Correction de l’exercice 51 — Concavité et points d’inflexion — Al Moufid

Correction de l’exercice 51 — Dérivation et étude des fonctions

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

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L’exercice 51 est consacré à l’étude de la concavité des courbes et à la recherche de leurs éventuels points d’inflexion. Dans chacun des huit cas, la démarche repose sur la même idée : déterminer d’abord le domaine sur lequel la fonction est deux fois dérivable, calculer \(f''\), puis étudier son signe. Un changement de signe de la dérivée seconde traduit un changement de concavité et peut donc conduire à un point d’inflexion, à condition que l’abscisse considérée corresponde effectivement à un point de la courbe. L’exercice met ainsi en évidence plusieurs situations différentes : fonctions rationnelles, racines, fonctions trigonométriques, fonction Arctangente et puissances rationnelles. Une attention particulière doit être portée aux valeurs exclues du domaine et aux zéros de \(f''\) qui ne provoquent aucun changement de signe.

Dans chacun des cas suivants, étudier la concavité de la courbe \(\mathcal C_f\) de \(f\), en déterminant ses éventuels points d’inflexion.

Repère de cours — Concavité et points d’inflexion

Sur un intervalle où \(f\) est deux fois dérivable, le signe de \(f''\) permet de déterminer la concavité de sa courbe :

\[ f''(x)\gt0 \quad\Longrightarrow\quad \mathcal C_f\text{ est convexe}, \] \[ f''(x)\lt0 \quad\Longrightarrow\quad \mathcal C_f\text{ est concave}. \]

Pour rechercher les points d’inflexion, il ne suffit pas de résoudre \(f''(x)=0\). Il faut vérifier que la concavité change réellement de part et d’autre de l’abscisse considérée et que cette abscisse appartient au domaine de la fonction.

Question 1 — Fonction rationnelle

\[ \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1} \]

Méthode. Le dénominateur \(x^2+1\) ne s’annule jamais. La fonction est donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Après le calcul de \(f''\), son dénominateur étant positif, toute l’étude se ramène au signe du numérateur factorisé.

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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), car \(x^2+1\gt0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

\[ f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]

et :

\[ f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}. \]

Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de :

\[ x(x^2-3)=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3). \]

Ainsi :

\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-\sqrt3[ \cup ]0;\sqrt3[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\sqrt3;0[ \cup ]\sqrt3;+\infty[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est concave sur \[ ]-\infty;-\sqrt3[\cup]0;\sqrt3[ \] et convexe sur \[ ]-\sqrt3;0[\cup]\sqrt3;+\infty[. \]

Le signe de \(f''\) change en \(-\sqrt3\), \(0\) et \(\sqrt3\). De plus :

\[ f(-\sqrt3)=-\frac{\sqrt3}{4}, \qquad f(0)=0, \qquad f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{4}. \]

Les points d’inflexion sont : \[ \boxed{ A\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt3}{4}\right), \quad O(0;0), \quad B\left(\sqrt3;\frac{\sqrt3}{4}\right).} \]

Les trois zéros du numérateur de \(f''\) correspondent ici à trois changements effectifs de signe. Chacun donne donc un changement de concavité de la courbe.

Question 2 — Fonction rationnelle avec valeurs interdites

\[ \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x+2-x^2} \]

Méthode. La première étape est le domaine : les valeurs qui annulent le dénominateur ne correspondent à aucun point de la courbe. Elles pourront séparer les intervalles de concavité, mais elles ne pourront pas être des abscisses de points d’inflexion.

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On a :

\[ x+2-x^2=-(x-2)(x+1). \]

La fonction \(f\) est donc définie et deux fois dérivable sur :

\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}. \]

Par dérivation :

\[ f'(x) = \frac{2x^2-2x+5}{(x-2)^2(x+1)^2}. \]

Puis :

\[ f''(x) = -\frac{2(2x-1)(x^2-x+7)} {(x-2)^3(x+1)^3}. \]

Or :

\[ x^2-x+7 = \left(x-\frac12\right)^2+\frac{27}{4} \gt0. \]

Le signe de \(f''\) dépend donc de \(2x-1\), de \(x+1\) et de \(x-2\). On obtient :

\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-1[ \cup \left]\frac12;2\right[ \] \[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad \left]-1;\frac12\right[ \cup ]2;+\infty[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est convexe sur \[ ]-\infty;-1[ \cup \left]\frac12;2\right[ \] et concave sur \[ \left]-1;\frac12\right[ \cup ]2;+\infty[. \]

Les réels \(-1\) et \(2\) n’appartiennent pas au domaine. Le seul changement de concavité en un point de la courbe se produit pour :

\[ x=\frac12. \]

Or :

\[ f\left(\frac12\right)=0. \]

La courbe admet un seul point d’inflexion : \[ \boxed{A\left(\frac12;0\right).} \]

Les changements observés au passage de \(-1\) et de \(2\) ne produisent pas de points d’inflexion, puisque la courbe ne possède aucun point à ces abscisses. Seul \(x=\frac12\) appartient au domaine et correspond à un changement de concavité.

Question 3 — Racine carrée et fonction rationnelle

\[ \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x-1)^2} \]

Méthode. La racine carrée impose \(x\geq0\) et le dénominateur impose \(x\neq1\). La dérivée seconde n’est étudiée que sur les intervalles où la fonction est deux fois dérivable. Son dénominateur étant positif, le signe est donné par un trinôme du second degré.

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La fonction \(f\) est définie sur :

\[ D_f=[0;+\infty[\setminus\{1\}. \]

Elle est deux fois dérivable sur :

\[ ]0;1[\cup]1;+\infty[. \]

Pour \(x\in]0;1[\cup]1;+\infty[\) :

\[ f''(x) = \frac{15x^2+10x-1} {4x^{3/2}(x-1)^4}. \]

Le dénominateur est strictement positif. Résolvons :

\[ 15x^2+10x-1=0. \]

Le discriminant vaut :

\[ \Delta=10^2-4\times15\times(-1)=160. \]

Les racines sont :

\[ \frac{-5-2\sqrt{10}}{15} \qquad\text{et}\qquad \alpha=\frac{2\sqrt{10}-5}{15}. \]

Seule \(\alpha\) appartient à \(]0;+\infty[\). Comme le coefficient de \(x^2\) est positif :

\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]0;\alpha[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]\alpha;1[ \cup ]1;+\infty[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est concave sur \(]0;\alpha[\) et convexe sur \[ ]\alpha;1[\cup]1;+\infty[, \qquad \alpha=\frac{2\sqrt{10}-5}{15}. \]

Le signe de \(f''\) change en \(\alpha\). La courbe admet donc le point d’inflexion :

\[ \boxed{ A\left( \alpha; \frac{\sqrt{\alpha}}{(\alpha-1)^2} \right), \qquad \alpha=\frac{2\sqrt{10}-5}{15}.} \]

Parmi les deux racines du trinôme, seule la racine positive appartient à la partie utile du domaine. C’est donc la seule qui puisse modifier la concavité de la courbe.

Question 4 — Deux changements de concavité

\[ \displaystyle f(x)=3x+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \]

Méthode. Ici, \(x^2+1\) est toujours strictement positif. La fonction est donc deux fois dérivable sur tout \(\mathbb R\). Le dénominateur de \(f''\) restera positif, ce qui ramène l’étude au signe de \(2x^2-1\).

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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\[ f'(x) = 3-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} \]

et :

\[ f''(x) = \frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}. \]

Le dénominateur est strictement positif. Ainsi :

\[ f''(x)=0 \Longleftrightarrow 2x^2-1=0 \Longleftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}. \]

On obtient :

\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-\tfrac{1}{\sqrt2}[ \cup ]\tfrac{1}{\sqrt2};+\infty[ \] \[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\tfrac{1}{\sqrt2};\tfrac{1}{\sqrt2}[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est convexe sur \[ ]-\infty;-\tfrac{1}{\sqrt2}[ \cup ]\tfrac{1}{\sqrt2};+\infty[ \] et concave sur \[ ]-\tfrac{1}{\sqrt2};\tfrac{1}{\sqrt2}[. \]

Le signe de \(f''\) change aux deux valeurs. De plus :

\[ f\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) = -\frac{3}{\sqrt2} + \sqrt{\frac23}, \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{3}{\sqrt2} + \sqrt{\frac23}. \]

Les points d’inflexion sont : \[ \boxed{ A\left( -\frac{1}{\sqrt2}; -\frac{3}{\sqrt2}+\sqrt{\frac23} \right), \quad B\left( \frac{1}{\sqrt2}; \frac{3}{\sqrt2}+\sqrt{\frac23} \right).} \]

Les deux racines de \(2x^2-1\) séparent trois intervalles sur lesquels le signe de \(f''\) alterne. Les deux abscisses correspondent donc à de véritables points d’inflexion.

Question 5 — Concavité d’une fonction trigonométrique

\[ \displaystyle f(x)=-\cos^2x-2\sin x \]

Méthode. Après deux dérivations, on factorise \(f''\) en fonction de \(\sin x\). Il faut ensuite distinguer les zéros où un facteur s’annule sans changer de signe des zéros où la dérivée seconde change réellement de signe.

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La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\[ f'(x) = 2\sin x\cos x-2\cos x \]

et :

\[ f''(x) = 2\cos(2x)+2\sin x. \]

Comme \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), on obtient :

\[ f''(x) = 2(1+\sin x-2\sin^2x) = 2(1-\sin x)(2\sin x+1). \]

Pour tout réel \(x\), on a \(1-\sin x\geq0\). Ce facteur s’annule lorsque \(\sin x=1\), sans changer de signe.

Le signe de \(f''\) est donc celui de \(2\sin x+1\), sauf en ces zéros isolés. Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) :

\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad \left]-\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+2k\pi\right[ \]

à l’exception des points \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), où \(f''(x)=0\) sans changement de signe, et :

\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad \left]\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right[. \]

Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), la courbe \(\mathcal C_f\) est convexe sur \[ \left]-\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+2k\pi\right[ \] et concave sur \[ \left]\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right[. \]

Le signe de \(f''\) change lorsque \(\sin x=-\frac12\), c’est-à-dire pour :

\[ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi. \]

Pour ces valeurs, \(\cos^2x=\frac34\), donc :

\[ f(x) = -\frac34 - 2\left(-\frac12\right) = \frac14. \]

Les points d’inflexion sont : \[ \boxed{ A_k\left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac14 \right), \quad B_k\left( \frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac14 \right), \qquad k\in\mathbb{Z}.} \]

Les points où \(\sin x=1\) annulent aussi \(f''\), mais ils ne sont pas des points d’inflexion, car la concavité ne change pas.

Cette question illustre une distinction essentielle : l’égalité \(f''(a)=0\) n’est pas suffisante. Ce qui caractérise ici les points d’inflexion est le changement effectif de signe de \(f''\).

Question 6 — Changement de signe hors du domaine

\[ \displaystyle f(x)=\frac{\sin^2x}{\cos(2x)} \]

Méthode. Le domaine doit être déterminé avant toute étude de concavité. Après simplification de l’expression et calcul de \(f''\), son signe sera celui de \(\cos(2x)\). Il faudra ensuite vérifier si les abscisses où ce signe change appartiennent ou non au domaine.

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La fonction \(f\) est définie lorsque :

\[ \cos(2x)\neq0, \]

c’est-à-dire lorsque :

\[ x\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

On utilise l’identité :

\[ \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}. \]

Ainsi :

\[ f(x) = \frac{1}{2\cos(2x)}-\frac12. \]

Sur chaque intervalle de son domaine :

\[ f'(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)} \]

et :

\[ f''(x) = \frac{2\bigl(1+\sin^2(2x)\bigr)} {\cos^3(2x)}. \]

Le numérateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(\cos(2x)\).

Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), la courbe \(\mathcal C_f\) est convexe sur \[ \left]-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right[ \] et concave sur \[ \left]\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{3\pi}{4}+k\pi\right[. \]

La courbe n’admet aucun point d’inflexion, car les changements de signe de \(f''\) ont lieu en des abscisses qui n’appartiennent pas au domaine de définition.

La concavité change bien d’un intervalle du domaine au suivant, mais les abscisses séparant ces intervalles sont précisément celles où la fonction n’est pas définie. Elles ne peuvent donc correspondre à aucun point de \(\mathcal C_f\).

Question 7 — Fonction Arctangente

\[ \displaystyle f(x)=x-\operatorname{Arctan}x \]

Méthode. La fonction Arctangente est dérivable sur \(\mathbb R\). Après le calcul de \(f''\), son dénominateur étant strictement positif, le signe dépend uniquement de \(x\). Le changement de signe en \(0\) sera alors immédiat.

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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\[ f'(x) = 1-\frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \]

et :

\[ f''(x) = \frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]

Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(x\).

\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;0[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]0;+\infty[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est concave sur \(]-\infty;0[\) et convexe sur \(]0;+\infty[\).

Le signe de \(f''\) change en \(0\), et :

\[ f(0)=0. \]

La courbe admet le point d’inflexion : \[ \boxed{O(0;0).} \]

Le passage de \(f''<0\) à \(f''>0\) au voisinage de \(0\) traduit exactement le passage d’une courbe concave à une courbe convexe.

Question 8 — Puissance rationnelle et absence de point d’inflexion

\[ \displaystyle f(x)=(x-1)^{\frac23} \]

Méthode. La fonction est définie sur tout \(\mathbb R\), mais elle n’est pas deux fois dérivable en \(1\). Il faut donc étudier \(f''\) de part et d’autre de ce point. Le fait que \(f''\) n’existe pas en \(1\) ne suffit pas à conclure à un point d’inflexion : la concavité doit réellement changer.

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La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Elle est deux fois dérivable sur :

\[ ]-\infty;1[\cup]1;+\infty[. \]

Pour tout \(x\neq1\) :

\[ f'(x) = \frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} \]

et :

\[ f''(x) = -\frac{2}{9}(x-1)^{-4/3}. \]

Comme \((x-1)^{4/3}\gt0\) pour tout \(x\neq1\) :

\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est concave sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).

Au point \(x=1\), la fonction n’est pas dérivable et la concavité ne change pas de part et d’autre.

\[ \boxed{\mathcal C_f\text{ n’admet aucun point d’inflexion}.} \]

Le point \(A(1;0)\) n’est pas un point d’inflexion, car la concavité reste la même de part et d’autre.

Cette dernière question montre que l’absence de dérivabilité en un point n’entraîne pas automatiquement un changement de concavité. Ici, \(f''\) est négative des deux côtés de \(1\), donc la courbe reste concave.

À retenir.

L’étude de la concavité commence toujours par la détermination de la zone où la fonction est deux fois dérivable. On calcule ensuite \(f''\) et on cherche à simplifier son signe : dénominateur strictement positif, factorisation, trinôme du second degré ou identité trigonométrique. Les intervalles où \(f''\) est positive correspondent aux parties convexes de la courbe, tandis que ceux où \(f''\) est négative correspondent aux parties concaves.

Pour déterminer les points d’inflexion, il faut aller plus loin que la simple résolution de \(f''(x)=0\). L’abscisse doit appartenir au domaine de la fonction et la concavité doit réellement changer de part et d’autre. C’est pourquoi les valeurs interdites de la question 2 et de la question 6 ne donnent aucun point d’inflexion. De même, dans la question 5, certains zéros de \(f''\) ne modifient pas son signe, et dans la question 8 la dérivée seconde garde le même signe de part et d’autre de \(1\). La bonne méthode consiste donc toujours à établir un véritable tableau de signe de \(f''\) avant de conclure géométriquement.

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

Note : Ce site est une ressource pédagogique indépendante et n'est pas affilié aux éditeurs du manuel Al Moufid.