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Correction des exercices 01 à 07 — Limites — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 01 à 07 — Limites

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — version vérifiée

Exercice 01

Énoncé
1)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2}. \]
2)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac1x\left(\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right). \]
3)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x}-2}. \]
4)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x}{5\sqrt{x^2+3}}. \]
5)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to3} \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6}} {\sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x}}. \]
6)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to2^+} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}-\sqrt2}{\sqrt{x^2-4}}. \]
7)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right). \]
8)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}-\frac{x}{\sqrt{x+2}}\right). \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La substitution directe donne la forme indéterminée \(\frac00\). On multiplie donc le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x+4}-2 =\frac{(x+4)-4}{\sqrt{x+4}+2} =\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}. \]

Pour \(x\neq0\), on obtient :

\[ \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} =\frac{x}{(\sqrt{x+4}+2)x(1-x)} =\frac{1}{(\sqrt{x+4}+2)(1-x)}. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2}=\frac14} \]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x>0\), donc \(\sqrt{x^2}=x\). Ainsi :

\[ \frac{\sqrt{3x^2+1}}{x}=\sqrt{3+\frac1{x^2}}, \qquad \frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\sqrt{1+\frac1x}. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac1x\left(\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\right) =\sqrt3-1} \]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On transforme séparément le numérateur et le dénominateur :

\[ \sqrt{2x+1}-3 =\frac{2x+1-9}{\sqrt{2x+1}+3} =\frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}, \]
\[ \sqrt{x}-2=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}. \]

Pour \(x\neq4\) :

\[ \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x}-2} =\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{2x+1}+3}. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac43} \]
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On regroupe les deux premiers termes du numérateur :

\[ 3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x =3x\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)+x. \]

Pour \(x>0\) :

\[ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \longrightarrow \frac12. \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x\), on obtient :

\[ \frac{3\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)+1} {5\sqrt{1+\frac3{x^2}}} \longrightarrow \frac{3\cdot\frac12+1}{5} =\frac12. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x}{5\sqrt{x^2+3}} =\frac12} \]
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

On rationalise le numérateur :

\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6} =\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+6}}. \]

On rationalise également le dénominateur :

\[ \sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x} =\frac{(x-1)-(8-2x)} {\sqrt{x-1}+\sqrt{8-2x}} =\frac{3(x-3)} {\sqrt{x-1}+\sqrt{8-2x}}. \]

Après simplification par \(x-3\) :

\[ \frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{8-2x}} {3\left(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+6}\right)} \longrightarrow \frac{2\sqrt2}{18}. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to3} \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6}} {\sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x}} =\frac{\sqrt2}{9}} \]
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons \(h=x-2\). Alors \(h\to0^+\) et \(x=2+h\). La limite devient :

\[ \frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2+\sqrt h}{\sqrt{h(4+h)}}. \]

Or :

\[ \sqrt{2+h}-\sqrt2 =\frac{h}{\sqrt{2+h}+\sqrt2}. \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt h\), on obtient :

\[ \frac{\dfrac{\sqrt h}{\sqrt{2+h}+\sqrt2}+1}{\sqrt{4+h}} \longrightarrow \frac12. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to2^+} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}-\sqrt2}{\sqrt{x^2-4}} =\frac12} \]
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Pour \(x<-1\), on a \(\dfrac{x^3}{x+1}>0\), donc la racine est bien définie et positive. Ainsi :

\[ \sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\geq -x. \]

Or \(-x\to+\infty\) lorsque \(x\to-\infty\). Par comparaison :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right)=+\infty} \]
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

On met les deux fractions au même dénominateur, puis on rationalise la différence des racines :

\[ \frac{x}{\sqrt{x-2}}-\frac{x}{\sqrt{x+2}} = \frac{x\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\right)} {\sqrt{x^2-4}} \]
\[ = \frac{4x} {\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\right)\sqrt{x^2-4}}. \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^{3/2}\), le quotient tend vers \(0\).

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}-\frac{x}{\sqrt{x+2}}\right)=0} \]

Exercice 02

Énoncé
1)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to4}\frac{|x^2-2x|-8}{x^2-5x+4}. \]
2)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-4}} {x+\sqrt{x+2}}. \]
3)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^4-x^3}-x^2\right). \]
4)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x\sqrt{4x^2+3x-7}-2x^2\right). \]
5)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{10x^2+9}-7} {\sqrt{2-x}+\sqrt{x^2+5}-5}. \]
6)

Calculer la limite :

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1}} {\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}. \]
7)

Pour \(\alpha\in\mathbb R\), calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1}-x\sqrt{x+1}\right). \]
8)

Pour \(a\in\mathbb R\), étudier et calculer, lorsqu’elle est définie, la limite :

\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}. \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Au voisinage de \(4\), on a \(x^2-2x=x(x-2)>0\). Donc :

\[ |x^2-2x|=x^2-2x. \]

On factorise alors :

\[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2), \qquad x^2-5x+4=(x-4)(x-1). \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{|x^2-2x|-8}{x^2-5x+4}=2} \]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On rationalise le numérateur :

\[ \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-4} = \frac{x+5} {\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-4}}. \]

La fraction devient :

\[ \frac{x+5} {\left(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-4}\right) \left(x+\sqrt{x+2}\right)}. \]

Après division du numérateur et du dénominateur par \(x^2\), le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur tend vers \(2\).

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-4}} {x+\sqrt{x+2}}=0} \]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On rationalise :

\[ \sqrt{x^4-x^3}-x^2 = \frac{-x^3}{\sqrt{x^4-x^3}+x^2}. \]

Comme \(x^2>0\), on obtient :

\[ \frac{-x}{\sqrt{1-\frac1x}+1}. \]

Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(2\).

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^4-x^3}-x^2\right)=+\infty} \]
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On met \(x\) en facteur, puis on rationalise :

\[ x\sqrt{4x^2+3x-7}-2x^2 = x\left(\sqrt{4x^2+3x-7}-2x\right) \]
\[ = x\frac{3x-7}{\sqrt{4x^2+3x-7}+2x} = x\frac{3-\frac7x} {\sqrt{4+\frac3x-\frac7{x^2}}+2}. \]

Le deuxième facteur tend vers \(\frac34>0\), tandis que \(x\to+\infty\).

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x\sqrt{4x^2+3x-7}-2x^2\right)=+\infty} \]
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(-x>0\).

\[ \frac{\sqrt{10x^2+9}-7}{-x} = \sqrt{10+\frac9{x^2}}+\frac7x \longrightarrow \sqrt{10}. \]
\[ \frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x^2+5}-5}{-x} = \frac{\sqrt{2-x}}{-x} +\sqrt{1+\frac5{x^2}} +\frac5x \longrightarrow 1. \]
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{10x^2+9}-7} {\sqrt{2-x}+\sqrt{x^2+5}-5} =\sqrt{10}} \]
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

On rationalise le numérateur et le dénominateur :

\[ \sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1} = \frac{2}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}, \] \[ \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1} = \frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}. \]

Le quotient devient :

\[ \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} {\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}. \]

Comme \(x\to+\infty\), on factorise respectivement \(x\) et \(x^2\) :

\[ = \frac1x\, \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+\sqrt{1-\frac1{x^2}}} {\sqrt{1+\frac1{x^4}}+\sqrt{1-\frac1{x^4}}}. \]

Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1x\to0\).

\[ \boxed{0} \]
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Pour \(x>0\), on a \(x\sqrt{x+1}=\sqrt{x^3+x^2}\). En rationalisant :

\[ \sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1}-x\sqrt{x+1} = \frac{(\alpha-1)x^2+x+1} {\sqrt{x^3+\alpha x^2+x+1}+x\sqrt{x+1}}. \]
Si \(\alpha>1\)

Après division par \(x^{3/2}\), le quotient contient le facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}>0\). La limite vaut donc \(+\infty\).

Si \(\alpha<1\)

Le même raisonnement donne un facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}<0\). La limite vaut donc \(-\infty\).

Si \(\alpha=1\)
\[ \frac{x+1} {\sqrt{x^3+x^2+x+1}+x\sqrt{x+1}} \longrightarrow 0. \]
\[ \boxed{ \begin{cases} +\infty,&\alpha>1,\\[2mm] 0,&\alpha=1,\\[2mm] -\infty,&\alpha<1. \end{cases}} \]
Précision nécessaire : cette limite au voisinage droit de \(a\) n’a de sens que pour \(a\geq0\). Pour \(a<0\), le point \(a\) n’est pas un point d’accumulation du domaine de l’expression.
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Pour \(x\gt a\), on a :

\[ x^2-ax=x(x-a), \qquad x^2-a^2=(x-a)(x+a). \]

Cas \(a\ge0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a \(x\ge0\) et \(x+a\ge0\). L’expression est alors définie et :

\[ \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt{x}+\sqrt{x+a}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt a+\sqrt{2a}. \]

Cas \(a\lt0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a encore \(x\lt0\). Alors \(x(x-a)\lt0\), donc \(\sqrt{x^2-ax}\) n’est pas définie dans un voisinage droit de \(a\). La limite réelle n’est donc pas définie.

\[ \boxed{ \begin{cases} \sqrt a+\sqrt{2a},&a\ge0,\\[1mm] \text{limite réelle non définie},&a\lt0. \end{cases}} \]

Exercice 03

Énoncé

Soit \(m\in\mathbb R\) et \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)= \frac{mx^3+(m-2)x^2+(m-1)x+m-3} {x(x-2)(x-3)}. \]
1)

Déterminer le domaine de définition de \(f\)

2)

Étudier les limites de \(f\) aux bornes de son domaine

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Le dénominateur s’annule pour \(x=0\), \(x=2\) et \(x=3\). Par conséquent :

\[ \boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{0,2,3\}} \]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
1. Limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\)

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^3\), puis en passant à la limite, on obtient :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)= \lim_{x\to-\infty}f(x)=m}. \]
2. Limites au voisinage de \(0\)

Notons \(N(x)=mx^3+(m-2)x^2+(m-1)x+m-3\). On a \(N(0)=m-3\).

Si \(m>3\), le numérateur est positif au voisinage de \(0\), tandis que le dénominateur est négatif à gauche et positif à droite :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]

Si \(m<3\) :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]

Si \(m=3\), le numérateur se factorise :

\[ N(x)=x(3x^2+x+2). \]

Après simplification par \(x\) :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\frac13}. \]
3. Limites au voisinage de \(2\)

On a \(N(2)=15m-13\).

Si \(m>\frac{13}{15}\) :

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty. \]

Si \(m<\frac{13}{15}\) :

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]

Si \(m=\frac{13}{15}\) :

\[ N(x)=\frac{(x-2)(13x^2+9x+16)}{15}. \]

Après simplification par \(x-2\) :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=-\frac{43}{15}}. \]
4. Limites au voisinage de \(3\)

On a \(N(3)=40m-24=8(5m-3)\).

Si \(m>\frac35\) :

\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty. \]

Si \(m<\frac35\) :

\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=-\infty. \]

Si \(m=\frac35\) :

\[ N(x)=\frac{(x-3)(3x^2+2x+4)}5. \]

Après simplification par \(x-3\) :

\[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=\frac{37}{15}}. \]

Exercice 04

Énoncé
1)
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{7x}. \]
2)
\[ \lim_{x\to0}\frac{\tan5x}{\sin x}. \]
3)
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}. \]
4)
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt x}. \]
5)
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}. \]
6)
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x\,\sin2x}{1-\cos x}. \]
7)
\[ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}. \]
8)
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x\sin4x}. \]
9)
\[ \lim_{x\to0} \frac{1-\cos5x}{(x^2+x)\tan3x}. \]
10)
\[ \lim_{x\to1}\frac{1-x^2}{\sin(\pi x)}. \]
11)
\[ \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\tan^2x+2\tan x-3}{\sin x-\cos x}. \]
12)
\[ \lim_{x\to\frac\pi3} \frac{\cos2x+\cos x}{2\cos x-1}. \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
\[ \frac{\sin3x}{7x} =\frac37\frac{\sin3x}{3x} \longrightarrow \frac37. \]
\[\boxed{\frac37}\]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
\[ \frac{\tan5x}{\sin x} = 5\frac{\tan5x}{5x}\frac{x}{\sin x} \longrightarrow 5. \]
\[\boxed{5}\]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
\[ \frac{1-\cos2x}{x^2} = 4\frac{1-\cos2x}{(2x)^2} \longrightarrow 4\cdot\frac12=2. \]
\[\boxed{2}\]
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On écrit :

\[ \tan x-\sin x = \sin x\left(\frac1{\cos x}-1\right) = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]

Ainsi :

\[ \frac{\tan x-\sin x}{\sqrt x} = \frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{x^{5/2}}{\cos x} \longrightarrow 0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
\[ \sin x-\tan x = -\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]
\[ \frac{\sin x-\tan x}{x^3} = -\frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac1{\cos x} \longrightarrow -\frac12. \]
\[\boxed{-\frac12}\]
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
\[ \frac{\sin x\,\sin2x}{1-\cos x} = \frac{\sin x}{x} \frac{\sin2x}{2x} \frac{2x^2}{1-\cos x}. \]

Les trois facteurs tendent respectivement vers \(1\), \(1\) et \(4\).

\[\boxed{4}\]
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

On rationalise le numérateur :

\[ \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} = \frac{2\sin x} {x\left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\right)}. \]
\[\boxed{1}\]
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

On utilise \(1-\cos^3x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)\) :

\[ \frac{1-\cos^3x}{x\sin4x} = \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{4x}{\sin4x} \frac{1+\cos x+\cos^2x}{4}. \]
\[\boxed{\frac38}\]
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9
\[ \frac{1-\cos5x}{(x^2+x)\tan3x} = \frac{1-\cos5x}{25x^2} \frac{25}{(x+1)\dfrac{\tan3x}{x}}. \]

Or \(\dfrac{\tan3x}{x}=3\dfrac{\tan3x}{3x}\to3\).

\[\boxed{\frac{25}{6}}\]
Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Comme \(\sin(\pi x)=\sin\bigl(\pi+\pi(x-1)\bigr)=-\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr)\), on a :

\[ \frac{1-x^2}{\sin(\pi x)} = \frac{(x-1)(x+1)}{\sin(\pi(x-1))} = \frac{x+1}{\pi} \frac{\pi(x-1)}{\sin(\pi(x-1))}. \]
\[\boxed{\frac2\pi}\]
Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11

On factorise le numérateur et on utilise \(\sin x-\cos x=\cos x(\tan x-1)\) :

\[ \frac{(\tan x-1)(\tan x+3)}{\cos x(\tan x-1)} = \frac{\tan x+3}{\cos x}. \]
\[\boxed{4\sqrt2}\]
Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12

En utilisant \(\cos2x=2\cos^2x-1\), on obtient :

\[ \cos2x+\cos x = 2\cos^2x+\cos x-1 = (2\cos x-1)(\cos x+1). \]
\[\boxed{\frac32}\]

Exercice 05

Énoncé
1)
\[ \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\sin x-\cos x}{x+x\cos4x}. \]
2)
\[ \lim_{x\to\frac\pi2} \frac{2\tan2x-\sqrt3\cos x}{\pi-2x}. \]
3)
\[ \lim_{x\to\frac\pi2} \left(x\tan x-\frac{\pi}{2\cos x}\right). \]
4)
\[ \lim_{x\to\frac\pi3} \frac{\sqrt3\sin x-\cos x-1}{2\cos x+\cos3x}. \]
5)
\[ \lim_{x\to(\pi/2)^-} \left(\frac\pi2-x\right)\tan x. \]
6)
\[ \lim_{x\to1} (2-3x+x^2)\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right). \]
7)
\[ \lim_{x\to+\infty} (x^2-x+1)\sin^2\left(\frac1x\right). \]
8)
\[ \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\cos^3x-\sin^3x}{\sin\left(\frac\pi4-x\right)}. \]
9)

Pour \((a,b)\in(\mathbb R^\ast)^2\), calculer :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x^2}. \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons \(h=x-\frac\pi4\). Alors :

\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\sin h, \qquad 1+\cos4x=1-\cos4h=2\sin^22h. \]

Si \(F(x)\) désigne le quotient, alors :

\[ hF(x) = \frac{\sqrt2}{2\left(\frac\pi4+h\right)} \frac{\sin h}{h} \frac{h^2}{\sin^22h} \longrightarrow \frac{\sqrt2}{2\pi}>0. \]

Par conséquent, \(F(x)\) a le signe de \(h\) et sa valeur absolue devient non bornée :

\[ \lim_{x\to(\pi/4)^-}F(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to(\pi/4)^+}F(x)=+\infty. \]
La limite en \(\frac\pi4\) n’existe pas.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\tan2x=\tan2h\), \(\cos x=-\sin h\) et \(\pi-2x=-2h\). Ainsi :

\[ \frac{2\tan2x-\sqrt3\cos x}{\pi-2x} = -\frac{\tan2h}{h} -\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sin h}{h}. \]
\[ \boxed{-\frac{4+\sqrt3}{2}} \]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On écrit :

\[ x\tan x-\frac{\pi}{2\cos x} = \frac{x\sin x-\frac\pi2}{\cos x}. \]

Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\sin x=\cos h\) et \(\cos x=-\sin h\) :

\[ \frac{\frac\pi2(\cos h-1)+h\cos h}{-\sin h}. \]

Le premier terme tend vers \(0\) et le second vers \(-1\).

\[\boxed{-1}\]
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Posons \(h=x-\frac\pi3\). On obtient :

\[ \sqrt3\sin x-\cos x-1 =\cos h+\sqrt3\sin h-1, \]
\[ 2\cos x+\cos3x =\cos h-\sqrt3\sin h-\cos3h. \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(h\), puis en utilisant \(\frac{\sin h}{h}\to1\) et \(\frac{\cos h-1}{h}\to0\), on obtient :

\[\boxed{-1}\]
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Posons \(u=\frac\pi2-x\). Alors \(u\to0^+\) et \(\tan x=\dfrac{\cos u}{\sin u}\). Donc :

\[ \left(\frac\pi2-x\right)\tan x = u\frac{\cos u}{\sin u} = \cos u\frac{u}{\sin u} \longrightarrow1. \]
\[\boxed{1}\]
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons \(h=x-1\). Alors :

\[ 2-3x+x^2=(x-1)(x-2)=h(h-1), \]
\[ \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \tan\left(\frac\pi2+\frac{\pi h}{2}\right) = -\frac{\cos\left(\frac{\pi h}{2}\right)} {\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)}. \]

Le produit devient :

\[ (1-h)h \frac{\cos\left(\frac{\pi h}{2}\right)} {\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)} \longrightarrow \frac2\pi. \]
\[\boxed{\frac2\pi}\]
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7
\[ (x^2-x+1)\sin^2\left(\frac1x\right) = \left(1-\frac1x+\frac1{x^2}\right) \left(\frac{\sin(1/x)}{1/x}\right)^2. \]
\[\boxed{1}\]
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

On factorise :

\[ \cos^3x-\sin^3x = (\cos x-\sin x)(\cos^2x+\sin x\cos x+\sin^2x). \]

Or \(\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac\pi4-x\right)\). Donc :

\[ \frac{\cos^3x-\sin^3x}{\sin\left(\frac\pi4-x\right)} = \sqrt2\left(1+\sin x\cos x\right). \]
\[\boxed{\frac{3\sqrt2}{2}}\]
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

On utilise l’identité :

\[ \cos u-\cos v = -2\sin\left(\frac{u+v}{2}\right) \sin\left(\frac{u-v}{2}\right). \]

Ainsi :

\[ \frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x^2} = -2 \frac{\sin\left(\frac{a+b}{2}x\right)}{x} \frac{\sin\left(\frac{a-b}{2}x\right)}{x}. \]
\[ \boxed{\frac{b^2-a^2}{2}} \]

Exercice 06

Énoncé

Soit \(f\) une fonction numérique vérifiant :

\[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad 1+x-x^2\leq f(x)\leq1+x-x^2+x^4. \]
1)
\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)+x^2\bigr). \]
2)
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}. \]
3)
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-x}{x^2}. \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

En ajoutant \(x^2\) aux trois membres :

\[ 1+x\leq f(x)+x^2\leq1+x+x^4. \]

Comme \(1+x\to+\infty\), l’encadrement précédent permet d’en déduire :

\[\boxed{+\infty}\]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Après soustraction de \(1\) :

\[ x-x^2\leq f(x)-1\leq x-x^2+x^4. \]

Pour \(x>0\), la division par \(x\) conserve le sens des inégalités :

\[ 1-x\leq\frac{f(x)-1}{x}\leq1-x+x^3. \]

Pour \(x<0\), la division par \(x\) inverse le sens des inégalités :

\[ 1-x+x^3\leq\frac{f(x)-1}{x}\leq1-x. \]

Dans les deux cas, les deux bornes tendent vers \(1\).

\[\boxed{1}\]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On soustrait \(1+x\) :

\[ -x^2\leq f(x)-1-x\leq -x^2+x^4. \]

Pour \(x\neq0\), on divise par \(x^2>0\) :

\[ -1\leq\frac{f(x)-1-x}{x^2}\leq-1+x^2. \]
\[\boxed{-1}\]

Exercice 07

Énoncé
1)
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{5-4\sin x}. \]
2)
\[ \lim_{x\to0}x^2\sin\left(\frac1x\right). \]
3)
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x^2+1}. \]
4)
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right). \]
5)
\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x}-\cos x\bigr). \]
6)
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{x-E(x)}{x^2}. \]
7)
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin(E(x))}{x}. \]
8)
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x\sin(x^7)}{x^2-3}. \]
9)
\[ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)\sqrt{5-x}} {2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)}. \]
10)
\[ \lim_{x\to0}\frac{x}{3+\sin\left(\frac1x\right)}. \]
11)
\[ \lim_{x\to-1}\frac{1+\cos^2x}{(x+1)^2}. \]
12)
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x-E(x)}{x^2}. \]
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Comme \(-1\leq\sin x\leq1\), on a \(1\leq5-4\sin x\leq9\). Pour \(x\) assez grand :

\[ \frac{3x+2}{5-4\sin x}\geq\frac{3x+2}{9}. \]
\[\boxed{+\infty}\]
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
\[ \left|x^2\sin\left(\frac1x\right)\right|\leq x^2\longrightarrow0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
\[ \left|\frac{x+\cos x}{x^2+1}\right| \leq\frac{x+1}{x^2+1} \longrightarrow0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
\[ \left|\sqrt{x}\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)\right| \leq\sqrt{x}\longrightarrow0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Comme \(\cos x\leq1\), on a :

\[ \sqrt{x}-\cos x\geq\sqrt{x}-1\longrightarrow+\infty. \]
\[\boxed{+\infty}\]
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Pour \(0\lt x\lt1\), on a :

\[ E(x)=0. \]

Ainsi :

\[ \frac{x-E(x)}{x^2} = \frac{x}{x^2} = \frac1x. \]
\[ \boxed{+\infty} \]
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Pour \(-1\lt x\lt0\), on a :

\[ E(x)=-1. \]

Par conséquent :

\[ \frac{\sin(E(x))}{x} = \frac{\sin(-1)}{x} = -\frac{\sin1}{x}. \]

Le numérateur est négatif et \(x\to0^-\), donc le quotient tend vers \(+\infty\).

\[ \boxed{+\infty} \]
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Pour \(x>\sqrt3\) :

\[ \left|\frac{x\sin(x^7)}{x^2-3}\right| \leq\frac{x}{x^2-3} \longrightarrow0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

On a \(1\leq2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)\leq3\). Par conséquent :

\[ \left| \frac{(x-2)\sqrt{5-x}} {2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)} \right| \leq |x-2|\sqrt{5-x}. \]

Le membre de droite tend vers \(0\).

\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Comme \(2\leq3+\sin\left(\frac1x\right)\leq4\), on a :

\[ \left|\frac{x}{3+\sin\left(\frac1x\right)}\right| \leq\frac{|x|}{2} \longrightarrow0. \]
\[\boxed{0}\]
Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11

On a \(1+\cos^2x\geq1\), donc :

\[ \frac{1+\cos^2x}{(x+1)^2} \geq\frac1{(x+1)^2}. \]
\[\boxed{+\infty}\]
Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12

Pour tout réel \(x\), la partie fractionnaire vérifie :

\[ 0\leq x-E(x)<1. \]

Comme \(x^2>0\) :

\[ 0\leq\frac{x-E(x)}{x^2}<\frac1{x^2}. \]
\[\boxed{0}\]

Vérification et remarques

Les 54 questions des exercices 01 à 07 ont été contrôlées : les expressions, les passages à la limite et les résultats sont cohérents.

Une erreur de transcription avait été corrigée dans l’exercice 02-6 : la limite demandée est en \(+\infty\), et non en \(-\infty\). Le cas \(a\lt0\) est traité explicitement dans l’exercice 02-8. Les démonstrations des questions 07-6 et 07-7 sont également rétablies correctement.

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