Concours Médecine Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès aux filières de Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire

Session 2024 · Composante 4 : Mathématiques · Questions 43 à 56

Cette page rassemble les quatorze questions de la composante mathématiques du concours d’accès aux études de Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire au Maroc, session 2024. Leur numérotation originale, de 43 à 56, est conservée pour permettre de se repérer dans l’épreuve complète. Les thèmes abordés sont variés : dérivation, logarithmes, asymptotes, nombres complexes, géométrie de l’espace, dénombrement, probabilités, suites et intégration.

Pour transformer cette annale en un entraînement utile, il est préférable d’aborder les questions sans regarder la correction. Chaque réponse exige de reconnaître la notion concernée, de choisir un résultat du cours et de vérifier ses conditions d’application. Le format du concours favorise les démarches concises, mais un calcul rapide n’est fiable que s’il repose sur une justification rigoureuse. Des repères de méthode, placés avant les groupes de questions, aident à organiser les révisions sans révéler les réponses.

Présentation de l’épreuve

La transcription disponible indique la date du 3 août 2024, l’année universitaire 2024–2025, une durée de deux heures pour l’épreuve complète et 56 questions au total. La composante mathématiques couvre les questions 43 à 56. Ces indications se rapportent à la session 2024 et ne présument pas des modalités d’une session ultérieure.

Les cinq propositions A, B, C, D et E sont reproduites dans l’ordre de la publication initiale. Deux questions de cette transcription comportent cependant plusieurs affirmations mathématiquement vraies : cette réserve est signalée au niveau des questions concernées, sans en fournir les réponses dans l’énoncé.

Méthode de travail pour les QCM

Lisez d’abord la question entière et identifiez la quantité demandée : dérivée, équation, limite, ensemble de définition, coordonnées ou probabilité. Écrivez ensuite la propriété du cours et les hypothèses nécessaires. N’utilisez les propositions qu’après avoir construit votre propre raisonnement, afin de ne pas confondre une réponse plausible avec une conclusion démontrée.

Après une première résolution, vérifiez les conditions de validité du calcul : dénominateur non nul, domaine d’un logarithme, condition de continuité, cadre de dénombrement ou donnée géométrique. Si plusieurs propositions paraissent vraies, ne forcez pas un choix sans preuve : notez la difficulté et consultez ensuite la correction argumentée.

Précision sur les propositions

Les questions 51 et 56 présentent une ambiguïté dans les choix tels qu’ils ont été transcrits. L’énoncé est conservé intégralement ; la correction associée détaille les affirmations vraies. Pour un premier entraînement, il est conseillé de traiter ces deux questions comme les autres, puis de contrôler toutes les propositions après coup.

Questions 43 à 46 — Dérivation, asymptotes et nombres complexes

Les questions 43 à 45 portent sur les fonctions. Avant de dériver une expression comportant un logarithme ou un quotient, vérifiez que les opérations sont définies sur le domaine étudié. Pour une asymptote, la démarche dépend de la limite considérée : il faut examiner la fonction au voisinage de l’infini concerné, puis contrôler la différence entre sa courbe et la droite envisagée. Le parallélisme d’une tangente à une droite se traduit par une condition sur son coefficient directeur.

La question 46 mobilise le calcul dans les nombres complexes. Les opérations sur les modules et les arguments ne répondent pas au même objectif : choisissez l’écriture qui permet d’obtenir la grandeur effectivement demandée. Lorsque plusieurs écritures sont possibles, une vérification rapide des signes et des angles limite les erreurs de transcription.

Question 43

On considère la fonction \(f\) définie, pour \(x\gt0\), par :

\[ f(x)=x-\frac{(\ln x)^2}{x}. \]

Quelle est l’expression de \(f'(x)\) ?

A) \(f'(x)=1+\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
B) \(f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
C) \(f'(x)=-1+\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
D) \(f'(x)=-1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}\)
E) \(f'(x)=1+\dfrac{2\ln x+(\ln x)^2}{x^2}\)

Question 44

La fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=2\ln\left(\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\right) \]

admet une asymptote horizontale ou oblique lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ou \(+\infty\). Quelle est l’équation de cette asymptote ?

A) \(y=2x\)
B) \(y=x\)
C) \(y=0\)
D) \(y=-2\ln(2)\)
E) \(y=-2x\)

Question 45

On considère la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \]

Déterminer le point \(x_0\) où la tangente à \(C_g\) est parallèle à la droite d’équation \(y=x\).

A) \(x_0=0\)
B) \(x_0=-1\)
C) \(x_0=1\)
D) \(x_0=2\)
E) \(x_0=\varnothing\)

Question 46

Soit :

\[ z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt3)^4}. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(|z|=4\)
B) \(|z|=\frac12\)
C) \(\arg z=\frac{\pi}{6}\ [2\pi]\)
D) \(\arg z=\frac{3\pi}{2}\ [2\pi]\)
E) \(\arg z=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]\)

Questions 47 à 50 — Racines complexes, géométrie dans l’espace et probabilités

La question 47 concerne des nombres complexes reliés par une puissance commune. Il faut tenir compte de la distinction entre les nombres et de la structure des solutions complexes avant d’examiner les propositions. En géométrie dans l’espace, la question 48 exige de traduire les coordonnées en relations géométriques : pour identifier un point de contact éventuel entre une sphère et un plan, les conditions de tangence doivent être vérifiées et pas seulement supposées.

Les questions 49 et 50 reposent sur une même expérience de sélection de messages. Pour compter les issues possibles, précisez si l’ordre intervient et si les objets sont distincts. Pour calculer une probabilité, explicitez l’événement étudié, la situation d’équiprobabilité et la proportion correspondante. Une bonne identification de l’univers évite les confusions entre arrangements, combinaisons et probabilités élémentaires.

Question 47

Soient \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c’est-à-dire :

\[ (z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3. \]

Quelles sont les valeurs possibles de \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) ?

A) \(z_1=1,\ z_2=i,\ z_3=-i\)
B) \(z_1=1,\ z_2=\omega,\ z_3=\omega^2\), où \(\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}\)
C) \(z_1=1,\ z_2=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},\ z_3=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\)
D) \(z_1=2,\ z_2=-1,\ z_3=1\)
E) \(z_1=1,\ z_2=-\omega,\ z_3=-\omega^2\), où \(\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}\)

Question 48

Soit dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) les points :

\[ A(0,3,1),\quad B(-1,3,0),\quad C(0,5,0). \]

La sphère \((S)\) a pour équation :

\[ x^2+y^2+z^2-4x-5=0. \]

Quelles sont les coordonnées du point de tangence \(H\) du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\) ?

A) \((2,2,\sqrt5)\)
B) \((2,3,1)\)
C) \((2,2,1)\)
D) \((0,1,2)\)
E) \((0,-1,2)\)

Question 49

On suppose que \(2000\) personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d’un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à deux choix. La société qui gère ce jeu-SMS sélectionne \(30\) SMS au hasard parmi les \(2000\).

On note \(\Omega\) l’ensemble de tous les sous-ensembles de \(30\) SMS distincts. Combien d’éléments contient-il ?

A) \(A_{2000}^{30}\)
B) \(C_{2000}^{30}\)
C) \(1970\)
D) \(\dfrac{2000!}{30!}\)
E) \(2000\)

Question 50

On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) parmi les \(2000\) participants ?

A) \(0.12\)
B) \(0.03\)
C) \(0.015\)
D) \(0.02\)
E) \(0.3\)

Questions 51 à 54 — Suites numériques, équations et calcul intégral

Les questions 51 et 52 mettent en jeu des suites de formes différentes. Pour une expression explicite comportant exponentielle et logarithme, il faut étudier les limites des expressions intérieures avant d’utiliser la continuité. Pour une suite définie par récurrence et un changement de variable, les transformations algébriques doivent être faites à partir des définitions exactes, sans supposer la relation cherchée. Distinguez soigneusement les propriétés d’une suite et la valeur d’une limite éventuelle.

La question 53 demande l’analyse d’une équation où la variable apparaît dans une puissance. La vérification du domaine doit précéder les règles sur les logarithmes ou les exposants. La question 54 relève du calcul de primitives : observez le rapport entre le numérateur et la dérivée du dénominateur, puis contrôlez toute primitive envisagée en la dérivant. Ces habitudes permettent de justifier les méthodes sans multiplier les calculs.

Question 51

Soit la suite \((U_n)\) définie par :

\[ U_n=\ln(1+ne^{-n}),\quad n\in\mathbb N. \]

Quelle est la bonne réponse ?

Attention : les choix transcrits pour cette question comportent une ambiguïté. Plusieurs propositions peuvent être vraies. Les réponses et leur justification figurent uniquement dans la correction détaillée.

A) La suite \((U_n)\) est bornée
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=+\infty\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\)
D) La suite \((U_n)\) est divergente
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=0\)

Question 52

Soit la suite \((w_n)\) définie par :

\[ w_0=1,\qquad w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2w_n+4}. \]

On pose :

\[ y_n=\frac{4}{2+w_n}. \]

Alors \(y_{n+1}\) vérifie la relation suivante :

A) \(y_{n+1}=\dfrac{23}{6+y_n}\)
B) \(y_{n+1}=\dfrac{32}{6+y_n}\)
C) \(y_{n+1}=\dfrac{-6}{32+y_n}\)
D) \(y_{n+1}=\dfrac{6}{32+y_n}\)
E) \(y_{n+1}=\dfrac{32}{20+y_n}\)

Question 53

Soit \((E)\) l’équation :

\[ x^x=(\sqrt{x})^{x+1}. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(x=1\) est une solution
B) \(x=2\) est une solution
C) \(x=0\) est une solution
D) \(x=e\) est une solution
E) L’équation \((E)\) n’admet pas de solution

Question 54

Calculer l’intégrale suivante :

\[ \int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx. \]

Questions 55 à 56 — Domaine de définition, limites et continuité

Dans la question 55, l’écriture d’une puissance à exposant réel oblige à définir précisément l’expression avant de choisir un ensemble de définition. Les restrictions portant sur la base et l’exposant doivent être examinées ensemble. Une égalité algébrique formelle ne suffit pas si elle conduit à utiliser une fonction hors de son domaine.

La question 56 concerne une fonction associant une expression trigonométrique et un logarithme. Pour étudier ses propriétés, distinguez la limite aux bornes de l’intervalle, les variations éventuelles et la recherche d’un zéro. Les conditions du théorème des valeurs intermédiaires, lorsqu’il est pertinent, doivent être établies avant son application. Examinez chaque proposition indépendamment, même si le format annoncé prévoit un choix unique.

Question 55

Soit :

\[ f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(D_f=]0,+\infty[\)
B) \(D_f=\mathbb R^*\)
C) \(D_f=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\)
D) \(D_f=]-1,1[\)
E) \(D_f=[-1,1]\)

Question 56

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0,1]\) par :

\[ f(x)=x\sin(\pi x)-\ln(x)-1. \]

Quelle est la bonne réponse ?

A) \(f\) est majorée
B) Il existe \(c\in]0,1]\) tel que \(f(c)=0\)
C) \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\)
D) \(f\) est croissante
E) \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-1\)

Après l’entraînement : interpréter les difficultés

Une fois les quatorze questions terminées, distinguez les erreurs de méthode, les erreurs de calcul et les hésitations devant l’énoncé. Une proposition choisie par hasard ne témoigne pas de la maîtrise du chapitre ; inversement, une démarche correctement engagée peut permettre de repérer précisément la dernière transformation qui a posé problème.

Pour chaque question non maîtrisée, formulez en une phrase ce qu’il fallait reconnaître et la propriété du cours qu’il convenait de vérifier. Reprenez ensuite le raisonnement sans regarder la correction. Cette seconde tentative développe la capacité à appliquer les notions dans un contexte différent de celui des exercices habituels.

Les questions 51 et 56 appellent une vigilance supplémentaire : lorsque plusieurs propositions sont vraies, le problème concerne le caractère univoque du choix, et non la qualité du raisonnement de l’élève. Le travail de révision consiste alors à vérifier les différentes affirmations avec précision.

Poursuivre la préparation aux concours de médecine

La variété des questions de cette session montre l’importance d’une révision transversale : les propriétés du cours doivent être reconnues et appliquées dans un temps limité. En confrontant vos démarches à la correction détaillée, cherchez à comprendre les conditions d’application de chaque résultat plutôt qu’à mémoriser une lettre.

Pour prolonger l’entraînement, traitez ensuite la session 2025, puis revenez aux notions où vous avez rencontré des difficultés. Le passage d’une session à l’autre est l’occasion de mesurer votre autonomie et de renforcer les stratégies réutilisables.

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