x-2. \]Partie A — Question 1
Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ f'(x)=(1-x)e^x. \]Comme \(e^x\gt 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x\).
- \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;1]\) ;
- \(f\) est strictement décroissante sur \([1;+\infty[\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-2, \qquad f(1)=e-2\gt 0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]Partie A — Question 2
Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet deux solutions réelles, dont une solution \(\alpha\) vérifiant :
\[ 1{,}5\lt \alpha\lt 1{,}6. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On remarque d'abord que :
\[ f(0)=0. \]Sur \(]1;+\infty[\), la fonction \(f\) est strictement décroissante, avec \(f(1)\gt 0\) et \(f(x)\to-\infty\). Elle y admet donc une unique solution \(\alpha\).
Numériquement :
\[ f(1{,}5)=\frac12e^{1{,}5}-2\gt 0, \] \[ f(1{,}6)=0{,}4e^{1{,}6}-2\lt 0. \]Partie B — Question 1-a
Sur \(I=\left[\frac32;2\right]\), on pose :
\[ g(x)=2-2e^{-x}. \]Étudier les variations de \(g\), puis justifier que :
\[ g(I)\subset I \qquad\text{et}\qquad |g'(x)|\le\frac12. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ g'(x)=2e^{-x}\gt 0. \]La fonction \(g\) est donc strictement croissante.
Sur \(I\),
\[ g\left(\frac32\right)\gt \frac32 \qquad\text{et}\qquad g(2)\lt 2. \]Par croissance, \(g(I)\subset I\).
De plus, pour tout \(x\in I\),
\[ |g'(x)|=2e^{-x}\le2e^{-3/2}\lt \frac12. \]Partie B — Question 1-b
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n\in I\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a \(u_0=\frac32\in I\). Si \(u_n\in I\), alors :
\[ u_{n+1}=g(u_n)\in g(I)\subset I. \]Partie B — Question 1-c
Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis en déduire qu'elle converge vers \(\alpha\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in I\),
\[ g(x)-x =2-2e^{-x}-x =e^{-x}f(x). \]Sur \(\left[\frac32;\alpha\right[\), on a \(f(x)\gt 0\), donc \(g(x)\gt x\).
Comme \(u_0=\frac32\lt \alpha\), une récurrence utilisant la croissance de \(g\) montre que :
\[ u_n\lt \alpha \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}\gt u_n. \]La suite est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente. Si \(\ell\) est sa limite, la continuité de \(g\) donne :
\[ \ell=g(\ell). \]Dans l'intervalle \(I\), l'unique point fixe de \(g\) est \(\alpha\). Ainsi :
\[ \boxed{u_n\to\alpha.} \]Partie B — Question 2-a
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ |u_{n+1}-\alpha| \le \frac12|u_n-\alpha|. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme \(g(\alpha)=\alpha\), le théorème des accroissements finis, appliqué sur l'intervalle ayant pour extrémités \(u_n\) et \(\alpha\), donne :
\[ |u_{n+1}-\alpha| = |g(u_n)-g(\alpha)| \le \sup_{x\in I}|g'(x)|\,|u_n-\alpha|. \]Or \(\sup_I|g'|\le\frac12\). Donc :
\[ \boxed{|u_{n+1}-\alpha| \le\frac12|u_n-\alpha|.} \]Partie B — Question 2-b
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ |u_n-\alpha| \le \left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(n=0\), l'inégalité est une égalité.
Supposons que, pour un entier naturel \(n\),
\[ |u_n-\alpha| \le \left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|. \]D'après la question précédente :
\[ |u_{n+1}-\alpha| \le \frac12|u_n-\alpha| \le \left(\frac12\right)^{n+1}|u_0-\alpha|. \]Partie B — Question 2-c
Retrouver que :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ 0 \le |u_n-\alpha| \le \left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|. \]Le membre de droite tend vers \(0\). Par encadrement :
\[ |u_n-\alpha|\to0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{u_n\to\alpha.} \]Exercice 49
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_1=1+\frac1e \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = u_n\left(1+\frac1{e^{2^n}}\right) \quad(n\in\mathbb N^*). \]Question 1 — Encadrement logarithmique
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ e^{-x}-\frac{e^{-2x}}2 \lt \ln\left(1+e^{-x}\right) \lt e^{-x}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons \(t=e^{-x}\gt 0\).
Pour l'inégalité supérieure, considérons :
\[ A(t)=t-\ln(1+t). \]On a :
\[ A'(t)=\frac{t}{1+t}\gt 0 \qquad\text{et}\qquad A(0)=0. \]Donc \(\ln(1+t)\lt t\).
Pour l'inégalité inférieure, posons :
\[ B(t)=\ln(1+t)-t+\frac{t^2}{2}. \]Alors :
\[ B'(t)=\frac{t^2}{1+t}\gt 0 \qquad\text{et}\qquad B(0)=0. \]Donc \(t-\frac{t^2}{2}\lt \ln(1+t)\).
En remplaçant \(t\) par \(e^{-x}\), on obtient l'encadrement demandé.
Question 2-a — Monotonie
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est strictement croissante.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(n\ge1\),
\[ 1+\frac1{e^{2^n}}\gt 1. \]Comme \(u_n\gt 0\),
\[ u_{n+1} = u_n\left(1+\frac1{e^{2^n}}\right) \gt u_n. \]Question 2-b — Expression de \(\ln u_n\)
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\),
\[ \ln u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \ln\left(1+e^{-2^k}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La définition donne :
\[ u_n = \prod_{k=0}^{n-1} \left(1+e^{-2^k}\right). \]Tous les facteurs étant strictement positifs, on peut prendre le logarithme :
\[ \boxed{ \ln u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \ln\left(1+e^{-2^k}\right).} \]Question 2-c — Encadrement de \(\ln u_n\)
On pose :
\[ R_n= \frac1e+\frac1{e^2}+\cdots+\frac1{e^{2^{n-1}}}, \] \[ S_n= \frac1{e^2}+\frac1{e^4}+\cdots+\frac1{e^{2^n}}. \]Montrer que :
\[ R_n-\frac12S_n \lt \ln u_n \lt R_n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On applique la question 1 à \(x=2^k\), pour \(k=0,\ldots,n-1\) :
\[ e^{-2^k} - \frac12e^{-2^{k+1}} \lt \ln\left(1+e^{-2^k}\right) \lt e^{-2^k}. \]En sommant les inégalités, on obtient :
\[ \boxed{ R_n-\frac12S_n \lt \ln u_n \lt R_n.} \]Question 3-a — Somme géométrique
Soit \(a\in]1;+\infty[\). Calculer :
\[ T_n=\frac1a+\frac1{a^2}+\cdots+\frac1{a^n}, \]puis déterminer sa limite.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Il s'agit d'une somme géométrique de raison \(1/a\) :
\[ T_n = \frac{\frac1a\left(1-\frac1{a^n}\right)} {1-\frac1a} = \frac{1-a^{-n}}{a-1}. \]Comme \(a\gt 1\), \(a^{-n}\to0\). Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}T_n=\frac1{a-1}.} \]Question 3-b — Convergence de \((u_n)\)
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est majorée, puis en déduire qu'elle converge. On note \(\ell\) sa limite.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les exposants \(1,2,4,\ldots,2^{n-1}\) appartiennent à \(\{1,2,\ldots,2^{n-1}\}\). Par conséquent :
\[ R_n \le \sum_{j=1}^{2^{n-1}}\frac1{e^j} \lt \frac1{e-1}. \]La question 2-c donne :
\[ \ln u_n\lt R_n\lt \frac1{e-1}. \]Ainsi :
\[ u_n\lt e^{1/(e-1)}. \]La suite est strictement croissante et majorée ; elle est donc convergente.
Question 3-c — Encadrement de la limite
Montrer que :
\[ e^{\frac{2e-3}{2e(e-1)}} \le \ell \le e^{\frac1{e-1}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a déjà obtenu la majoration :
\[ \ln u_n\lt \frac1{e-1}. \]D'autre part :
\[ R_n\ge\frac1e. \]Les exposants \(2,4,\ldots,2^n\) sont des entiers au moins égaux à \(2\), donc :
\[ S_n \le \sum_{j=2}^{+\infty}\frac1{e^j} = \frac1{e(e-1)}. \]Il vient :
\[ \ln u_n \gt \frac1e-\frac1{2e(e-1)} = \frac{2e-3}{2e(e-1)}. \]En passant à la limite puis en appliquant la fonction exponentielle :
\[ \boxed{ e^{\frac{2e-3}{2e(e-1)}} \le \ell \le e^{\frac1{e-1}}.} \]Exercice 50
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R_+\) par :
\[ f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}. \]On note \(F_n\) la primitive de \(f_n\) sur \(\mathbb R_+\) telle que \(F_n(0)=0\).
Question 1-a — Encadrement de \(f_n\)
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) et tout \(t\in\mathbb R_+\),
\[ 0\le f_n(t)\le\frac{t^n}{n!}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(t\ge0\), on a :
\[ 0\lt e^{-t}\le1. \]En multipliant par \(t^n/n!\ge0\), on obtient :
\[ \boxed{ 0\le f_n(t)\le\frac{t^n}{n!}.} \]Question 1-b — Encadrement de \(F_n\)
En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb R_+\),
\[ 0\le F_n(x)\le\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme \(F_n(0)=0\),
\[ F_n(x)=\int_0^x f_n(t)\,dt. \]En intégrant l'encadrement précédent sur \([0;x]\) :
\[ 0 \le F_n(x) \le \int_0^x\frac{t^n}{n!}\,dt = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]Question 2-a — Encadrement de \(1/n!\)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\),
\[ \frac1{n!}\le\left(\frac en\right)^n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(n=1\), l'inégalité \(1\le e\) est vraie.
Supposons :
\[ \frac1{n!}\le\left(\frac en\right)^n. \]Alors :
\[ \frac1{(n+1)!} \le \frac{e^n}{n^n(n+1)}. \]Or :
\[ \left(1+\frac1n\right)^n\le e, \]donc :
\[ \frac{e^n}{n^n(n+1)} \le \frac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}. \]Question 2-b — Limite de \(F_n(x)\)
En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb R_+\),
\[ \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=0. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\ge0\),
\[ 0\le F_n(x)\le\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]La question précédente, appliquée à \(n+1\), donne :
\[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \le \left(\frac{ex}{n+1}\right)^{n+1}. \]Pour \(x\) fixé, il existe un rang à partir duquel :
\[ \frac{ex}{n+1}\le\frac12. \]Ainsi, à partir de ce rang :
\[ 0\le F_n(x)\le\left(\frac12\right)^{n+1}. \]Par encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}F_n(x)=0.} \]Méthodes et repères utiles
- L'inégalité \(e^x\ge1+x\) permet de construire des encadrements récursifs efficaces.
- Une relation multiplicative sur une suite devient additive après passage au logarithme.
- Une contraction fournit directement une majoration géométrique de l'erreur.
- Une primitive positive peut être encadrée en intégrant un encadrement de sa dérivée.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », exercices 47 à 50, page imprimée 231.
Commentaires
Enregistrer un commentaire