Correction détaillée du devoir 6
Fonctions exponentielles et fonctions hyperboliques — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé du devoir 6
La fonction cosinus hyperbolique, notée \(\operatorname{ch}\), est définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ \operatorname{ch}x = \frac{e^x+e^{-x}}2. \]La fonction sinus hyperbolique, notée \(\operatorname{sh}\), est définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ \operatorname{sh}x = \frac{e^x-e^{-x}}2. \]Question 1-a — Identités fondamentales
Vérifier que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ \operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x=e^x \]et :
\[ \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ \begin{aligned} \operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x &= \frac{e^x+e^{-x}}2 + \frac{e^x-e^{-x}}2\\ &=e^x. \end{aligned} \]D'autre part :
\[ \begin{aligned} \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x &= \left(\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x\right) \left(\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x\right)\\ &=e^{-x}e^x\\ &=1. \end{aligned} \]Question 1-b — Parité
Étudier la parité des fonctions \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\).
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Pour tout réel \(x\),
\[ \begin{aligned} \operatorname{ch}(-x) &= \frac{e^{-x}+e^x}{2}\\ &= \operatorname{ch}x. \end{aligned} \]La fonction \(\operatorname{ch}\) est donc paire.
De même :
\[ \begin{aligned} \operatorname{sh}(-x) &= \frac{e^{-x}-e^x}{2}\\ &= -\operatorname{sh}x. \end{aligned} \]Question 2-a — Variations de \(\operatorname{ch}\)
Étudier les variations et les limites de la fonction \(\operatorname{ch}\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(\operatorname{ch}\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \left(\operatorname{ch}x\right)' = \operatorname{sh}x. \]Le signe de \(\operatorname{sh}x\) est celui de \(x\) :
- \(\operatorname{sh}x\lt0\) si \(x\lt0\) ;
- \(\operatorname{sh}0=0\) ;
- \(\operatorname{sh}x\gt0\) si \(x\gt0\).
En outre :
\[ \lim_{x\to-\infty}\operatorname{ch}x=+\infty, \qquad \operatorname{ch}0=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{ch}x=+\infty. \]Question 2-b — Variations de \(\operatorname{sh}\)
Étudier les variations et les limites de la fonction \(\operatorname{sh}\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(\operatorname{sh}\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \left(\operatorname{sh}x\right)' = \operatorname{ch}x. \]Or :
\[ \operatorname{ch}x = \frac{e^x+e^{-x}}2 \gt0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R. \]Donc \(\operatorname{sh}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}\operatorname{sh}x=-\infty, \qquad \operatorname{sh}0=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{sh}x=+\infty. \]Question 3 — Représentation graphique
Tracer les graphes des fonctions \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\) dans un même repère orthonormé.
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La courbe de \(\operatorname{ch}\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et passe par \((0;1)\). La courbe de \(\operatorname{sh}\) est symétrique par rapport à l'origine et passe par \((0;0)\).
La courbe de \(\operatorname
Question 4 — Fonction réciproque de \(\operatorname{sh}\)
Montrer que la fonction \(\operatorname{sh}\) admet une fonction réciproque définie sur \(\mathbb R\), appelée argument sinus hyperbolique et notée \(\operatorname{Argsh}\).
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La fonction \(\operatorname{sh}\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\). De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}\operatorname{sh}x=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{sh}x=+\infty. \]Elle réalise donc une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).
Question 5-a — Dérivée de \(\operatorname{Argsh}\)
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ \left(\operatorname{Argsh}\right)'(x) = \frac1{\sqrt{x^2+1}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ y=\operatorname{Argsh}x. \]Alors :
\[ \operatorname{sh}y=x. \]La formule de dérivation d'une fonction réciproque donne :
\[ \left(\operatorname{Argsh}\right)'(x) = \frac1{\operatorname{ch}y}. \]Or :
\[ \operatorname{ch}^2y-\operatorname{sh}^2y=1. \]Comme \(\operatorname{ch}y\gt0\),
\[ \operatorname{ch}y = \sqrt{1+\operatorname{sh}^2y} = \sqrt{1+x^2}. \]Question 5-b — Expression de \(\operatorname{Argsh}\)
En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ \operatorname{Argsh}x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Considérons :
\[ F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \]On vérifie que :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R. \]De plus :
\[ F'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}. \]Les fonctions \(F\) et \(\operatorname{Argsh}\) ont donc la même dérivée sur \(\mathbb R\). Enfin :
\[ F(0)=0 = \operatorname{Argsh}(0). \]Question 6 — Fonction réciproque de \(\operatorname{ch}\)
Soit \(g\) la restriction de la fonction \(\operatorname{ch}\) à \([0;+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque définie sur \([1;+\infty[\), appelée argument cosinus hyperbolique et notée \(\operatorname{Argch}\).
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Sur \([0;+\infty[\), la fonction \(\operatorname{ch}\) est continue et strictement croissante.
De plus :
\[ \operatorname{ch}0=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{ch}x=+\infty. \]Ainsi, \(g\) réalise une bijection de \([0;+\infty[\) sur \([1;+\infty[\).
Question 7-a — Dérivée de \(\operatorname{Argch}\)
Montrer que, pour tout \(x\in]1;+\infty[\),
\[ \left(\operatorname{Argch}\right)'(x) = \frac1{\sqrt{x^2-1}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ y=\operatorname{Argch}x. \]Alors \(y\gt0\) et :
\[ \operatorname{ch}y=x. \]La dérivée de la fonction réciproque est :
\[ \left(\operatorname{Argch}\right)'(x) = \frac1{\operatorname{sh}y}. \]Or :
\[ \operatorname{sh}^2y = \operatorname{ch}^2y-1 = x^2-1. \]Comme \(y\gt0\), on a \(\operatorname{sh}y\gt0\). Donc :
\[ \boxed{ \left(\operatorname{Argch}\right)'(x) = \frac1{\sqrt{x^2-1}}.} \]Question 7-b — Expression de \(\operatorname{Argch}\)
En déduire que, pour tout \(x\in[1;+\infty[\),
\[ \operatorname{Argch}x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Sur \(]1;+\infty[\), posons :
\[ G(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right). \]On vérifie que :
\[ G'(x)=\frac1{\sqrt{x^2-1}}. \]Les fonctions \(G\) et \(\operatorname{Argch}\) ont donc la même dérivée sur \(]1;+\infty[\).
De plus :
\[ G(1)=0 = \operatorname{Argch}(1). \]Tangente hyperbolique
On définit la fonction tangente hyperbolique, notée \(\operatorname{th}\), par :
\[ \operatorname{th}x = \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}. \]Question 8-a — Étude de \(\operatorname{th}\)
Étudier la fonction \(\operatorname{th}\) : domaine de définition, parité, branches infinies et variations.
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Comme \(\operatorname{ch}x\gt0\) pour tout réel \(x\), le domaine de \(\operatorname{th}\) est \(\mathbb R\).
La fonction \(\operatorname{sh}\) est impaire et \(\operatorname{ch}\) est paire. Donc \(\operatorname{th}\) est impaire.
On peut écrire :
\[ \operatorname{th}x = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to-\infty}\operatorname{th}x=-1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{th}x=1. \]Les droites \(y=-1\) et \(y=1\) sont donc des asymptotes horizontales.
Enfin :
\[ \begin{aligned} \left(\operatorname{th}x\right)' &= \frac{ \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x }{ \operatorname{ch}^2x }\\ &= \frac1{\operatorname{ch}^2x}\\ &\gt0. \end{aligned} \]
La fonction \(\operatorname
Question 8-b — Expression de \(\operatorname{Argth}\)
On note \(\operatorname{Argth}\) la fonction réciproque de \(\operatorname{th}\). Montrer que, pour tout \(x\in]-1;1[\),
\[ \operatorname{Argth}x = \frac12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(\operatorname{th}\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(]-1;1[\).
Posons :
\[ y=\operatorname{Argth}x. \]Alors :
\[ x = \operatorname{th}y = \frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}. \]On résout cette équation :
\[ x(e^{2y}+1)=e^{2y}-1, \] \[ (1-x)e^{2y}=1+x. \]Comme \(x\in]-1;1[\), les quantités \(1-x\) et \(1+x\) sont strictement positives. Ainsi :
\[ e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}. \]En prenant le logarithme :
\[ 2y=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \]Méthodes et résultats essentiels
- Les identités hyperboliques se déduisent directement des expressions exponentielles de \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\).
- La stricte monotonie et les limites permettent d'établir l'existence des fonctions réciproques.
- La dérivée d'une fonction réciproque s'obtient grâce à la dérivée de la fonction initiale et à l'identité \(\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1\).
- Les expressions de \(\operatorname{Argsh}\), \(\operatorname{Argch}\) et \(\operatorname{Argth}\) s'écrivent à l'aide du logarithme népérien.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », devoir 6, pages imprimées 235 et 236.
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