Correction de l’exercice 10 — Équations et inéquations logarithmiques — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction de l’exercice 10
Équations et inéquations logarithmiques — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose une correction détaillée de l’exercice 10 du chapitre Logarithme népérien. L’exercice comporte trois équations, six inéquations et une question portant sur la recherche d’un plus petit entier naturel.
- Déterminer le domaine avant toute transformation.
- Utiliser la stricte croissance et l’injectivité de \(\ln\).
- Poser \(X=\ln x\) pour les équations polynomiales en \(\ln x\).
- Faire une étude de signe pour les inéquations rationnelles.
- Vérifier systématiquement les valeurs interdites.
Exercice 10 Équations et inéquations logarithmiques
2. Résoudre les six inéquations proposées.
3. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) vérifiant l’inégalité imprimée dans le manuel.
1. Résolution des équations
Les conditions d’existence sont :
\[ \sqrt{x-1}\gt0, \qquad 3-x\gt0, \qquad x-1\gt0. \]On obtient donc :
\[ 1\lt x\lt3. \]Sur cet intervalle :
\[ \ln\left(\sqrt{x-1}\right) = \frac12\ln(x-1). \]L’équation devient :
\[ \frac12\ln(x-1) = \ln(3-x)-\frac12\ln(x-1). \]Ainsi :
\[ \ln(x-1)=\ln(3-x). \]Par injectivité de la fonction \(\ln\) :
\[ x-1=3-x. \]Donc :
\[ x=2. \]Cette valeur appartient bien à \(]1,3[\).
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]L’équation devient :
\[ X^3-3X^2-6X+8=0. \]On remarque que \(X=1\) est une racine. On factorise :
\[ X^3-3X^2-6X+8 = (X-1)(X^2-2X-8). \]Or :
\[ X^2-2X-8=(X-4)(X+2). \]Ainsi :
\[ (X-1)(X-4)(X+2)=0. \]Donc :
\[ X=-2, \qquad X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=4. \]Comme \(X=\ln x\), on obtient :
\[ x=e^{-2}, \qquad x=e \qquad\text{ou}\qquad x=e^4. \]Les conditions d’existence sont :
\[ x\neq1, \qquad x\neq-2 \qquad\text{et}\qquad 4x^2+3x-7\neq0. \]Or :
\[ 4x^2+3x-7=(x-1)(4x+7). \]Il faut donc également que :
\[ x\neq-\frac74. \]Sur le domaine obtenu :
\[ \ln\bigl(|x-1||x+2|\bigr) = \ln\bigl(|x-1||4x+7|\bigr). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ |x-1||x+2| = |x-1||4x+7|. \]Comme \(x\neq1\), on peut diviser par \(|x-1|\gt0\) :
\[ |x+2|=|4x+7|. \]Donc :
\[ x+2=4x+7 \quad\text{ou}\quad x+2=-(4x+7). \]On obtient :
\[ x=-\frac53 \quad\text{ou}\quad x=-\frac95. \]Ces deux valeurs appartiennent au domaine de définition.
2. Résolution des inéquations
Les conditions d’existence sont :
\[ x^2-2x\gt0 \qquad\text{et}\qquad x\gt0. \]Comme \(x^2-2x=x(x-2)\), on obtient :
\[ x\gt2. \]La fonction \(\ln\) étant strictement croissante :
\[ \ln(x^2-2x)\le\ln x \iff x^2-2x\le x. \]Donc :
\[ x^2-3x\le0 \iff x(x-3)\le0. \]Ainsi :
\[ 0\le x\le3. \]En tenant compte du domaine \(x\gt2\), on obtient :
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]L’inéquation devient :
\[ X^2+X-2\gt0. \]On factorise :
\[ (X+2)(X-1)\gt0. \]Ainsi :
\[ X\lt-2 \quad\text{ou}\quad X\gt1. \]Donc :
\[ \ln x\lt-2 \quad\text{ou}\quad \ln x\gt1. \]Comme \(\ln\) est strictement croissante :
\[ 0\lt x\lt e^{-2} \quad\text{ou}\quad x\gt e. \]Pour tout réel \(u\gt0\), on a :
\[ \ln u\ge0 \iff u\ge1. \]L’inéquation équivaut donc à :
\[ \frac{3x-7}{4x+5}\ge1. \]Ainsi :
\[ \frac{3x-7-(4x+5)}{4x+5}\ge0, \]soit :
\[ \frac{-x-12}{4x+5}\ge0. \]Cette inéquation équivaut à :
\[ \frac{x+12}{4x+5}\le0. \]Les valeurs critiques sont :
\[ -12 \qquad\text{et}\qquad -\frac54. \]L’étude du signe donne :
Les conditions d’existence sont :
\[ x\gt0, \qquad x\neq2 \qquad\text{et}\qquad 3+\ln x\neq0. \]Donc :
\[ x\neq e^{-3}. \]Étudions le signe du numérateur :
\[ \ln|x-2|\gt0 \iff |x-2|\gt1. \]Ainsi :
\[ \ln|x-2|\gt0 \iff 0\lt x\lt1 \quad\text{ou}\quad x\gt3. \]De plus :
\[ 3+\ln x\gt0 \iff x\gt e^{-3}. \]Le quotient est strictement positif lorsque le numérateur et le dénominateur ont le même signe. Le cas où ils sont tous les deux négatifs est impossible, car :
\[ \ln|x-2|\lt0 \implies 1\lt x\lt3. \]On obtient donc :
Pour tout réel \(u\neq0\) :
\[ \ln|u|\ge0 \iff |u|\ge1. \]On doit donc résoudre :
\[ |3x^2+7x+3|\ge1. \]Cela équivaut à :
\[ 3x^2+7x+3\ge1 \quad\text{ou}\quad 3x^2+7x+3\le-1. \]Premier cas :
\[ 3x^2+7x+2\ge0. \]Or :
\[ 3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2). \]Donc :
\[ x\le-2 \quad\text{ou}\quad x\ge-\frac13. \]Deuxième cas :
\[ 3x^2+7x+4\le0. \]Or :
\[ 3x^2+7x+4=(3x+4)(x+1). \]Donc :
\[ -\frac43\le x\le-1. \]Finalement :
Les conditions d’existence sont :
\[ x\neq0 \qquad\text{et}\qquad x\neq-\frac23. \]On a :
\[ -\ln|3x+2| = \ln\left(\frac1{|3x+2|}\right). \]Par croissance de \(\ln\) :
\[ |x| < \frac1{|3x+2|}. \]Comme \(|3x+2|\gt0\), on obtient :
\[ |x||3x+2|\lt1, \]soit :
\[ |3x^2+2x|\lt1. \]Cette double inégalité équivaut à :
\[ -1\lt3x^2+2x\lt1. \]La première inégalité est toujours vraie, car :
\[ 3x^2+2x+1\gt0 \]pour tout réel \(x\), son discriminant étant négatif.
La seconde donne :
\[ 3x^2+2x-1\lt0. \]Or :
\[ 3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1). \]Donc :
\[ -1\lt x\lt\frac13. \]En retirant les valeurs interdites \(0\) et \(-\dfrac23\), on obtient :
3. Recherche du plus petit entier naturel
Le manuel indique bien le nombre \(4\) dans le membre de droite. Avec cette écriture, l’inégalité est immédiatement vérifiée pour tout entier naturel \(n\). Aucun autre nombre ne peut être ajouté ou substitué sans source certaine.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a :
\[ \left(1+\frac7{100}\right)^n = (1,07)^n \ge1. \]Par conséquent :
\[ 25(1,07)^n\ge25. \]Or :
\[ 25\gt4. \]L’inégalité est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(0\in\mathbb{N}\), le plus petit entier naturel convenable est :
Méthodes à retenir
- Une égalité entre deux logarithmes ne peut être utilisée qu’après vérification de la positivité des deux arguments.
- L’inégalité \(\ln u\ge0\) équivaut à \(u\ge1\), pour \(u\gt0\).
- Dans une inéquation avec quotient, il faut étudier simultanément le signe du numérateur et celui du dénominateur.
- Les valeurs qui annulent un argument de logarithme ou un dénominateur sont toujours exclues.
- Lorsqu’un énoncé imprimé paraît inhabituel, on conserve les données visibles et on n’invente pas une valeur de remplacement.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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