Correction détaillée — Examen national 2025
Session rattrapage — PC/SVT — Option française
Niveau : 2e Bac
Filières : Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre — Option française
Matière : Mathématiques
Durée : 3h
Coefficient : 7
Total : 20 points
Cette correction détaillée accompagne l’examen national 2025, session rattrapage, destiné aux élèves de 2e Bac PC/SVT. Elle présente une rédaction progressive et conforme au programme marocain : suites numériques, géométrie dans l’espace, nombres complexes, probabilités et étude de fonction.
Avant de lire la correction, il est conseillé de traiter le sujet dans les conditions de l’examen : lecture complète, rédaction personnelle, gestion du temps et vérification des résultats. La correction doit ensuite servir à comprendre les méthodes, améliorer la rédaction et repérer les erreurs fréquentes.
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Cette correction est organisée en cinq grandes parties :
- Exercice 1 : suites numériques.
- Exercice 2 : géométrie dans l’espace.
- Exercice 3 : nombres complexes.
- Exercice 4 : probabilités.
- Problème : étude d’une fonction numérique et calcul intégral.
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Partie | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Suites numériques | 3 points |
| Exercice 2 | Géométrie dans l’espace | 3 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Calcul des probabilités | 2,5 points |
| Problème | Étude d’une fonction numérique et calcul intégral | 8 points |
Exercice 1 — Suites numériques — 3 points
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=\frac32 \]et, pour tout entier naturel \(n\) :
\[ u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{2+u_n} \]Correction.
Pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[ u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{2+u_n} \]On écrit :
\[ 3-\frac4{2+u_n}=\frac{3(2+u_n)-4}{2+u_n} =\frac{6+3u_n-4}{2+u_n} =\frac{3u_n+2}{2+u_n} \]Par conséquent :
\[ u_{n+1}=3-\frac4{2+u_n} \]Correction.
On considère la propriété :
\[ P_n:\quad 0\lt u_n\lt2 \]Initialisation :
Pour \(n=0\), on a :
\[ u_0=\frac32 \]Donc :
\[ 0\lt\frac32\lt2 \]La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité :
Supposons que, pour un certain entier naturel \(n\), on ait :
\[ 0\lt u_n\lt2 \]On a :
\[ u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{2+u_n} \]Comme \(u_n\gt0\), on obtient :
\[ 3u_n+2\gt0\quad\text{et}\quad 2+u_n\gt0 \]Donc :
\[ u_{n+1}\gt0 \]De plus, comme \(2+u_n\gt0\), on peut multiplier sans changer le sens de l’inégalité :
\[ u_{n+1}\lt2 \Longleftrightarrow \frac{3u_n+2}{2+u_n}\lt2 \Longleftrightarrow 3u_n+2\lt2(2+u_n) \]C’est-à-dire :
\[ 3u_n+2\lt4+2u_n \Longleftrightarrow u_n\lt2 \]Cette dernière inégalité est vraie par hypothèse de récurrence. Donc :
\[ 0\lt u_{n+1}\lt2 \]Conclusion : par récurrence, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ 0\lt u_n\lt2 \]Correction.
\[ u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{2+u_n}-u_n =\frac{3u_n+2-u_n(2+u_n)}{2+u_n} \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n =\frac{3u_n+2-2u_n-u_n^2}{2+u_n} =\frac{-u_n^2+u_n+2}{2+u_n} \]Or :
\[ -u_n^2+u_n+2=(1+u_n)(2-u_n) \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n} \]Correction.
D’après la question précédente :
\[ u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n} \]Or, d’après 1-b :
\[ 0\lt u_n\lt2 \]Donc :
\[ 1+u_n\gt0,\qquad 2-u_n\gt0,\qquad 2+u_n\gt0 \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0 \]Donc la suite \((u_n)\) est croissante. De plus, d’après 1-b, \(u_n\lt2\), donc elle est majorée par \(2\). Ainsi, \((u_n)\) est croissante et majorée ; donc elle est convergente.
Correction.
\[ 2-u_{n+1}=2-\frac{3u_n+2}{2+u_n} =\frac{2(2+u_n)-(3u_n+2)}{2+u_n} =\frac{2-u_n}{2+u_n} \]D’après 1-b, \(0\lt u_n\lt2\), donc :
\[ 2-u_n\gt0\quad\text{et}\quad 2+u_n\gt0 \]Ainsi :
\[ 2-u_{n+1}\gt0 \]D’après 2-b, la suite \((u_n)\) est croissante. Donc :
\[ u_n\geq u_0=\frac32 \]Donc :
\[ 2+u_n\geq2+\frac32=\frac72 \]Par conséquent :
\[ \frac1{2+u_n}\leq\frac27 \]Comme \(2-u_n\gt0\), on obtient :
\[ \frac{2-u_n}{2+u_n}\leq\frac27(2-u_n) \]Donc :
\[ 0\lt2-u_{n+1}\leq\frac27(2-u_n) \]Correction.
On montre par récurrence que :
\[ 0\lt2-u_n\leq\frac12\left(\frac27\right)^n \]Initialisation : pour \(n=0\),
\[ 2-u_0=2-\frac32=\frac12=\frac12\left(\frac27\right)^0 \]La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité : supposons que :
\[ 0\lt2-u_n\leq\frac12\left(\frac27\right)^n \]D’après 2-c :
\[ 0\lt2-u_{n+1}\leq\frac27(2-u_n) \]Donc :
\[ 2-u_{n+1}\leq\frac27\times\frac12\left(\frac27\right)^n =\frac12\left(\frac27\right)^{n+1} \]Ainsi :
\[ 0\lt2-u_{n+1}\leq\frac12\left(\frac27\right)^{n+1} \]Conclusion : par récurrence, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ 0\lt2-u_n\leq\frac12\left(\frac27\right)^n \]Correction.
D’après la question précédente :
\[ 0\lt2-u_n\leq\frac12\left(\frac27\right)^n \]Or :
\[ 0\lt\frac27\lt1 \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac12\left(\frac27\right)^n=0 \]Par encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}(2-u_n)=0 \]Ainsi :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=2 \]Exercice 2 — Géométrie dans l’espace — 3 points
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère :
\[ A(0,3,3),\qquad B(1,2,1),\qquad C(2,3,1) \]et le vecteur :
\[ \vec n=(1,-1,1) \]Soit \((P)\) le plan d’équation :
\[ (P):\quad x-y+z-6=0 \]Correction.
On calcule d’abord :
\[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =(1,2,1)-(0,3,3)=(1,-1,-2) \]et :
\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} =(2,3,1)-(0,3,3)=(2,0,-2) \]Alors :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&-1&-2\\ 2&0&-2 \end{vmatrix} \]Donc :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} =2\vec i-2\vec j+2\vec k=(2,-2,2) \]Or :
\[ 2\vec n=2(1,-1,1)=(2,-2,2) \]Ainsi :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec n \]Comme \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
Correction.
D’après la question précédente, \(\vec n\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
D’autre part, le plan \((P):x-y+z-6=0\) a pour vecteur normal :
\[ \vec n_P=(1,-1,1)=\vec n \]Les deux plans ont donc des vecteurs normaux colinéaires. Ainsi, les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles.
De plus :
\[ 0-3+3-6=-6\neq0 \]Donc \(A\notin(P)\). Comme \(A\in(ABC)\), les deux plans ne sont pas confondus.
Correction.
Le plan \((P)\) a pour équation :
\[ x-y+z-6=0 \]La distance du point \(A(0,3,3)\) au plan \((P)\) est :
\[ d(A,(P))= \frac{|0-3+3-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} =\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3 \]Comme \((ABC)\) et \((P)\) sont deux plans parallèles tangents à la sphère, la distance entre ces deux plans est égale au diamètre de la sphère. Donc :
\[ 2R=2\sqrt3 \]Ainsi :
\[ R=\sqrt3 \]Correction.
La droite \((\Delta)\) est orthogonale au plan \((P)\), donc elle admet pour vecteur directeur un vecteur normal au plan \((P)\), par exemple :
\[ \vec n=(1,-1,1) \]Comme \((\Delta)\) passe par \(A(0,3,3)\), une représentation paramétrique de \((\Delta)\) est :
\[ \begin{cases} x=t\\ y=3-t\\ z=3+t \end{cases} \qquad t\in\mathbb R \]Correction.
Comme \(H\in(\Delta)\), il existe \(t\in\mathbb R\) tel que :
\[ H(t,3-t,3+t) \]De plus, \(H\in(P)\), donc :
\[ t-(3-t)+(3+t)-6=0 \]Donc :
\[ 3t-6=0 \]Ainsi :
\[ t=2 \]Par conséquent :
\[ H(2,1,5) \]Correction.
Les deux plans parallèles sont tangents à la sphère respectivement en \(A\) et \(H\). Le centre \(\Omega\) de la sphère est donc le milieu de \([AH]\).
\[ \Omega\left(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(1,2,4) \]Le rayon est \(R=\sqrt3\). Donc :
\[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=3 \]En développant :
\[ x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0 \]Correction.
On calcule un vecteur directeur de la droite \((BH)\) :
\[ \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB} =(2,1,5)-(1,2,1)=(1,-1,4) \]Une représentation paramétrique de \((BH)\) est donc :
\[ \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+4t \end{cases} \qquad t\in\mathbb R \]On remplace dans l’équation de la sphère :
\[ (1+t)^2+(2-t)^2+(1+4t)^2-2(1+t)-4(2-t)-8(1+4t)+18=0 \]Après développement et réduction :
\[ 18t^2-24t+6=0 \]Donc :
\[ 3t^2-4t+1=0 \]On factorise :
\[ (3t-1)(t-1)=0 \]Donc :
\[ t=\frac13\quad\text{ou}\quad t=1 \]Pour \(t=1\), on obtient :
\[ H(2,1,5) \]Pour \(t=\frac13\), on obtient :
\[ K\left(\frac43,\frac53,\frac73\right) \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives :
\[ a=\frac{-\sqrt3+i}{2},\qquad b=\frac{1-i\sqrt3}{2},\qquad c=1+a,\qquad d=\overline c \]Correction.
On a :
\[ a=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i \]Donc :
\[ |a|=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac34+\frac14}=1 \]De plus :
\[ \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12 \]Ainsi :
\[ \arg(a)=\frac{5\pi}{6}\ [2\pi] \]Correction.
Comme \(c=1+a\), on a :
\[ c-a=1 \]Or :
\[ c=\frac{2-\sqrt3}{2}+\frac12i, \qquad d=\frac{2-\sqrt3}{2}-\frac12i \]Donc :
\[ c-d=i \]Ainsi :
\[ \frac{c-d}{c-a}=i \]Donc :
\[ \left|\frac{c-d}{c-a}\right|=1 \]D’où :
\[ CD=CA \]De plus :
\[ \arg\left(\frac{c-d}{c-a}\right)=\frac\pi2\ [2\pi] \]Donc les droites \((CD)\) et \((CA)\) sont perpendiculaires. Ainsi, le triangle \(ACD\) est isocèle rectangle en \(C\).
Correction.
\[ d-a= \left(\frac{2-\sqrt3}{2}-\frac12i\right)- \left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i\right)=1-i \]Et :
\[ b-d= \left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)- \left(\frac{2-\sqrt3}{2}-\frac12i\right) \]Donc :
\[ b-d=\frac{\sqrt3-1}{2}-\frac{\sqrt3-1}{2}i =\frac{\sqrt3-1}{2}(1-i) \]Correction.
D’après la question précédente :
\[ d-a=1-i \]et :
\[ b-d=\frac{\sqrt3-1}{2}(1-i) \]Donc :
\[ b-d=\frac{\sqrt3-1}{2}(d-a) \]Or \(\dfrac{\sqrt3-1}{2}\in\mathbb R\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DB}\) sont donc colinéaires. Par conséquent, les points \(A\), \(D\) et \(B\) sont alignés.
Correction.
D’après la question 1 :
\[ |a|=1 \]et :
\[ \arg(a)=\frac{5\pi}{6}\ [2\pi] \]Donc :
\[ a=e^{i\frac{5\pi}{6}} \]La transformation est :
\[ z'=az=e^{i\frac{5\pi}{6}}z \]C’est donc la rotation de centre \(O\) et d’angle :
\[ \frac{5\pi}{6} \]Correction.
Comme \(d=\overline c\) et \(c=1+a\), on a :
\[ d=\overline{1+a}=1+\overline a \]Donc :
\[ ad=a(1+\overline a)=a+a\overline a \]Or :
\[ a\overline a=|a|^2=1 \]Ainsi :
\[ ad=a+1=c \]L’image du point \(D\) par \(R\) a pour affixe \(ad\). Comme \(ad=c\), on obtient :
\[ R(D)=C \]Correction.
D’après 4-b :
\[ ad=c \]et comme \(d=\overline c\), on a :
\[ a\overline c=c \]En passant aux arguments :
\[ \arg(a)+\arg(\overline c)=\arg(c)\ [2\pi] \]Or :
\[ \arg(\overline c)=-\arg(c)\ [2\pi] \]Donc :
\[ 2\arg(c)=\arg(a)\ [2\pi] \]Ainsi :
\[ 2\arg(c)=\frac{5\pi}{6}\ [2\pi] \]Donc :
\[ \arg(c)=\frac{5\pi}{12}\ [\pi] \]Or :
\[ c=\frac{2-\sqrt3}{2}+\frac12i \]Sa partie réelle et sa partie imaginaire sont positives. Donc \(c\) est dans le premier quadrant. Par conséquent :
\[ \arg(c)=\frac{5\pi}{12}\ [2\pi] \]Exercice 4 — Probabilités — 2,5 points
Un sac contient \(4\) boules blanches et \(3\) boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules du sac.
Les règles du jeu sont :
\[ \begin{array}{c|c} \text{Deux boules blanches} & +5\\ \text{Deux boules noires} & -5\\ \text{Deux boules de couleurs différentes} & 0 \end{array} \]On considère les événements :
\[ G:\text{ « noter }+5\text{ »},\quad Z:\text{ « noter }0\text{ »} \] \[ N_1:\text{ « la première boule tirée est noire »},\quad B_2:\text{ « la deuxième boule tirée est blanche »} \]Correction.
L’événement \(G\) correspond au tirage de deux boules blanches. Le tirage est successif et sans remise, donc on utilise les probabilités conditionnelles :
\[ P(G)=P(B_1\cap B_2)=P(B_1)P(B_2/B_1) \]On a :
\[ P(B_1)=\frac47 \]Après le tirage d’une boule blanche, il reste \(3\) boules blanches parmi \(6\) boules. Donc :
\[ P(B_2/B_1)=\frac36 \]Ainsi :
\[ P(G)=\frac47\times\frac36=\frac27 \]Correction.
L’événement \(Z\) correspond au tirage de deux boules de couleurs différentes. On distingue deux cas incompatibles :
\[ Z=(B_1\cap N_2)\cup(N_1\cap B_2) \]Donc :
\[ P(Z)=P(B_1\cap N_2)+P(N_1\cap B_2) \]On calcule :
\[ P(B_1\cap N_2)=P(B_1)P(N_2/B_1)=\frac47\times\frac36=\frac27 \]Et :
\[ P(N_1\cap B_2)=P(N_1)P(B_2/N_1)=\frac37\times\frac46=\frac27 \]Ainsi :
\[ P(Z)=\frac27+\frac27=\frac47 \]Correction.
\[ P(N_1\cap B_2)=P(N_1)P(B_2/N_1) \]Or :
\[ P(N_1)=\frac37 \]Après le tirage d’une boule noire, il reste \(4\) boules blanches parmi \(6\) boules. Donc :
\[ P(B_2/N_1)=\frac46 \]Ainsi :
\[ P(N_1\cap B_2)=\frac37\times\frac46=\frac27 \]Correction.
Pour que la deuxième boule soit blanche, deux cas sont possibles :
\[ B_2=(B_1\cap B_2)\cup(N_1\cap B_2) \]Cette union est disjointe. Donc :
\[ P(B_2)=P(B_1\cap B_2)+P(N_1\cap B_2) \]Or :
\[ P(B_1\cap B_2)=\frac47\times\frac36=\frac27 \]et d’après 2-a :
\[ P(N_1\cap B_2)=\frac27 \]Donc :
\[ P(B_2)=\frac27+\frac27=\frac47 \]Correction.
On cherche :
\[ P(Z/B_2)=\frac{P(Z\cap B_2)}{P(B_2)} \]Sachant que la deuxième boule est blanche, pour noter \(0\), il faut que la première boule soit noire. Donc :
\[ Z\cap B_2=N_1\cap B_2 \]Ainsi :
\[ P(Z/B_2)=\frac{P(N_1\cap B_2)}{P(B_2)} =\frac{\frac27}{\frac47}=\frac12 \]Problème — Étude d’une fonction numérique — 8 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=x-1+\frac4{e^x+2} \]On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Correction.
\[ f(0)=0-1+\frac4{e^0+2}=-1+\frac43=\frac13 \]Et :
\[ f(\ln2)=\ln2-1+\frac4{e^{\ln2}+2} =\ln2-1+\frac4{2+2}=\ln2 \]Correction.
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^x\to+\infty\), donc :
\[ \frac4{e^x+2}\to0 \]et \(x-1\to+\infty\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^x\to0\), donc :
\[ \frac4{e^x+2}\to2 \]Alors :
\[ f(x)=x-1+\frac4{e^x+2}\to-\infty \]Correction.
\[ f(x)-(x-1)=\frac4{e^x+2} \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ \frac4{e^x+2}\to0 \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}(f(x)-(x-1))=0 \]Ainsi, la droite d’équation \(y=x-1\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction.
On a :
\[ -1+\frac4{e^x+2}=\frac{-(e^x+2)+4}{e^x+2}=\frac{2-e^x}{e^x+2} \]D’autre part :
\[ 1-\frac{2e^x}{e^x+2}=\frac{e^x+2-2e^x}{e^x+2}=\frac{2-e^x}{e^x+2} \]Donc :
\[ f(x)=x+1-\frac{2e^x}{e^x+2} \]Correction.
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^x\to0\). Donc :
\[ \frac{e^x}{e^x+2}\to0 \]D’après 3-a :
\[ f(x)-(x+1)=-\frac{2e^x}{e^x+2} \]Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}(f(x)-(x+1))=0 \]Ainsi, la droite d’équation \(y=x+1\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
Correction.
\[ f(x)-x=-1+\frac4{e^x+2} \]Comme \(e^x\gt0\), on a :
\[ e^x+2\gt2 \]Donc :
\[ 0\lt\frac4{e^x+2}\lt2 \]En retranchant \(1\), on obtient :
\[ -1\lt f(x)-x\lt1 \]Correction.
\[ f(x)=x-1+\frac4{e^x+2} \]Donc :
\[ f^{\prime}(x)=1-\frac{4e^x}{(e^x+2)^2} \]En réduisant au même dénominateur :
\[ f^{\prime}(x)=\frac{(e^x+2)^2-4e^x}{(e^x+2)^2} \]Or :
\[ (e^x+2)^2=e^{2x}+4e^x+4 \]Donc :
\[ f^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}+4}{(e^x+2)^2} \]Correction.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{2x}+4\gt0 \]et :
\[ (e^x+2)^2\gt0 \]Donc :
\[ f^{\prime}(x)\gt0 \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Correction.
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), strictement croissante sur \(\mathbb R\), et :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]Donc \(f(\mathbb R)=\mathbb R\). Ainsi, pour tout \(m\in\mathbb R\), l’équation \(f(x)=m\) admet une solution dans \(\mathbb R\). L’unicité vient de la stricte croissance de \(f\).
Correction.
\[ f(-1)=-2+\frac4{e^{-1}+2} \]Comme \(e^{-1}+2\gt2\), on a \(\frac4{e^{-1}+2}\lt2\). Donc :
\[ f(-1)\lt0 \]Et :
\[ f(0)=\frac13\gt0 \]Comme \(f\) est strictement croissante et \(f(\alpha)=0\), on obtient :
\[ -1\lt\alpha\lt0 \]De \(f(\alpha)=0\), on tire :
\[ \alpha-1+\frac4{e^\alpha+2}=0 \]Donc :
\[ \frac4{e^\alpha+2}=1-\alpha \]Ainsi :
\[ 4=(1-\alpha)(e^\alpha+2) \]Donc :
\[ (1-\alpha)e^\alpha=2(1+\alpha) \]Comme \(1-\alpha\gt0\), on obtient :
\[ e^\alpha=\frac{2(1+\alpha)}{1-\alpha} \]Correction.
On part de :
\[ f^{\prime}(x)=1-\frac{4e^x}{(e^x+2)^2} \]Posons :
\[ u(x)=\frac{4e^x}{(e^x+2)^2}=4e^x(e^x+2)^{-2} \]Alors :
\[ u^{\prime}(x)=4e^x(e^x+2)^{-2}-8e^{2x}(e^x+2)^{-3} \]Donc :
\[ u^{\prime}(x)=\frac{4e^x(e^x+2)-8e^{2x}}{(e^x+2)^3} =\frac{4e^x(2-e^x)}{(e^x+2)^3} \]Comme \(f^{\prime}(x)=1-u(x)\), on obtient :
\[ f^{\prime\prime}(x)=\frac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2)^3} \]Correction.
\[ e^x-2=0\Longleftrightarrow e^x=2\Longleftrightarrow x=\ln2 \]Comme la fonction exponentielle est strictement croissante :
\[ e^x-2\lt0\quad\text{si }x\lt\ln2 \] \[ e^x-2=0\quad\text{si }x=\ln2 \] \[ e^x-2\gt0\quad\text{si }x\gt\ln2 \]Correction.
On a :
\[ f^{\prime\prime}(x)=\frac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2)^3} \]Comme \(4e^x\gt0\) et \((e^x+2)^3\gt0\), le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est celui de \(e^x-2\). Ce signe change en \(x=\ln2\). Donc \((C_f)\) admet un point d’inflexion d’abscisse \(\ln2\).
Or :
\[ f(\ln2)=\ln2 \]Le point d’inflexion est donc :
\[ I(\ln2,\ln2) \]Correction.
On a :
\[ f(\ln2)=\ln2 \]et :
\[ f^{\prime}(\ln2)=\frac{2^2+4}{(2+2)^2}=\frac8{16}=\frac12 \]L’équation de la tangente est donc :
\[ y=f^{\prime}(\ln2)(x-\ln2)+f(\ln2) \]Donc :
\[ y=\frac12(x-\ln2)+\ln2 \]Ainsi :
\[ y=\frac12x+\frac{\ln2}{2} \]Correction.
Pour construire \((C_f)\), on utilise :
- la droite \(y=x+1\), asymptote au voisinage de \(-\infty\)
- la droite \(y=x-1\), asymptote au voisinage de \(+\infty\)
- la croissance stricte de \(f\) sur \(\mathbb R\)
- le point d’inflexion \(I(\ln2,\ln2)\)
- la tangente en \(I\) : \(y=\dfrac12x+\dfrac{\ln2}{2}\)
Correction.
On écrit :
\[ \frac1{e^x+2}=\frac{e^{-x}}{1+2e^{-x}} \]On vérifie qu’une primitive est :
\[ F(x)=-\frac12\ln(1+2e^{-x}) \]Donc :
\[ \int_0^{\ln2}\frac1{e^x+2}\,dx = \left[-\frac12\ln(1+2e^{-x})\right]_0^{\ln2} \]Or :
\[ 1+2e^{-\ln2}=2, \qquad 1+2e^0=3 \]Ainsi :
\[ \int_0^{\ln2}\frac1{e^x+2}\,dx =-\frac12(\ln2-\ln3) =\frac12\ln\left(\frac32\right) \]Correction.
On a :
\[ f(x)-(x-1)=\frac4{e^x+2} \]Cette quantité est strictement positive sur \([0,\ln2]\). Donc l’aire demandée est :
\[ \mathcal A=\int_0^{\ln2}\left(f(x)-(x-1)\right)dx \]Ainsi :
\[ \mathcal A=\int_0^{\ln2}\frac4{e^x+2}\,dx =4\int_0^{\ln2}\frac1{e^x+2}\,dx \]D’après 8-a :
\[ \mathcal A=4\times\frac12\ln\left(\frac32\right) \]Donc :
\[ \mathcal A=2\ln\left(\frac32\right) \]FIN DE LA CORRECTION — EXAMEN NATIONAL 2025 SESSION RATTRAPAGE — PC/SVT
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