Concours Médecine Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès aux filières de Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — année universitaire 2024-2025.

Composante 4 : Mathématiques — questions 43 à 56 — date indiquée : 03 août 2024.

Cette page présente l’énoncé de la partie mathématiques transmis pour le concours d’accès aux filières de Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire au Maroc, session 2024.

La partie mathématiques correspond à la composante 4 du concours, avec les questions numérotées de 43 à 56. L’objectif est d’aider les élèves à s’entraîner sur un énoncé de type concours, à gérer le temps et à repérer les méthodes rapides adaptées aux questions à choix multiples.

Voir la correction détaillée Guide Concours Médecine Page Concours

Données de l’énoncé transmis

Année universitaire indiquée : 2024-2025.
Date indiquée : 03 août 2024.
Durée de l’épreuve complète indiquée : 2 heures.
Nombre total de questions indiqué : 56 QCM.
Composante 4 : Mathématiques, de la question 43 à la question 56.
Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est juste.
L’utilisation de la calculatrice est indiquée comme interdite.

Remarque importante : ces informations sont reprises de l’énoncé transmis pour cette publication pédagogique. Dans le texte transmis, les questions 51 et 56 semblent avoir plus d’une proposition vraie. Pour les inscriptions, dates et modalités administratives, il faut toujours consulter l’annonce officielle de l’année concernée.

Conseil avant de commencer

Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter les questions en respectant le format QCM : lire toutes les propositions, éliminer les réponses impossibles, puis choisir la réponse la plus cohérente.

Énoncé — Composante 4 : Mathématiques

Question 43

On considère la fonction \(f\) définie, pour \(x\gt0\), par :

\[ f(x)=x-\frac{(\ln x)^2}{x}. \]

Quelle est l’expression de \(f'(x)\) ?

A) \(f'(x)=1+\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
B) \(f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
C) \(f'(x)=-1+\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
D) \(f'(x)=-1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
E) \(f'(x)=1+\dfrac{2\ln x+(\ln x)^2}{x^2}\)

Question 44

La fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=2\ln\left(\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\right) \]

admet une asymptote horizontale ou oblique lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ou \(+\infty\). Quelle est l’équation de cette asymptote ?

A) \(y=2x\)
B) \(y=x\)
C) \(y=0\)
D) \(y=-2\ln(2)\)
E) \(y=-2x\)

Question 45

On considère la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \]

Déterminer le point \(x_0\) où la tangente à \(C_g\) est parallèle à la droite d’équation \(y=x\).

A) \(x_0=0\)
B) \(x_0=-1\)
C) \(x_0=1\)
D) \(x_0=2\)
E) \(x_0=\varnothing\)

Question 46

Soit :

\[ z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt3)^4}. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(|z|=4\)
B) \(|z|=\frac12\)
C) \(\arg z=\frac{\pi}{6}\ [2\pi]\)
D) \(\arg z=\frac{3\pi}{2}\ [2\pi]\)
E) \(\arg z=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]\)

Question 47

Soient \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c’est-à-dire :

\[ (z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3. \]

Quelles sont les valeurs possibles de \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) ?

A) \(z_1=1,\ z_2=i,\ z_3=-i\)
B) \(z_1=1,\ z_2=\omega,\ z_3=\omega^2\), où \(\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}\)
C) \(z_1=1,\ z_2=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},\ z_3=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\)
D) \(z_1=2,\ z_2=-1,\ z_3=1\)
E) \(z_1=1,\ z_2=-\omega,\ z_3=-\omega^2\), où \(\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}\)

Question 48

Soit dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) les points :

\[ A(0,3,1),\quad B(-1,3,0),\quad C(0,5,0). \]

La sphère \((S)\) a pour équation :

\[ x^2+y^2+z^2-4x-5=0. \]

Quelles sont les coordonnées du point de tangence \(H\) du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\) ?

A) \((2,2,\sqrt5)\)
B) \((2,3,1)\)
C) \((2,2,1)\)
D) \((0,1,2)\)
E) \((0,-1,2)\)

Question 49

On suppose que \(2000\) personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d’un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à deux choix. La société qui gère ce jeu-SMS sélectionne \(30\) SMS au hasard parmi les \(2000\).

On note \(\Omega\) l’ensemble de tous les sous-ensembles de \(30\) SMS distincts. Combien d’éléments contient-il ?

A) \(A_{2000}^{30}\)
B) \(C_{2000}^{30}\)
C) \(1970\)
D) \(\dfrac{2000!}{30!}\)
E) \(2000\)

Question 50

On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) parmi les \(2000\) participants ?

A) \(0.12\)
B) \(0.03\)
C) \(0.015\)
D) \(0.02\)
E) \(0.3\)

Question 51

Soit la suite \((U_n)\) définie par :

\[ U_n=\ln(1+ne^{-n}),\quad n\in\mathbb N. \]

Quelle est la bonne réponse ?

Remarque pédagogique : dans la version transmise, la question 51 doit être traitée avec prudence, car la proposition A est vraie et la proposition E donne la limite précise. La correction détaillée explique ce point.

A) La suite \((U_n)\) est bornée
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=+\infty\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\)
D) La suite \((U_n)\) est divergente
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=0\)

Question 52

Soit la suite \((w_n)\) définie par :

\[ w_0=1,\qquad w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2w_n+4}. \]

On pose :

\[ y_n=\frac{4}{2+w_n}. \]

Alors \(y_{n+1}\) vérifie la relation suivante :

A) \(y_{n+1}=\dfrac{23}{6+y_n}\)
B) \(y_{n+1}=\dfrac{32}{6+y_n}\)
C) \(y_{n+1}=\dfrac{-6}{32+y_n}\)
D) \(y_{n+1}=\dfrac{6}{32+y_n}\)
E) \(y_{n+1}=\dfrac{32}{20+y_n}\)

Question 53

Soit \((E)\) l’équation :

\[ x^x=(\sqrt{x})^{x+1}. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(x=1\) est une solution
B) \(x=2\) est une solution
C) \(x=0\) est une solution
D) \(x=e\) est une solution
E) L’équation \((E)\) n’admet pas de solution

Question 54

Calculer l’intégrale suivante :

\[ \int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx. \]

Question 55

Soit :

\[ f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(D_f=]0,+\infty[\)
B) \(D_f=\mathbb R^*\)
C) \(D_f=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\)
D) \(D_f=]-1,1[\)
E) \(D_f=[-1,1]\)

Question 56

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0,1]\) par :

\[ f(x)=x\sin(\pi x)-\ln(x)-1. \]

Quelle est la bonne réponse ?

Remarque pédagogique : dans la version transmise, la question 56 doit être traitée avec prudence, car les propositions B et E semblent toutes les deux vraies. La correction détaillée explique ce point.

A) \(f\) est majorée
B) Il existe \(c\in]0,1]\) tel que \(f(c)=0\)
C) \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\)
D) \(f\) est croissante
E) \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-1\)

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