Correction des exercices 07 et 08 — Fonction logarithmique et inégalité — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction des exercices 07 et 08 — Fonction logarithmique et inégalité
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces deux exercices permettent d’aller au-delà des simples calculs logarithmiques. Dans l’exercice 07, le logarithme intervient dans la définition d’une fonction : il faut donc commencer par vérifier que son argument reste strictement positif, puis exploiter une identité algébrique pour étudier la parité de la fonction. L’exercice 08 met en jeu une autre idée essentielle du chapitre : puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), elle permet de transporter une inégalité entre nombres positifs vers une inégalité entre leurs logarithmes. Dans les deux exercices, la priorité reste la même : vérifier les conditions d’application avant d’utiliser une propriété de \(\ln\), puis interpréter la transformation obtenue.
Exercice 07 — Domaine de définition et parité
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \]
1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).
2. Montrer que la fonction \(g\) est impaire.
Une expression de la forme \(\ln(u(x))\) n’est définie que lorsque \(u(x)\gt0\). La première question consiste donc à étudier le signe de l’expression \(x+\sqrt{x^2+1}\).
Pour étudier ensuite l’imparité d’une fonction, il faut d’abord que son domaine soit symétrique par rapport à \(0\), puis vérifier que \(g(-x)=-g(x)\). Ici, l’identité obtenue grâce au produit de deux expressions conjuguées permet précisément de transformer l’argument de \(g(-x)\).
Question 1 — Domaine de définition
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La notion à reconnaître est immédiatement la condition d’existence d’un logarithme. Il faut donc montrer que son argument est strictement positif.
La fonction \(g\) est définie lorsque :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]La correction compare \(\sqrt{x^2+1}\) à \(|x|\). Cette comparaison est possible car \(x^2+1\gt x^2\), et les deux quantités sont positives.
Or, pour tout réel \(x\), on a :
\[ \sqrt{x^2+1}\gt\sqrt{x^2}=|x|. \]Donc :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt x+|x|. \]Il reste alors à distinguer les deux formes prises par la valeur absolue suivant le signe de \(x\).
Si \(x\ge0\), alors \(x+|x|=2x\ge0\), et comme l’inégalité précédente est stricte :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]Si \(x\lt0\), alors \(x+|x|=0\), et l’on a encore :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]Ainsi, l’argument du logarithme est strictement positif pour tout réel \(x\).
Question 2 — Parité de la fonction
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La première condition nécessaire à l’étude de la parité est déjà vérifiée : d’après la question précédente, \(D_g=\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à \(0\). Il reste donc à comparer \(g(-x)\) et \(-g(x)\).
D’après la question précédente, la fonction \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à \(0\).
Pour tout réel \(x\), on a :
\[ g(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \]L’expression obtenue ne ressemble pas encore directement à \(-g(x)\). La correction utilise alors le produit des expressions conjuguées :
\[ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right) \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1. \]Donc :
\[ \sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}. \]D’après la première question, \(x+\sqrt{x^2+1}\gt0\). Son inverse est donc également strictement positif, ce qui permet d’appliquer la propriété logarithmique correspondante.
Ainsi :
\[ \begin{aligned} g(-x) &= \ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\\ &= -\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\ &= -g(x). \end{aligned} \]Par conséquent, \(g\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 08 — Inégalité logarithmique et cas particulier
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.
1. Montrer que :
\[ \frac12(\ln a+\ln b) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \]2. On suppose que :
\[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac12(\ln a+\ln b), \]et on pose \(\lambda=\dfrac ab\). Montrer que :
\[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0, \]puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\).
Le point essentiel du cours utilisé ici est la stricte croissance de la fonction \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\). Ainsi, si deux nombres \(u\) et \(v\) sont strictement positifs et si \(u\le v\), alors :
\[ \ln u\le\ln v. \]De même, pour \(u\gt0\) et \(v\gt0\), l’égalité \(\ln u=\ln v\) entraîne \(u=v\). Cette injectivité sera utilisée dans la deuxième question.
L’inégalité arithmético-géométrique \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) utilisée dans la première question constitue le point de départ de la correction ; la propriété du logarithme intervient ensuite pour transformer cette inégalité.
Question 1 — Démonstration de l’inégalité
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L’objectif est de comparer deux expressions logarithmiques. La correction commence donc par établir une comparaison entre leurs arguments avant d’appliquer la croissance de \(\ln\).
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on peut utiliser l’inégalité arithmético-géométrique :
\[ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}. \]Les deux membres sont strictement positifs. On peut donc appliquer la fonction \(\ln\). Comme celle-ci est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), le sens de l’inégalité est conservé :
\[ \ln(\sqrt{ab}) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \]Il reste à transformer le membre de gauche à l’aide des propriétés algébriques du logarithme.
Or :
\[ \ln(\sqrt{ab}) = \ln\left((ab)^{\frac12}\right) = \frac12\ln(ab) = \frac12(\ln a+\ln b). \]Par conséquent :
Question 2 — Détermination de \(\lambda\)
On suppose que :
\[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac12(\ln a+\ln b), \]et on pose :
\[ \lambda=\frac ab. \]Montrer que :
\[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0, \]puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\).
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La première étape consiste à vérifier que les logarithmes concernés ont bien des arguments strictement positifs. Les hypothèses \(a\gt0\) et \(b\gt0\) le garantissent.
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a :
\[ \frac{a+2b}{3}\gt0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{ab}\gt0. \]De plus :
\[ \frac12(\ln a+\ln b)=\ln(\sqrt{ab}). \]L’égalité donnée devient donc :
\[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right)=\ln(\sqrt{ab}). \]Les deux arguments étant strictement positifs, on peut utiliser l’injectivité de la fonction \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\).
\[ \frac{a+2b}{3}=\sqrt{ab}. \]L’introduction de \(\lambda=\dfrac ab\) vise maintenant à éliminer \(a\) et \(b\) au profit d’une seule inconnue. Comme \(b\gt0\), la division par \(b\) est autorisée.
\[ \frac{\frac ab+2}{3}=\sqrt{\frac ab}. \]Or \(\lambda=\dfrac ab\), donc :
\[ \frac{\lambda+2}{3}=\sqrt{\lambda}. \]Ainsi :
\[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0. \]Puisque \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a \(\lambda=\dfrac ab\gt0\). La racine \(\sqrt{\lambda}\) est donc bien définie et strictement positive.
Posons :
\[ X=\sqrt{\lambda}. \]Comme \(\lambda\gt0\), on a \(X\gt0\). L’équation devient :
\[ X^2-3X+2=0. \]On factorise :
\[ (X-1)(X-2)=0. \]Donc :
\[ X=1 \quad\text{ou}\quad X=2. \]Par conséquent :
\[ \lambda=1 \quad\text{ou}\quad \lambda=4. \]À retenir
Ces exercices montrent deux usages importants du logarithme népérien. Lorsqu’il intervient dans la définition d’une fonction, il faut d’abord contrôler strictement la positivité de son argument ; cette étude peut ensuite fournir des informations utiles pour la parité. Lorsqu’il intervient dans une inégalité, sa stricte croissance sur \(]0,+\infty[\) permet de conserver l’ordre entre deux arguments positifs. Enfin, dans une égalité de logarithmes, l’injectivité de \(\ln\) permet de revenir à une égalité entre les arguments, à condition que ceux-ci soient bien définis. Le réflexe essentiel reste donc : vérifier les conditions, identifier la propriété du cours, puis seulement effectuer les transformations algébriques.
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