Correction — Concours Médecine Maroc 2025 — Mathématiques
Correction pédagogique de la partie mathématiques.
Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Session 2025 — 14 QSM.
Chaque QSM est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction pédagogique est proposée par Parcours Maths Maroc pour l’entraînement et la compréhension.
Tableau final des réponses
| QSM | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | C | A | D | B | D | B | D | C | D | B | B | A | A | C |
Correction détaillée des QSM
Question 1
On demande de calculer :
\[ I=\int_0^\pi |\cos x|\,dx. \]Avec une valeur absolue, on commence par déterminer le signe de l’expression. Ici, \(\cos x\) change de signe en \(\frac{\pi}{2}\) sur \([0,\pi]\).
Sur l’intervalle \([0,\pi]\), on a :
\[ \cos x\ge0\quad\text{sur}\quad \left[0,\frac{\pi}{2}\right], \] et : \[ \cos x\le0\quad\text{sur}\quad \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. \]Donc :
\[ |\cos x|= \begin{cases} \cos x,&0\le x\le \frac{\pi}{2},\\ -\cos x,&\frac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases} \]On coupe alors l’intégrale :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi(-\cos x)\,dx. \]Calcul du premier morceau :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1-0=1. \]Calcul du deuxième morceau :
\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi(-\cos x)\,dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = 0-(-1)=1. \]Donc :
\[ I=1+1=2. \]Réponse correcte : C
Question 2
On demande de calculer :
\[ J=\int_0^1\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx. \]Pour reconnaître une intégrale rapidement, on cherche si l’expression est la dérivée d’une fonction simple. Ici, le dénominateur \((1+x^2)^2\) fait penser à la dérivée de \(\frac{x}{1+x^2}\).
On teste la fonction :
\[ F(x)=\frac{x}{1+x^2}. \]On dérive avec la règle du quotient :
\[ F'(x)= \frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}. \]On simplifie le numérateur :
\[ 1+x^2-2x^2=1-x^2. \] Donc : \[ F'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}. \]C’est exactement l’expression à intégrer. Ainsi :
\[ J=\int_0^1\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx = \left[\frac{x}{1+x^2}\right]_0^1. \]Donc :
\[ J=\frac{1}{2}-0=\frac12. \]Réponse correcte : A
Question 3
La suite est définie par :
\[ u_1=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}. \]On demande la limite de \((u_n)\).
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), on cherche souvent un encadrement, la monotonie, puis la limite éventuelle en résolvant \(\ell=f(\ell)\).
On commence par montrer que la suite reste entre \(1\) et \(2\).
On a :
\[ u_1=1. \]Si \(1\le u_n\le2\), alors :
\[ 3\le 2+u_n\le4. \] Comme la racine carrée est croissante : \[ \sqrt3\le u_{n+1}\le2. \]Donc les termes restent dans \([1,2]\).
Étudions la monotonie. Pour \(u_n\in[1,2]\) :
\[ u_{n+1}\ge u_n \Longleftrightarrow \sqrt{2+u_n}\ge u_n. \]Les deux membres sont positifs, donc on peut élever au carré :
\[ 2+u_n\ge u_n^2 \Longleftrightarrow u_n^2-u_n-2\le0. \] Or : \[ u_n^2-u_n-2=(u_n-2)(u_n+1). \] Cette quantité est \(\le0\) pour \(u_n\in[1,2]\). Donc \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\). Elle est donc convergente.Si sa limite est \(\ell\), alors :
\[ \ell=\sqrt{2+\ell}. \]En élevant au carré :
\[ \ell^2=2+\ell, \qquad \ell^2-\ell-2=0, \qquad (\ell-2)(\ell+1)=0. \]Comme les termes sont positifs, \(\ell\ge0\). On garde donc :
\[ \ell=2. \]Réponse correcte : D
Question 4
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres complexes tels que :
\[ a\ne b\quad\text{et}\quad |a|=1. \]On demande la valeur de :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right|. \]Si \(|a|=1\), alors : \[ a\overline a=1. \] Cette égalité permet souvent de transformer une expression contenant \(1\).
On utilise :
\[ |a|=1 \Longrightarrow a\overline a=1. \]On transforme alors le dénominateur :
\[ 1-\overline a b = a\overline a-\overline a b. \]On factorise par \(\overline a\) :
\[ 1-\overline a b = \overline a(a-b). \]Comme \(a\ne b\), on a \(a-b\ne0\). Donc :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right| = \left|\frac{a-b}{\overline a(a-b)}\right|. \]On simplifie par \(a-b\) :
\[ \left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right| = \left|\frac1{\overline a}\right|. \] Or : \[ |\overline a|=|a|=1. \] Donc : \[ \left|\frac1{\overline a}\right|=\frac1{|\overline a|}=1. \]Réponse correcte : B
Question 5
On considère :
\[ C=1+\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{2\pi}{5}+\cdots+\cos\frac{9\pi}{5} \]et :
\[ S=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\cdots+\sin\frac{9\pi}{5}. \]On demande la valeur de \(z=C+iS\).
Pour tout réel \(\theta\), on a : \[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \] Cela permet de transformer une somme de cosinus et de sinus en une somme géométrique complexe.
Pour tout réel \(\theta\), on a : \[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \] Cela permet de transformer une somme trigonométrique en somme géométrique complexe.
On regroupe les parties réelles et imaginaires dans un seul nombre complexe :
\[ z=C+iS. \]Pour chaque entier \(k\), on a :
\[ \cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5} = e^{ik\frac{\pi}{5}}. \]Donc :
\[ z=1+\sum_{k=1}^{9}e^{ik\frac{\pi}{5}} = \sum_{k=0}^{9}e^{ik\frac{\pi}{5}}. \]C’est une somme géométrique de raison :
\[ q=e^{i\frac{\pi}{5}}. \]Comme :
\[ q^{10}=e^{i2\pi}=1 \] et \(q\ne1\), on applique : \[ 1+q+\cdots+q^9=\frac{1-q^{10}}{1-q}. \]Donc :
\[ 1+q+\cdots+q^9 = \frac{1-1}{1-q}=0. \]Ainsi :
\[ z=0. \]Réponse correcte : D
Question 6
On définit la fonction \(f\) par :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\quad (x\ne0),\qquad f(0)=a. \]On demande la valeur de \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).
Pour que \(f\) soit continue en \(0\), il faut que : \[ f(0)=\lim_{x\to0} f(x). \] Ici \(f(0)=a\), donc on cherche la limite de l’expression pour \(x\ne0\).
Pour \(x\ne0\), on a :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]Lorsque \(x\to0\), on obtient une forme \(\frac00\). On rationalise :
\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)}. \]Au numérateur :
\[ (\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)=1+x-1=x. \] Donc : \[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac1{\sqrt{1+x}+1}. \]Alors :
\[ \lim_{x\to0}f(x) = \frac1{\sqrt1+1} = \frac12. \]Pour que \(f\) soit continue en \(0\), il faut donc :
\[ a=\frac12. \]Réponse correcte : B
Question 7
On considère :
\[ f(x)=\sin x+\cos x. \]On demande la valeur maximale de \(f(x)\) sur \(\mathbb R\).
On écrit :
\[ \sin x+\cos x = \sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}\sin x+\frac1{\sqrt2}\cos x\right). \]Or :
\[ \cos\frac{\pi}{4}=\frac1{\sqrt2}, \qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac1{\sqrt2}. \]Donc :
\[ \sin x+\cos x = \sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right). \]Avec la formule :
\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \] on obtient : \[ \sin x+\cos x = \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \]Comme la valeur maximale de \(\sin\) est \(1\), on obtient :
\[ \max f=\sqrt2. \]Réponse correcte : D
Question 8
On demande de résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \frac{e^{2x-1}}{\sqrt{e^{2x+4}}}=e^{-x}. \]Pour tout réel \(u\), on a : \[ \sqrt{e^u}=e^{u/2}, \] car \(e^u\gt0\).
On simplifie d’abord le dénominateur :
\[ \sqrt{e^{2x+4}} = e^{\frac{2x+4}{2}} = e^{x+2}. \]Donc le membre de gauche devient :
\[ \frac{e^{2x-1}}{\sqrt{e^{2x+4}}} = \frac{e^{2x-1}}{e^{x+2}}. \]Avec les règles sur les puissances :
\[ \frac{e^{2x-1}}{e^{x+2}} = e^{(2x-1)-(x+2)} = e^{x-3}. \]L’équation devient :
\[ e^{x-3}=e^{-x}. \]La fonction exponentielle est injective, donc les exposants sont égaux :
\[ x-3=-x. \] Donc : \[ 2x=3, \qquad x=\frac32. \]Réponse correcte : C
Question 9
Une urne contient \(5\) boules rouges numérotées de \(1\) à \(5\) et \(4\) boules noires numérotées de \(1\) à \(4\). On tire simultanément deux boules.
\(A\) : « les deux boules sont de même couleur » et \(B\) : « les deux boules portent un numéro pair ». On demande \(P_{\overline A}(B)\).
La probabilité conditionnelle \(P_{\overline A}(B)\) signifie : \[ P(B\mid \overline A)=\frac{P(B\cap\overline A)}{P(\overline A)}. \] Dans un tirage équiprobable, on peut compter directement les cas favorables dans l’univers réduit \(\overline A\).
L’événement \(\overline A\) signifie : les deux boules sont de couleurs différentes.
Donc le tirage doit contenir une boule rouge et une boule noire.
Nombre de tirages possibles sous la condition \(\overline A\) :
\[ 5\times4=20. \]On veut maintenant que les deux boules portent un numéro pair.
- Boules rouges paires : \(2\) et \(4\), donc \(2\) choix.
- Boules noires paires : \(2\) et \(4\), donc \(2\) choix.
Le nombre de cas favorables est donc :
\[ 2\times2=4. \]Ainsi :
\[ P_{\overline A}(B) = \frac{4}{20} = \frac15. \]Réponse correcte : D
Question 10
On lance deux dés équilibrés à \(6\) faces.
On demande la probabilité d’obtenir au moins un \(6\).
L’expression « au moins un » se traite souvent avec l’événement contraire : \[ P(\text{au moins un }6)=1-P(\text{aucun }6). \]
On lance deux dés équilibrés.
L’événement contraire de « obtenir au moins un \(6\) » est :
\[ \text{n’obtenir aucun }6. \]Pour un seul dé :
\[ P(\text{pas de }6)=\frac56. \]Les deux lancers sont indépendants, donc :
\[ P(\text{aucun }6)=\frac56\times\frac56 = \frac{25}{36}. \]Donc :
\[ P(\text{au moins un }6) = 1-\frac{25}{36} = \frac{11}{36}. \]Réponse correcte : B
Question 11
On donne :
\[ A(1,1,-2),\quad B(0,5,5),\quad C(6,-3,-5),\quad D(1,2,0). \]On cherche si \(\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\).
On commence par calculer les coordonnées des vecteurs.
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{AB}=(-1,4,7). \]De même :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} = (5,-4,-3), \] et : \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA} = (0,1,2). \]On cherche donc :
\[ (0,1,2)=x(-1,4,7)+y(5,-4,-3). \]On obtient le système :
\[ \begin{cases} -x+5y=0,\\ 4x-4y=1,\\ 7x-3y=2. \end{cases} \]De la première équation :
\[ x=5y. \]Dans la deuxième :
\[ 4(5y)-4y=1. \] \[ 16y=1,\qquad y=\frac1{16}. \]Donc :
\[ x=\frac5{16}. \]On vérifie dans la troisième :
\[ 7\cdot\frac5{16}-3\cdot\frac1{16} = \frac{35-3}{16} = 2. \]Donc :
\[ x=\frac5{16}, \qquad y=\frac1{16}. \]Réponse correcte : B
Question 12
On donne :
\[ \vec u(1,2,-1),\quad \vec v(3,6,-3),\quad \vec w(0,1,1). \]On demande la valeur du produit mixte \((\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w\).
On remarque immédiatement que :
\[ \vec v=(3,6,-3)=3(1,2,-1)=3\vec u. \]Donc \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul :
\[ \vec u\wedge\vec v=\vec0. \]Par conséquent :
\[ (\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w = \vec0\cdot\vec w = 0. \]Réponse correcte : A
Question 13
On considère :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+e^x}. \]On demande l’équation de la tangente au point \(O(0,0)\).
Si une courbe passe par \(O(0,0)\), alors sa tangente en \(O\), lorsqu’elle existe, a pour équation : \[ y=f'(0)x. \]
D’abord :
\[ f(0)=\frac{\ln(0+1)}{0+e^0} = \frac{\ln1}{1} = 0. \]Donc la courbe passe bien par \(O(0,0)\).
On calcule maintenant \(f'(0)\). Posons :
\[ u(x)=\ln(x+1), \qquad v(x)=x+e^x. \]Alors :
\[ u(0)=0,\qquad u'(x)=\frac1{x+1},\qquad u'(0)=1, \] et : \[ v(0)=1,\qquad v'(x)=1+e^x,\qquad v'(0)=2. \]Avec la dérivée d’un quotient :
\[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}. \]Donc :
\[ f'(0) = \frac{u'(0)v(0)-u(0)v'(0)}{v(0)^2} = \frac{1\cdot1-0\cdot2}{1^2} = 1. \]L’équation de la tangente en \(O\) est donc :
\[ y=x. \]Réponse correcte : A
Question 14
On considère :
\[ z=(1+i)^{20}. \]On demande la partie imaginaire de \(z\).
Si un complexe non nul s’écrit sous la forme \[ z=re^{i\theta}, \] alors : \[ z^n=r^n e^{in\theta}. \] Cette forme est très utile pour calculer une grande puissance.
On écrit \(1+i\) sous forme exponentielle :
\[ 1+i=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Donc :
\[ (1+i)^{20} = \left(\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{20}. \]Ainsi :
\[ (1+i)^{20} = (\sqrt2)^{20}e^{i20\frac{\pi}{4}}. \]Or :
\[ (\sqrt2)^{20}=2^{10}, \qquad 20\cdot\frac{\pi}{4}=5\pi. \]Donc :
\[ z=2^{10}e^{i5\pi}. \]Comme :
\[ e^{i5\pi}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=-1, \] on obtient : \[ z=-2^{10}. \]Ce nombre est réel, donc sa partie imaginaire est :
\[ 0. \]Réponse correcte : C
À retenir
Les questions de cette partie mobilisent surtout : intégrales, suites, nombres complexes, continuité, trigonométrie, probabilités, géométrie dans l’espace et forme exponentielle. Pour bien progresser, il faut reconnaître l’idée principale de chaque question puis justifier le calcul avec précision.
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