Concours Médecine Casablanca 2019 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès à l’école de médecine 2019 — Casablanca.

Épreuve de mathématiques — 15 QSM — Durée indiquée : 30 minutes.

Archive Casablanca 2019 — questions Q1 à Q15.

Compétences et points clés

Casablanca Médecine 2019 propose des QSM avec domaines logarithmiques, inéquations, lieux complexes et étude de fonction. Plusieurs propositions peuvent demander des vérifications différentes ; la validité d’une seule ne permet pas d’arrêter l’analyse du reste de la question.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; distances, équations de droites et de cercles; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Lieux géométriques. Une égalité de distances à deux points distincts décrit leur médiatrice. Une distance constante à un point décrit un cercle si cette constante est strictement positive. Lorsque plusieurs conditions sont imposées ensemble, le lieu recherché est leur intersection, qui peut être vide ou réduite à quelques points.

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour le quotient de logarithmes, réunir les conditions sur leurs arguments et l’exclusion des zéros du dénominateur. Dans le produit d’une inconnue et d’un logarithme, établir un tableau de signes. Pour l’égalité de modules, traduire en distances avant de développer les coordonnées.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours Médecine Casablanca 2019. Le sujet contient 15 QSM, avec une ou plusieurs réponses justes selon la question.

L’utilisation de toute sorte de calculatrice est interdite. Pour s’entraîner efficacement, il est conseillé de traiter les questions avant de consulter la correction détaillée.

Guide Concours Médecine Page Concours

Remarque importante : ce sujet est classé comme 2019 — Casablanca. Il ne doit pas être présenté comme concours commun national, sauf preuve officielle contraire. Certaines propositions du document fourni sont répétées, notamment dans les questions Q6 et Q14. Les anomalies sont signalées directement dans l’énoncé.

Consignes

L’utilisation de toute sorte de calculatrice est interdite.
Le sujet contient 15 QSM.
Une ou plusieurs réponses peuvent être justes selon la question.
Les anomalies visibles dans la version consultée sont signalées directement dans les questions concernées.

Énoncé — Questions Q1 à Q15

Question 1

Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=\frac{\ln(4-x^2)}{\ln(x+1)} \]

est :

A) \([2,+\infty[\)
B) \(]-1,0[\cup]0,2[\)
C) \(]-1,2[\)
D) \([0,1[\)
E) \([-2,-1]\)

Question 2

L’ensemble des solutions de l’inéquation :

\[ x\ln(x+1)\gt0 \]

est :

A) \(]-1,+\infty[\)
B) \(]-1,0[\)
C) \(]-1,0[\cup]0,+\infty[\)
D) \(]0,+\infty[\)
E) \(]-1,1[\)

Question 3

On a :

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-x^2-1}{x\sin x} \]

est égale à :

A) \(-\infty\)
B) \(-1\)
C) \(0\)
D) \(+\infty\)
E) \(1\)

Question 4

Soit \(Z\) un nombre complexe tel que :

\[ Z=\frac{(1+i)^{21}(1+i\sqrt3)^{19}}{(1-i)^9}. \]

Un argument du nombre complexe \(Z\) est égal à :

A) \(\frac{\pi}{3}\)
B) \(\frac{11\pi}{6}\)
C) \(-\frac{\pi}{6}\)
D) \(\pi\)
E) \(\frac{2\pi}{3}\)

Question 5

Soit \((u_n)\) la suite définie par :

\[ u_n=\frac{2^n+n^2}{n^2e^n+1}. \]

La limite de la suite \((u_n)\) en \(+\infty\) est égale à :

A) \(0\)
B) \(+\infty\)
C) \(1\)
D) \(-\infty\)
E) \(-1\)

Question 6

L’intégrale :

\[ \int_1^e(\ln x)(-x+x\ln x)\,dx \]

est égale à :

Attention : dans la version consultée, les propositions A et E apparaissent identiques. Il s’agit probablement d’une coquille ou d’une erreur de transcription. À vérifier avec une copie officielle ou une version plus claire du sujet.

A) \(\ln3\)
B) \(1\)
C) \(-\frac12\)
D) \(0\)
E) \(\ln3\)

Question 7

La courbe de la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+e^x} \]

admet au point \(O(0,0)\) une tangente d’équation :

A) \(y=x+1\)
B) \(y=x\)
C) \(y=2x\)
D) \(y=-2x\)
E) \(y=x-1\)

Question 8

Dans le plan complexe, l’ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :

\[ |z-2|=|z-i| \]

est la droite d’équation :

A) \(-4x+2y+3=0\)
B) \(y=-2x-1\)
C) \(y=-2x+3\)
D) \(y=2x-\frac32\)
E) \(y=2x+1\)

Question 9

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les plans :

\[ (P):x-z+1=0 \]

et :

\[ (Q):x+y+1=0. \]

Soit \(M(x_0;y_0;z_0)\) un point équidistant de \((P)\) et \((Q)\). Les coordonnées du point \(M\) vérifient :

A) \(y_0+z_0=0\) ou \(2x_0+y_0-z_0+2=0\)
B) \(y_0+z_0=0\) ou \(y_0-z_0=0\)
C) \(2x_0+y_0=0\) ou \(y_0-z_0=0\)
D) \(2x_0+y_0=0\) ou \(y_0+z_0=0\)
E) \(y_0-z_0=0\) ou \(2x_0+y_0-z_0+2=0\)

Question 10

Une urne contient sept boules indiscernables au toucher : quatre boules rouges portant les nombres \(1;1;2;2\) et trois boules vertes portant les nombres \(1;1;2\). On tire successivement sans remise deux boules de l’urne.

La probabilité d’avoir deux boules portant deux nombres différents sachant qu’elles sont de même couleur, est égale à :

A) \(\frac{5}{42}\)
B) \(\frac{2}{21}\)
C) \(\frac{10}{42}\)
D) \(\frac{3}{7}\)
E) \(\frac{2}{3}\)

Question 11

Soit \(z\) un nombre complexe tel que :

\[ |z|=1. \]

Le nombre :

\[ |\sqrt2+z|^2+|\sqrt2-z|^2 \]

est égal à :

A) \(2\sqrt2\)
B) \(-2\sqrt2\)
C) \(6\)
D) \(-\sqrt2\)
E) \(\sqrt2\)

Question 12

La suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \]

vérifie :

A) \((u_n)\) est croissante
B) \((u_n)\) est minorée
C) \(u_0=0\)
D) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ u_n\leq1\)
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)

Question 13

L’équation :

\[ \ln(-2\sqrt2+\ln x)+\ln(2\sqrt2+\ln x)=0 \]

admet :

A) Une seule solution
B) Deux solutions distinctes
C) Pas de solution
D) \(S=\{e^3\}\)
E) Trois solutions distinctes

Question 14

La courbe de la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=2x+1+\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x} \]

admet au voisinage de \(+\infty\) une asymptote oblique d’équation :

A) \(y=-2x-1\)
B) \(y=2x+1\)
C) \(y=2x-1\)
D) \(y=-2x+2\)
E) \(y=-2x-1\)

Question 15

La fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=-x^2+\ln(1+x^2) \]

vérifie :

A) \(D_f=\mathbb R\)
B) \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
C) \(f'(0)=0\)
D) \(f\) est paire
E) \(f(0)=1\)

Conseil de travail

Ce sujet est un QSM : il ne faut pas chercher seulement une réponse, mais vérifier les propositions une par une. Les questions couvrent les domaines de définition, les logarithmes, les limites usuelles, les complexes, la géométrie analytique, les probabilités conditionnelles, les suites et les asymptotes.

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