Correction de l’exercice 11 — Calcul de limites avec le logarithme népérien — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction de l’exercice 11 — Calcul de limites avec le logarithme népérien
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice rassemble dix limites dans lesquelles le logarithme népérien apparaît sous des formes différentes. L’objectif n’est pas d’appliquer une technique unique, mais de reconnaître la structure de chaque expression. Dans certains cas, il faut faire apparaître une limite usuelle telle que \(\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\) ; dans d’autres, il faut transformer un logarithme de quotient, factoriser par la puissance dominante ou utiliser la continuité de \(\ln\). La dernière limite fait intervenir la forme fondamentale \(\dfrac{\ln(1+u)}u\). Toutes ces méthodes restent dans le cadre du programme de 2e Bac Sciences Mathématiques : aucun développement limité et aucune règle de l’Hôpital ne sont nécessaires.
Plusieurs résultats du cours seront utilisés. Pour tout réel \(\alpha\gt0\) :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0. \]On dispose également de la limite fondamentale :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1, \]ainsi que de :
\[ \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty. \]Enfin, la fonction \(\ln\) est continue sur \(]0,+\infty[\). Ainsi, lorsque \(u(x)\) tend vers un réel strictement positif \(a\), on peut utiliser la continuité pour obtenir \(\ln(u(x))\to\ln a\).
Avant de calculer, il faut repérer la forme de la limite. Lorsqu’un logarithme est dominé par une puissance de \(x\), on cherche à faire apparaître \(\ln x/x^\alpha\). Lorsqu’une différence de logarithmes apparaît, la propriété du quotient peut simplifier l’expression. Enfin, devant une expression proche de \(1\), la forme \(\ln(1+u)/u\) constitue souvent la clé du calcul.
Exercice 11 — Déterminer les limites en \(+\infty\)
Déterminer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]dans chacun des dix cas proposés.
Limite 1
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Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l’infini, mais cette forme ne permet pas de conclure directement. La correction fait apparaître une limite usuelle du cours en introduisant \(x-1\) au dénominateur du premier facteur.
On écrit :
\[ \frac{\ln(x-1)}{2x-3} = \frac{\ln(x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{2x-3}. \]Or, lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{\ln(x-1)}{x-1}\to0 \]et :
\[ \frac{x-1}{2x-3}\to\frac12. \]Le premier facteur tend donc vers \(0\), tandis que le second possède une limite réelle finie.
Par conséquent :
Limite 2
Afficher la correction
Le logarithme est appliqué à un quotient de polynômes. Il faut donc commencer par déterminer le comportement de son argument. La factorisation par les plus grandes puissances permet de repérer immédiatement le terme dominant.
On factorise par les plus grandes puissances de \(x\) :
\[ \frac{3x^4+5}{x^2+4} = x^2\, \frac{3+\frac5{x^4}}{1+\frac4{x^2}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ x^2\to+\infty \]et :
\[ \frac{3+\frac5{x^4}}{1+\frac4{x^2}}\to3. \]Donc :
\[ \frac{3x^4+5}{x^2+4}\to+\infty. \]L’argument du logarithme tend donc vers \(+\infty\). On utilise alors directement la limite de \(\ln\) en \(+\infty\).
Comme \(\ln u\to+\infty\) lorsque \(u\to+\infty\), on obtient :
Limite 3
Afficher la correction
Comme dans la première limite, la stratégie consiste à faire apparaître une expression du type \(\ln t/t\). On choisit ici \(t=x+2\), qui tend bien vers \(+\infty\).
On écrit :
\[ \frac{\ln(x+2)}{x^2+3} = \frac{\ln(x+2)}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x^2+3}. \]Or :
\[ \frac{\ln(x+2)}{x+2}\to0 \]et :
\[ \frac{x+2}{x^2+3}\to0. \]Les deux facteurs tendent donc vers \(0\), ce qui permet de conclure immédiatement sur leur produit.
Donc :
Limite 4
Afficher la correction
Pour \(x\) suffisamment grand, \(x\gt0\). Les expressions \(x+1\), \(x\) et leur quotient sont donc strictement positives : les propriétés algébriques du logarithme peuvent être appliquées.
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ \begin{aligned} \ln\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}}\right) &=\ln(x+1)-\frac13\ln x\\ &=\ln\left(x\left(1+\frac1x\right)\right)-\frac13\ln x\\ &=\frac23\ln x+\ln\left(1+\frac1x\right). \end{aligned} \]La transformation sépare l’expression en un terme divergent vers \(+\infty\) et un terme qui tend vers \(0\).
Or :
\[ \frac23\ln x\to+\infty \]et :
\[ \ln\left(1+\frac1x\right)\to0. \]Ainsi :
Limite 5
Afficher la correction
Écrire séparément \(3x\to+\infty\) et \(5\ln x\to+\infty\) conduirait à une forme indéterminée. La correction compare donc directement la croissance du logarithme à celle de \(x\).
On factorise par \(x\) :
\[ 3x-5\ln x = x\left(3-5\frac{\ln x}{x}\right). \]Or :
\[ \frac{\ln x}{x}\to0. \]Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(3\), tandis que \(x\to+\infty\). Il devient en particulier strictement positif pour \(x\) suffisamment grand.
Par conséquent :
Limite 6
Afficher la correction
On rencontre de nouveau une différence entre deux expressions qui tendent vers \(+\infty\). Cette fois, la puissance dominante est \(x^2\), d’où la factorisation choisie dans la correction.
On factorise par \(x^2\) :
\[ \ln x-5x^2 = x^2\left(\frac{\ln x}{x^2}-5\right). \]Or :
\[ \frac{\ln x}{x^2}\to0. \]Le facteur entre parenthèses tend donc vers \(-5\), tandis que \(x^2\to+\infty\). Il est donc négatif et éloigné de \(0\) pour \(x\) suffisamment grand.
Ainsi :
Limite 7
Afficher la correction
Les deux logarithmes tendent séparément vers \(+\infty\) : les étudier indépendamment ne permet donc pas de conclure. Puisque leurs arguments sont positifs pour \(x\gt0\), on peut utiliser la propriété du logarithme d’un quotient.
Pour \(x\gt0\) :
\[ \ln(2x+3)-\ln x = \ln\left(\frac{2x+3}{x}\right) = \ln\left(2+\frac3x\right). \]Or :
\[ 2+\frac3x\to2. \]Le nombre \(2\) appartient à \(]0,+\infty[\), domaine sur lequel la fonction logarithme népérien est continue.
Par continuité de \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\) :
Limite 8
Afficher la correction
Toute l’expression dépend ici de \(\ln x\). La substitution \(X=\ln x\) permet donc de transformer directement la limite logarithmique en une limite rationnelle usuelle.
Posons :
\[ X=\ln x. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(X\to+\infty\). Alors :
\[ \frac{(\ln x)^2}{1-\ln x} = \frac{X^2}{1-X} = -X\cdot\frac{X}{X-1}. \]Or :
\[ -X\to-\infty \]et :
\[ \frac{X}{X-1}\to1. \]Le second facteur tend vers le nombre strictement positif \(1\), tandis que le premier tend vers \(-\infty\).
Par conséquent :
Limite 9
Afficher la correction
Les deux termes tendent vers \(+\infty\), donc leur différence est initialement indéterminée. La correction commence par montrer que \(\ln(x^2+1)\) reste négligeable devant \(x\), en utilisant les propriétés du logarithme et la limite usuelle \(\ln x/x\to0\).
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ \ln(x^2+1) = 2\ln x+\ln\left(1+\frac1{x^2}\right). \]Donc :
\[ \frac{\ln(x^2+1)}{x} = 2\frac{\ln x}{x} + \frac1x\ln\left(1+\frac1{x^2}\right) \to0. \]La quantité \(\ln(x^2+1)\) est donc dominée par le terme linéaire \(x\). La factorisation suivante permet alors de conclure sans changer la méthode.
On factorise alors par \(x\) :
\[ \ln(x^2+1)-3x = x\left(\frac{\ln(x^2+1)}{x}-3\right). \]Le facteur entre parenthèses tend vers \(-3\), tandis que \(x\to+\infty\).
Ainsi :
Limite 10
Afficher la correction
Cette dernière limite conduit au produit d’une quantité qui tend vers \(+\infty\) par un logarithme qui tend vers \(0\). Pour \(x\gt2\), le quotient placé sous le logarithme est strictement positif. La stratégie consiste alors à écrire cet argument sous la forme \(1+u\), afin de faire apparaître la limite fondamentale du cours.
Pour \(x\gt2\), on écrit :
\[ \frac{x-2}{x+3} = 1-\frac5{x+3}. \]Posons :
\[ u=-\frac5{x+3}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0\). Alors :
\[ x\ln(1+u) = xu\cdot\frac{\ln(1+u)}u. \]Or :
\[ xu=-\frac{5x}{x+3}\to-5 \]et :
\[ \frac{\ln(1+u)}u\to1. \]Les deux facteurs ont maintenant des limites déterminées. Leur produit tend donc vers \((-5)\times1\).
Par conséquent :
À retenir
Les dix limites montrent qu’il faut d’abord identifier la structure de l’expression avant de commencer les calculs. Lorsque le logarithme est comparé à une puissance de \(x\), la limite \(\ln x/x^\alpha\to0\) permet de repérer le terme dominant. Une différence de logarithmes peut souvent être transformée en logarithme d’un quotient, tandis qu’une expression entièrement construite avec \(\ln x\) peut être simplifiée en posant \(X=\ln x\). La continuité de \(\ln\) intervient lorsque son argument tend vers un réel strictement positif. Enfin, lorsqu’un logarithme porte sur une quantité qui tend vers \(1\), la forme fondamentale \(\ln(1+u)/u\) doit être recherchée. Ces méthodes suffisent ici sans recourir à des outils hors programme.
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