Correction de l’exercice 09
Systèmes logarithmiques — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Objectifs et parcours de résolution
Les quatorze systèmes logarithmiques de l’exercice 09 d’Al Moufid mettent l’accent sur le choix des variables et sur les conditions d’existence. Certains systèmes se ramènent à une somme et un produit ; d’autres se simplifient en utilisant les logarithmes des inconnues. Les restrictions de signe font partie de la résolution et doivent être conservées jusqu’à la vérification du couple final.
Repères de cours utiles
Tout logarithme impose la stricte positivité de son argument. Pour \(u>0\) et \(v>0\), on a \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) et \(\ln(u/v)=\ln u-\ln v\). La fonction \(\ln\) est injective sur \(]0;+\infty[\), et son inverse est la fonction exponentielle.
Le changement de variables \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\) s’utilise lorsque \(x>0\) et \(y>0\). On revient ensuite à \(x=e^X\) et \(y=e^Y\). Si \(x+y=s\) et \(xy=p\), les valeurs de \(x\) et \(y\) sont les racines de \(t^2-st+p=0\), puis les conditions initiales sélectionnent les couples admissibles.
Une équation obtenue par simplification n’est équivalente à l’équation initiale que si la simplification est autorisée. Conserver les restrictions sur les arguments, sur les dénominateurs et sur les signes, puis vérifier les couples retenus dans les deux équations de départ.
Méthode de travail sur ce sujet
Écrire d’abord les conditions imposées par chaque logarithme. Choisir ensuite entre le regroupement des logarithmes et le changement de variables, suivant la forme du système.
Après résolution du système transformé, revenir aux inconnues initiales et tester les deux équations. Si les inconnues sont les deux racines d’un même trinôme, examiner les deux ordres possibles du couple.
Cette page propose la correction détaillée des quatorze systèmes de l’exercice 09 du chapitre Logarithme népérien. Les systèmes sont traités dans l’ordre de lecture du manuel, de gauche à droite puis de haut en bas.
- Déterminer les conditions d’existence des logarithmes.
- Poser \(X=\ln x\) et \(Y=\ln y\) lorsque cela simplifie le système.
- Utiliser les relations somme-produit pour retrouver deux nombres.
- Revenir à \(x=e^X\) et \(y=e^Y\).
- Vérifier les signes imposés par les logarithmes.
Exercice 09 Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants
Les logarithmes imposent :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad y\gt0. \]On a :
\[ \ln x+\ln y=\ln(xy) \]et :
\[ 4\ln2=\ln(2^4)=\ln16. \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ xy=16. \]Les nombres \(x\) et \(y\) ont donc pour somme \(10\) et pour produit \(16\). Ils sont les racines de :
\[ t^2-10t+16=0. \]Or :
\[ t^2-10t+16=(t-2)(t-8). \]Ainsi :
\[ \{x,y\}=\{2,8\}. \]Les logarithmes imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
La deuxième équation donne :
\[ \ln(xy) = \ln4-\ln5 = \ln\left(\frac45\right). \]Donc :
\[ xy=\frac45. \]Comme \(x\gt0\), on peut écrire :
\[ y=\frac{4}{5x}. \]En remplaçant dans \(4x+5y=8\) :
\[ 4x+\frac4x=8. \]En multipliant par \(x\gt0\) :
\[ 4x^2-8x+4=0. \]Ainsi :
\[ (x-1)^2=0, \]d’où :
\[ x=1 \qquad\text{et}\qquad y=\frac45. \]Les conditions d’existence sont \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} X-Y=1,\\ X^2+Y^2=13. \end{cases} \]De \(X-Y=1\), on tire \(X=Y+1\). Ainsi :
\[ (Y+1)^2+Y^2=13. \]Donc :
\[ 2Y^2+2Y-12=0, \]soit :
\[ Y^2+Y-6=0. \]On factorise :
\[ (Y-2)(Y+3)=0. \]Ainsi :
\[ (X,Y)=(3,2) \quad\text{ou}\quad (X,Y)=(-2,-3). \]En revenant à \(x\) et \(y\) :
\[ (x,y)=(e^3,e^2) \quad\text{ou}\quad (x,y)=(e^{-2},e^{-3}). \]Les conditions d’existence sont \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Comme :
\[ \ln\left(\frac{x}{y}\right)=X-Y, \]le système devient :
\[ \begin{cases} X(X-Y)=3,\\ X-Y=2. \end{cases} \]En utilisant \(X-Y=2\) dans la première équation :
\[ 2X=3. \]Donc :
\[ X=\frac32 \qquad\text{et}\qquad Y=X-2=-\frac12. \]Ainsi :
\[ x=e^{\frac32} \qquad\text{et}\qquad y=e^{-\frac12}. \]La présence de \(\ln x\) et de \(\ln y\) impose \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} X+Y=-5,\\ XY=-14. \end{cases} \]Les nombres \(X\) et \(Y\) sont donc les racines de :
\[ t^2+5t-14=0. \]Or :
\[ t^2+5t-14=(t-2)(t+7). \]Ainsi :
\[ (X,Y)=(2,-7) \quad\text{ou}\quad (X,Y)=(-7,2). \]Donc :
\[ (x,y)=(e^2,e^{-7}) \quad\text{ou}\quad (x,y)=(e^{-7},e^2). \]Les logarithmes imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
La deuxième équation donne :
\[ \ln(xy) = \ln(e^2)+\ln3 = \ln(3e^2). \]Donc :
\[ xy=3e^2. \]Les nombres \(x\) et \(y\) devraient être les racines de :
\[ t^2-et+3e^2=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=e^2-12e^2=-11e^2\lt0. \]Cette équation n’admet aucune racine réelle. Le système n’a donc aucune solution réelle.
Les logarithmes imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
La deuxième équation donne :
\[ \ln(xy)=\ln4+\ln3=\ln12. \]Donc :
\[ xy=12. \]Or :
\[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+24=49. \]Comme \(x\gt0\) et \(y\gt0\), on a \(x+y\gt0\). Ainsi :
\[ x+y=7. \]Les nombres \(x\) et \(y\) sont donc les racines de :
\[ t^2-7t+12=0. \]Or :
\[ t^2-7t+12=(t-3)(t-4). \]Donc :
\[ \{x,y\}=\{3,4\}. \]Les conditions d’existence sont \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} 2X-Y=5,\\ X+Y=7. \end{cases} \]En additionnant les deux équations :
\[ 3X=12. \]Donc :
\[ X=4 \qquad\text{et}\qquad Y=3. \]Ainsi :
\[ x=e^4 \qquad\text{et}\qquad y=e^3. \]La présence de \(\ln x\) et de \(\ln y\) impose \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x,\qquad Y=\ln y,\qquad L=\ln2. \]Comme \(xy=2\), on a :
\[ X+Y=L. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} X+Y=L,\\ X^2+Y^2=\dfrac59L^2. \end{cases} \]Or :
\[ (X-Y)^2=2(X^2+Y^2)-(X+Y)^2. \]Donc :
\[ (X-Y)^2 = \frac{10}{9}L^2-L^2 = \frac19L^2. \]Comme \(L=\ln2\gt0\) :
\[ X-Y=\frac L3 \quad\text{ou}\quad X-Y=-\frac L3. \]Avec \(X+Y=L\), on obtient :
\[ (X,Y)=\left(\frac{2L}{3},\frac L3\right) \quad\text{ou}\quad (X,Y)=\left(\frac L3,\frac{2L}{3}\right). \]Ainsi :
\[ (x,y)=\left(2^{\frac23},2^{\frac13}\right) \quad\text{ou}\quad (x,y)=\left(2^{\frac13},2^{\frac23}\right). \]La deuxième équation impose \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} 5X+2Y=16,\\ 3X+3Y=15. \end{cases} \]La deuxième équation donne :
\[ X+Y=5. \]Donc \(Y=5-X\). En remplaçant dans la première équation :
\[ 5X+2(5-X)=16. \]Ainsi :
\[ 3X=6, \]d’où :
\[ X=2 \qquad\text{et}\qquad Y=3. \]Par conséquent :
\[ x=e^2 \qquad\text{et}\qquad y=e^3. \]Les conditions d’existence sont :
\[ x\neq0,\qquad y\gt0,\qquad xy\gt0. \]Comme \(y\gt0\) et \(xy\gt0\), on obtient \(x\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Comme \(x\gt0\), on a \(\ln(x^2)=2\ln x=2X\). Le système devient :
\[ \begin{cases} 2X+Y=11,\\ X^2-2(X+Y)=6. \end{cases} \]De la première équation :
\[ Y=11-2X. \]En remplaçant dans la deuxième :
\[ X^2-2\bigl(X+11-2X\bigr)=6. \]Donc :
\[ X^2+2X-28=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=4+112=116=4\times29. \]Ainsi :
\[ X=-1+\sqrt{29} \quad\text{ou}\quad X=-1-\sqrt{29}. \]Les valeurs correspondantes de \(Y\) sont :
\[ Y=13-2\sqrt{29} \quad\text{ou}\quad Y=13+2\sqrt{29}. \]Par conséquent :
\[ (x,y)=\left(e^{-1+\sqrt{29}},e^{13-2\sqrt{29}}\right) \]ou :
\[ (x,y)=\left(e^{-1-\sqrt{29}},e^{13+2\sqrt{29}}\right). \]Les conditions d’existence imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]On a :
\[ xy^2\sqrt{x}=x^{\frac32}y^2 \]et :
\[ \frac{x}{y\sqrt y}=\frac{x}{y^{\frac32}}. \]Le système devient donc :
\[ \begin{cases} \dfrac32X+2Y=10,\\ X-\dfrac32Y=1. \end{cases} \]En multipliant les deux équations par \(2\) :
\[ \begin{cases} 3X+4Y=20,\\ 2X-3Y=2. \end{cases} \]La résolution donne :
\[ Y=2 \qquad\text{et}\qquad X=4. \]Ainsi :
\[ x=e^4 \qquad\text{et}\qquad y=e^2. \]Les conditions d’existence imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
Posons :
\[ X=\ln x \qquad\text{et}\qquad Y=\ln y. \]Comme \(\ln\sqrt y=\dfrac12\ln y\), le système devient :
\[ \begin{cases} 3X+2Y=5,\\ X-2Y=-3. \end{cases} \]De la deuxième équation :
\[ X=2Y-3. \]En remplaçant dans la première :
\[ 3(2Y-3)+2Y=5. \]Donc :
\[ 8Y=14, \]d’où :
\[ Y=\frac74 \qquad\text{et}\qquad X=\frac12. \]Ainsi :
\[ x=e^{\frac12} \qquad\text{et}\qquad y=e^{\frac74}. \]Les logarithmes imposent :
\[ -x\gt0 \qquad\text{et}\qquad -y\gt0. \]Donc :
\[ x\lt0 \qquad\text{et}\qquad y\lt0. \]La deuxième équation donne :
\[ \ln\bigl((-x)(-y)\bigr)=\ln24. \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ xy=24. \]Alors :
\[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=52+48=100. \]Comme \(x\lt0\) et \(y\lt0\), on a \(x+y\lt0\). Donc :
\[ x+y=-10. \]Les nombres \(x\) et \(y\) sont les racines de :
\[ t^2+10t+24=0. \]Or :
\[ t^2+10t+24=(t+4)(t+6). \]Ainsi :
\[ \{x,y\}=\{-4,-6\}. \]Méthodes à retenir
- La relation \(\ln x+\ln y=\ln(xy)\) exige \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
- Les nombres de somme \(s\) et de produit \(p\) sont les racines de \(t^2-st+p=0\).
- Une substitution logarithmique transforme souvent le système en système algébrique.
- Lorsque \(\ln(-x)\) apparaît, on doit imposer \(x\lt0\).
- Un discriminant strictement négatif permet de conclure qu’un système n’a aucune solution réelle.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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