Correction — Concours Médecine Maroc 2024 — Mathématiques
Correction pédagogique de la composante mathématiques.
Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire — Mathématiques.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction pédagogique est proposée par Parcours Maths Maroc pour l’entraînement et la compréhension.
Tableau des réponses
| Question | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | B | B | E | C | B | D | B | C | E* | E | A | B | C | B/E* |
Correction détaillée des questions 43 à 56
Question 43
On considère la fonction \(f\) définie, pour \(x\gt0\), par :
\[ f(x)=x-\frac{(\ln x)^2}{x}. \]On demande l’expression de \(f'(x)\).
Pour dériver un quotient \(\dfrac{u}{v}\), on utilise : \[ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \] Ici, il faut aussi faire attention au signe moins devant le quotient.
La fonction est définie pour \(x\gt0\), car \(\ln x\) doit exister.
\[ f(x)=x-\frac{(\ln x)^2}{x}. \]Donc :
\[ f'(x)=1-\left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)'. \]Pour le quotient, posons :
\[ u(x)=(\ln x)^2,\qquad v(x)=x. \]Alors :
\[ u'(x)=2\ln x\cdot\frac1x=\frac{2\ln x}{x}, \qquad v'(x)=1. \]Donc :
\[ \left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)' = \frac{\frac{2\ln x}{x}\cdot x-(\ln x)^2}{x^2}. \] Ainsi : \[ \left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)' = \frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}. \]On revient à \(f'(x)\) :
\[ f'(x)=1-\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}. \]Réponse correcte : B
Question 44
On considère :
\[ f(x)=2\ln\left(\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\right). \]On demande l’équation de l’asymptote horizontale ou oblique lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ou \(+\infty\).
Pour chercher une asymptote oblique \(y=ax+b\), on cherche une expression simple de \(f(x)\) puis on étudie \(f(x)-(ax+b)\). Avec les logarithmes, on factorise souvent le terme dominant à l’intérieur du \(\ln\).
On commence par utiliser les propriétés du logarithme :
\[ f(x)=2\ln\left(\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\right). \] Donc : \[ f(x)=2\ln(e^x+2)-2\ln\sqrt{1+e^x}. \] Or : \[ 2\ln\sqrt{1+e^x}=\ln(1+e^x). \] Ainsi : \[ f(x)=2\ln(e^x+2)-\ln(1+e^x). \]Au voisinage de \(+\infty\), on factorise \(e^x\) :
\[ \ln(e^x+2)=\ln\left(e^x(1+2e^{-x})\right) = x+\ln(1+2e^{-x}), \] et : \[ \ln(1+e^x)=\ln\left(e^x(1+e^{-x})\right) = x+\ln(1+e^{-x}). \]Donc :
\[ f(x) = 2x+2\ln(1+2e^{-x})-x-\ln(1+e^{-x}). \] Ainsi : \[ f(x)=x+2\ln(1+2e^{-x})-\ln(1+e^{-x}). \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^{-x}\to0\), donc :
\[ 2\ln(1+2e^{-x})-\ln(1+e^{-x})\to0. \]Par conséquent :
\[ f(x)-x\to0. \]L’asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\) est donc :
\[ y=x. \]Au voisinage de \(-\infty\), on a \(e^x\to0\), donc :
\[ f(x)\to2\ln2. \]Il existe donc une asymptote horizontale \(y=2\ln2\) en \(-\infty\), mais la réponse correspondant à l’asymptote oblique est :
\[ y=x. \]Réponse correcte : B
Question 45
On considère :
\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \]On cherche le point \(x_0\) où la tangente à \(C_g\) est parallèle à la droite \(y=x\).
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. La droite \(y=x\) a pour coefficient directeur \(1\). Donc une tangente parallèle à \(y=x\) doit vérifier \(g'(x_0)=1\).
La fonction est définie pour :
\[ x\ne -1. \]On dérive :
\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \] Donc : \[ g'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+1)}{(x+1)^2}. \]On développe le numérateur :
\[ 2x(x+1)-(x^2+1) = 2x^2+2x-x^2-1 = x^2+2x-1. \] Ainsi : \[ g'(x)=\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}. \]Pour que la tangente soit parallèle à \(y=x\), il faut :
\[ g'(x)=1. \] Donc : \[ \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1. \]Comme \(x\ne-1\), on multiplie par \((x+1)^2\) :
\[ x^2+2x-1=(x+1)^2. \] Or : \[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \] Donc : \[ x^2+2x-1=x^2+2x+1. \] Cela donne : \[ -1=1, \] ce qui est impossible.Il n’existe donc aucun point où la tangente est parallèle à \(y=x\).
Réponse correcte : E
Question 46
On considère :
\[ z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt3)^4}. \]On cherche la bonne proposition concernant \(|z|\) ou \(\arg z\).
Pour les grandes puissances de nombres complexes, on utilise la forme exponentielle : \[ re^{i\theta}. \] On élève alors le module à la puissance demandée et on multiplie l’argument par cette puissance.
On écrit les deux complexes sous forme exponentielle :
\[ 1-i=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}, \qquad 1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Donc :
\[ (1-i)^{10} = (\sqrt2)^{10}e^{-i\frac{10\pi}{4}}, \] et : \[ (1+i\sqrt3)^4 = 2^4e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]Ainsi :
\[ z= \frac{(\sqrt2)^{10}}{2^4} e^{i\left(-\frac{10\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}\right)}. \]Pour le module :
\[ |z|=\frac{(\sqrt2)^{10}}{2^4} = \frac{2^5}{2^4} = 2. \]Pour l’argument :
\[ \arg z = -\frac{10\pi}{4}-\frac{4\pi}{3} = -\frac{5\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}. \] En mettant au même dénominateur : \[ \arg z=-\frac{15\pi}{6}-\frac{8\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}. \]On réduit modulo \(2\pi\). Comme \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), on ajoute \(4\pi=\frac{24\pi}{6}\) :
\[ -\frac{23\pi}{6}+4\pi = -\frac{23\pi}{6}+\frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. \]Donc un argument de \(z\) est :
\[ \frac{\pi}{6}. \]Réponse correcte : C
Question 47
On cherche trois nombres complexes distincts \(z_1,z_2,z_3\) ayant le même cube :
\[ (z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3. \]Les racines cubiques de l’unité sont les solutions de : \[ z^3=1. \] Elles sont au nombre de \(3\) dans \(\mathbb C\).
On cherche trois complexes distincts ayant le même cube. Le choix naturel est de prendre les trois racines cubiques de \(1\).
Ces racines sont :
\[ 1,\qquad \omega=e^{\frac{2\pi i}{3}},\qquad \omega^2=e^{\frac{4\pi i}{3}}. \]Elles sont distinctes, car leurs arguments sont différents modulo \(2\pi\).
De plus :
\[ 1^3=1, \] \[ \omega^3=\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)^3=e^{2\pi i}=1, \] et : \[ (\omega^2)^3=\omega^6=(\omega^3)^2=1. \]Donc :
\[ 1^3=\omega^3=(\omega^2)^3. \]Réponse correcte : B
Question 48
Dans l’espace, on donne :
\[ A(0,3,1),\quad B(-1,3,0),\quad C(0,5,0). \]La sphère \((S)\) a pour équation :
\[ x^2+y^2+z^2-4x-5=0. \]On demande les coordonnées du point de tangence \(H\) du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\).
Si une sphère est tangente à un plan, alors le point de tangence est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur ce plan.
On commence par écrire l’équation de la sphère sous forme canonique :
\[ x^2-4x+y^2+z^2-5=0. \] Donc : \[ (x-2)^2+y^2+z^2=9. \]Le centre de la sphère est :
\[ \Omega(2,0,0), \] et son rayon est : \[ R=3. \]On détermine ensuite le plan \((ABC)\). On calcule :
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = (-1,0,-1), \] et : \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} = (0,2,-1). \]Un vecteur normal au plan \((ABC)\) est :
\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}. \] En calculant : \[ \vec n=(2,-1,-2). \]Une équation du plan passant par \(A(0,3,1)\) est :
\[ 2(x-0)-1(y-3)-2(z-1)=0. \] Donc : \[ 2x-y-2z+5=0. \]Le point de tangence \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur ce plan. Pour un plan \(ax+by+cz+d=0\), le projeté de \(\Omega(x_0,y_0,z_0)\) s’écrit :
\[ H=\Omega-\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c). \]Ici :
\[ ax_0+by_0+cz_0+d=2\cdot2-0-2\cdot0+5=9, \] et : \[ a^2+b^2+c^2=2^2+(-1)^2+(-2)^2=9. \]Donc :
\[ H=\Omega-\frac{9}{9}\vec n. \] Ainsi : \[ H=(2,0,0)-(2,-1,-2)=(0,1,2). \]Réponse correcte : D
Question 49
On choisit \(30\) SMS distincts parmi \(2000\) SMS. On note \(\Omega\) l’ensemble de tous les sous-ensembles de \(30\) SMS distincts.
On demande le nombre d’éléments de \(\Omega\).
Lorsqu’on choisit \(p\) objets parmi \(n\) objets sans tenir compte de l’ordre, on utilise les combinaisons : \[ \mathrm{C}_{n}^{p}. \]
On choisit \(30\) SMS distincts parmi \(2000\) SMS.
L’ordre ne compte pas : un sous-ensemble ne dépend pas de l’ordre dans lequel on écrit ses éléments.
Le nombre de sous-ensembles de \(30\) SMS est donc :
\[ \operatorname{Card}(\Omega)=\mathrm{C}_{2000}^{30}. \]Réponse correcte : B
Question 50
On suppose que vous faites partie des \(2000\) personnes ayant envoyé un SMS. On sélectionne \(30\) SMS au hasard.
On demande la probabilité que vous soyez sélectionné.
Il y a \(2000\) personnes et \(30\) personnes sont sélectionnées.
Par symétrie, chaque personne a la même probabilité d’être sélectionnée.
La probabilité qu’une personne précise soit sélectionnée est donc :
\[ P=\frac{\text{nombre de places sélectionnées}}{\text{nombre total de personnes}}. \] Ainsi : \[ P=\frac{30}{2000}. \] On simplifie : \[ P=\frac{3}{200}. \] En écriture décimale : \[ P=0.015. \]Réponse correcte : C
Question 51
On considère la suite \((U_n)\) définie par :
\[ U_n=\ln(1+ne^{-n}),\quad n\in\mathbb N. \]On demande la bonne proposition concernant la suite \((U_n)\).
On utilise la limite classique : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{e^n}=0. \] Cela signifie que l’exponentielle \(e^n\) devient beaucoup plus grande que \(n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
On considère :
\[ U_n=\ln(1+ne^{-n}). \]Comme :
\[ ne^{-n}=\frac{n}{e^n}, \] on a : \[ ne^{-n}\to0. \]Donc :
\[ 1+ne^{-n}\to1. \]La fonction logarithme est continue en \(1\), donc :
\[ U_n=\ln(1+ne^{-n})\to\ln1=0. \]La suite \((U_n)\) est donc convergente vers \(0\). En particulier, elle est bornée.
La proposition la plus précise est :
\[ \lim_{n\to+\infty}U_n=0. \]Réponse attendue : E
Question 52
On considère :
\[ w_0=1,\qquad w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2w_n+4}. \]On pose :
\[ y_n=\frac4{2+w_n}. \]On demande l’expression de \(y_{n+1}\) en fonction de \(y_n\).
On cherche :
\[ y_{n+1}=\frac4{2+w_{n+1}}. \]Or :
\[ w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2w_n+4}. \] Donc : \[ y_{n+1} = \frac4{2+\frac{w_n+3}{2w_n+4}}. \]On met le dénominateur au même dénominateur :
\[ 2+\frac{w_n+3}{2w_n+4} = \frac{2(2w_n+4)+w_n+3}{2w_n+4}. \] Donc : \[ 2+\frac{w_n+3}{2w_n+4} = \frac{5w_n+11}{2w_n+4}. \] Ainsi : \[ y_{n+1} = \frac4{\frac{5w_n+11}{2w_n+4}} = \frac{4(2w_n+4)}{5w_n+11}. \]Maintenant, on exprime \(w_n\) en fonction de \(y_n\). Puisque :
\[ y_n=\frac4{2+w_n}, \] on a : \[ 2+w_n=\frac4{y_n}, \] donc : \[ w_n=\frac4{y_n}-2. \]On remplace dans l’expression de \(y_{n+1}\) :
\[ y_{n+1} = \frac{8w_n+16}{5w_n+11}. \]Le numérateur vaut :
\[ 8\left(\frac4{y_n}-2\right)+16 = \frac{32}{y_n}-16+16 = \frac{32}{y_n}. \]Le dénominateur vaut :
\[ 5\left(\frac4{y_n}-2\right)+11 = \frac{20}{y_n}-10+11 = \frac{20+y_n}{y_n}. \]Donc :
\[ y_{n+1} = \frac{\frac{32}{y_n}}{\frac{20+y_n}{y_n}} = \frac{32}{20+y_n}. \]Réponse correcte : E
Question 53
On considère l’équation :
\[ x^x=(\sqrt{x})^{x+1}. \]On demande la bonne proposition parmi les valeurs proposées.
Avant de manipuler une équation avec \(x^x\), il faut préciser le domaine : \[ x\gt0. \]
Le domaine impose :
\[ x\gt0. \]Comme :
\[ \sqrt{x}=x^{1/2}, \] on a : \[ (\sqrt{x})^{x+1}=x^{\frac{x+1}{2}}. \]L’équation devient donc :
\[ x^x=x^{\frac{x+1}{2}}. \]On remarque d’abord que \(x=1\) est solution :
\[ 1^1=(\sqrt1)^2=1. \]Si \(x\ne1\), alors la fonction \(a\mapsto x^a\) est injective, donc les exposants doivent être égaux :
\[ x=\frac{x+1}{2}. \] Donc : \[ 2x=x+1, \] d’où : \[ x=1. \]On retrouve la même solution. La valeur correcte proposée est donc :
\[ x=1. \]Réponse correcte : A
Question 54
On demande de calculer :
\[ \int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx. \]Une primitive de la forme \[ \int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx \] est : \[ \ln|u(x)|+C. \]
On observe que le dénominateur est :
\[ 2+\sin x. \]Sa dérivée est :
\[ (2+\sin x)'=\cos x. \]C’est exactement le numérateur. On pose donc :
\[ u=2+\sin x. \] Alors : \[ du=\cos x\,dx. \]L’intégrale devient :
\[ \int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx = \int \frac{du}{u}. \] Donc : \[ \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C. \]En revenant à \(x\) :
\[ \int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx = \ln|2+\sin x|+C. \]Comme \(\sin x\in[-1,1]\), on a :
\[ 2+\sin x\ge1\gt0. \]On peut donc écrire :
\[ \ln(2+\sin x)+C. \]Réponse correcte : B
Question 55
On considère :
\[ f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x. \]On demande le domaine de définition de \(f\).
Pour définir une puissance réelle \(a^x\), on demande généralement : \[ a\gt0. \] Ici la base est \(1+\frac1x\).
On considère :
\[ f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x. \]Il faut d’abord :
\[ x\ne0. \]Ensuite, pour que la base de la puissance réelle soit strictement positive, il faut :
\[ 1+\frac1x\gt0. \]On écrit :
\[ 1+\frac1x=\frac{x+1}{x}. \]On résout donc :
\[ \frac{x+1}{x}\gt0. \]Les valeurs critiques sont :
\[ -1 \quad \text{et} \quad 0. \]Étude du signe :
- sur \(]-\infty,-1[\), le quotient est positif ;
- sur \(]-1,0[\), le quotient est négatif ;
- sur \(]0,+\infty[\), le quotient est positif.
Donc :
\[ D_f=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[. \]Réponse correcte : C
Question 56
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,1]\) par :
\[ f(x)=x\sin(\pi x)-\ln x-1. \]On demande la bonne proposition parmi les choix proposés.
Pour montrer l’existence d’une solution de \(f(x)=0\), on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires : si \(f\) est continue et change de signe, alors elle s’annule au moins une fois.
La fonction est :
\[ f(x)=x\sin(\pi x)-\ln x-1, \qquad x\in]0,1]. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ x\sin(\pi x)\to0, \qquad -\ln x\to+\infty. \] Donc : \[ f(x)\to+\infty. \]On calcule ensuite la valeur en \(1\) :
\[ f(1)=1\cdot\sin\pi-\ln1-1. \] Or : \[ \sin\pi=0, \qquad \ln1=0. \] Donc : \[ f(1)=-1. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=-1. \]La proposition donnant cette limite est donc vraie.
De plus, \(f\) est continue sur \(]0,1]\). Comme \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to0^+\) et \(f(1)=-1\), on peut choisir un nombre \(a\in]0,1[\) assez proche de \(0\) tel que :
\[ f(a)\gt0. \]Comme :
\[ f(1)=-1\lt0, \] le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence de : \[ c\in]a,1[ \] tel que : \[ f(c)=0. \]La proposition d’existence d’une solution est donc vraie aussi.
Réponses vraies dans le choix affichés : B et E
À retenir
Cette série mobilise surtout : dérivation, logarithmes, asymptotes, nombres complexes, géométrie dans l’espace, dénombrement, probabilités, suites et limites. Pour progresser, il faut identifier l’idée principale de chaque question puis justifier le calcul proprement.
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