Correction — Concours Médecine Marrakech UPM 2019 — Mathématiques
Faculté Privée de Médecine — Marrakech.
Session juillet 2019 — Épreuve de mathématiques — Durée indiquée : 30 minutes.
Concours Médecine Marrakech UPM 2019 — questions de mathématiques numérotées 21 à 30.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse correcte | B | D | C | A | D | B | A | C | E | C |
Correction détaillée des questions
Question 21
\((u_n)\) est la suite géométrique de premier terme \(u_0=3\) et de raison \(9\).
On pose :
\[ v_n=u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_n. \]L’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) est :
A) \(9^{n+1}\)
B) \(3^{(n+1)^2}\)
C) \(3^{2n+1}\)
D) \(9^{n^2}\)
E) \(3^{2n^2+1}\)
Dans une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a : \[ u_k=u_0q^k. \] Dans un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.
La suite \((u_n)\) est géométrique de premier terme :
\[ u_0=3 \]et de raison :
\[ q=9. \]Donc, pour tout \(k\in\mathbb N\) :
\[ u_k=u_0q^k=3\cdot9^k. \]On écrit tout avec la base \(3\) :
\[ 9^k=(3^2)^k=3^{2k}. \] Donc : \[ u_k=3\cdot3^{2k}=3^{2k+1}. \]Le produit demandé est :
\[ v_n=u_0u_1u_2\cdots u_n = \prod_{k=0}^{n}3^{2k+1}. \]On additionne les exposants :
\[ v_n=3^{\sum_{k=0}^{n}(2k+1)}. \]Calculons cette somme :
\[ \sum_{k=0}^{n}(2k+1) = 2\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}1. \]Or :
\[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}2, \qquad \sum_{k=0}^{n}1=n+1. \] Donc : \[ \sum_{k=0}^{n}(2k+1) = 2\cdot\frac{n(n+1)}2+(n+1). \]Ainsi :
\[ \sum_{k=0}^{n}(2k+1) = n(n+1)+(n+1) = (n+1)^2. \]Finalement :
\[ v_n=3^{(n+1)^2}. \]Réponse correcte : B
Question 22
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\sqrt{x^2-1}\,\ln\left(\frac{2-x}{4+x}\right). \]Le domaine de définition de \(f\) est :
A) \([-1,1]\)
B) \(]-4,2[\)
C) \([1,2[\)
D) \(]-4,-1]\cup[1,2[\)
E) \([1,2[\cup]2,+\infty[\)
Pour une fonction contenant une racine carrée et un logarithme, on croise les deux conditions : \[ \text{radicande}\ge0 \quad\text{et}\quad \text{argument du logarithme}\gt0. \]
La fonction est :
\[ f(x)=\sqrt{x^2-1}\,\ln\left(\frac{2-x}{4+x}\right). \]Première condition : la racine carrée doit être définie.
\[ x^2-1\ge0. \]On factorise :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]Donc :
\[ x^2-1\ge0 \Longleftrightarrow x\le -1\quad\text{ou}\quad x\ge1. \]Deuxième condition : le logarithme doit être défini.
\[ \frac{2-x}{4+x}\gt0. \]Les valeurs critiques du quotient sont :
\[ x=2 \quad\text{et}\quad x=-4. \]On étudie le signe de \(\dfrac{2-x}{4+x}\). Le quotient est strictement positif lorsque le numérateur et le dénominateur ont le même signe.
On obtient :
\[ -4\lt x\lt2. \]Le domaine de \(f\) est donc l’intersection :
\[ \bigl(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\bigr)\cap]-4,2[. \]Finalement :
\[ D_f=]-4,-1]\cup[1,2[. \]Réponse correcte : D
Question 23
La valeur de :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{e^{3x}-e^{2x}} \]est :
A) \(1\)
B) \(3\)
C) \(-3\)
D) \(-2\)
E) \(2\)
Au voisinage de \(0\), on utilise : \[ \ln(1+u)\sim u \quad\text{et}\quad e^x-1\sim x. \] Il faut transformer le dénominateur pour faire apparaître \(e^x-1\).
La limite est :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{e^{3x}-e^{2x}}. \]Au numérateur, on pose :
\[ u=-3x. \]Lorsque \(x\to0\), on a \(u\to0\), donc :
\[ \ln(1-3x)\sim -3x. \]Pour le dénominateur, on factorise \(e^{2x}\) :
\[ e^{3x}-e^{2x}=e^{2x}(e^x-1). \]Lorsque \(x\to0\), on a :
\[ e^{2x}\to1 \] et : \[ e^x-1\sim x. \]Donc :
\[ e^{3x}-e^{2x}\sim x. \]Par conséquent :
\[ \frac{\ln(1-3x)}{e^{3x}-e^{2x}} \sim \frac{-3x}{x}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{e^{3x}-e^{2x}} = -3. \]Réponse correcte : C
Question 24
\(f\) est définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=2x+e^{x-1}\ln x. \]On admet que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) telle que :
\[ f^{-1}(2)=1. \]La valeur de \((f^{-1})'(2)\) est :
A) \(\frac13\)
B) \(3\)
C) \(1\)
D) \(-3\)
E) \(-\frac13\)
Si \(f(a)=b\) et \(f'(a)\ne0\), alors : \[ (f^{-1})'(b)=\frac1{f'(a)}. \] Ici, l’énoncé donne directement \(f^{-1}(2)=1\), donc \(a=1\).
On utilise la formule :
\[ (f^{-1})'(2)=\frac1{f'(f^{-1}(2))}. \]Comme :
\[ f^{-1}(2)=1, \] on obtient : \[ (f^{-1})'(2)=\frac1{f'(1)}. \]Calculons maintenant \(f'(1)\). La fonction est :
\[ f(x)=2x+e^{x-1}\ln x. \]La dérivée de \(2x\) est :
\[ 2. \]Pour le produit \(e^{x-1}\ln x\), on utilise la règle du produit :
\[ (e^{x-1}\ln x)' = e^{x-1}\ln x+e^{x-1}\cdot\frac1x. \]Donc :
\[ f'(x)=2+e^{x-1}\ln x+\frac{e^{x-1}}x. \]En \(x=1\) :
\[ e^{1-1}=e^0=1, \qquad \ln1=0. \]Ainsi :
\[ f'(1)=2+1\cdot0+\frac{1}{1}=3. \]Finalement :
\[ (f^{-1})'(2)=\frac13. \]Réponse correcte : A
Question 25
La valeur de l’intégrale :
\[ \int_0^{\ln 3}\frac{6}{3+e^{2x}}\,dx \]est :
A) \(\ln3-\ln2\)
B) \(\ln6-\ln2\)
C) \(\ln2\)
D) \(\ln3\)
E) \(\ln6\)
Lorsqu’une intégrale contient \(e^{2x}\), le changement \[ t=e^x \] transforme \(e^{2x}\) en \(t^2\) et \(dx\) en \(\frac{dt}{t}\).
On pose :
\[ t=e^x. \]Alors :
\[ dt=e^x\,dx=t\,dx, \] donc : \[ dx=\frac{dt}{t}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Rightarrow t=1, \] et : \[ x=\ln3\Rightarrow t=3. \]De plus :
\[ e^{2x}=t^2. \]L’intégrale devient :
\[ I=\int_1^3 \frac{6}{3+t^2}\cdot\frac{dt}{t}. \] Donc : \[ I=\int_1^3\frac{6}{t(t^2+3)}\,dt. \]On cherche une décomposition :
\[ \frac{6}{t(t^2+3)} = \frac{A}{t}+\frac{Bt}{t^2+3}. \]En multipliant par \(t(t^2+3)\), on obtient :
\[ 6=A(t^2+3)+Bt^2. \]Donc :
\[ 6=(A+B)t^2+3A. \]On identifie :
\[ 3A=6, \qquad A+B=0. \]Donc :
\[ A=2, \qquad B=-2. \]Ainsi :
\[ \frac{6}{t(t^2+3)} = \frac2t-\frac{2t}{t^2+3}. \]Alors :
\[ I=\int_1^3\left(\frac2t-\frac{2t}{t^2+3}\right)\,dt. \]On intègre :
\[ I=\left[2\ln t-\ln(t^2+3)\right]_1^3. \]Aux bornes :
\[ I=\bigl(2\ln3-\ln12\bigr)-\bigl(2\ln1-\ln4\bigr). \]Comme \(\ln1=0\), on obtient :
\[ I=2\ln3-\ln12+\ln4. \]Or :
\[ -\ln12+\ln4=\ln\frac4{12}=\ln\frac13=-\ln3. \]Donc :
\[ I=2\ln3-\ln3=\ln3. \]Réponse correcte : D
Question 26
Soit \(\mathcal R\) la rotation qui associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que :
\[ z'=\left(-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)z+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]Le centre de la rotation \(\mathcal R\) admet pour affixe :
A) \(-i\)
B) \(i\)
C) \(0\)
D) \(-1\)
E) \(1\)
Le centre d’une rotation est son point fixe. Si la transformation est donnée par \(z'=az+b\), le centre \(\omega\) vérifie : \[ \omega=a\omega+b. \]
La transformation est :
\[ z'=\left(-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)z+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]Soit \(\omega\) l’affixe du centre de la rotation. Comme le centre est fixe, on a :
\[ \omega= \left(-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)\omega + \frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]On regroupe les termes en \(\omega\) :
\[ \omega-\left(-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)\omega = \frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]Donc :
\[ \left(1+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\omega = \frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]Ainsi :
\[ \left(\frac32-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\omega = \frac{\sqrt3}{2}+\frac{3i}{2}. \]On multiplie par \(2\) :
\[ (3-i\sqrt3)\omega=\sqrt3+3i. \]Donc :
\[ \omega=\frac{\sqrt3+3i}{3-i\sqrt3}. \]On multiplie par le conjugué \(3+i\sqrt3\) :
\[ \omega= \frac{(\sqrt3+3i)(3+i\sqrt3)}{(3-i\sqrt3)(3+i\sqrt3)}. \]Le dénominateur vaut :
\[ 3^2+(\sqrt3)^2=9+3=12. \]Le numérateur vaut :
\[ 3\sqrt3+3i+9i+3i^2\sqrt3. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ 3\sqrt3+12i-3\sqrt3=12i. \]Donc :
\[ \omega=\frac{12i}{12}=i. \]Réponse correcte : B
Question 27
On considère :
\[ z=(\sin\theta+i^2\cos\theta)(\cos\theta+i\sin\theta), \]où :
\[ \theta\in\left]-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right[. \]L’argument du nombre \(z\) est congru modulo \(2\pi\) à :
A) \(\pi+\theta\)
B) \(\pi-\theta\)
C) \(-\theta\)
D) \(\theta\)
E) \(2\theta\)
Un réel strictement négatif a pour argument \(\pi\) modulo \(2\pi\). Il faut donc étudier le signe de \(\sin\theta-\cos\theta\).
Le nombre complexe est :
\[ z=(\sin\theta+i^2\cos\theta)(\cos\theta+i\sin\theta). \]Comme :
\[ i^2=-1, \] on obtient : \[ \sin\theta+i^2\cos\theta=\sin\theta-\cos\theta. \]De plus :
\[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \]Donc :
\[ z=(\sin\theta-\cos\theta)e^{i\theta}. \]Il reste à déterminer le signe de \(\sin\theta-\cos\theta\).
On sait que :
\[ \theta\in\left]-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right[. \]Sur cet intervalle :
\[ \cos\theta\gt0 \] et : \[ \sin\theta\lt\cos\theta. \]Donc :
\[ \sin\theta-\cos\theta\lt0. \]Le facteur \(\sin\theta-\cos\theta\) est donc un réel strictement négatif. Son argument est \(\pi\) modulo \(2\pi\).
Par conséquent :
\[ \arg z\equiv \pi+\theta\ [2\pi]. \]Réponse correcte : A
Question 28
\(A\) et \(B\) sont deux points distincts de l’espace.
L’ensemble des points \(M\) vérifiant :
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=0 \]est :
A) une sphère
B) une droite
C) un plan
D) \((\mathcal E)\)
E) \(\varnothing\)
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors pour tout point \(M\) : \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}. \] Cette identité transforme l’équation vectorielle en condition d’orthogonalité.
Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
On utilise l’identité :
\[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}. \]L’équation donnée devient :
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\left(2\overrightarrow{MI}\right)=0. \]Donc :
\[ 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MI}=0. \]Comme \(2\ne0\), cela équivaut à :
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MI}=0. \]Cette égalité signifie que :
\[ \overrightarrow{MI}\perp \overrightarrow{AB}. \]Comme \(A\) et \(B\) sont distincts, le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est non nul.
L’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MI}\) soit orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) est le plan passant par \(I\) et perpendiculaire à la droite \((AB)\).
L’ensemble demandé est donc un plan.
Réponse correcte : C
Question 29
Dans une population :
- \(25\%\) sont obèses ;
- \(30\%\) sont hypertendus ;
- \(40\%\) sont obèses ou hypertendus.
La probabilité que la personne choisie soit à la fois obèse et hypertendue est :
A) \(\frac15\)
B) \(\frac25\)
C) \(\frac35\)
D) \(\frac3{10}\)
E) \(\frac3{20}\)
Pour deux événements \(O\) et \(H\), on a : \[ P(O\cup H)=P(O)+P(H)-P(O\cap H). \] Cette formule permet de retrouver l’intersection.
Notons :
\[ O:\text{ « la personne est obèse »}, \qquad H:\text{ « la personne est hypertendue »}. \]Les données sont :
\[ P(O)=25\%=\frac14, \] \[ P(H)=30\%=\frac3{10}, \] et : \[ P(O\cup H)=40\%=\frac25. \]On applique la formule :
\[ P(O\cup H)=P(O)+P(H)-P(O\cap H). \]On isole \(P(O\cap H)\) :
\[ P(O\cap H)=P(O)+P(H)-P(O\cup H). \]Donc :
\[ P(O\cap H) = \frac14+\frac3{10}-\frac25. \]On met au même dénominateur \(20\) :
\[ \frac14=\frac5{20}, \qquad \frac3{10}=\frac6{20}, \qquad \frac25=\frac8{20}. \]Alors :
\[ P(O\cap H)=\frac5{20}+\frac6{20}-\frac8{20}. \]Finalement :
\[ P(O\cap H)=\frac3{20}. \]Réponse correcte : E
Question 30
Dans cette question, les données sont celles de la question 29.
Sachant que la personne choisie est obèse, la probabilité qu’elle soit hypertendue est :
A) \(\frac15\)
B) \(\frac25\)
C) \(\frac35\)
D) \(\frac3{10}\)
E) \(\frac3{20}\)
La probabilité conditionnelle de \(H\) sachant \(O\) est : \[ P_O(H)=\frac{P(O\cap H)}{P(O)}. \] On réutilise le résultat de la question précédente.
On cherche :
\[ P_O(H). \]Par définition :
\[ P_O(H)=\frac{P(O\cap H)}{P(O)}. \]D’après la question précédente :
\[ P(O\cap H)=\frac3{20}. \]Et d’après l’énoncé :
\[ P(O)=\frac14. \]Donc :
\[ P_O(H) = \frac{\frac3{20}}{\frac14}. \]Diviser par \(\frac14\), c’est multiplier par \(4\) :
\[ P_O(H)=\frac3{20}\times4. \]Ainsi :
\[ P_O(H)=\frac{12}{20}. \]On simplifie :
\[ P_O(H)=\frac35. \]Réponse correcte : C
Conseil aux élèves
Dans ce sujet, il faut surtout faire attention aux conditions de définition, aux changements de variable, aux arguments des complexes, aux probabilités conditionnelles et aux transformations géométriques simples.
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