Correction de l’exercice 10 — Équations et inéquations logarithmiques — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction de l’exercice 10 — Équations et inéquations logarithmiques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice permet de réunir plusieurs techniques fondamentales du chapitre Logarithme népérien. Les premières questions concernent des équations : selon leur forme, il faut utiliser les propriétés de \(\ln\), son injectivité ou effectuer la substitution \(X=\ln x\). Les questions suivantes portent sur des inéquations et demandent une attention encore plus grande au domaine de définition et aux signes. En effet, avant de comparer deux logarithmes ou d’étudier le signe d’un quotient, il faut vérifier que toutes les expressions sont définies. La dernière question illustre enfin une règle importante dans l’exploitation d’un énoncé : on travaille avec les données effectivement fournies, même lorsqu’elles conduisent à une réponse particulièrement simple.
La fonction logarithme népérien est définie sur \(]0,+\infty[\) et elle y est strictement croissante. Ainsi, lorsque \(u\gt0\) et \(v\gt0\) :
\[ \ln u=\ln v\iff u=v, \]et :
\[ \ln u\le\ln v\iff u\le v. \]On utilisera également le signe du logarithme. Pour \(u\gt0\) :
\[ \ln u\ge0\iff u\ge1. \]Ces propriétés ne peuvent être utilisées qu’après vérification des conditions d’existence des logarithmes concernés.
Pour chaque équation ou inéquation, on commence par déterminer le domaine. On choisit ensuite la transformation adaptée : propriétés algébriques de \(\ln\), injectivité, stricte croissance, substitution \(X=\ln x\), ou étude de signe. Les résultats obtenus sont enfin confrontés au domaine initial afin d’éliminer toute valeur interdite.
Exercice 10 — Équations et inéquations logarithmiques
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les trois équations proposées.
2. Résoudre les six inéquations proposées.
3. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\)
vérifiant l’inégalité donnée.
1. Résolution des équations
1.1 — Première équation
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La première difficulté n’est pas le calcul mais le domaine. Les trois logarithmes doivent exister. En particulier, l’argument \(\sqrt{x-1}\) du premier logarithme doit être strictement positif et pas seulement défini.
Les conditions d’existence sont :
\[ \sqrt{x-1}\gt0, \qquad 3-x\gt0, \qquad x-1\gt0. \]On obtient donc :
\[ 1\lt x\lt3. \]Sur cet intervalle, \(x-1\gt0\). La propriété relative à la racine carrée peut donc être utilisée :
\[ \ln\left(\sqrt{x-1}\right) = \frac12\ln(x-1). \]L’équation devient :
\[ \frac12\ln(x-1) = \ln(3-x)-\frac12\ln(x-1). \]Ainsi :
\[ \ln(x-1)=\ln(3-x). \]Les deux arguments sont strictement positifs sur le domaine déterminé. L’injectivité de \(\ln\) est donc applicable.
\[ x-1=3-x. \]Donc :
\[ x=2. \]Cette valeur appartient bien à \(]1,3[\).
1.2 — Deuxième équation
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L’expression est un polynôme en \(\ln x\). On commence par imposer \(x\gt0\), puis la substitution \(X=\ln x\) permet de ramener la question à une équation algébrique classique.
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]L’équation devient :
\[ X^3-3X^2-6X+8=0. \]On remarque que \(X=1\) est une racine. On factorise :
\[ X^3-3X^2-6X+8 = (X-1)(X^2-2X-8). \]Or :
\[ X^2-2X-8=(X-4)(X+2). \]Ainsi :
\[ (X-1)(X-4)(X+2)=0. \]Donc :
\[ X=-2, \qquad X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=4. \]Il faut maintenant revenir à l’inconnue initiale. Comme \(X=\ln x\), on obtient :
\[ x=e^{-2}, \qquad x=e \qquad\text{ou}\qquad x=e^4. \]1.3 — Troisième équation
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Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, mais l’argument d’un logarithme doit être strictement positif. Il faut donc exclure toutes les valeurs qui annulent l’une des expressions placées sous les logarithmes.
Les conditions d’existence sont :
\[ x\neq1, \qquad x\neq-2 \qquad\text{et}\qquad 4x^2+3x-7\neq0. \]Or :
\[ 4x^2+3x-7=(x-1)(4x+7). \]Il faut donc également que :
\[ x\neq-\frac74. \]Sur ce domaine, les arguments des logarithmes sont strictement positifs et les propriétés algébriques de \(\ln\) peuvent être utilisées.
\[ \ln\bigl(|x-1||x+2|\bigr) = \ln\bigl(|x-1||4x+7|\bigr). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ |x-1||x+2| = |x-1||4x+7|. \]Comme \(x\neq1\), on a \(|x-1|\gt0\), ce qui autorise la division :
\[ |x+2|=|4x+7|. \]Donc :
\[ x+2=4x+7 \quad\text{ou}\quad x+2=-(4x+7). \]On obtient :
\[ x=-\frac53 \quad\text{ou}\quad x=-\frac95. \]Ces deux valeurs appartiennent au domaine de définition.
2. Résolution des inéquations
2.1 — Première inéquation
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Pour comparer les deux logarithmes, leurs arguments doivent d’abord être strictement positifs.
Les conditions d’existence sont :
\[ x^2-2x\gt0 \qquad\text{et}\qquad x\gt0. \]Comme \(x^2-2x=x(x-2)\), on obtient :
\[ x\gt2. \]Sur ce domaine, les deux logarithmes existent. Comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante, le sens de l’inégalité est conservé :
\[ \ln(x^2-2x)\le\ln x \iff x^2-2x\le x. \]Donc :
\[ x^2-3x\le0 \iff x(x-3)\le0. \]Ainsi :
\[ 0\le x\le3. \]En tenant compte du domaine \(x\gt2\), on obtient :
2.2 — Deuxième inéquation
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Cette inéquation est un trinôme en \(\ln x\). Comme pour l’équation précédente, la substitution \(X=\ln x\) permet de résoudre d’abord une inéquation algébrique.
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]L’inéquation devient :
\[ X^2+X-2\gt0. \]On factorise :
\[ (X+2)(X-1)\gt0. \]Ainsi :
\[ X\lt-2 \quad\text{ou}\quad X\gt1. \]Donc :
\[ \ln x\lt-2 \quad\text{ou}\quad \ln x\gt1. \]Comme \(\ln\) est strictement croissante :
\[ 0\lt x\lt e^{-2} \quad\text{ou}\quad x\gt e. \]2.3 — Troisième inéquation
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Le cours donne le signe de \(\ln u\) selon la position de \(u\) par rapport à \(1\). Ici, la condition \(u\ge1\) garantit en même temps que \(u\) est strictement positif.
Pour tout réel \(u\gt0\), on a :
\[ \ln u\ge0 \iff u\ge1. \]L’inéquation équivaut donc à :
\[ \frac{3x-7}{4x+5}\ge1. \]Ainsi :
\[ \frac{3x-7-(4x+5)}{4x+5}\ge0, \]soit :
\[ \frac{-x-12}{4x+5}\ge0. \]Cette inéquation équivaut à :
\[ \frac{x+12}{4x+5}\le0. \]Les valeurs critiques sont :
\[ -12 \qquad\text{et}\qquad -\frac54. \]L’étude du signe du quotient donne l’intervalle compris entre ces deux valeurs, avec exclusion de celle qui annule le dénominateur.
2.4 — Quatrième inéquation
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Cette fois, il faut combiner trois types de conditions : existence de \(\ln x\), existence de \(\ln|x-2|\) et non-nullité du dénominateur.
Les conditions d’existence sont :
\[ x\gt0, \qquad x\neq2 \qquad\text{et}\qquad 3+\ln x\neq0. \]Donc :
\[ x\neq e^{-3}. \]Étudions le signe du numérateur :
\[ \ln|x-2|\gt0 \iff |x-2|\gt1. \]Ainsi :
\[ \ln|x-2|\gt0 \iff 0\lt x\lt1 \quad\text{ou}\quad x\gt3. \]De plus :
\[ 3+\ln x\gt0 \iff x\gt e^{-3}. \]Le quotient est strictement positif lorsque le numérateur et le dénominateur ont le même signe. Le cas où ils seraient tous les deux négatifs est impossible puisque :
\[ \ln|x-2|\lt0 \implies 1\lt x\lt3. \]On obtient donc :
2.5 — Cinquième inéquation
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Le signe du logarithme permet ici de supprimer directement le logarithme et de transformer le problème en une inéquation avec valeur absolue.
Pour tout réel \(u\neq0\) :
\[ \ln|u|\ge0 \iff |u|\ge1. \]On doit donc résoudre :
\[ |3x^2+7x+3|\ge1. \]Cela équivaut à :
\[ 3x^2+7x+3\ge1 \quad\text{ou}\quad 3x^2+7x+3\le-1. \]Premier cas :
\[ 3x^2+7x+2\ge0. \]Or :
\[ 3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2). \]Donc :
\[ x\le-2 \quad\text{ou}\quad x\ge-\frac13. \]Deuxième cas :
\[ 3x^2+7x+4\le0. \]Or :
\[ 3x^2+7x+4=(3x+4)(x+1). \]Donc :
\[ -\frac43\le x\le-1. \]Finalement :
2.6 — Sixième inéquation
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Les deux valeurs absolues placées sous des logarithmes doivent être strictement positives. On commence donc par exclure leurs zéros.
Les conditions d’existence sont :
\[ x\neq0 \qquad\text{et}\qquad x\neq-\frac23. \]On a :
\[ -\ln|3x+2| = \ln\left(\frac1{|3x+2|}\right). \]Les deux arguments étant strictement positifs sur le domaine, la stricte croissance de \(\ln\) permet de comparer directement les arguments :
\[ |x| < \frac1{|3x+2|}. \]Comme \(|3x+2|\gt0\), on obtient :
\[ |x||3x+2|\lt1, \]soit :
\[ |3x^2+2x|\lt1. \]Cette double inégalité équivaut à :
\[ -1\lt3x^2+2x\lt1. \]La première inégalité est toujours vraie, car :
\[ 3x^2+2x+1\gt0 \]pour tout réel \(x\), son discriminant étant négatif.
La seconde donne :
\[ 3x^2+2x-1\lt0. \]Or :
\[ 3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1). \]Donc :
\[ -1\lt x\lt\frac13. \]En retirant les valeurs interdites \(0\) et \(-\dfrac23\), on obtient :
3. Recherche du plus petit entier naturel
Question 3
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Il suffit ici d’observer que la base \(1,07\) est supérieure à \(1\). Pour tout entier naturel \(n\), sa puissance est donc au moins égale à \(1\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a :
\[ \left(1+\frac7{100}\right)^n = (1,07)^n \ge1. \]Par conséquent :
\[ 25(1,07)^n\ge25. \]Or :
\[ 25\gt4. \]L’inégalité est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(0\in\mathbb{N}\), le plus petit entier naturel convenable est :
À retenir
Dans une équation ou une inéquation logarithmique, la détermination du domaine n’est jamais une formalité : elle conditionne toutes les transformations suivantes. Une égalité de logarithmes peut être ramenée à une égalité entre leurs arguments grâce à l’injectivité de \(\ln\), tandis que sa stricte croissance permet de conserver l’ordre dans une inégalité. Lorsque plusieurs puissances de \(\ln x\) apparaissent, la substitution \(X=\ln x\) ramène souvent le problème à une équation ou une inéquation polynomiale. Enfin, dans les expressions rationnelles ou contenant des valeurs absolues, les valeurs interdites et les études de signe doivent être conservées jusqu’à la conclusion. La solution finale est toujours l’intersection entre les résultats du calcul et les conditions établies au départ.
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