Correction des exercices 07 et 08 — Fonction logarithmique et inégalité — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction des exercices 07 et 08
Fonction logarithmique et inégalité — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose une correction détaillée des exercices 07 et 08 du chapitre Logarithme népérien. Le premier exercice porte sur le domaine de définition et la parité d’une fonction logarithmique. Le second utilise la croissance de \(\ln\) et l’inégalité arithmético-géométrique.
- Vérifier que l’argument du logarithme est strictement positif.
- Pour montrer qu’une fonction est impaire, calculer \(g(-x)\) et comparer à \(-g(x)\).
- Utiliser la croissance de \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\).
- Transformer une égalité logarithmique en égalité entre les arguments.
- Introduire une variable auxiliaire lorsque l’équation contient \(\sqrt{\lambda}\).
Exercice 07 Domaine de définition et parité
2. Montrer que la fonction \(g\) est impaire.
La fonction \(g\) est définie lorsque :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]Or, pour tout réel \(x\), on a :
\[ \sqrt{x^2+1}\gt\sqrt{x^2}=|x|. \]Donc :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt x+|x|. \]Si \(x\ge0\), alors \(x+|x|=2x\ge0\), et comme l’inégalité précédente est stricte :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]Si \(x\lt0\), alors \(x+|x|=0\), et l’on a encore :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]Ainsi, l’argument du logarithme est strictement positif pour tout réel \(x\).
D’après la question précédente, la fonction \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à \(0\).
Pour tout réel \(x\), on a :
\[ g(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \]Or :
\[ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right) \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1. \]Donc :
\[ \sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} g(-x) &= \ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\\ &= -\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\ &= -g(x). \end{aligned} \]Par conséquent, \(g\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 08 Inégalité logarithmique et cas particulier
1. Montrer que : \[ \frac12(\ln a+\ln b) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \] 2. On suppose que : \[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac12(\ln a+\ln b), \] et on pose \(\lambda=\dfrac ab\). Montrer que : \[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0, \] puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\).
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on peut utiliser l’inégalité arithmético-géométrique :
\[ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}. \]La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). On obtient donc :
\[ \ln(\sqrt{ab}) \le \ln\left(\frac{a+b}{2}\right). \]Or :
\[ \ln(\sqrt{ab}) = \ln\left((ab)^{\frac12}\right) = \frac12\ln(ab) = \frac12(\ln a+\ln b). \]Par conséquent :
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a :
\[ \frac{a+2b}{3}\gt0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{ab}\gt0. \]De plus :
\[ \frac12(\ln a+\ln b)=\ln(\sqrt{ab}). \]L’égalité donnée devient donc :
\[ \ln\left(\frac{a+2b}{3}\right)=\ln(\sqrt{ab}). \]Par injectivité de la fonction \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\), on obtient :
\[ \frac{a+2b}{3}=\sqrt{ab}. \]Comme \(b\gt0\), on divise les deux membres par \(b\) :
\[ \frac{\frac ab+2}{3}=\sqrt{\frac ab}. \]Or \(\lambda=\dfrac ab\), donc :
\[ \frac{\lambda+2}{3}=\sqrt{\lambda}. \]Ainsi :
\[ \lambda-3\sqrt{\lambda}+2=0. \]Posons :
\[ X=\sqrt{\lambda}. \]Comme \(\lambda\gt0\), on a \(X\gt0\). L’équation devient :
\[ X^2-3X+2=0. \]On factorise :
\[ (X-1)(X-2)=0. \]Donc :
\[ X=1 \quad\text{ou}\quad X=2. \]Par conséquent :
\[ \lambda=1 \quad\text{ou}\quad \lambda=4. \]Méthodes à retenir
- L’inégalité \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) est valable pour \(a\gt0\) et \(b\gt0\).
- La croissance de \(\ln\) permet de conserver le sens d’une inégalité entre deux nombres strictement positifs.
- Pour la fonction \(g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\), l’identité \[ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1 \] permet d’établir la parité.
- Une équation en \(\sqrt{\lambda}\) se ramène à une équation du second degré en posant \(X=\sqrt{\lambda}\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire