Correction — Concours Médecine Maroc 2025 — Mathématiques
Correction pédagogique de la partie mathématiques.
Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Session 2025 — 14 QSM.
Objectifs et parcours de résolution
La partie mathématiques du concours Médecine Maroc 2025 comporte quatorze questions. La préparation exige de combiner rapidité et contrôle des conditions : le signe d’une expression ou le domaine d’une fonction peut décider entre des propositions proches. Utiliser la correction après une première recherche permet de comprendre l’origine d’une erreur, au lieu de retenir seulement la réponse finale.
Repères de cours utiles
Un domaine de définition et un signe de dénominateur restent nécessaires dans un QCM. Pour une limite de quotient en un point \(a\), si les deux fonctions s’annulent en \(a\) et sont dérivables, on peut faire apparaître les deux taux d’accroissement. Leur quotient donne la limite lorsque la dérivée du dénominateur en \(a\) est non nulle. Cette méthode découle de la définition du nombre dérivé.
Une somme géométrique se calcule après identification du premier terme, de la raison et du nombre de termes. Un nombre complexe non nul peut s’écrire \(re^{i\theta}\) : une puissance entière porte sur le module et sur l’argument. Avant un calcul de probabilités, définir les événements et vérifier si les choix ou essais sont indépendants.
La réponse d’un QCM doit satisfaire toutes les conditions de la question. Un test numérique peut éliminer une proposition universelle fausse ; il ne suffit pas à démontrer une proposition universelle vraie. Lorsque plusieurs réponses peuvent être retenues, chaque proposition doit être examinée séparément.
Méthode de travail sur ce sujet
Avant un calcul, repérer les exclusions liées aux racines, logarithmes ou dénominateurs. Pour une fonction, séparer le comportement à une borne de l’information donnée par sa dérivée.
Évaluer toutes les propositions exigées par le format de la question. Une proposition éliminée doit l’être pour une raison précise, et non parce qu’elle ressemble moins au résultat attendu.
Chaque QSM est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction pédagogique est proposée par Parcours Maths Maroc pour l’entraînement et la compréhension.
Tableau final des réponses
| QSM | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | C | A | D | B | D | B | D | C | D | B | B | A | A | C |
Correction détaillée des QSM
Question 1
On demande de calculer :
\[ I=\int_0^\pi |\cos x|\,dx. \]Avec une valeur absolue, on commence par déterminer le signe de l’expression. Ici, \(\cos x\) change de signe en \(\frac{\pi}{2}\) sur \([0,\pi]\).
Sur l’intervalle \([0,\pi]\), on a :
\[ \cos x\ge0\quad\text{sur}\quad \left[0,\frac{\pi}{2}\right], \] et : \[ \cos x\le0\quad\text{sur}\quad \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. \]Donc :
\[ |\cos x|= \begin{cases} \cos x,&0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ -\cos x,&\frac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases} \]On coupe alors l’intégrale :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi(-\cos x)\,dx. \]Calcul du premier morceau :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1-0=1. \]Calcul du deuxième morceau :
\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi(-\cos x)\,dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = 0-(-1)=1. \]Donc :
\[ I=1+1=2. \]Réponse correcte : C
Question 2
On demande de calculer :
\[ J=\int_0^1\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx. \]Pour reconnaître une intégrale rapidement, on cherche si l’expression est la dérivée d’une fonction simple. Ici, le dénominateur \((1+x^2)^2\) fait penser à la dérivée de \(\frac{x}{1+x^2}\).
On teste la fonction :
\[ F(x)=\frac{x}{1+x^2}. \]On dérive avec la règle du quotient :
\[ F'(x)= \frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}. \]On simplifie le numérateur :
\[ 1+x^2-2x^2=1-x^2. \] Donc : \[ F'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}. \]C’est exactement l’expression à intégrer. Ainsi :
\[ J=\int_0^1\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx = \left[\frac{x}{1+x^2}\right]_0^1. \]Donc :
\[ J=\frac{1}{2}-0=\frac12. \]Réponse correcte : A
Question 3
La suite est définie par :
\[ u_1=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}. \]On demande la limite de \((u_n)\).
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), on cherche souvent un encadrement, la monotonie, puis la limite éventuelle en résolvant \(\ell=f(\ell)\).
On commence par montrer que la suite reste entre \(1\) et \(2\).
On a :
\[ u_1=1. \]Si \(1\le u_n\le2\), alors :
\[ 3\le 2+u_n\le4. \] Comme la racine carrée est croissante : \[ \sqrt3\le u_{n+1}\le2. \]Donc les termes restent dans \([1,2]\).
Étudions la monotonie. Pour \(u_n\in[1,2]\) :
\[ u_{n+1}\ge u_n \Longleftrightarrow \sqrt{2+u_n}\ge u_n. \]Les deux membres sont positifs, donc on peut élever au carré :
\[ 2+u_n\ge u_n^2 \Longleftrightarrow u_n^2-u_n-2\le0. \] Or : \[ u_n^2-u_n-2=(u_n-2)(u_n+1). \] Cette quantité est \(\le0\) pour \(u_n\in[1,2]\). Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\). Elle est donc convergente.Si sa limite est \(\ell\), alors :
\[ \ell=\sqrt{2+\ell}. \]En élevant au carré :
\[ \ell^2=2+\ell, \qquad \ell^2-\ell-2=0, \qquad (\ell-2)(\ell+1)=0. \]Comme les termes sont positifs, \(\ell\ge0\). On garde donc :
\[ \ell=2. \]Réponse correcte : D
Question 4
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres complexes tels que :
\[ a\ne b\quad\text{et}\quad |a|=1. \]On demande la valeur de :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right|. \]Si \(|a|=1\), alors : \[ a\overline a=1. \] Cette égalité permet souvent de transformer une expression contenant \(1\).
On utilise :
\[ |a|=1 \Longrightarrow a\overline a=1. \]On transforme alors le dénominateur :
\[ 1-\overline a b = a\overline a-\overline a b. \]On factorise par \(\overline a\) :
\[ 1-\overline a b = \overline a(a-b). \]Comme \(a\ne b\), on a \(a-b\ne0\). Donc :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right| = \left|\frac{a-b}{\overline a(a-b)}\right|. \]On simplifie par \(a-b\) :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right| = \left|\frac1{\overline a}\right|. \] Or : \[ |\overline a|=|a|=1. \] Donc : \[ \left|\frac1{\overline a}\right|=\frac1{|\overline a|}=1. \]Réponse correcte : B
Question 5
On considère :
\[ C=1+\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{2\pi}{5}+\cdots+\cos\frac{9\pi}{5} \]et :
\[ S=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\cdots+\sin\frac{9\pi}{5}. \]On demande la valeur de \(z=C+iS\).
Pour tout réel \(\theta\), on a : \[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \] Cela permet de transformer une somme de cosinus et de sinus en une somme géométrique complexe.
Pour tout réel \(\theta\), on a : \[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \] Cela permet de transformer une somme trigonométrique en somme géométrique complexe.
On regroupe les parties réelles et imaginaires dans un seul nombre complexe :
\[ z=C+iS. \]Pour chaque entier \(k\), on a :
\[ \cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5} = e^{ik\frac{\pi}{5}}. \]Donc :
\[ z=1+\sum_{k=1}^{9}e^{ik\frac{\pi}{5}} = \sum_{k=0}^{9}e^{ik\frac{\pi}{5}}. \]C’est une somme géométrique de raison :
\[ q=e^{i\frac{\pi}{5}}. \]Comme :
\[ q^{10}=e^{i2\pi}=1 \] et \(q\ne1\), on applique : \[ 1+q+\cdots+q^9=\frac{1-q^{10}}{1-q}. \]Donc :
\[ 1+q+\cdots+q^9 = \frac{1-1}{1-q}=0. \]Ainsi :
\[ z=0. \]Réponse correcte : D
Question 6
On définit la fonction \(f\) par :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\quad (x\ne0),\qquad f(0)=a. \]On demande la valeur de \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).
Pour que \(f\) soit continue en \(0\), il faut que : \[ f(0)=\lim_{x\to0} f(x). \] Ici \(f(0)=a\), donc on cherche la limite de l’expression pour \(x\ne0\).
Pour \(x\ne0\), on a :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]Lorsque \(x\to0\), on obtient une forme \(\frac00\). On rationalise :
\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)}. \]Au numérateur :
\[ (\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)=1+x-1=x. \] Donc : \[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac1{\sqrt{1+x}+1}. \]Alors :
\[ \lim_{x\to0}f(x) = \frac1{\sqrt1+1} = \frac12. \]Pour que \(f\) soit continue en \(0\), il faut donc :
\[ a=\frac12. \]Réponse correcte : B
Question 7
On considère :
\[ f(x)=\sin x+\cos x. \]On demande la valeur maximale de \(f(x)\) sur \(\mathbb R\).
On écrit :
\[ \sin x+\cos x = \sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}\sin x+\frac1{\sqrt2}\cos x\right). \]Or :
\[ \cos\frac{\pi}{4}=\frac1{\sqrt2}, \qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac1{\sqrt2}. \]Donc :
\[ \sin x+\cos x = \sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right). \]Avec la formule :
\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \] on obtient : \[ \sin x+\cos x = \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \]Comme la valeur maximale de \(\sin\) est \(1\), on obtient :
\[ \max f=\sqrt2. \]Réponse correcte : D
Question 8
On demande de résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \frac{e^{2x-1}}{\sqrt{e^{2x+4}}}=e^{-x}. \]Pour tout réel \(u\), on a : \[ \sqrt{e^u}=e^{u/2}, \] car \(e^u\gt0\).
On simplifie d’abord le dénominateur :
\[ \sqrt{e^{2x+4}} = e^{\frac{2x+4}{2}} = e^{x+2}. \]Donc le membre de gauche devient :
\[ \frac{e^{2x-1}}{\sqrt{e^{2x+4}}} = \frac{e^{2x-1}}{e^{x+2}}. \]Avec les règles sur les puissances :
\[ \frac{e^{2x-1}}{e^{x+2}} = e^{(2x-1)-(x+2)} = e^{x-3}. \]L’équation devient :
\[ e^{x-3}=e^{-x}. \]La fonction exponentielle est injective, donc les exposants sont égaux :
\[ x-3=-x. \] Donc : \[ 2x=3, \qquad x=\frac32. \]Réponse correcte : C
Question 9
Une urne contient \(5\) boules rouges numérotées de \(1\) à \(5\) et \(4\) boules noires numérotées de \(1\) à \(4\). On tire simultanément deux boules.
\(A\) : « les deux boules sont de même couleur » et \(B\) : « les deux boules portent un numéro pair ». On demande \(P_{\overline A}(B)\).
La probabilité conditionnelle \(P_{\overline A}(B)\) signifie : \[ P(B\mid \overline A)=\frac{P(B\cap\overline A)}{P(\overline A)}. \] Dans un tirage équiprobable, on peut compter directement les cas favorables dans l’univers réduit \(\overline A\).
L’événement \(\overline A\) signifie : les deux boules sont de couleurs différentes.
Donc le tirage doit contenir une boule rouge et une boule noire.
Nombre de tirages possibles sous la condition \(\overline A\) :
\[ 5\times4=20. \]On veut maintenant que les deux boules portent un numéro pair.
- Boules rouges paires : \(2\) et \(4\), donc \(2\) choix.
- Boules noires paires : \(2\) et \(4\), donc \(2\) choix.
Le nombre de cas favorables est donc :
\[ 2\times2=4. \]Ainsi :
\[ P_{\overline A}(B) = \frac{4}{20} = \frac15. \]Réponse correcte : D
Question 10
On lance deux dés équilibrés à \(6\) faces.
On demande la probabilité d’obtenir au moins un \(6\).
L’expression « au moins un » se traite souvent avec l’événement contraire : \[ P(\text{au moins un }6)=1-P(\text{aucun }6). \]
On lance deux dés équilibrés.
L’événement contraire de « obtenir au moins un \(6\) » est :
\[ \text{n’obtenir aucun }6. \]Pour un seul dé :
\[ P(\text{pas de }6)=\frac56. \]Les deux lancers sont indépendants, donc :
\[ P(\text{aucun }6)=\frac56\times\frac56 = \frac{25}{36}. \]Donc :
\[ P(\text{au moins un }6) = 1-\frac{25}{36} = \frac{11}{36}. \]Réponse correcte : B
Question 11
On donne :
\[ A(1,1,-2),\quad B(0,5,5),\quad C(6,-3,-5),\quad D(1,2,0). \]On cherche si \(\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\).
On commence par calculer les coordonnées des vecteurs.
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{AB}=(-1,4,7). \]De même :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} = (5,-4,-3), \] et : \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA} = (0,1,2). \]On cherche donc :
\[ (0,1,2)=x(-1,4,7)+y(5,-4,-3). \]On obtient le système :
\[ \begin{cases} -x+5y=0,\\ 4x-4y=1,\\ 7x-3y=2. \end{cases} \]De la première équation :
\[ x=5y. \]Dans la deuxième :
\[ 4(5y)-4y=1. \] \[ 16y=1,\qquad y=\frac1{16}. \]Donc :
\[ x=\frac5{16}. \]On vérifie dans la troisième :
\[ 7\cdot\frac5{16}-3\cdot\frac1{16} = \frac{35-3}{16} = 2. \]Donc :
\[ x=\frac5{16}, \qquad y=\frac1{16}. \]Réponse correcte : B
Question 12
On donne :
\[ \vec u(1,2,-1),\quad \vec v(3,6,-3),\quad \vec w(0,1,1). \]On demande la valeur du produit mixte \((\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w\).
On remarque immédiatement que :
\[ \vec v=(3,6,-3)=3(1,2,-1)=3\vec u. \]Donc \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul :
\[ \vec u\wedge\vec v=\vec0. \]Par conséquent :
\[ (\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w = \vec0\cdot\vec w = 0. \]Réponse correcte : A
Question 13
On considère :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+e^x}. \]On demande l’équation de la tangente au point \(O(0,0)\).
Si une courbe passe par \(O(0,0)\), alors sa tangente en \(O\), lorsqu’elle existe, a pour équation : \[ y=f'(0)x. \]
D’abord :
\[ f(0)=\frac{\ln(0+1)}{0+e^0} = \frac{\ln1}{1} = 0. \]Donc la courbe passe bien par \(O(0,0)\).
On calcule maintenant \(f'(0)\). Posons :
\[ u(x)=\ln(x+1), \qquad v(x)=x+e^x. \]Alors :
\[ u(0)=0,\qquad u'(x)=\frac1{x+1},\qquad u'(0)=1, \] et : \[ v(0)=1,\qquad v'(x)=1+e^x,\qquad v'(0)=2. \]Avec la dérivée d’un quotient :
\[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}. \]Donc :
\[ f'(0) = \frac{u'(0)v(0)-u(0)v'(0)}{v(0)^2} = \frac{1\cdot1-0\cdot2}{1^2} = 1. \]L’équation de la tangente en \(O\) est donc :
\[ y=x. \]Réponse correcte : A
Question 14
On considère :
\[ z=(1+i)^{20}. \]On demande la partie imaginaire de \(z\).
Si un complexe non nul s’écrit sous la forme \[ z=re^{i\theta}, \] alors : \[ z^n=r^n e^{in\theta}. \] Cette forme est très utile pour calculer une grande puissance.
On écrit \(1+i\) sous forme exponentielle :
\[ 1+i=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Donc :
\[ (1+i)^{20} = \left(\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{20}. \]Ainsi :
\[ (1+i)^{20} = (\sqrt2)^{20}e^{i20\frac{\pi}{4}}. \]Or :
\[ (\sqrt2)^{20}=2^{10}, \qquad 20\cdot\frac{\pi}{4}=5\pi. \]Donc :
\[ z=2^{10}e^{i5\pi}. \]Comme :
\[ e^{i5\pi}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=-1, \] on obtient : \[ z=-2^{10}. \]Ce nombre est réel, donc sa partie imaginaire est :
\[ 0. \]Réponse correcte : C
À retenir
Les questions de cette partie mobilisent surtout : intégrales, suites, nombres complexes, continuité, trigonométrie, probabilités, géométrie dans l’espace et forme exponentielle. Pour bien progresser, il faut reconnaître l’idée principale de chaque question puis justifier le calcul avec précision.
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