Correction détaillée du devoir 4
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé du devoir 4
Le devoir comporte trois parties liées : étude d'une fonction auxiliaire, étude d'une fonction exponentielle-logarithmique, puis convergence d'une suite définie par récurrence.
On considère la fonction \(g\) définie par :
\[ g(t)=\frac{t}{t+1}-\ln(1+t). \]On note \(\mathcal C_g\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie I — Question 1
Déterminer \(D_g\), l'ensemble de définition de \(g\).
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Il faut simultanément :
\[ t+1\ne0 \qquad\text{et}\qquad 1+t\gt0. \]La seconde condition impose déjà \(t\gt-1\).
Partie I — Question 2
Montrer que :
\[ \lim_{t\to-1^+}g(t)=-\infty. \]Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire ?
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Posons \(s=t+1\). Lorsque \(t\to-1^+\), on a \(s\to0^+\), et :
\[ g(t) = \frac{s-1}{s}-\ln s = 1-\frac1s-\ln s. \]Le terme \(-1/s\) tend vers \(-\infty\) et domine le terme \(-\ln s\), qui tend vers \(+\infty\). Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{t\to-1^+}g(t)=-\infty.} \]Partie I — Question 3
Étudier la nature de la branche infinie de \(\mathcal C_g\) au voisinage de \(+\infty\).
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On écrit :
\[ g(t) = 1-\frac1{t+1}-\ln(1+t). \]Donc :
\[ \lim_{t\to+\infty}g(t)=-\infty. \]De plus :
\[ \frac{g(t)}t = \frac1t - \frac1{t(t+1)} - \frac{\ln(1+t)}t \longrightarrow0. \]Partie I — Question 4
Étudier les variations de \(g\).
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Pour tout \(t\in]-1;+\infty[\),
\[ \begin{aligned} g'(t) &= \frac1{(t+1)^2} - \frac1{t+1}\\ &= -\frac{t}{(t+1)^2}. \end{aligned} \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(g'(t)\) est donc l'opposé de celui de \(t\).
- \(g'(t)\gt0\) sur \(]-1;0[\) ;
- \(g'(0)=0\) ;
- \(g'(t)\lt0\) sur \(]0;+\infty[\).
De plus :
\[ g(0)=0. \]Partie I — Question 5
Préciser le signe de \(g\) sur \(D_g\).
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La valeur maximale de \(g\) est \(g(0)=0\).
On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{-x}\ln(1+e^x). \]Partie II — Question 1
Justifier que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb R\).
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Pour tout réel \(x\), \(e^x\gt0\). Par conséquent :
\[ 1+e^x\gt1\gt0. \]Le logarithme \(\ln(1+e^x)\) est donc défini, ainsi que le produit avec \(e^{-x}\).
Partie II — Question 2
Déterminer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x), \]puis interpréter géométriquement les résultats.
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Lorsque \(x\to-\infty\), posons \(t=e^x\). Alors \(t\to0^+\), et :
\[ f(x)=\frac{\ln(1+t)}t. \]La limite fondamentale donne :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on écrit :
\[ \begin{aligned} f(x) &= e^{-x}\left[x+\ln(1+e^{-x})\right]\\ &= xe^{-x} + e^{-x}\ln(1+e^{-x}). \end{aligned} \]Les deux termes tendent vers \(0\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Partie II — Question 3
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f'(x)=e^{-x}g(e^x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= -e^{-x}\ln(1+e^x) + e^{-x}\frac{e^x}{1+e^x}\\ &= e^{-x} \left[ \frac{e^x}{1+e^x} - \ln(1+e^x) \right]\\ &= e^{-x}g(e^x). \end{aligned} \]Partie II — Question 4
En déduire les variations de \(f\).
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Pour tout réel \(x\), on a \(e^x\gt0\). D'après la partie I :
\[ g(e^x)\lt0. \]Comme \(e^{-x}\gt0\),
\[ f'(x)\lt0 \qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]La courbe est strictement décroissante, admet \(y=1\) comme asymptote horizontale au voisinage de \(-\infty\) et \(y=0\) au voisinage de \(+\infty\).
Partie II — Question 5
Vérifier que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ 0\le f(x)\le1. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\), avec :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[ 0\lt f(x)\lt1. \]En particulier :
\[ \boxed{0\le f(x)\le1.} \]Partie II — Question 6-a
On définit :
\[ h(x)=f(x)-x. \]Montrer que \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
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On a :
\[ h'(x)=f'(x)-1. \]Comme \(f'(x)\lt0\),
\[ h'(x)\lt-1\lt0. \]Partie II — Question 6-b
En déduire que l'équation \(h(x)=0\) admet une unique solution, notée \(\alpha\).
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La fonction \(h\) est continue et strictement décroissante.
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}h(x) = \lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) = +\infty, \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}h(x) = -\infty. \]Le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution, et la stricte décroissance assure son unicité.
Partie II — Question 6-c
Vérifier que :
\[ \alpha\in[0;1]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ h(0)=f(0)=\ln2\gt0. \]D'autre part, la question 5 donne \(f(1)\lt1\), donc :
\[ h(1)=f(1)-1\lt0. \]Comme \(h\) est strictement décroissante et s'annule en \(\alpha\),
\[ \boxed{\alpha\in]0;1[.} \]En particulier, \(\alpha\in[0;1]\).
On définit la suite \((u_n)\) par :
\[ u_0=0 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad(n\in\mathbb N). \]Partie III — Question 1
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_n\in[0;1]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a \(u_0=0\in[0;1]\).
Supposons \(u_n\in[0;1]\). D'après la partie II :
\[ 0\le f(u_n)\le1. \]Donc :
\[ u_{n+1}=f(u_n)\in[0;1]. \]Partie III — Question 2
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ |u_{n+1}-\alpha| \le 0{,}6\,|u_n-\alpha|. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\in[0;1]\), on a :
\[ f'(x) = \frac1{1+e^x}-f(x). \]Comme \(f\) est décroissante sur \([0;1]\),
\[ f(x)\le f(0)=\ln2. \]De plus :
\[ \frac1{1+e^x} \ge \frac1{1+e}. \]Comme \(f'(x)\lt0\),
\[ \begin{aligned} |f'(x)| &=f(x)-\frac1{1+e^x}\\ &\le \ln2-\frac1{1+e}\\ &\lt0{,}6. \end{aligned} \]Les nombres \(u_n\) et \(\alpha\) appartiennent à \([0;1]\). Le théorème des accroissements finis donne donc :
\[ \begin{aligned} |u_{n+1}-\alpha| &= |f(u_n)-f(\alpha)|\\ &\le 0{,}6\,|u_n-\alpha|. \end{aligned} \]Partie III — Question 3
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
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En répétant l'inégalité précédente :
\[ |u_n-\alpha| \le (0{,}6)^n|u_0-\alpha|. \]Comme :
\[ (0{,}6)^n\longrightarrow0, \]on obtient :
\[ |u_n-\alpha|\longrightarrow0. \]Méthodes et résultats essentiels
- Une fonction auxiliaire permet de déterminer le signe de la dérivée d'une fonction composée.
- Les limites aux extrémités donnent ici deux asymptotes horizontales distinctes.
- La stricte décroissance de \(f(x)-x\) assure l'unicité du point fixe.
- Une majoration uniforme de \(|f'|\) sur l'intervalle stable fournit une convergence géométrique vers ce point fixe.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », devoir 4, page imprimée 235.
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