Correction du problème 6
Fonctions exponentielles, symétrie et suite de points fixes
Se préparer aux examens — Examen national 2015, session de rattrapage
Objectifs et parcours de résolution
Ce problème étudie une famille de fonctions à valeurs strictement comprises entre zéro et un. La forme exponentielle permet de calculer les limites, de démontrer la croissance et de reconnaître un centre de symétrie. Pour chaque entier, une équation de point fixe définit ensuite une unique solution. Le point essentiel est de comparer la pente de la fonction à celle de la droite \(y=x\), puis de suivre l’effet du passage de \(n\) à \(n+1\) sur les racines. Cette démarche conduit à une suite décroissante dont la limite est zéro.
Rappels de cours utiles
Pour \(n\ge1\), le dénominateur \(1+e^{\frac32(n-x)}\) est strictement supérieur à un. Ainsi, \(0\lt f_n(x)\lt1\). La dérivation de l’exposant introduit le facteur \(-3/2\), puis la dérivation de l’inverse change à nouveau le signe.
Un point \(I(a,b)\) est centre de symétrie d’une courbe lorsque le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\) et que \(f(2a-x)+f(x)=2b\). Ici le domaine est \(\mathbb R\).
Pour \(0\le t\le1\), \(t(1-t)=1/4-(t-1/2)^2\le1/4\). Cette identité donne \(0\lt f_n'(x)\le3/8\), puis \((f_n(x)-x)'\le-5/8\). La différence avec la droite est donc strictement décroissante, même si \(f_n\) est croissante.
Une suite décroissante et minorée converge. Pour déterminer sa limite dans une équation dépendant de \(n\), il faut aussi suivre le terme \(n-u_n\) : la bornitude de \(u_n\) implique qu’il tend vers \(+\infty\).
Problème 6 Se préparer aux examens
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f_n(x)=\frac1{1+e^{\frac32(n-x)}}. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f_n(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x), \]puis interpréter graphiquement les résultats.
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Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(n-x\to+\infty\), donc :
\[ e^{\frac32(n-x)}\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ f_n(x)\longrightarrow0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(n-x\to-\infty\), donc :
\[ e^{\frac32(n-x)}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f_n(x)\longrightarrow1. \]Les droites \(y=0\) et \(y=1\) sont des asymptotes horizontales à \(\mathcal C_n\), respectivement au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\).
Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis calculer \(f_n'(x)\).
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Posons :
\[ E(x)=e^{\frac32(n-x)}. \]Alors \(E'(x)=-\dfrac32E(x)\), et :
\[ \begin{aligned} f_n'(x) &= -\frac{E'(x)}{(1+E(x))^2}\\ &= \frac{ \frac32e^{\frac32(n-x)} }{ \left(1+e^{\frac32(n-x)}\right)^2 }. \end{aligned} \]Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ e^{\frac32(n-x)}>0. \]Le dénominateur de \(f_n'(x)\) est strictement positif. Donc :
\[ f_n'(x)>0. \]Montrer que le point :
\[ I_n\left(n,\frac12\right) \]est un centre de symétrie de la courbe \(\mathcal C_n\).
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Pour tout réel \(x\) :
\[ \begin{aligned} f_n(2n-x) &= \frac1{1+e^{\frac32(x-n)}}\\ &= \frac{e^{\frac32(n-x)}}{ 1+e^{\frac32(n-x)} }\\ &= 1-f_n(x). \end{aligned} \]Donc :
\[ f_n(2n-x)+f_n(x)=1. \]Les deux points de la courbe d’abscisses \(x\) et \(2n-x\) ont pour milieu :
\[ \boxed{ I_n\left(n,\frac12\right) }. \]Construire la courbe \(\mathcal C_1\).
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Pour \(n=1\) :
\[ f_1(x)=\frac1{1+e^{\frac32(1-x)}}. \]Les éléments essentiels du tracé sont :
- \(y=0\) est asymptote à gauche ;
- \(y=1\) est asymptote à droite ;
- \(f_1\) est strictement croissante ;
- \(I_1\left(1,\dfrac12\right)\) est un centre de symétrie ;
- \[ f_1'(1)=\frac38. \]
La courbe C₁ est strictement croissante, admet les asymptotes horizontales y = 0 et y = 1, et possède le centre de symétrie I₁(1, 1/2).
Montrer que l’équation :
\[ f_n(x)=x \]admet une unique solution \(u_n\) dans l’intervalle \(]0,n[\).
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Considérons :
\[ h_n(x)=f_n(x)-x. \]La fonction \(h_n\) est continue. De plus :
\[ f_n'(x) = \frac32f_n(x)\left(1-f_n(x)\right). \]Comme \(0\lt f_n(x)\lt 1\), on a :
\[ f_n(x)\left(1-f_n(x)\right)\le\frac14. \]Donc :
\[ f_n'(x)\le\frac38. \]Ainsi :
\[ h_n'(x) = f_n'(x)-1 \le -\frac58 \lt 0. \]La fonction \(h_n\) est strictement décroissante.
\[ h_n(0)=f_n(0)>0 \]et :
\[ h_n(n) = \frac12-n \lt 0. \]Le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution dans \(]0,n[\), et la stricte décroissance donne son unicité.
Montrer que :
\[ \forall n\in\mathbb N^*, \quad \forall x\in\mathbb R, \qquad f_{n+1}(x)\lt f_n(x). \]Lire la correction Masquer la correction
Pour tout réel \(x\) :
\[ \frac32(n+1-x) > \frac32(n-x). \]Donc :
\[ e^{\frac32(n+1-x)} > e^{\frac32(n-x)}. \]Par conséquent :
\[ 1+e^{\frac32(n+1-x)} > 1+e^{\frac32(n-x)}. \]Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
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Posons :
\[ h_{n+1}(x)=f_{n+1}(x)-x. \]Comme dans la question 3.a, \(h_{n+1}\) est strictement décroissante.
Or :
\[ f_{n+1}(u_n) \lt f_n(u_n) = u_n. \]Donc :
\[ h_{n+1}(u_n)\lt 0. \]D’autre part :
\[ h_{n+1}(0)=f_{n+1}(0)>0. \]L’unique zéro \(u_{n+1}\) de \(h_{n+1}\) appartient donc à \(]0,u_n[\).
\[ u_{n+1}\lt u_n. \]La suite est strictement décroissante et minorée par \(0\). Elle est donc convergente.
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]Lire la correction Masquer la correction
Posons :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Comme \(0\lt u_n\le u_1\), la suite est bornée. Donc :
\[ n-u_n\longrightarrow+\infty. \]Or :
\[ u_n = \frac1{ 1+e^{\frac32(n-u_n)} }. \]Ainsi :
\[ e^{\frac32(n-u_n)} \longrightarrow+\infty. \]Résultats essentiels
\[ \lim_{x\to-\infty}f_n(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=1. \] \[ I_n\left(n,\frac12\right) \text{ est un centre de symétrie de }\mathcal C_n. \] \[ f_{n+1}(x)\lt f_n(x), \qquad u_{n+1}\lt u_n. \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 }. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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