Correction détaillée du devoir 7
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé du devoir 7
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=2xe^x. \]On note \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1-a — Variations de \(f\)
Étudier les variations de la fonction \(f\).
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ f'(x)=2(x+1)e^x. \]Comme \(e^x\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x+1\).
- \(f'(x)\lt0\) sur \(]-\infty;-1[\) ;
- \(f'(-1)=0\) ;
- \(f'(x)\gt0\) sur \(]-1;+\infty[\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, \qquad f(-1)=-\frac2e, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Question 1-b — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C_f\).
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Lorsque \(x\to-\infty\),
\[ f(x)=2xe^x\longrightarrow0. \]La droite \(y=0\) est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) au voisinage de \(-\infty\).
Lorsque \(x\to+\infty\), \(f(x)\to+\infty\), et :
\[ \frac{f(x)}x=2e^x\longrightarrow+\infty. \]Question 1-c — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C_f\).
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La courbe s'approche de l'axe des abscisses par-dessous lorsque \(x\to-\infty\), descend jusqu'au minimum \(M\left(-1;-\frac2e\right)\), passe par l'origine, puis croît rapidement vers \(+\infty\).
La courbe en pointillés représente la fonction réciproque de la restriction de \(f\) à \([-1;+\infty[\). Elle est la symétrique de cette branche par rapport à la droite \(y=x\).
Question 2-a — Bijection
Montrer que la restriction de \(f\) à \([-1;+\infty[\) réalise une bijection sur un ensemble que l'on déterminera.
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Sur \([-1;+\infty[\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante.
De plus :
\[ f(-1)=-\frac2e \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Question 2-b — Variations et courbe de \(f^{-1}\)
Déterminer les variations de \(f^{-1}\), puis tracer sa courbe.
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L'inverse d'une fonction strictement croissante est strictement croissante.
Ainsi :
\[ f^{-1}: \left[-\frac2e;+\infty\right[ \longrightarrow [-1;+\infty[ \]est strictement croissante.
Les valeurs limites sont :
\[ f^{-1}\left(-\frac2e\right)=-1, \qquad \lim_{y\to+\infty}f^{-1}(y)=+\infty. \]Question 3 — Existence du réel \(lpha\)
Montrer qu'il existe un unique réel \(\alpha\gt0\) tel que :
\[ \alpha e^\alpha=1. \]Vérifier que \(\alpha\in[0;1]\).
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Considérons la fonction :
\[ \varphi(x)=xe^x \]sur \([0;+\infty[\).
On a :
\[ \varphi'(x)=(x+1)e^x\gt0. \]La fonction \(\varphi\) est donc strictement croissante. De plus :
\[ \varphi(0)=0\lt1 \qquad\text{et}\qquad \varphi(1)=e\gt1. \]Le théorème des valeurs intermédiaires donne un unique réel \(\alpha\in]0;1[\) tel que :
\[ \alpha e^\alpha=1. \]Étude de la suite \((u_n)\)
On considère la suite définie par :
\[ u_0=\alpha, \qquad u_{n+1}=f^{-1}(u_n) \quad(n\in\mathbb N). \]Question 4-a — Suite bien définie
Montrer que la suite est bien définie et que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_n\in[0;1]. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ u_0=\alpha\in[0;1]. \]Supposons \(u_n\in[0;1]\). L'intervalle \([0;1]\) est contenu dans le domaine de \(f^{-1}\), car :
\[ [0;1]\subset\left[-\frac2e;+\infty\right[. \]De plus, \(f^{-1}\) est croissante, \(f^{-1}(0)=0\), et :
\[ f(1)=2e\gt1. \]Donc :
\[ 0=f^{-1}(0) \le f^{-1}(u_n) \le f^{-1}(1) \lt1. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\in[0;1]. \]Question 4-b — Comparaison de \(f(x)\) et \(x\)
Montrer que, pour tout \(x\in[0;1]\),
\[ f(x)\ge x. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\in[0;1]\),
\[ \begin{aligned} f(x)-x &=2xe^x-x\\ &=x(2e^x-1). \end{aligned} \]Or \(x\ge0\) et \(e^x\ge1\), donc :
\[ 2e^x-1\ge1\gt0. \]Question 4-c — Monotonie de la suite
En déduire que la suite \((u_n)\) est décroissante.
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La relation de récurrence donne :
\[ u_n=f(u_{n+1}). \]Comme \(u_{n+1}\in[0;1]\), la question précédente donne :
\[ f(u_{n+1})\ge u_{n+1}. \]Donc :
\[ u_n\ge u_{n+1}. \]Question 4-d — Convergence et limite
Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). Elle est donc convergente.
Notons \(\ell\) sa limite. Comme :
\[ u_n=f(u_{n+1}), \]et comme \(f\) est continue, le passage à la limite donne :
\[ \ell=f(\ell)=2\ell e^\ell. \]Ainsi :
\[ \ell\left(2e^\ell-1\right)=0. \]Comme \(\ell\ge0\), on a \(2e^\ell-1\ge1\), donc ce facteur ne peut pas s'annuler.
Étude des sommes partielles
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \]Question 5-a — Relation entre deux termes consécutifs
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_{n+1} = \frac12u_ne^{-u_{n+1}}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La relation \(u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\) équivaut à :
\[ f(u_{n+1})=u_n. \]Donc :
\[ 2u_{n+1}e^{u_{n+1}}=u_n. \]En isolant \(u_{n+1}\), on obtient :
\[ \boxed{ u_{n+1} = \frac12u_ne^{-u_{n+1}}.} \]Question 5-b — Expression de \(u_n\)
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_n=\frac{e^{-S_n}}{2^n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
En répétant la relation précédente de \(k=0\) à \(k=n-1\), on obtient :
\[ u_n = \frac{u_0}{2^n} \exp\left( -\sum_{k=1}^{n}u_k \right). \]Comme \(u_0=\alpha\) et :
\[ \sum_{k=1}^{n}u_k=S_n-\alpha, \]il vient :
\[ u_n = \frac{\alpha e^\alpha}{2^n}e^{-S_n}. \]Or \(\alpha e^\alpha=1\). Donc :
\[ \boxed{ u_n=\frac{e^{-S_n}}{2^n}.} \]Question 6-a — Majoration de \(u_n\)
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ u_n\le\left(\frac12\right)^n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme tous les termes \(u_k\) sont positifs,
\[ S_n\ge0. \]Donc :
\[ e^{-S_n}\le1. \]La formule précédente donne alors :
\[ u_n = \frac{e^{-S_n}}{2^n} \le \frac1{2^n}. \]Question 6-b — Majoration de \(S_n\)
En déduire que la suite \((S_n)\) est majorée par \(2\).
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Pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=0}^{n}u_k\\ &\le \sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k\\ &= 2\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)\\ &\lt2. \end{aligned} \]Question 6-c — Convergence de \((S_n)\)
Montrer que la suite \((S_n)\) est convergente.
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On a :
\[ S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\ge0. \]La suite \((S_n)\) est donc croissante.
D'après la question précédente, elle est majorée par \(2\).
Question 6-d — Encadrement de la limite
On note :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}S_n. \]Montrer que :
\[ \alpha\le L\le2. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(n\),
\[ S_n = u_0+u_1+\cdots+u_n \ge u_0 = \alpha. \]De plus, \(S_n\le2\).
En passant à la limite :
\[ \boxed{\alpha\le L\le2.} \]Méthodes et résultats essentiels
- Une restriction strictement monotone permet de définir rigoureusement une fonction réciproque.
- Pour étudier une suite définie par une fonction réciproque, on peut revenir à la relation \(u_n=f(u_{n+1})\).
- Une relation multiplicative entre deux termes consécutifs se transforme en produit puis en somme dans l'exponentielle.
- La comparaison avec une suite géométrique permet de majorer les termes puis les sommes partielles.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », devoir 7, page imprimée 236.
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