Correction des exercices 07 et 08 — Fonction logarithmique et inégalité — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction des exercices 07 et 08

Fonction logarithmique et inégalité — Al Moufid

2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation :
Cette page propose une correction détaillée des exercices 07 et 08 du chapitre Logarithme népérien. Le premier exercice porte sur le domaine de définition et la parité d’une fonction logarithmique. Le second utilise la croissance de \(\ln\) et l’inégalité arithmético-géométrique.

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Logarithme népérien

Manuel : Al Moufid

Exercices : 07 et 08

Partie : Exercices d’application

Thème : Domaine, parité et inégalité logarithmique

Méthodes essentielles :

1. Vérifier que l’argument du logarithme est strictement positif.
2. Pour montrer qu’une fonction est impaire, calculer \(g(-x)\) et comparer à \(-g(x)\).
3. Utiliser la croissance de \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\).
4. Transformer une égalité logarithmique en égalité entre les arguments.
5. Introduire une variable auxiliaire lorsque l’équation contient \(\sqrt{\lambda}\).

Accès rapide

Exercice 07 Exercice 08

Exercice 07 Domaine de définition et parité

Énoncé Soit \(g\) la fonction définie par : \[ g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \] 1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).
2. Montrer que la fonction \(g\) est impaire.

1 Domaine de définition

Déterminer le domaine de définition de la fonction : \[ g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \]

Correction

La fonction \(g\) est définie lorsque :

\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]

Or, pour tout réel \(x\), on a :

\[ \sqrt{x^2+1}\gt\sqrt{x^2}=|x|. \]

Donc :

\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt x+|x|. \]

Si \(x\ge0\), alors \(x+|x|=2x\ge0\), et comme l’inégalité précédente est stricte :

\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]

Si \(x\lt0\), alors \(x+|x|=0\), et l’on a encore :

\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]

Ainsi, l’argument du logarithme est strictement positif pour tout réel \(x\).

\[\boxed{D_g=\mathbb{R}}\]

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2 Parité de la fonction

Montrer que la fonction \(g\) est impaire.

Correction

D’après la question précédente, la fonction \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à \(0\).

Pour tout réel \(x\), on a :

\[ g(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \]

Or :

\[ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right) \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1. \]

Donc :

\[ \sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} g(-x) &= \ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\\ &= -\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\ &= -g(x). \end{aligned} \]

Par conséquent, \(g\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).

\[\boxed{g(-x)=-g(x)\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}}\]

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Exercice 08 Inégalité logarithmique et cas particulier

Énoncé Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.

1. Montrer que : \[ \frac12(\ln a+\ln b) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \] 2. On suppose que : \[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac12(\ln a+\ln b), \] et on pose \(\lambda=\dfrac ab\). Montrer que : \[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0, \] puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\).

1 Démonstration de l’inégalité

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. Montrer que : \[ \frac12(\ln a+\ln b) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \]

Correction

Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on peut utiliser l’inégalité arithmético-géométrique :

\[ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}. \]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). On obtient donc :

\[ \ln(\sqrt{ab}) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \]

Or :

\[ \ln(\sqrt{ab}) = \ln\left((ab)^{\frac12}\right) = \frac12\ln(ab) = \frac12(\ln a+\ln b). \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ \frac12(\ln a+\ln b) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) } \]

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2 Détermination de \(\lambda\)

On suppose que : \[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac12(\ln a+\ln b), \] et on pose : \[ \lambda=\frac ab. \] Montrer que : \[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0, \] puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\).

Correction

Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a :

\[ \frac{a+2b}{3}\gt0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{ab}\gt0. \]

De plus :

\[ \frac12(\ln a+\ln b)=\ln(\sqrt{ab}). \]

L’égalité donnée devient donc :

\[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right)=\ln(\sqrt{ab}). \]

Par injectivité de la fonction \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\), on obtient :

\[ \frac{a+2b}{3}=\sqrt{ab}. \]

Comme \(b\gt0\), on divise les deux membres par \(b\) :

\[ \frac{\frac ab+2}{3}=\sqrt{\frac ab}. \]

Or \(\lambda=\dfrac ab\), donc :

\[ \frac{\lambda+2}{3}=\sqrt{\lambda}. \]

Ainsi :

\[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0. \]

Posons :

\[ X=\sqrt{\lambda}. \]

Comme \(\lambda\gt0\), on a \(X\gt0\). L’équation devient :

\[ X^2-3X+2=0. \]

On factorise :

\[ (X-1)(X-2)=0. \]

Donc :

\[ X=1 \quad\text{ou}\quad X=2. \]

Par conséquent :

\[ \lambda=1 \quad\text{ou}\quad \lambda=4. \]

\[\boxed{\lambda\in\{1,4\}}\]

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Méthodes à retenir

• L’inégalité \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) est valable pour \(a\gt0\) et \(b\gt0\).
• La croissance de \(\ln\) permet de conserver le sens d’une inégalité entre deux nombres strictement positifs.
• Pour la fonction \(g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\), l’identité \[ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1 \] permet d’établir la parité.
• Une équation en \(\sqrt{\lambda}\) se ramène à une équation du second degré en posant \(X=\sqrt{\lambda}\).

Ressources liées

Correction des exercices 05 et 06 Correction des exercices 01 à 04 Exercices résolus — Al Moufid

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt