Correction détaillée des exercices 01 à 07 — Limites
les 54 questions ont été comparées à la page originale des exercices. Les expressions, les sens de passage à la limite et les résultats ont été contrôlés mathématiquement.
Exercice 01
Calculer la limite :
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La substitution directe donne la forme indéterminée \(\frac00\). On multiplie donc le numérateur par sa quantité conjuguée :
Pour \(x\neq0\), on obtient :
Calculer la limite :
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Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x>0\), donc \(\sqrt{x^2}=x\). Ainsi :
Par conséquent :
Calculer la limite :
Lire la correction +
On transforme séparément le numérateur et le dénominateur :
Pour \(x\neq4\) :
Calculer la limite :
Lire la correction +
On regroupe les deux premiers termes du numérateur :
Pour \(x>0\) :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x\), on obtient :
Calculer la limite :
Lire la correction +
On rationalise le numérateur :
On rationalise également le dénominateur :
Après simplification par \(x-3\) :
Calculer la limite :
Lire la correction +
Posons \(h=x-2\). Alors \(h\to0^+\) et \(x=2+h\). La limite devient :
Or :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt h\), on obtient :
Calculer la limite :
Lire la correction +
Pour \(x<-1\), on a \(\dfrac{x^3}{x+1}>0\), donc la racine est bien définie et positive. Ainsi :
Or \(-x\to+\infty\) lorsque \(x\to-\infty\). Par comparaison :
Calculer la limite :
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On met les deux fractions au même dénominateur, puis on rationalise la différence des racines :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^{3/2}\), le quotient tend vers \(0\).
Exercice 02
Calculer la limite :
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Au voisinage de \(4\), on a \(x^2-2x=x(x-2)>0\). Donc :
On factorise alors :
Calculer la limite :
Lire la correction +
On rationalise le numérateur :
La fraction devient :
Après division du numérateur et du dénominateur par \(x^2\), le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur tend vers \(2\).
Calculer la limite :
Lire la correction +
On rationalise :
Comme \(x^2>0\), on obtient :
Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(2\).
Calculer la limite :
Lire la correction +
On met \(x\) en facteur, puis on rationalise :
Le deuxième facteur tend vers \(\frac34>0\), tandis que \(x\to+\infty\).
Calculer la limite :
Lire la correction +
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(-x>0\).
Calculer la limite :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1}} {\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}. \]Lire la correction +
On rationalise le numérateur et le dénominateur :
\[ \sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1} = \frac{2}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}, \] \[ \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1} = \frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}. \]Le quotient devient :
\[ \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} {\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}. \]Comme \(x\to+\infty\), on factorise respectivement \(x\) et \(x^2\) :
\[ = \frac1x\, \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+\sqrt{1-\frac1{x^2}}} {\sqrt{1+\frac1{x^4}}+\sqrt{1-\frac1{x^4}}}. \]Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1x\to0\).
Pour \(\alpha\in\mathbb R\), calculer :
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Pour \(x>0\), on a \(x\sqrt{x+1}=\sqrt{x^3+x^2}\). En rationalisant :
Après division par \(x^{3/2}\), le quotient contient le facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}>0\). La limite vaut donc \(+\infty\).
Le même raisonnement donne un facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}<0\). La limite vaut donc \(-\infty\).
Pour \(a\in\mathbb R\), étudier et calculer, lorsqu’elle est définie, la limite :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}. \]Lire la correction +
Pour \(x\gt a\), on a :
\[ x^2-ax=x(x-a), \qquad x^2-a^2=(x-a)(x+a). \]Cas \(a\ge0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a \(x\ge0\) et \(x+a\ge0\). L’expression est alors définie et :
\[ \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt{x}+\sqrt{x+a}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt a+\sqrt{2a}. \]Cas \(a\lt0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a encore \(x\lt0\). Alors \(x(x-a)\lt0\), donc \(\sqrt{x^2-ax}\) n’est pas définie dans un voisinage droit de \(a\). La limite réelle n’est donc pas définie.
Exercice 03
Soit \(m\in\mathbb R\) et \(f\) la fonction définie par :
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Le dénominateur s’annule pour \(x=0\), \(x=2\) et \(x=3\). Par conséquent :
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Le numérateur et le dénominateur sont de degré \(3\), avec coefficients dominants respectifs \(m\) et \(1\). Donc :
Notons \(N(x)=mx^3+(m-2)x^2+(m-1)x+m-3\). On a \(N(0)=m-3\).
Si \(m>3\), le numérateur est positif au voisinage de \(0\), tandis que le dénominateur est négatif à gauche et positif à droite :
Si \(m<3\) :
Si \(m=3\), le numérateur se factorise :
Après simplification par \(x\) :
On a \(N(2)=15m-13\).
Si \(m>\frac{13}{15}\) :
Si \(m<\frac{13}{15}\) :
Si \(m=\frac{13}{15}\) :
Après simplification par \(x-2\) :
On a \(N(3)=40m-24=8(5m-3)\).
Si \(m>\frac35\) :
Si \(m<\frac35\) :
Si \(m=\frac35\) :
Après simplification par \(x-3\) :
Exercice 04
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On écrit :
Ainsi :
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Les trois facteurs tendent respectivement vers \(1\), \(1\) et \(4\).
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On rationalise le numérateur :
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On utilise \(1-\cos^3x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)\) :
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Or \(\dfrac{\tan3x}{x}=3\dfrac{\tan3x}{3x}\to3\).
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Comme \(\sin(\pi x)=\sin\bigl(\pi+\pi(x-1)\bigr)=-\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr)\), on a :
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On factorise le numérateur et on utilise \(\sin x-\cos x=\cos x(\tan x-1)\) :
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En utilisant \(\cos2x=2\cos^2x-1\), on obtient :
Exercice 05
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Posons \(h=x-\frac\pi4\). Alors :
Si \(F(x)\) désigne le quotient, alors :
Par conséquent, \(F(x)\) a le signe de \(h\) et sa valeur absolue devient non bornée :
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Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\tan2x=\tan2h\), \(\cos x=-\sin h\) et \(\pi-2x=-2h\). Ainsi :
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On écrit :
Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\sin x=\cos h\) et \(\cos x=-\sin h\) :
Le premier terme tend vers \(0\) et le second vers \(-1\).
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Posons \(h=x-\frac\pi3\). On obtient :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(h\), puis en utilisant \(\frac{\sin h}{h}\to1\) et \(\frac{\cos h-1}{h}\to0\), on obtient :
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Posons \(u=\frac\pi2-x\). Alors \(u\to0^+\) et \(\tan x=\cot u\). Donc :
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Posons \(h=x-1\). Alors :
Le produit devient :
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On factorise :
Or \(\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac\pi4-x\right)\). Donc :
Pour \((a,b)\in(\mathbb R^\ast)^2\), calculer :
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On utilise l’identité :
Ainsi :
Exercice 06
Soit \(f\) une fonction numérique vérifiant :
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En ajoutant \(x^2\) aux trois membres :
Comme \(1+x\to+\infty\), le théorème de comparaison donne :
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Après soustraction de \(1\) :
Pour \(x>0\), la division par \(x\) conserve le sens des inégalités :
Pour \(x<0\), la division par \(x\) inverse le sens des inégalités :
Dans les deux cas, les deux bornes tendent vers \(1\).
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On soustrait \(1+x\) :
Pour \(x\neq0\), on divise par \(x^2>0\) :
Exercice 07
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Comme \(-1\leq\sin x\leq1\), on a \(1\leq5-4\sin x\leq9\). Pour \(x\) assez grand :
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Comme \(\cos x\leq1\), on a :
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Pour \(0\lt x\lt1\), on a :
\[ E(x)=0. \]Ainsi :
\[ \frac{x-E(x)}{x^2} = \frac{x}{x^2} = \frac1x. \]Lire la correction +
Pour \(-1\lt x\lt0\), on a :
\[ E(x)=-1. \]Par conséquent :
\[ \frac{\sin(E(x))}{x} = \frac{\sin(-1)}{x} = -\frac{\sin1}{x}. \]Le numérateur est négatif et \(x\to0^-\), donc le quotient tend vers \(+\infty\).
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Pour \(x>\sqrt3\) :
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On a \(1\leq2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)\leq3\). Par conséquent :
Le membre de droite tend vers \(0\).
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Comme \(2\leq3+\sin\left(\frac1x\right)\leq4\), on a :
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On a \(1+\cos^2x\geq1\), donc :
Lire la correction +
Pour tout réel \(x\), la partie fractionnaire vérifie :
Comme \(x^2>0\) :
Bilan du bloc
Les exercices 01 à 07 ont été vérifiés sur la page originale : 54 questions au total.
Une erreur de transcription a été corrigée dans l’exercice 02-6 : la limite demandée est en \(+\infty\), et non en \(-\infty\). Le cas \(a\lt0\) a aussi été traité explicitement dans l’exercice 02-8. Enfin, les démonstrations des questions 07-6 et 07-7, endommagées par des signes inférieurs bruts dans le HTML, ont été entièrement réparées.
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