Correction du devoir 3
Fonction réciproque de x ln x — Logarithme népérien
2e Bac Sciences Mathématiques
Ce devoir étudie la fonction \(f(x)=x\ln x\), puis la fonction réciproque de sa branche strictement croissante. Il permet de travailler les variations, la bijection, les limites logarithmiques et la symétrie des courbes de deux fonctions réciproques.
Devoir 3 Fonction réciproque et logarithme
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), et :
\[ f'(x)=\ln x+1. \]On a :
\[ f'(x)=0 \iff \ln x=-1 \iff x=e^{-1}. \]De plus :
\[ f'(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]0,e^{-1}[ \]et :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]e^{-1},+\infty[. \]Les valeurs et limites utiles sont :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0, \] \[ f(e^{-1}) = e^{-1}\ln(e^{-1}) = -e^{-1}, \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}x\ln x=+\infty. \]Sur \(]0,e^{-1}]\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(0\) vers \(-e^{-1}\).
Sur \([e^{-1},+\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(-e^{-1}\) vers \(+\infty\).
pour que l’unicité annoncée soit vraie, il faut préciser : \[ g:[-e^{-1},+\infty[\longrightarrow[e^{-1},+\infty[. \] Sans cette précision sur les valeurs de \(g\), l’équation possède deux solutions lorsque \(x\in]-e^{-1},0[\), et la fonction ne serait pas unique.
Considérons la restriction \(h\) de \(f\) à l’intervalle \([e^{-1},+\infty[\).
D’après la question précédente, \(h\) est continue et strictement croissante sur \([e^{-1},+\infty[\).
De plus :
\[ h(e^{-1})=-e^{-1} \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]Ainsi, \(h\) réalise une bijection de :
\[ [e^{-1},+\infty[ \]sur :
\[ [-e^{-1},+\infty[. \]Elle possède donc une fonction réciproque unique :
\[ g=h^{-1}: [-e^{-1},+\infty[ \longrightarrow [e^{-1},+\infty[. \]Par définition de la fonction réciproque :
\[ h(g(x))=x. \]Or \(h(t)=t\ln t\). Donc :
\[ g(x)\ln(g(x))=x. \]La fonction \(g\) est la réciproque d’une fonction continue et strictement croissante. Elle est donc elle-même continue et strictement croissante sur :
\[ [-e^{-1},+\infty[. \]Ses valeurs remarquables sont :
\[ g(-e^{-1})=e^{-1}, \] \[ g(0)=1, \]car \(1\ln1=0\), et :
\[ g(e)=e, \]car \(e\ln e=e\).
Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. \]La fonction \(g\) est strictement croissante sur \([-e^{-1},+\infty[\), de \(e^{-1}\) vers \(+\infty\).
Pour \(x\gt-e^{-1}\), le théorème de dérivation d’une fonction réciproque donne :
\[ g'(x) = \frac1{1+\ln(g(x))} \gt0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(g(x)\to+\infty\).
Pour \(x\) suffisamment grand, \(g(x)\gt1\), et la relation :
\[ x=g(x)\ln(g(x)) \]permet d’écrire :
\[ \ln x = \ln(g(x)) + \ln\big(\ln(g(x))\big). \]En divisant par \(\ln(g(x))\gt0\) :
\[ \frac{\ln x}{\ln(g(x))} = 1+ \frac{ \ln\big(\ln(g(x))\big) }{ \ln(g(x)) }. \]Posons :
\[ u=\ln(g(x)). \]Alors \(u\to+\infty\), et la limite usuelle :
\[ \lim_{u\to+\infty}\frac{\ln u}{u}=0 \]donne :
\[ \frac{ \ln\big(\ln(g(x))\big) }{ \ln(g(x)) } \longrightarrow0. \]La relation :
\[ x=g(x)\ln(g(x)) \]donne :
\[ \frac{g(x)\ln x}{x} = \frac{\ln x}{\ln(g(x))}. \]La question précédente permet donc de conclure immédiatement.
Les points remarquables sont :
\[ A\left(e^{-1},-e^{-1}\right)\in\mathcal C_f, \] \[ A'\left(-e^{-1},e^{-1}\right)\in\mathcal C_g, \] \[ (1,0)\in\mathcal C_f, \qquad (0,1)\in\mathcal C_g, \]et :
\[ (e,e)\in\mathcal C_f\cap\mathcal C_g. \]La courbe de \(g\) est la symétrique, par rapport à la droite \(y=x\), de la branche de \(\mathcal C_f\) correspondant à \(x\in[e^-1,+\infty[\). Les deux courbes se rencontrent au point \((e,e)\).
Méthodes à retenir
- Une fonction non injective sur tout son domaine peut devenir bijective après restriction à un intervalle de stricte monotonie.
- La fonction réciproque conserve le sens de variation d’une fonction strictement croissante.
- La relation définissant une fonction réciproque peut simplifier directement le calcul d’une limite.
- Les courbes de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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