Correction du problème 6
Fonctions exponentielles, symétrie et suite de points fixes
Se préparer aux examens — Examen national 2015, session de rattrapage
Problème 6 Se préparer aux examens
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f_n(x)=\frac1{1+e^{\frac32(n-x)}}. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f_n(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x), \]puis interpréter graphiquement les résultats.
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Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(n-x\to+\infty\), donc :
\[ e^{\frac32(n-x)}\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ f_n(x)\longrightarrow0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(n-x\to-\infty\), donc :
\[ e^{\frac32(n-x)}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f_n(x)\longrightarrow1. \]Les droites \(y=0\) et \(y=1\) sont des asymptotes horizontales à \(\mathcal C_n\), respectivement au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\).
Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis calculer \(f_n'(x)\).
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Posons :
\[ E(x)=e^{\frac32(n-x)}. \]Alors \(E'(x)=-\dfrac32E(x)\), et :
\[ \begin{aligned} f_n'(x) &= -\frac{E'(x)}{(1+E(x))^2}\\ &= \frac{ \frac32e^{\frac32(n-x)} }{ \left(1+e^{\frac32(n-x)}\right)^2 }. \end{aligned} \]Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ e^{\frac32(n-x)}>0. \]Le dénominateur de \(f_n'(x)\) est strictement positif. Donc :
\[ f_n'(x)>0. \]Montrer que le point :
\[ I_n\left(n,\frac12\right) \]est un centre de symétrie de la courbe \(\mathcal C_n\).
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Pour tout réel \(x\) :
\[ \begin{aligned} f_n(2n-x) &= \frac1{1+e^{\frac32(x-n)}}\\ &= \frac{e^{\frac32(n-x)}}{ 1+e^{\frac32(n-x)} }\\ &= 1-f_n(x). \end{aligned} \]Donc :
\[ f_n(2n-x)+f_n(x)=1. \]Les deux points de la courbe d’abscisses \(x\) et \(2n-x\) ont pour milieu :
\[ \boxed{ I_n\left(n,\frac12\right) }. \]Construire la courbe \(\mathcal C_1\).
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Pour \(n=1\) :
\[ f_1(x)=\frac1{1+e^{\frac32(1-x)}}. \]Les éléments essentiels du tracé sont :
- \(y=0\) est asymptote à gauche ;
- \(y=1\) est asymptote à droite ;
- \(f_1\) est strictement croissante ;
- \(I_1\left(1,\dfrac12\right)\) est un centre de symétrie ;
- \[ f_1'(1)=\frac38. \]
La courbe C₁ est strictement croissante, admet les asymptotes horizontales y = 0 et y = 1, et possède le centre de symétrie I₁(1, 1/2).
Montrer que l’équation :
\[ f_n(x)=x \]admet une unique solution \(u_n\) dans l’intervalle \(]0,n[\).
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Considérons :
\[ h_n(x)=f_n(x)-x. \]La fonction \(h_n\) est continue. De plus :
\[ f_n'(x) = \frac32f_n(x)\left(1-f_n(x)\right). \]Comme \(0\lt f_n(x)\lt 1\), on a :
\[ f_n(x)\left(1-f_n(x)\right)\le\frac14. \]Donc :
\[ f_n'(x)\le\frac38. \]Ainsi :
\[ h_n'(x) = f_n'(x)-1 \le -\frac58 \lt 0. \]La fonction \(h_n\) est strictement décroissante.
\[ h_n(0)=f_n(0)>0 \]et :
\[ h_n(n) = \frac12-n \lt 0. \]Le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution dans \(]0,n[\), et la stricte décroissance donne son unicité.
Montrer que :
\[ \forall n\in\mathbb N^*, \quad \forall x\in\mathbb R, \qquad f_{n+1}(x)\lt f_n(x). \]Lire la correction Masquer la correction
Pour tout réel \(x\) :
\[ \frac32(n+1-x) > \frac32(n-x). \]Donc :
\[ e^{\frac32(n+1-x)} > e^{\frac32(n-x)}. \]Par conséquent :
\[ 1+e^{\frac32(n+1-x)} > 1+e^{\frac32(n-x)}. \]Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
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Posons :
\[ h_{n+1}(x)=f_{n+1}(x)-x. \]Comme dans la question 3.a, \(h_{n+1}\) est strictement décroissante.
Or :
\[ f_{n+1}(u_n) \lt f_n(u_n) = u_n. \]Donc :
\[ h_{n+1}(u_n)\lt 0. \]D’autre part :
\[ h_{n+1}(0)=f_{n+1}(0)>0. \]L’unique zéro \(u_{n+1}\) de \(h_{n+1}\) appartient donc à \(]0,u_n[\).
\[ u_{n+1}\lt u_n. \]La suite est strictement décroissante et minorée par \(0\). Elle est donc convergente.
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]Lire la correction Masquer la correction
Posons :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Comme \(0\lt u_n\le u_1\), la suite est bornée. Donc :
\[ n-u_n\longrightarrow+\infty. \]Or :
\[ u_n = \frac1{ 1+e^{\frac32(n-u_n)} }. \]Ainsi :
\[ e^{\frac32(n-u_n)} \longrightarrow+\infty. \]Résultats essentiels
\[ \lim_{x\to-\infty}f_n(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=1. \] \[ I_n\left(n,\frac12\right) \text{ est un centre de symétrie de }\mathcal C_n. \] \[ f_{n+1}(x)\lt f_n(x), \qquad u_{n+1}\lt u_n. \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 }. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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