Concours Médecine Marrakech UPM 2019 — Énoncé de mathématiques

Faculté Privée de Médecine — Marrakech.

Session juillet 2019 — Épreuve de mathématiques — Durée indiquée : 30 minutes.

Archive privée UPM — questions de mathématiques numérotées 21 à 30.

Compétences et points clés

UPM Marrakech 2019 relie un produit de termes géométriques à un domaine composé, puis aux rotations et à un conditionnement médical. Il demande de passer des données quantitatives à un modèle précis avant de faire les opérations.

Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; événements, intersections et arbres pondérés.

Rappels de cours utiles

Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour le produit de suite, additionner correctement les exposants et compter les termes. Pour le domaine, la racine et le logarithme imposent des restrictions simultanées. Pour la rotation, travailler relativement au centre. Dans la dernière probabilité, l’événement connu change le dénominateur du calcul.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours Médecine Marrakech UPM 2019. Les questions de mathématiques sont numérotées de la question 21 à la question 30 dans la version consultée.

La consigne indique de choisir la réponse correcte parmi les propositions A, B, C, D et E. Pour s’entraîner efficacement, il est conseillé de traiter les questions avant de consulter la correction détaillée.

Guide Concours Médecine Page Concours

Remarque importante : cet énoncé correspond au concours d’accès à la Faculté Privée de Médecine de Marrakech — UPM, session juillet 2019, année universitaire 2019/2020. Il ne s’agit pas d’un sujet du concours commun national, ni d’un concours public FMP/FMD. Il est donc classé dans les archives privées utiles pour l’entraînement des élèves.

Consignes

L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
Parmi les réponses proposées A, B, C, D et E, choisir la réponse correcte.
Les questions de mathématiques sont numérotées de la question 21 à la question 30 dans la version consultée.

Énoncé — Mathématiques

Question 21

\((u_n)\) est la suite géométrique de premier terme \(u_0=3\) et de raison \(9\).

On pose :

\[ v_n=u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_n \]

où \(v_n\) est le produit des termes de la suite \((u_n)\) de \(u_0\) à \(u_n\).

L’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) est :

A) \(9^{n+1}\)
B) \(3^{(n+1)^2}\)
C) \(3^{2n+1}\)
D) \(9^{n^2}\)
E) \(3^{2n^2+1}\)

Question 22

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\sqrt{x^2-1}\,\ln\left(\frac{2-x}{4+x}\right). \]

Le domaine de définition de \(f\) est :

A) \([-1,1]\)
B) \(]-4,2[\)
C) \([1,2[\)
D) \(]-4,-1]\cup[1,2[\)
E) \([1,2[\cup]2,+\infty[\)

Question 23

La valeur de :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{e^{3x}-e^{2x}} \]

est :

A) \(1\)
B) \(3\)
C) \(-3\)
D) \(-2\)
E) \(2\)

Question 24

\(f\) est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=2x+e^{x-1}\ln x. \]

On admet que \(f\) admet sur \(]0,+\infty[\) une fonction réciproque \(f^{-1}\) telle que :

\[ f^{-1}(2)=1. \]

La valeur du nombre dérivé \((f^{-1})'(2)\) est :

A) \(\frac13\)
B) \(3\)
C) \(1\)
D) \(-3\)
E) \(-\frac13\)

Question 25

La valeur de l’intégrale :

\[ \int_0^{\ln 3}\frac{6}{3+e^{2x}}\,dx \]

est :

A) \(\ln3-\ln2\)
B) \(\ln6-\ln2\)
C) \(\ln2\)
D) \(\ln3\)
E) \(\ln6\)

Question 26

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit \(\mathcal R\) la rotation qui associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que :

\[ z'=\left(-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)z+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]

Le centre de la rotation \(\mathcal R\) admet pour affixe :

A) \(-i\)
B) \(i\)
C) \(0\)
D) \(-1\)
E) \(1\)

Question 27

On considère le nombre complexe :

\[ z=(\sin\theta+i^2\cos\theta)(\cos\theta+i\sin\theta), \]

où :

\[ \theta\in\left]-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right[. \]

L’argument du nombre \(z\) est congru modulo \(2\pi\) à :

A) \(\pi+\theta\)
B) \(\pi-\theta\)
C) \(-\theta\)
D) \(\theta\)
E) \(2\theta\)

Question 28

\(A\) et \(B\) sont deux points distincts de l’espace \((\mathcal E)\) muni d’un repère orthonormé.

L’ensemble des points \(M\) de l’espace qui vérifient :

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=0 \]

est :

A) une sphère
B) une droite
C) un plan
D) \((\mathcal E)\)
E) \(\varnothing\)

Question 29

Dans une population :

\(25\%\) sont obèses ;
\(30\%\) sont hypertendus ;
\(40\%\) sont obèses ou hypertendus.

On choisit aléatoirement une personne de la population.

La probabilité que la personne choisie soit à la fois obèse et hypertendue est :

A) \(\frac15\)
B) \(\frac25\)
C) \(\frac35\)
D) \(\frac3{10}\)
E) \(\frac3{20}\)

Question 30

Dans cette question, les données sont celles de la question 29.

Sachant que la personne choisie est obèse, la probabilité qu’elle soit hypertendue est :

A) \(\frac15\)
B) \(\frac25\)
C) \(\frac35\)
D) \(\frac3{10}\)
E) \(\frac3{20}\)

Conseil de travail

Ce sujet est utile pour l’entraînement aux questions rapides : suites géométriques, domaines de définition, limites usuelles, fonction réciproque, intégrales, complexes, géométrie de l’espace et probabilités. Il faut toutefois garder en tête qu’il s’agit d’une archive privée UPM Marrakech, classée séparément des concours publics.

MATHS PARCOURS MAROC

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