Correction de l’exercice 51 — Concavité et points d’inflexion — Al Moufid
Dans chacun des cas suivants, étudier la concavité de la courbe \(\mathcal C_f\) de \(f\), en déterminant ses éventuels points d’inflexion.
1) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)
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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), car \(x^2+1\gt0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
\[ f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]et :
\[ f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}. \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de :
\[ x(x^2-3)=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3). \]Ainsi :
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-\sqrt3[ \cup ]0;\sqrt3[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\sqrt3;0[ \cup ]\sqrt3;+\infty[. \]Le signe de \(f''\) change en \(-\sqrt3\), \(0\) et \(\sqrt3\). De plus :
\[ f(-\sqrt3)=-\frac{\sqrt3}{4}, \qquad f(0)=0, \qquad f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{4}. \]2) \(\displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x+2-x^2}\)
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On a :
\[ x+2-x^2=-(x-2)(x+1). \]La fonction \(f\) est donc définie et deux fois dérivable sur :
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}. \]Par dérivation :
\[ f'(x) = \frac{2x^2-2x+5}{(x-2)^2(x+1)^2}. \]Puis :
\[ f''(x) = -\frac{2(2x-1)(x^2-x+7)} {(x-2)^3(x+1)^3}. \]Or :
\[ x^2-x+7 = \left(x-\frac12\right)^2+\frac{27}{4} \gt0. \]Le signe de \(f''\) dépend donc de \(2x-1\), de \(x+1\) et de \(x-2\). On obtient :
\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-1[ \cup \left]\frac12;2\right[ \] \[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad \left]-1;\frac12\right[ \cup ]2;+\infty[. \]Les réels \(-1\) et \(2\) n’appartiennent pas au domaine. Le seul changement de concavité en un point de la courbe se produit pour :
\[ x=\frac12. \]Or :
\[ f\left(\frac12\right)=0. \]3) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x-1)^2}\)
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La fonction \(f\) est définie sur :
\[ D_f=[0;+\infty[\setminus\{1\}. \]Elle est deux fois dérivable sur :
\[ ]0;1[\cup]1;+\infty[. \]Pour \(x\in]0;1[\cup]1;+\infty[\) :
\[ f''(x) = \frac{15x^2+10x-1} {4x^{3/2}(x-1)^4}. \]Le dénominateur est strictement positif. Résolvons :
\[ 15x^2+10x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=10^2-4\times15\times(-1)=160. \]Les racines sont :
\[ \frac{-5-2\sqrt{10}}{15} \qquad\text{et}\qquad \alpha=\frac{2\sqrt{10}-5}{15}. \]Seule \(\alpha\) appartient à \(]0;+\infty[\). Comme le coefficient de \(x^2\) est positif :
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]0;\alpha[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]\alpha;1[ \cup ]1;+\infty[. \]Le signe de \(f''\) change en \(\alpha\). La courbe admet donc le point d’inflexion :
4) \(\displaystyle f(x)=3x+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\[ f'(x) = 3-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} \]et :
\[ f''(x) = \frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi :
\[ f''(x)=0 \Longleftrightarrow 2x^2-1=0 \Longleftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}. \]On obtient :
\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;-\tfrac{1}{\sqrt2}[ \cup ]\tfrac{1}{\sqrt2};+\infty[ \] \[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\tfrac{1}{\sqrt2};\tfrac{1}{\sqrt2}[. \]Le signe de \(f''\) change aux deux valeurs. De plus :
\[ f\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) = -\frac{3}{\sqrt2} + \sqrt{\frac23}, \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{3}{\sqrt2} + \sqrt{\frac23}. \]5) \(\displaystyle f(x)=-\cos^2x-2\sin x\)
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La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\[ f'(x) = 2\sin x\cos x-2\cos x \]et :
\[ f''(x) = 2\cos(2x)+2\sin x. \]Comme \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), on obtient :
\[ f''(x) = 2(1+\sin x-2\sin^2x) = 2(1-\sin x)(2\sin x+1). \]Pour tout réel \(x\), on a \(1-\sin x\geq0\). Ce facteur s’annule lorsque \(\sin x=1\), sans changer de signe.
Le signe de \(f''\) est donc celui de \(2\sin x+1\), sauf en ces zéros isolés. Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) :
\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad \left]-\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+2k\pi\right[ \]à l’exception des points \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), où \(f''(x)=0\) sans changement de signe, et :
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad \left]\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right[. \]Le signe de \(f''\) change lorsque \(\sin x=-\frac12\), c’est-à-dire pour :
\[ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi. \]Pour ces valeurs, \(\cos^2x=\frac34\), donc :
\[ f(x) = -\frac34 - 2\left(-\frac12\right) = \frac14. \]6) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin^2x}{\cos(2x)}\)
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La fonction \(f\) est définie lorsque :
\[ \cos(2x)\neq0, \]c’est-à-dire lorsque :
\[ x\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]On utilise l’identité :
\[ \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}. \]Ainsi :
\[ f(x) = \frac{1}{2\cos(2x)}-\frac12. \]Sur chaque intervalle de son domaine :
\[ f'(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)} \]et :
\[ f''(x) = \frac{2\bigl(1+\sin^2(2x)\bigr)} {\cos^3(2x)}. \]Le numérateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(\cos(2x)\).
7) \(\displaystyle f(x)=x-\operatorname{Arctan}x\)
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La fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\[ f'(x) = 1-\frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \]et :
\[ f''(x) = \frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(x\).
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;0[ \] \[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]0;+\infty[. \]Le signe de \(f''\) change en \(0\), et :
\[ f(0)=0. \]8) \(\displaystyle f(x)=(x-1)^{\frac23}\)
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La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Elle est deux fois dérivable sur :
\[ ]-\infty;1[\cup]1;+\infty[. \]Pour tout \(x\neq1\) :
\[ f'(x) = \frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} \]et :
\[ f''(x) = -\frac{2}{9}(x-1)^{-4/3}. \]Comme \((x-1)^{4/3}\gt0\) pour tout \(x\neq1\) :
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[. \]Au point \(x=1\), la fonction n’est pas dérivable et la concavité ne change pas de part et d’autre.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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