Correction — Concours Médecine Casablanca 2019 — Mathématiques
Concours d’accès à l’école de médecine 2019 — Casablanca.
Épreuve de mathématiques — 15 QSM — Durée indiquée : 30 minutes.
Concours Médecine Casablanca 2019 — correction détaillée des questions Q1 à Q15.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponses exactes | B | C | D | B, C | A | C | B | A, D | A | E | C | B, D, E | A, D | C | A, B, C, D |
Correction détaillée des QSM
Question 1
Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\frac{\ln(4-x^2)}{\ln(x+1)} \]est :
A) \([2,+\infty[\)
B) \(]-1,0[\cup]0,2[\)
C) \(]-1,2[\)
D) \([0,1[\)
E) \([-2,-1]\)
Pour déterminer le domaine d’un quotient contenant des logarithmes, il faut vérifier trois conditions : \[ \text{argument du logarithme du numérateur}\gt0, \quad \text{argument du logarithme du dénominateur}\gt0, \quad \text{dénominateur}\ne0. \]
La fonction est :
\[ f(x)=\frac{\ln(4-x^2)}{\ln(x+1)}. \]Première condition : le logarithme du numérateur doit être défini.
\[ 4-x^2\gt0. \]Donc :
\[ x^2\lt4, \] ce qui donne : \[ -2\lt x\lt2. \]Deuxième condition : le logarithme du dénominateur doit être défini.
\[ x+1\gt0. \] Donc : \[ x\gt -1. \]En combinant les deux premières conditions, on obtient déjà :
\[ -1\lt x\lt2. \]Troisième condition : le dénominateur ne doit pas être nul.
\[ \ln(x+1)\ne0. \]Or :
\[ \ln(x+1)=0 \Longleftrightarrow x+1=1 \Longleftrightarrow x=0. \]On doit donc enlever \(0\).
Finalement :
\[ D_f=]-1,0[\cup]0,2[. \]Réponse exacte : B
Question 2
L’ensemble des solutions de l’inéquation :
\[ x\ln(x+1)\gt0 \]est :
A) \(]-1,+\infty[\)
B) \(]-1,0[\)
C) \(]-1,0[\cup]0,+\infty[\)
D) \(]0,+\infty[\)
E) \(]-1,1[\)
Le signe de \(\ln u\) dépend de la position de \(u\) par rapport à \(1\) : \[ 0\lt u\lt1 \Longrightarrow \ln u\lt0, \qquad u\gt1 \Longrightarrow \ln u\gt0. \]
On commence par le domaine :
\[ x+1\gt0. \] Donc : \[ x\gt -1. \]On étudie ensuite le signe du produit :
\[ x\ln(x+1). \]Sur \(]-1,0[\), on a :
\[ x\lt0, \qquad 0\lt x+1\lt1. \] Donc : \[ \ln(x+1)\lt0. \]Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc :
\[ x\ln(x+1)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-1,0[. \]Sur \(]0,+\infty[\), on a :
\[ x\gt0, \qquad x+1\gt1. \] Donc : \[ \ln(x+1)\gt0. \]Le produit de deux nombres positifs est positif, donc :
\[ x\ln(x+1)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]0,+\infty[. \]En \(x=0\), on obtient :
\[ x\ln(x+1)=0. \]Comme l’inéquation est stricte, \(0\) n’est pas solution.
Donc :
\[ S=]-1,0[\cup]0,+\infty[. \]Réponse exacte : C
Question 3
La limite :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-x^2-1}{x\sin x} \]est égale à :
A) \(-\infty\)
B) \(-1\)
C) \(0\)
D) \(+\infty\)
E) \(1\)
On utilise les limites usuelles : \[ \frac{e^x-1}{x}\to1 \quad\text{et}\quad \frac{\sin x}{x}\to1 \quad (x\to0). \] Ici, le dénominateur \(x\sin x\) est positif lorsque \(x\to0^+\).
On part de :
\[ \frac{e^x-x^2-1}{x\sin x}. \]On transforme le numérateur :
\[ e^x-x^2-1=(e^x-1)-x^2. \]On factorise par \(x\) :
\[ (e^x-1)-x^2 = x\left(\frac{e^x-1}{x}-x\right). \]Donc :
\[ \frac{e^x-x^2-1}{x\sin x} = \frac{x\left(\frac{e^x-1}{x}-x\right)}{x\sin x}. \]Comme \(x\ne0\) au voisinage de \(0^+\), on simplifie par \(x\) :
\[ \frac{e^x-x^2-1}{x\sin x} = \frac{\frac{e^x-1}{x}-x}{\sin x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \frac{e^x-1}{x}\to1, \qquad x\to0. \]Donc le numérateur tend vers :
\[ 1-0=1. \]De plus :
\[ \sin x\to0^+. \]Le quotient tend donc vers :
\[ +\infty. \]Réponse exacte : D
Question 4
Soit :
\[ Z=\frac{(1+i)^{21}(1+i\sqrt3)^{19}}{(1-i)^9}. \]Un argument du nombre complexe \(Z\) est égal à :
A) \(\frac{\pi}{3}\)
B) \(\frac{11\pi}{6}\)
C) \(-\frac{\pi}{6}\)
D) \(\pi\)
E) \(\frac{2\pi}{3}\)
Dans un produit, on additionne les arguments. Dans un quotient, on soustrait l’argument du dénominateur. On réduit ensuite le résultat modulo \(2\pi\).
On utilise les arguments des trois nombres complexes :
\[ \arg(1+i)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi], \] \[ \arg(1+i\sqrt3)\equiv\frac{\pi}{3}\ [2\pi], \] et : \[ \arg(1-i)\equiv-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \]Comme :
\[ Z=\frac{(1+i)^{21}(1+i\sqrt3)^{19}}{(1-i)^9}, \] un argument de \(Z\) est : \[ 21\cdot\frac{\pi}{4} + 19\cdot\frac{\pi}{3} - 9\left(-\frac{\pi}{4}\right). \]On regroupe les termes en \(\frac{\pi}{4}\) :
\[ 21\cdot\frac{\pi}{4} + 9\cdot\frac{\pi}{4} = 30\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{2}. \]Donc :
\[ \arg Z \equiv \frac{15\pi}{2}+\frac{19\pi}{3} \ [2\pi]. \]On met au même dénominateur :
\[ \frac{15\pi}{2}+\frac{19\pi}{3} = \frac{45\pi}{6}+\frac{38\pi}{6} = \frac{83\pi}{6}. \]On réduit modulo \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\). Comme :
\[ \frac{83\pi}{6}-6\cdot\frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}, \] on obtient : \[ \arg Z\equiv\frac{11\pi}{6}\ [2\pi]. \]Or :
\[ \frac{11\pi}{6}\equiv-\frac{\pi}{6}\ [2\pi]. \]Les deux écritures proposées sont donc correctes.
Réponses exactes : B et C
Question 5
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ u_n=\frac{2^n+n^2}{n^2e^n+1}. \]La limite de la suite \((u_n)\) en \(+\infty\) est égale à :
A) \(0\)
B) \(+\infty\)
C) \(1\)
D) \(-\infty\)
E) \(-1\)
Pour comparer une exponentielle à une autre, on met en évidence le quotient des bases : \[ \frac{2^n}{e^n}=\left(\frac2e\right)^n. \] Comme \(2\lt e\), on a \(0\lt\frac2e\lt1\).
La suite est :
\[ u_n=\frac{2^n+n^2}{n^2e^n+1}. \]Le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc :
\[ u_n\ge0. \]Pour majorer, on utilise :
\[ n^2e^n+1\ge n^2e^n. \]Donc :
\[ u_n = \frac{2^n+n^2}{n^2e^n+1} \le \frac{2^n+n^2}{n^2e^n}. \]On sépare :
\[ \frac{2^n+n^2}{n^2e^n} = \frac{2^n}{n^2e^n}+\frac{n^2}{n^2e^n}. \] Donc : \[ u_n\le \frac1{n^2}\left(\frac2e\right)^n+\frac1{e^n}. \]Comme \(0\lt\frac2e\lt1\), on a :
\[ \left(\frac2e\right)^n\to0. \]Donc :
\[ \frac1{n^2}\left(\frac2e\right)^n\to0. \]De plus :
\[ \frac1{e^n}\to0. \]Ainsi :
\[ 0\le u_n\le \frac1{n^2}\left(\frac2e\right)^n+\frac1{e^n}\to0. \]Par encadrement :
\[ u_n\to0. \]Réponse exacte : A
Question 6
L’intégrale :
\[ \int_1^e(\ln x)(-x+x\ln x)\,dx \]est égale à :
A) \(\ln3\)
B) \(1\)
C) \(-\frac12\)
D) \(0\)
E) \(\ln3\)
Pour reconnaître une primitive, on peut chercher une expression dont la dérivée redonne exactement l’intégrande. Ici, le facteur \(\ln x-1\) suggère une forme carrée.
On commence par simplifier l’intégrande :
\[ (\ln x)(-x+x\ln x) = x\ln x(\ln x-1). \]On cherche une primitive de :
\[ x\ln x(\ln x-1). \]Considérons :
\[ F(x)=\frac{x^2}{2}(\ln x-1)^2. \]On dérive \(F\) avec la règle du produit :
\[ F'(x) = x(\ln x-1)^2 + \frac{x^2}{2}\cdot2(\ln x-1)\cdot\frac1x. \]Donc :
\[ F'(x) = x(\ln x-1)^2+x(\ln x-1). \]On factorise :
\[ F'(x) = x(\ln x-1)\left[(\ln x-1)+1\right]. \] Ainsi : \[ F'(x)=x\ln x(\ln x-1). \]Donc :
\[ I=\int_1^e(\ln x)(-x+x\ln x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x-1)^2\right]_1^e. \]À \(x=e\) :
\[ \ln e=1, \] donc : \[ \frac{e^2}{2}(\ln e-1)^2=0. \]À \(x=1\) :
\[ \ln1=0, \] donc : \[ \frac{1^2}{2}(\ln1-1)^2=\frac12. \]Finalement :
\[ I=0-\frac12=-\frac12. \]Réponse exacte : C
Question 7
La courbe de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+e^x} \]admet au point \(O(0,0)\) une tangente d’équation :
A) \(y=x+1\)
B) \(y=x\)
C) \(y=2x\)
D) \(y=-2x\)
E) \(y=x-1\)
Si une courbe passe par \(O(0,0)\), sa tangente en \(O\), lorsqu’elle existe, a pour équation : \[ y=f'(0)x. \] Il suffit donc de calculer \(f'(0)\).
La fonction est :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+e^x}. \]On vérifie d’abord que la courbe passe par \(O\) :
\[ f(0)=\frac{\ln1}{0+e^0}=\frac0{1}=0. \]Donc le point \(O(0,0)\) appartient bien à la courbe.
Posons :
\[ u(x)=\ln(x+1), \qquad v(x)=x+e^x. \]Alors :
\[ u(0)=0, \qquad u'(x)=\frac1{x+1}, \qquad u'(0)=1. \]Et :
\[ v(0)=1, \qquad v'(x)=1+e^x, \qquad v'(0)=2. \]Avec la dérivée d’un quotient :
\[ f'(0)=\frac{u'(0)v(0)-u(0)v'(0)}{v(0)^2}. \]Donc :
\[ f'(0)=\frac{1\cdot1-0\cdot2}{1^2}=1. \]L’équation de la tangente en \(O\) est donc :
\[ y=x. \]Réponse exacte : B
Question 8
Dans le plan complexe, l’ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :
\[ |z-2|=|z-i| \]est la droite d’équation :
A) \(-4x+2y+3=0\)
B) \(y=-2x-1\)
C) \(y=-2x+3\)
D) \(y=2x-\frac32\)
E) \(y=2x+1\)
Une égalité de distances \[ |z-a|=|z-b| \] signifie que le point \(M(z)\) est sur la médiatrice du segment joignant les points d’affixes \(a\) et \(b\). En coordonnées, on compare les carrés des distances.
Posons :
\[ z=x+iy. \]La condition est :
\[ |z-2|=|z-i|. \]On compare les carrés des deux distances.
D’abord :
\[ |z-2|^2=|(x-2)+iy|^2=(x-2)^2+y^2. \]Ensuite :
\[ |z-i|^2=|x+i(y-1)|^2=x^2+(y-1)^2. \]L’égalité donne donc :
\[ (x-2)^2+y^2=x^2+(y-1)^2. \]On développe :
\[ x^2-4x+4+y^2=x^2+y^2-2y+1. \]On simplifie \(x^2\) et \(y^2\) :
\[ -4x+4=-2y+1. \]On regroupe :
\[ -4x+2y+3=0. \]Cette équation peut aussi s’écrire :
\[ 2y=4x-3, \] donc : \[ y=2x-\frac32. \]Les deux écritures proposées sont donc équivalentes.
Réponses exactes : A et D
Question 9
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les plans :
\[ (P):x-z+1=0 \]et :
\[ (Q):x+y+1=0. \]Soit \(M(x_0;y_0;z_0)\) un point équidistant de \((P)\) et \((Q)\). Les coordonnées du point \(M\) vérifient :
A) \(y_0+z_0=0\) ou \(2x_0+y_0-z_0+2=0\)
B) \(y_0+z_0=0\) ou \(y_0-z_0=0\)
C) \(2x_0+y_0=0\) ou \(y_0-z_0=0\)
D) \(2x_0+y_0=0\) ou \(y_0+z_0=0\)
E) \(y_0-z_0=0\) ou \(2x_0+y_0-z_0+2=0\)
La distance d’un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) est : \[ d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \] Si les dénominateurs sont égaux, il suffit de comparer les valeurs absolues des numérateurs.
Les plans sont :
\[ (P):x-z+1=0, \] et : \[ (Q):x+y+1=0. \]Le vecteur normal à \((P)\) est :
\[ \vec n_P=(1,0,-1). \] Sa norme vaut : \[ \|\vec n_P\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2. \]Le vecteur normal à \((Q)\) est :
\[ \vec n_Q=(1,1,0). \] Sa norme vaut : \[ \|\vec n_Q\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2. \]Les deux normes sont donc égales.
Pour que \(M(x_0,y_0,z_0)\) soit équidistant de \((P)\) et \((Q)\), il faut :
\[ |x_0-z_0+1|=|x_0+y_0+1|. \]Une égalité de valeurs absolues donne deux cas.
Premier cas :
\[ x_0-z_0+1=x_0+y_0+1. \]En simplifiant :
\[ -z_0=y_0, \] donc : \[ y_0+z_0=0. \]Deuxième cas :
\[ x_0-z_0+1=-(x_0+y_0+1). \]Donc :
\[ x_0-z_0+1=-x_0-y_0-1. \]En regroupant :
\[ 2x_0+y_0-z_0+2=0. \]Les coordonnées de \(M\) vérifient donc :
\[ y_0+z_0=0 \quad\text{ou}\quad 2x_0+y_0-z_0+2=0. \]Réponse exacte : A
Question 10
Une urne contient sept boules indiscernables au toucher : quatre boules rouges portant les nombres \(1;1;2;2\) et trois boules vertes portant les nombres \(1;1;2\). On tire successivement sans remise deux boules de l’urne.
La probabilité d’avoir deux boules portant deux nombres différents sachant qu’elles sont de même couleur, est égale à :
A) \(\frac{5}{42}\)
B) \(\frac{2}{21}\)
C) \(\frac{10}{42}\)
D) \(\frac{3}{7}\)
E) \(\frac{2}{3}\)
Dans une probabilité conditionnelle, on limite l’univers aux cas qui vérifient la condition. Ici, la condition est : « les deux boules sont de même couleur ».
On travaille sous la condition :
\[ \text{les deux boules tirées sont de même couleur}. \]Il faut donc compter uniquement les tirages ordonnés de même couleur.
Pour les rouges, il y a \(4\) boules. Le nombre de tirages ordonnés de deux rouges est :
\[ 4\times3=12. \]Pour les vertes, il y a \(3\) boules. Le nombre de tirages ordonnés de deux vertes est :
\[ 3\times2=6. \]Donc le nombre total de tirages de même couleur est :
\[ 12+6=18. \]On cherche maintenant, parmi ces tirages, ceux où les deux nombres sont différents.
Pour les rouges, les nombres sont :
\[ 1,1,2,2. \]Pour avoir deux nombres différents, on tire un \(1\) et un \(2\). En tenant compte de l’ordre :
\[ 2\times2+2\times2=8. \]Pour les vertes, les nombres sont :
\[ 1,1,2. \]Les tirages ordonnés avec deux nombres différents sont :
\[ 2\times1+1\times2=4. \]Le nombre de cas favorables est donc :
\[ 8+4=12. \]La probabilité conditionnelle cherchée vaut :
\[ P=\frac{12}{18}. \]On simplifie :
\[ P=\frac23. \]Réponse exacte : E
Question 11
Soit \(z\) un nombre complexe tel que :
\[ |z|=1. \]Le nombre :
\[ |\sqrt2+z|^2+|\sqrt2-z|^2 \]est égal à :
A) \(2\sqrt2\)
B) \(-2\sqrt2\)
C) \(6\)
D) \(-\sqrt2\)
E) \(\sqrt2\)
L’identité du parallélogramme donne : \[ |a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2. \] Elle permet d’éviter un développement long.
On veut calculer :
\[ |\sqrt2+z|^2+|\sqrt2-z|^2. \]On applique l’identité :
\[ |a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2. \]Ici :
\[ a=\sqrt2, \qquad b=z. \]Donc :
\[ |\sqrt2+z|^2+|\sqrt2-z|^2 = 2|\sqrt2|^2+2|z|^2. \]Or :
\[ |\sqrt2|^2=2. \]Et l’énoncé donne :
\[ |z|=1. \] Donc : \[ |z|^2=1. \]Ainsi :
\[ 2|\sqrt2|^2+2|z|^2 = 2\cdot2+2\cdot1. \]Finalement :
\[ 4+2=6. \]Réponse exacte : C
Question 12
La suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \]vérifie :
A) \((u_n)\) est croissante
B) \((u_n)\) est minorée
C) \(u_0=0\)
D) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ u_n\leq1\)
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
Une suite de la forme \[ u_n=\frac1{\sqrt{1+n^2}} \] est positive. Lorsque \(n\) augmente, le dénominateur augmente, donc la suite diminue.
La suite est :
\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}}. \]Calculons d’abord \(u_0\) :
\[ u_0=\frac1{\sqrt{1+0^2}}=1. \]La proposition \(u_0=0\) est donc fausse.
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ \sqrt{1+n^2}\gt0. \] Donc : \[ u_n\gt0. \]La suite est donc minorée par \(0\). La proposition B est vraie.
Pour \(n\in\mathbb N^\ast\), on a :
\[ n^2\ge1. \] Donc : \[ 1+n^2\ge2, \] et en particulier : \[ \sqrt{1+n^2}\ge1. \]Ainsi :
\[ u_n=\frac1{\sqrt{1+n^2}}\le1. \]La proposition D est vraie.
Enfin :
\[ 1+n^2\to+\infty, \] donc : \[ \sqrt{1+n^2}\to+\infty. \]Par conséquent :
\[ u_n\to0. \]La proposition E est vraie.
La suite n’est pas croissante : le dénominateur augmente avec \(n\), donc les termes diminuent.
Réponses exactes : B, D et E
Question 13
L’équation :
\[ \ln(-2\sqrt2+\ln x)+\ln(2\sqrt2+\ln x)=0 \]admet :
A) Une seule solution
B) Deux solutions distinctes
C) Pas de solution
D) \(S=\{e^3\}\)
E) Trois solutions distinctes
Avant d’additionner deux logarithmes, il faut vérifier que chacun est défini. Ensuite : \[ \ln A+\ln B=\ln(AB) \] si \(A\gt0\) et \(B\gt0\).
L’équation est :
\[ \ln(-2\sqrt2+\ln x)+\ln(2\sqrt2+\ln x)=0. \]Les deux logarithmes imposent :
\[ -2\sqrt2+\ln x\gt0, \] et : \[ 2\sqrt2+\ln x\gt0. \]La première condition donne :
\[ \ln x\gt2\sqrt2. \]Cette condition implique automatiquement :
\[ \ln x\gt -2\sqrt2. \]Donc le domaine impose simplement :
\[ \ln x\gt2\sqrt2. \]Sur ce domaine, on peut regrouper les logarithmes :
\[ \ln\left[(-2\sqrt2+\ln x)(2\sqrt2+\ln x)\right]=0. \]On utilise :
\[ \ln A=0\Longleftrightarrow A=1. \] Donc : \[ (-2\sqrt2+\ln x)(2\sqrt2+\ln x)=1. \]Le produit est une différence de carrés :
\[ (\ln x)^2-(2\sqrt2)^2=1. \] Comme : \[ (2\sqrt2)^2=8, \] on obtient : \[ (\ln x)^2-8=1. \] Donc : \[ (\ln x)^2=9. \]Ainsi :
\[ \ln x=3 \quad\text{ou}\quad \ln x=-3. \]Mais le domaine impose :
\[ \ln x\gt2\sqrt2. \]Comme \(3\gt2\sqrt2\), la solution \(\ln x=3\) est acceptée.
La solution \(\ln x=-3\) est refusée.
Finalement :
\[ x=e^3. \]L’équation admet une seule solution :
\[ S=\{e^3\}. \]Réponses exactes : A et D
Question 14
La courbe de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=2x+1+\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x} \]admet au voisinage de \(+\infty\) une asymptote oblique d’équation :
A) \(y=-2x-1\)
B) \(y=2x+1\)
C) \(y=2x-1\)
D) \(y=-2x+2\)
E) \(y=-2x-1\)
Pour trouver une asymptote oblique, on cherche une droite \(y=ax+b\) telle que : \[ f(x)-(ax+b)\to0. \] Ici, il faut d’abord déterminer la limite du terme contenant la racine.
La fonction est :
\[ f(x)=2x+1+\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x}. \]Au voisinage de \(+\infty\), on étudie :
\[ \frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x}. \]Comme \(x\gt0\) au voisinage de \(+\infty\), on peut écrire :
\[ \sqrt{4x^2+x-1} = x\sqrt{4+\frac1x-\frac1{x^2}}. \]Et :
\[ 1-x=x\left(\frac1x-1\right). \]Donc :
\[ \frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x} = \frac{x\sqrt{4+\frac1x-\frac1{x^2}}}{x\left(\frac1x-1\right)}. \]On simplifie par \(x\) :
\[ \frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x} = \frac{\sqrt{4+\frac1x-\frac1{x^2}}}{\frac1x-1}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ \sqrt{4+\frac1x-\frac1{x^2}}\to2, \] et : \[ \frac1x-1\to -1. \]Donc :
\[ \frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x}\to -2. \]Ainsi, au voisinage de \(+\infty\) :
\[ f(x)\sim 2x+1-2. \]La droite candidate est donc :
\[ y=2x-1. \]Vérifions :
\[ f(x)-(2x-1) = 2x+1+\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x}-2x+1. \] Donc : \[ f(x)-(2x-1) = 2+\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{1-x}. \]Comme le deuxième terme tend vers \(-2\), on obtient :
\[ f(x)-(2x-1)\to0. \]L’asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\) est donc :
\[ y=2x-1. \]Réponse exacte : C
Question 15
La fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=-x^2+\ln(1+x^2) \]vérifie :
A) \(D_f=\mathbb R\)
B) \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
C) \(f'(0)=0\)
D) \(f\) est paire
E) \(f(0)=1\)
Dans une question à réponses multiples, on ne cherche pas une seule propriété. Il faut tester chaque proposition indépendamment : domaine, limite, dérivée, parité et valeur particulière.
La fonction est :
\[ f(x)=-x^2+\ln(1+x^2). \]Pour le domaine, on doit avoir :
\[ 1+x^2\gt0. \]Or :
\[ 1+x^2\ge1\gt0 \] pour tout \(x\in\mathbb R\). Donc : \[ D_f=\mathbb R. \]La proposition A est vraie.
Étudions la limite en \(+\infty\). On écrit :
\[ f(x)=x^2\left(-1+\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\right). \]On sait que :
\[ \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\to0. \]Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), et \(x^2\to+\infty\).
Par conséquent :
\[ f(x)\to-\infty. \]La proposition B est vraie.
Calculons la dérivée :
\[ f'(x)=-2x+\frac{2x}{1+x^2}. \]En \(x=0\) :
\[ f'(0)=0+\frac0{1}=0. \]La proposition C est vraie.
Étudions la parité :
\[ f(-x)=-(-x)^2+\ln(1+(-x)^2). \] Donc : \[ f(-x)=-x^2+\ln(1+x^2)=f(x). \]La fonction est paire. La proposition D est vraie.
Enfin :
\[ f(0)=-0^2+\ln(1+0^2)=\ln1=0. \]La proposition E est donc fausse.
Réponses exactes : A, B, C et D
Conseil aux élèves
Dans ce sujet, plusieurs questions admettent plusieurs réponses exactes. Il faut donc vérifier chaque proposition séparément, surtout lorsque deux écritures différentes représentent le même résultat. Les questions portent principalement sur les logarithmes, les limites usuelles, les suites, les complexes, la géométrie analytique, les probabilités conditionnelles, les intégrales et les asymptotes.
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