Correction détaillée du devoir 5
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé du devoir 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=(x^2+1)e^{-x}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\),
\[ (x^2+1)e^{-x}\longrightarrow0. \]La droite \(y=0\) est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^{-x}\to+\infty\), donc :
\[ f(x)\to+\infty. \]De plus :
\[ \frac{f(x)}x = \left(x+\frac1x\right)e^{-x} \longrightarrow-\infty. \]Question 2 — Calcul de la dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f'(x)=-(1-x)^2e^{-x}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}\\ &=(2x-x^2-1)e^{-x}\\ &=-(x-1)^2e^{-x}\\ &=-(1-x)^2e^{-x}. \end{aligned} \]Question 3 — Variations de \(f\)
Dresser les variations de la fonction \(f\).
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Pour tout réel \(x\),
\[ e^{-x}\gt0 \qquad\text{et}\qquad (1-x)^2\ge0. \]Ainsi :
\[ f'(x)\le0, \]avec égalité uniquement pour \(x=1\).
La dérivée est strictement négative de part et d'autre de \(1\). Par conséquent, \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Les valeurs et limites utiles sont :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(1)=\frac2e, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Question 4 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe reste strictement au-dessus de l'axe des abscisses, passe par \(A(0;1)\), possède une tangente horizontale au point \(B\left(1;\frac2e\right)\), puis se rapproche de l'asymptote \(y=0\) au voisinage de \(+\infty\).
La courbe est strictement décroissante, admet \(y=0\) comme asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\), et coupe la droite \(y=x\) en un unique point d'abscisse \(lpha\in]1/2;1[\).
Question 5-a — Monotonie de \(h\)
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ h(x)=f(x)-x. \]Montrer que \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
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Pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ h'(x)=f'(x)-1. \]Or \(f'(x)\le0\). Donc :
\[ h'(x)\le-1\lt0. \]Question 5-b — Existence et unicité du point fixe
Montrer que l'équation \(f(x)=x\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), puis vérifier que :
\[ \alpha\in\left[\frac12;1\right]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
L'équation \(f(x)=x\) équivaut à \(h(x)=0\).
La fonction \(h\) est continue et strictement décroissante sur \(\mathbb R\). De plus :
\[ h\left(\frac12\right) = \frac5{4\sqrt e}-\frac12. \]Comme \(e\lt4\), on a \(\sqrt e\lt2\), donc :
\[ \frac5{4\sqrt e}\gt\frac58\gt\frac12. \]Ainsi :
\[ h\left(\frac12\right)\gt0. \]D'autre part :
\[ h(1)=\frac2e-1\lt0, \]car \(e\gt2\).
Le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution \(\alpha\in]1/2;1[\), et la stricte décroissance de \(h\) assure son unicité.
Question 6-a — Stabilité de l'intervalle
Justifier que :
\[ f\left(\left[\frac12;1\right]\right) \subset \left[\frac12;1\right]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est strictement décroissante. Ainsi :
\[ f\left(\left[\frac12;1\right]\right) = \left[ f(1); f\left(\frac12\right) \right]. \]Or :
\[ f(1)=\frac2e\gt\frac12 \]car \(e\lt4\), et :
\[ f\left(\frac12\right) = \frac5{4\sqrt e}\lt1 \]car \(e\gt2\), donc \(4\sqrt e\gt4\sqrt2\gt5\).
Question 6-b — Majoration de la dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in\left[\frac12;1\right]\),
\[ |f'(x)|\le\frac14. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\in\left[\frac12;1\right]\),
\[ |1-x|\le\frac12 \qquad\text{et}\qquad e^{-x}\le1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} |f'(x)| &= (1-x)^2e^{-x}\\ &\le \left(\frac12\right)^2\\ &=\frac14. \end{aligned} \]Étude de la suite
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad(n\in\mathbb N). \]Question 7-a — Encadrement des termes
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_n\in\left[\frac12;1\right]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ u_0=1\in\left[\frac12;1\right]. \]Supposons que \(u_n\in[1/2;1]\). La question 6-a donne :
\[ u_{n+1}=f(u_n)\in\left[\frac12;1\right]. \]Question 7-b — Inégalité de contraction
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ |u_{n+1}-\alpha| \le \frac12|u_n-\alpha|. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les nombres \(u_n\) et \(\alpha\) appartiennent à \([1/2;1]\).
Le théorème des accroissements finis donne un réel \(c_n\) situé entre \(u_n\) et \(\alpha\) tel que :
\[ u_{n+1}-\alpha = f'(c_n)(u_n-\alpha). \]Par conséquent :
\[ |u_{n+1}-\alpha| \le \frac14|u_n-\alpha| \le \frac12|u_n-\alpha|. \]Question 7-c — Convergence
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
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En répétant l'inégalité précédente :
\[ |u_n-\alpha| \le \left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|. \]Le membre de droite tend vers \(0\). Donc :
\[ |u_n-\alpha|\longrightarrow0. \]Méthodes et résultats essentiels
- Une dérivée négative, même si elle s'annule en un point isolé, peut conduire à une stricte décroissance sur tout l'intervalle.
- La fonction \(h(x)=f(x)-x\) permet d'établir l'existence et l'unicité d'un point fixe.
- La stabilité de l'intervalle \([1/2;1]\) garantit que tous les termes de la suite restent dans la zone où la dérivée est contrôlée.
- L'inégalité des accroissements finis fournit une convergence géométrique vers le point fixe.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », devoir 5, page imprimée 235.
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