Correction détaillée du problème 8
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Première partie
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R_+\) par :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(x)=(x+2)e^{-2/x}\quad\text{si }x\gt0. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Première partie — Question 1-a
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ -\frac2x\to-\infty, \]donc :
\[ e^{-2/x}\to0. \]Le facteur \(x+2\) tend vers \(2\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}(x+2)e^{-2/x}=0=f(0). \]Première partie — Question 1-b
Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} \frac{f(x)-f(0)}x &= \frac{x+2}{x}e^{-2/x}\\ &= \left(1+\frac2x\right)e^{-2/x}. \end{aligned} \]Posons :
\[ t=\frac2x. \]Lorsque \(x\to0^+\), \(t\to+\infty\), et :
\[ \left(1+\frac2x\right)e^{-2/x} = (1+t)e^{-t}. \]Or l'exponentielle domine toute fonction polynomiale, donc :
\[ (1+t)e^{-t}\to0. \]Première partie — Question 1-c
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R_+\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{-2/x} + (x+2)e^{-2/x}\frac2{x^2}\\ &= e^{-2/x} \left( 1+\frac{2(x+2)}{x^2} \right). \end{aligned} \]Chaque facteur est strictement positif. Donc :
\[ f'(x)\gt0 \qquad\text{pour tout }x\gt0. \]Comme \(f\) est continue en \(0\),
Première partie — Question 2-a
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\),
\[ e^{-2/x}\to1 \qquad\text{et}\qquad x+2\to+\infty. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.} \]Première partie — Question 2-b
Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb R_+\),
\[ 0\le e^{-t}+t-1\le\frac{t^2}{2}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ \varphi(t)=e^{-t}+t-1. \]On a :
\[ \varphi'(t)=1-e^{-t}\ge0 \qquad(t\ge0). \]Comme \(\varphi(0)=0\),
\[ \varphi(t)\ge0. \]Posons ensuite :
\[ \psi(t)=\frac{t^2}{2}-\varphi(t). \]Alors :
\[ \psi'(t)=t+e^{-t}-1=\varphi(t)\ge0. \]Comme \(\psi(0)=0\),
\[ \psi(t)\ge0. \]Première partie — Question 2-c
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\),
\[ -\frac4x \le f(x)-x \le \frac4{x^2}-\frac2x. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Dans l'encadrement précédent, prenons :
\[ t=\frac2x. \]On obtient :
\[ 1-\frac2x \le e^{-2/x} \le 1-\frac2x+\frac2{x^2}. \]Comme \(x+2\gt0\), on peut multiplier les trois membres par \(x+2\).
Pour la minoration :
\[ \begin{aligned} f(x) &\ge (x+2)\left(1-\frac2x\right)\\ &=x-\frac4x. \end{aligned} \]Donc :
\[ f(x)-x\ge-\frac4x. \]Pour la majoration :
\[ \begin{aligned} f(x) &\le (x+2) \left( 1-\frac2x+\frac2{x^2} \right)\\ &=x-\frac2x+\frac4{x^2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ f(x)-x \le \frac4{x^2}-\frac2x. \]Première partie — Question 2-d
En déduire que la courbe \(\mathcal C\) admet une asymptote oblique \(D\), dont on déterminera une équation cartésienne.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\),
\[ -\frac4x\to0 \]et :
\[ \frac4{x^2}-\frac2x\to0. \]Par encadrement :
\[ f(x)-x\to0. \]De plus, pour \(x\gt2\),
\[ \frac4{x^2}-\frac2x\lt0. \]La courbe est donc située au-dessous de son asymptote au voisinage de \(+\infty\).
Première partie — Question 3
Tracer la droite \(D\) et la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe part de l'origine avec une demi-tangente horizontale, croît strictement sur \(\mathbb R_+\), puis se rapproche de la droite \(y=x\) par-dessous.
La courbe part de l'origine avec une demi-tangente horizontale, est strictement croissante et admet la droite \(y=x\) comme asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).
Deuxième partie
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R_+\) par :
\[ f_n(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f_n(x)= \left( x+\frac2n \right)e^{-2/x} \quad\text{si }x\gt0. \]Deuxième partie — Question 1
Montrer que \(f_n\) est dérivable à droite en \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} \frac{f_n(x)-f_n(0)}x &= \left( 1+\frac2{nx} \right)e^{-2/x}. \end{aligned} \]Posons \(t=2/x\). Alors :
\[ \left( 1+\frac2{nx} \right)e^{-2/x} = \left(1+\frac tn\right)e^{-t}. \]Lorsque \(x\to0^+\), \(t\to+\infty\), donc :
\[ \left(1+\frac tn\right)e^{-t}\to0. \]Deuxième partie — Question 2
Étudier les variations de \(f_n\) sur \(\mathbb R_+\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} f_n'(x) &= e^{-2/x} \left[ 1+\frac2{x^2} \left( x+\frac2n \right) \right]. \end{aligned} \]Chaque facteur est strictement positif. Ainsi :
\[ f_n'(x)\gt0 \qquad(x\gt0). \]Comme \(f_n\) est continue en \(0\),
De plus :
\[ f_n(0)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty. \]Deuxième partie — Question 3-a
Montrer que l'équation :
\[ f_n(x)=\frac2n \]admet une unique solution \(a_n\) dans \(\mathbb R_+\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f_n\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R_+\).
On a :
\[ f_n(0)=0\lt\frac2n \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty. \]Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution, et la stricte croissance assure son unicité.
Deuxième partie — Question 3-b
Montrer que, pour tout \(x\gt0\) et tout \(n\in\mathbb N^*\),
\[ f_{n+1}(x)-\frac2{n+1} \gt f_n(x)-\frac2n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x\gt0\),
\[ \begin{aligned} &\left( f_{n+1}(x)-\frac2{n+1} \right) - \left( f_n(x)-\frac2n \right)\\ &= \left( \frac2{n+1}-\frac2n \right)e^{-2/x} + \frac2n-\frac2{n+1}\\ &= \frac2{n(n+1)} \left( 1-e^{-2/x} \right). \end{aligned} \]Comme \(x\gt0\), on a \(0\lt e^{-2/x}\lt1\). Donc :
\[ \frac2{n(n+1)} \left( 1-e^{-2/x} \right) \gt0. \]Deuxième partie — Question 3-c
En déduire que la suite \((a_n)_{n\ge1}\) est décroissante, puis qu'elle est convergente. On note :
\[ a=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ F_n(x)=f_n(x)-\frac2n. \]La fonction \(F_n\) est strictement croissante et s'annule en \(a_n\).
En prenant \(x=a_n\) dans la question précédente :
\[ F_{n+1}(a_n)\gt F_n(a_n)=0. \]Comme \(F_{n+1}\) est strictement croissante et \(F_{n+1}(a_{n+1})=0\), on obtient :
\[ a_{n+1}\lt a_n. \]La suite \((a_n)\) est donc strictement décroissante. Comme \(a_n\gt0\), elle est minorée par \(0\).
Deuxième partie — Question 3-d
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\),
\[ na_n = 2e^{2/a_n}-2. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La relation \(f_n(a_n)=2/n\) donne :
\[ \left( a_n+\frac2n \right)e^{-2/a_n} = \frac2n. \]En multipliant par \(n\) :
\[ (na_n+2)e^{-2/a_n}=2. \]Donc :
\[ na_n+2=2e^{2/a_n}. \]Deuxième partie — Question 3-e
Montrer que :
\[ a=0. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Supposons, par l'absurde, que \(a\gt0\).
Comme \(a_n\to a\), on aurait :
\[ 2e^{2/a_n}-2 \longrightarrow 2e^{2/a}-2, \]qui est un nombre réel fini.
Mais la relation précédente donne :
\[ na_n=2e^{2/a_n}-2. \]Or \(a_n\to a\gt0\), donc :
\[ na_n\to+\infty. \]On obtient une contradiction.
Méthodes et résultats essentiels
- La substitution \(t=2/x\) permet d'étudier proprement la continuité et la dérivabilité à droite en \(0\).
- L'encadrement \(0\le e^{-t}+t-1\le t^2/2\) fournit l'asymptote oblique sans approximation en série.
- La comparaison des fonctions \(f_n(x)-2/n\) permet d'établir la décroissance de la suite des solutions \(a_n\).
- La relation \(na_n=2e^{2/a_n}-2\) permet de conclure que \(a_n\to0\).
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », problème 8, page imprimée 240. Examen national 2005 — session normale.
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