Correction détaillée du problème 7
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé du problème 7
Dans tout ce problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
On considère la fonction numérique \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f_n(x)=\frac{x}{n}-e^{-nx}. \]On note \(\mathcal C_n\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1-a — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f_n(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^{-nx}\to0\), donc :
\[ f_n(x)=\frac{x}{n}-e^{-nx}\longrightarrow+\infty. \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(-nx\to+\infty\), donc \(e^{-nx}\to+\infty\). Le terme \(-e^{-nx}\) domine le terme linéaire \(x/n\). Ainsi :
\[ f_n(x)\longrightarrow-\infty. \]Question 1-b — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C_n\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Au voisinage de \(+\infty\),
\[ f_n(x)-\frac{x}{n}=-e^{-nx}\longrightarrow0. \]La droite :
\[ \boxed{D_n:y=\frac{x}{n}} \]est donc une asymptote oblique à \(\mathcal C_n\) au voisinage de \(+\infty\).
De plus :
\[ f_n(x)-\frac{x}{n}=-e^{-nx}\lt0. \]La courbe est donc située au-dessous de son asymptote.
Au voisinage de \(-\infty\),
\[ f_n(x)\to-\infty \qquad\text{et}\qquad \frac{f_n(x)}x =\frac1n-\frac{e^{-nx}}x \longrightarrow+\infty. \]Question 2 — Dérivée et variations
Calculer \(f_n'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\), puis étudier les variations de \(f_n\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\),
\[ f_n'(x)=\frac1n+n e^{-nx}. \]Les deux termes sont strictement positifs. Ainsi :
\[ f_n'(x)\gt0 \qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]Question 3-a — Existence et unicité de \(\alpha_n\)
Montrer que l'équation :
\[ f_n(x)=0 \]admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \(\mathbb R\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f_n\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty. \]D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f_n(x)=0\) admet une solution. La stricte croissance assure son unicité.
Question 3-b — Signe de \(f_n(1/n)\)
Montrer que :
\[ f_n\left(\frac1n\right)\lt0. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On calcule :
\[ f_n\left(\frac1n\right) =\frac1{n^2}-e^{-1}. \]Comme \(n\ge2\),
\[ \frac1{n^2}\le\frac14. \]Or \(e\lt4\), donc \(1/e\gt1/4\). Ainsi :
\[ \frac1{n^2}-\frac1e\lt0. \]Question 3-c — Signe de \(f_n(1)\)
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x\ge x+1, \]puis en déduire que \(f_n(1)\gt0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ \varphi(x)=e^x-x-1. \]On a :
\[ \varphi'(x)=e^x-1. \]La fonction \(\varphi\) décroît sur \(]-\infty;0]\), puis croît sur \([0;+\infty[\), et \(\varphi(0)=0\). Ainsi :
\[ e^x\ge x+1. \]En prenant \(x=n\),
\[ e^n\ge n+1. \]Donc :
\[ e^{-n}\le\frac1{n+1}\lt\frac1n. \]Par conséquent :
\[ f_n(1)=\frac1n-e^{-n}\gt0. \]Question 3-d — Encadrement de \(\alpha_n\)
Montrer que :
\[ \frac1n\lt\alpha_n\lt1. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f_n\) est strictement croissante, et :
\[ f_n\left(\frac1n\right)\lt0, \qquad f_n(1)\gt0. \]Son unique zéro est donc situé entre \(1/n\) et \(1\).
Question 4 — Construction de \(\mathcal C_2\)
Tracer la courbe \(\mathcal C_2\). On donne :
\[ \alpha_2\approx0{,}6. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(n=2\),
\[ f_2(x)=\frac x2-e^{-2x}. \]La fonction est strictement croissante, passe par \(A(0;-1)\), coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse \(\alpha_2\approx0{,}60\), et admet au voisinage de \(+\infty\) l'asymptote :
\[ y=\frac x2. \]La courbe reste toujours au-dessous de cette asymptote.
La courbe \(\mathcal C_2\) est strictement croissante, coupe l'axe des abscisses en \(\alpha_2\approx0{,}60\), et s'approche par-dessous de l'asymptote \(y=x/2\) au voisinage de \(+\infty\).
Question 5-a — Calcul de \(f_{n+1}(\alpha_n)\)
Montrer que :
\[ f_{n+1}(\alpha_n) = \frac{n e^{-(n+1)\alpha_n}}{n+1} \left( e^{\alpha_n}-\frac1n-1 \right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme \(f_n(\alpha_n)=0\),
\[ \frac{\alpha_n}{n}=e^{-n\alpha_n}. \]Donc :
\[ \alpha_n=n e^{-n\alpha_n}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} f_{n+1}(\alpha_n) &=\frac{\alpha_n}{n+1}-e^{-(n+1)\alpha_n}\\ &=\frac{n e^{-n\alpha_n}}{n+1}-e^{-(n+1)\alpha_n}\\ &=\frac{n e^{-(n+1)\alpha_n}}{n+1} \left( e^{\alpha_n}-\frac{n+1}{n} \right)\\ &=\frac{n e^{-(n+1)\alpha_n}}{n+1} \left( e^{\alpha_n}-\frac1n-1 \right). \end{aligned} \]Question 5-b — Signe de \(f_{n+1}(\alpha_n)\)
En déduire que, pour tout \(n\ge2\),
\[ f_{n+1}(\alpha_n)\ge0. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
L'inégalité \(e^x\ge x+1\) donne :
\[ e^{\alpha_n}\ge1+\alpha_n. \]Or :
\[ \alpha_n\gt\frac1n. \]Ainsi :
\[ e^{\alpha_n} \gt 1+\frac1n. \]Le facteur placé devant les parenthèses dans la question précédente est strictement positif. Donc :
\[ \boxed{f_{n+1}(\alpha_n)\gt0.} \]En particulier, l'inégalité demandée \(f_{n+1}(\alpha_n)\ge0\) est vérifiée.
Question 5-c — Monotonie de \((\alpha_n)\)
Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\ge2}\) est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f_{n+1}\) est strictement croissante et s'annule en \(\alpha_{n+1}\).
Comme :
\[ f_{n+1}(\alpha_n)\ge0, \]on en déduit :
\[ \alpha_n\ge\alpha_{n+1}. \]La suite \((\alpha_n)_{n\ge2}\) est donc décroissante.
De plus, \(\alpha_n\gt0\). Elle est donc minorée par \(0\).
Question 6-a — Encadrement exponentiel
En utilisant le résultat de la question 3-d, montrer que :
\[ \frac1{n^2} \lt e^{-n\alpha_n} \lt \frac1n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La relation \(f_n(\alpha_n)=0\) donne :
\[ e^{-n\alpha_n}=\frac{\alpha_n}{n}. \]Or :
\[ \frac1n\lt\alpha_n\lt1. \]En divisant par \(n\gt0\), on obtient :
\[ \boxed{ \frac1{n^2} \lt e^{-n\alpha_n} \lt \frac1n.} \]Question 6-b — Encadrement de \(\alpha_n\)
En déduire que, pour tout \(n\ge2\),
\[ \frac{\ln n}{n} \lt \alpha_n \lt \frac{2\ln n}{n}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
En prenant le logarithme de l'encadrement précédent :
\[ -2\ln n \lt -n\alpha_n \lt -\ln n. \]En multipliant par \(-1\), les inégalités changent de sens :
\[ 2\ln n \gt n\alpha_n \gt \ln n. \]Enfin, on divise par \(n\gt0\) :
\[ \boxed{ \frac{\ln n}{n} \lt \alpha_n \lt \frac{2\ln n}{n}.} \]Question 6-c — Limite de \((\alpha_n)\)
Déterminer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\alpha_n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ 0 \lt \alpha_n \lt \frac{2\ln n}{n}. \]Or :
\[ \frac{2\ln n}{n}\longrightarrow0. \]Par encadrement :
Méthodes et résultats essentiels
- La stricte croissance de \(f_n\) assure l'unicité de son zéro.
- Les valeurs de \(f_n\) en \(1/n\) et en \(1\) fournissent un encadrement simple de \(\alpha_n\).
- Le signe de \(f_{n+1}(\alpha_n)\) permet de comparer deux zéros consécutifs.
- La relation \(e^{-n\alpha_n}=\alpha_n/n\) transforme l'encadrement de \(\alpha_n\) en un encadrement logarithmique plus précis.
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », problème 7, page imprimée 240. Examen national 2006 — session de rattrapage.
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