Correction du devoir 2 — Suite définie par une équation logarithmique — Al Moufid

Correction du devoir 2

Problème de synthèse — Logarithme népérien

2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation :
Ce devoir étudie une suite définie implicitement par l’équation \(x_n+\ln x_n=n\). La correction utilise la continuité et la stricte monotonie d’une fonction auxiliaire pour établir l’existence, l’unicité, la monotonie et la limite de la suite.

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Logarithme népérien

Manuel : Al Moufid

Rubrique : Se préparer aux devoirs

Devoir : 2

Thèmes : Bijection, suite implicite et limite

Méthode essentielle : transformer l’équation définissant chaque terme en une équation \(\varphi(x)=n\), étudier la bijectivité de \(\varphi\), puis utiliser sa stricte croissance pour comparer les termes successifs de la suite.

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Existence et unicité Monotonie et limite

Devoir 2 Suite définie par une équation logarithmique

Énoncé Pour chaque entier \(n\in\mathbb N^*\), on considère l’équation : \[ x+\ln x=n. \] 1) Montrer que cette équation admet une solution unique \(x_n\) dans \(]0,+\infty[\).
2) Montrer que la suite \((x_n)\) est croissante et non majorée, puis déterminer sa limite.

1 Existence et unicité de xₙ

Pour tout entier \(n\in\mathbb N^*\), montrer que l’équation : \[ x+\ln x=n \] admet une solution unique \(x_n\) dans \(]0,+\infty[\).

Correction

Considérons la fonction :

\[ \varphi(x)=x+\ln x, \qquad x\in]0,+\infty[. \]

La fonction \(\varphi\) est continue sur \(]0,+\infty[\).

Sa dérivée est :

\[ \varphi'(x)=1+\frac1x. \]

Pour tout \(x\gt0\), on a :

\[ \varphi'(x)\gt0. \]

Ainsi, \(\varphi\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

De plus :

\[ \lim_{x\to0^+}\varphi(x)=-\infty \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty. \]

Par conséquent, \(\varphi\) réalise une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\).

Pour tout entier \(n\in\mathbb N^*\), l’équation :

\[ \varphi(x)=n \]

admet donc une solution unique dans \(]0,+\infty[\). On la note \(x_n\).

En particulier :

\[ x_1=1, \]

car :

\[ 1+\ln1=1. \]

\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N^*,\ \exists!\,x_n\in]0,+\infty[ \text{ tel que }x_n+\ln x_n=n } \]

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2 Monotonie et limite de la suite

Montrer que la suite \((x_n)\) est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

Correction

Par définition :

\[ \varphi(x_n)=n \]

et :

\[ \varphi(x_{n+1})=n+1. \]

Comme :

\[ n+1\gt n, \]

on a :

\[ \varphi(x_{n+1})\gt\varphi(x_n). \]

Or \(\varphi\) est strictement croissante. Donc :

\[ x_{n+1}\gt x_n. \]

Ainsi, la suite \((x_n)\) est strictement croissante.

Montrons maintenant qu’elle n’est pas majorée.

Supposons, par l’absurde, qu’il existe un réel \(M\gt0\) tel que :

\[ x_n\le M \qquad\text{pour tout }n\in\mathbb N^*. \]

Comme \(\varphi\) est croissante, on aurait :

\[ n=\varphi(x_n)\le\varphi(M). \]

Le réel \(\varphi(M)\) étant fixe, cette inégalité est impossible pour tout entier \(n\) suffisamment grand.

La suite \((x_n)\) n’est donc pas majorée.

Une suite croissante et non majorée diverge vers \(+\infty\). Ainsi :

\[ \boxed{ (x_n)\text{ est strictement croissante et } \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty } \]

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Méthodes à retenir

• Une fonction continue et strictement monotone peut servir à définir une suite par une équation.
• La comparaison de \(\varphi(x_{n+1})\) et \(\varphi(x_n)\) permet de comparer \(x_{n+1}\) et \(x_n\).
• Une suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\).

Ressources liées

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Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt