Correction des exercices 01 à 07 — Limite et continuité
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Objectif de cette série. Ces exercices entraînent à calculer des limites en partant d’abord de la lecture donnée par le cours : on effectue le remplacement direct lorsque les règles sur les opérations de limites permettent de conclure, et l’on identifie précisément l’obstacle lorsqu’une forme indéterminée apparaît. Les formes rencontrées ici sont notamment \(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(+\infty-\infty\) et \(0\times\infty\).
Lien avec le cours. On mobilise les limites usuelles et les opérations sur les limites. Lorsqu’une forme indéterminée empêche de conclure, on transforme l’expression sans changer la méthode de la correction : factorisation, multiplication par une quantité conjuguée, changement de variable ou encadrement. L’objectif de chaque transformation est explicité uniquement lorsqu’il apporte une justification utile au niveau 2e Bac Sciences Mathématiques.
Exercice 01
Repère de cours — Opérations sur les limites. Lorsqu’un remplacement direct conduit à une forme indéterminée, les règles d’opération sur les limites ne suffisent pas à conclure directement. Dans cet exercice, on rencontre surtout \(\frac00\) et \(+\infty-\infty\). Lorsqu’une différence de racines intervient, on utilise sa quantité conjuguée afin d’utiliser \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) et de faire apparaître une expression exploitable.
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). Le remplacement direct donne \(0\) au numérateur et \(0\) au dénominateur : d’après les règles du cours sur les opérations de limites, cette forme indéterminée ne permet pas de conclure. Comme le numérateur contient une différence de racines carrées, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée de cette différence pour utiliser \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\), faire apparaître le facteur \(x\), puis le simplifier pour \(x\neq0\).
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La substitution directe donne la forme indéterminée \(\frac00\). On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
Pour \(x\neq0\), on obtient :
Calculer la limite :
Méthode — lever une différence \(+\infty-\infty\). Dans la parenthèse, chacune des deux racines tend vers \(+\infty\) : les règles d’opération sur les limites ne permettent donc pas de traiter directement leur différence. Comme \(x\to+\infty\), on a \(x>0\) à partir d’un certain rang et \(\sqrt{x^2}=x\). On met alors \(x^2\) en facteur sous chaque racine afin de ramener le calcul aux limites usuelles de fonctions composées.
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Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x>0\), donc \(\sqrt{x^2}=x\). Ainsi :
Par conséquent :
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). Au point \(4\), le numérateur et le dénominateur s’annulent. Les règles du cours ne donnent donc pas la limite directement. On utilise la quantité conjuguée de chacune des deux différences de racines : l’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) fait apparaître le facteur commun \(x-4\), que l’on simplifie pour \(x\neq4\) avant de passer à la limite.
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On transforme séparément le numérateur et le dénominateur :
Pour \(x\neq4\) :
Calculer la limite :
Méthode — lever une différence de deux termes qui tendent vers \(+\infty\). Dans le numérateur, les deux premiers termes tendent vers \(+\infty\) et leur différence ne peut pas être traitée directement par les règles sur les limites. On les regroupe, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence de racines afin d’obtenir une expression dont les limites se calculent par les règles usuelles du cours.
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On regroupe les deux premiers termes du numérateur :
Pour \(x>0\) :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x\), on obtient :
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). En \(x=3\), le numérateur et le dénominateur s’annulent. Comme chacun contient une différence de racines, on utilise séparément les quantités conjuguées de ces deux différences. Les identités obtenues font apparaître le même facteur \(x-3\), que l’on simplifie pour \(x\neq3\) avant d’utiliser les règles de calcul sur les limites.
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On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
On utilise également la quantité conjuguée du dénominateur :
Après simplification par \(x-3\) :
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\) à droite de \(2\). Le remplacement direct donne \(0\) au numérateur et au dénominateur. Comme la limite est prise pour \(x\to2^+\), on pose \(h=x-2\), donc \(h\to0^+\). Ce changement de variable isole l’écart au point étudié ; la quantité conjuguée de \(\sqrt{2+h}-\sqrt2\) fait ensuite apparaître le facteur \(h\), compatible avec le facteur \(\sqrt h\) du dénominateur.
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Posons \(h=x-2\). Alors \(h\to0^+\) et \(x=2+h\). La limite devient :
Or :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt h\), on obtient :
Calculer la limite :
Méthode — comparaison plutôt que transformation inutile. Ici, il n’y a pas de forme indéterminée à lever : pour \(x<-1\), la racine est définie et positive, tandis que \(-x\to+\infty\). On utilise donc directement le principe de comparaison du cours : une minoration par une fonction qui tend vers \(+\infty\) suffit pour conclure.
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Pour \(x<-1\), on a \(\dfrac{x^3}{x+1}>0\), donc la racine est bien définie et positive. Ainsi :
Or \(-x\to+\infty\) lorsque \(x\to-\infty\). Par comparaison :
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(+\infty-\infty\). Chacune des deux fractions tend vers \(+\infty\), donc leur différence ne peut pas être traitée directement par les règles d’opération sur les limites. On les met d’abord au même dénominateur, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence de racines obtenue au numérateur. On divise ensuite le numérateur et le dénominateur par une puissance adaptée de \(x\), ce qui ramène le calcul à des limites usuelles.
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On met les deux fractions au même dénominateur, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence de racines obtenue :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^{3/2}\), le quotient tend vers \(0\).
Exercice 02
Repère de cours — Formes indéterminées et domaine. Avant de calculer une limite, on vérifie que l’expression est définie dans le voisinage considéré. Les formes \(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(+\infty-\infty\) ne se traitent pas directement par les règles sur les limites : on doit d’abord transformer l’expression, notamment par factorisation, division par une puissance adaptée de \(x\) ou multiplication par une quantité conjuguée.
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). En \(x=4\), numérateur et dénominateur s’annulent. Avant toute simplification, on détermine le signe de \(x^2-2x\) au voisinage de \(4\) afin de supprimer correctement la valeur absolue. On factorise ensuite les deux polynômes pour faire apparaître le facteur \(x-4\), que l’on simplifie pour \(x\neq4\).
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Au voisinage de \(4\), on a \(x^2-2x=x(x-2)>0\). Donc :
On factorise alors :
Calculer la limite :
Méthode — lever la différence \(+\infty-\infty\). Les deux racines du numérateur tendent vers \(+\infty\) : leur différence est donc une forme indéterminée. On utilise la quantité conjuguée de cette différence ; l’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) remplace alors la différence de racines par une expression algébrique. On divise ensuite le numérateur et le dénominateur par une puissance adaptée de \(x\) pour appliquer les règles du cours sur les limites.
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On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
La fraction devient :
Après division du numérateur et du dénominateur par \(x^2\), le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur tend vers \(2\).
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(+\infty-\infty\). Lorsque \(x\to-\infty\), les deux termes \(\sqrt{x^4-x^3}\) et \(x^2\) tendent vers \(+\infty\). On utilise la quantité conjuguée de leur différence pour supprimer cette indétermination. Ensuite, comme \(x^2>0\), on peut factoriser \(x^2\) sous la racine sans ambiguïté de signe.
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On utilise la quantité conjuguée de la différence :
Comme \(x^2>0\), on obtient :
Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(2\).
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(+\infty-\infty\). Les deux termes principaux du membre étudié tendent vers \(+\infty\). Les règles d’opération sur les limites ne suffisent donc pas. On met d’abord \(x\) en facteur, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence restante. L’expression devient un produit d’un facteur tendant vers \(+\infty\) et d’un facteur ayant une limite finie strictement positive.
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On met \(x\) en facteur, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence obtenue :
Le deuxième facteur tend vers \(\frac34>0\), tandis que \(x\to+\infty\).
Calculer la limite :
Méthode — forme indéterminée \(\frac{+\infty}{+\infty}\). Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\). Pour lever cette indétermination, on divise le numérateur et le dénominateur par \(-x=|x|>0\). Comme \(x\to-\infty\), cette écriture permet d’utiliser correctement \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\), puis d’appliquer les règles de calcul sur les limites.
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Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(-x>0\).
Calculer la limite :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1}} {\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}. \]Méthode — deux différences indéterminées. Au numérateur comme au dénominateur, on rencontre une différence de deux quantités tendant vers \(+\infty\). On utilise la quantité conjuguée de chacune de ces différences. Les identités obtenues éliminent les soustractions de termes infinis. On factorise ensuite \(x\) au numérateur et \(x^2\) au dénominateur pour faire apparaître des limites usuelles.
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On utilise la quantité conjuguée de chacune des deux différences de racines :
\[ \sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1} = \frac{2}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}, \] \[ \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1} = \frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}. \]Le quotient devient :
\[ \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} {\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^4-1}}. \]Comme \(x\to+\infty\), on factorise respectivement \(x\) et \(x^2\) :
\[ = \frac1x\, \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+\sqrt{1-\frac1{x^2}}} {\sqrt{1+\frac1{x^4}}+\sqrt{1-\frac1{x^4}}}. \]Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1x\to0\).
Pour \(\alpha\in\mathbb R\), calculer :
Méthode — forme indéterminée \(+\infty-\infty\) avec paramètre. Les deux termes tendent vers \(+\infty\). On réécrit d’abord \(x\sqrt{x+1}\) sous forme d’une racine, puis on utilise la quantité conjuguée de la différence. La transformation fait apparaître au numérateur le terme \((\alpha-1)x^2\). Après division par \(x^{3/2}\), le signe de \(\alpha-1\) impose alors l’étude des trois cas \(\alpha>1\), \(\alpha=1\) et \(\alpha<1\).
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Pour \(x>0\), on a \(x\sqrt{x+1}=\sqrt{x^3+x^2}\). En utilisant la quantité conjuguée de cette différence :
Après division par \(x^{3/2}\), le quotient contient le facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}>0\). La limite vaut donc \(+\infty\).
Le même raisonnement donne un facteur \(\sqrt{x}\) multiplié par une quantité qui tend vers \(\frac{\alpha-1}{2}<0\). La limite vaut donc \(-\infty\).
Calculer la limite :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}. \](où \(a\in\mathbb R\))
Méthode — vérifier d’abord le domaine. Avant de calculer une limite à droite de \(a\), l’expression doit être définie pour des valeurs \(x>a\) aussi proches que l’on veut de \(a\). Pour \(a\ge0\), le remplacement direct conduit à la forme \(\frac00\) et l’on factorise \(x-a\) sous les deux racines. Pour \(a\lt0\), le premier radicande devient négatif lorsque \(x>a\) est suffisamment proche de \(a\) : la limite réelle demandée n’est alors pas définie.
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Pour \(x\gt a\), on a :
\[ x^2-ax=x(x-a), \qquad x^2-a^2=(x-a)(x+a). \]Cas \(a\ge0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a \(x\ge0\) et \(x+a\ge0\). L’expression est alors définie et :
\[ \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt{x}+\sqrt{x+a}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}} = \sqrt a+\sqrt{2a}. \]Cas \(a\lt0\). Pour \(x\gt a\) suffisamment proche de \(a\), on a encore \(x\lt0\). Alors \(x(x-a)\lt0\), donc \(\sqrt{x^2-ax}\) n’est pas définie dans un voisinage droit de \(a\). La limite réelle n’est donc pas définie.
Exercice 03
Soit \(m\in\mathbb R\) et \(f\) la fonction définie par :
Repère de cours — Fonction rationnelle et limites. Le domaine d’une fonction rationnelle exclut les zéros du dénominateur. À l’infini, la comparaison des degrés se traduit ici par une division par la plus grande puissance de \(x\). Aux points exclus du domaine, le signe du dénominateur détermine les limites latérales ; si le numérateur s’annule aussi, on obtient \(\frac00\) et une factorisation devient nécessaire.
Déterminer le domaine de définition de \(f\)
Méthode — domaine d’une fonction rationnelle. On revient à la règle de définition : une fraction rationnelle est définie exactement lorsque son dénominateur est non nul. Il suffit donc de déterminer les zéros de \(x(x-2)(x-3)\). Ces points exclus seront ensuite les points où des limites latérales devront être étudiées.
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Le dénominateur s’annule pour \(x=0\), \(x=2\) et \(x=3\). Par conséquent :
Étudier les limites de \(f\) aux bornes de son domaine
Méthode — distinguer l’infini et les points exclus. À \(\pm\infty\), le quotient est de type \(\frac{\infty}{\infty}\) et l’on divise numérateur et dénominateur par \(x^3\), la plus grande puissance présente. Au voisinage de \(0\), \(2\) et \(3\), on étudie d’abord la valeur du numérateur et le signe du dénominateur. Pour les valeurs particulières de \(m\) où le numérateur s’annule aussi, on obtient une forme \(\frac00\) : la factorisation permet alors de simplifier le facteur responsable.
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En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^3\), puis en passant à la limite, on obtient :
Notons \(N(x)=mx^3+(m-2)x^2+(m-1)x+m-3\). On a \(N(0)=m-3\).
Si \(m>3\), le numérateur est positif au voisinage de \(0\), tandis que le dénominateur est négatif à gauche et positif à droite :
Si \(m<3\) :
Si \(m=3\), le numérateur se factorise :
Après simplification par \(x\) :
On a \(N(2)=15m-13\).
Si \(m>\frac{13}{15}\) :
Si \(m<\frac{13}{15}\) :
Si \(m=\frac{13}{15}\) :
Après simplification par \(x-2\) :
On a \(N(3)=40m-24=8(5m-3)\).
Si \(m>\frac35\) :
Si \(m<\frac35\) :
Si \(m=\frac35\) :
Après simplification par \(x-3\) :
Exercice 04
Repère de cours — Limites des fonctions usuelles. Les questions ramènent les expressions aux limites trigonométriques de référence du cours, notamment \(\frac{\sin u}{u}\to1\), \(\frac{\tan u}{u}\to1\) et \(\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12\) lorsque \(u\to0\). Une factorisation, une identité trigonométrique ou la multiplication par une quantité conjuguée sert uniquement à faire apparaître ces formes de référence.
Méthode — forme \(\frac00\) et limite usuelle. Le remplacement direct donne \(\frac00\). Le cours donne \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\). On fait donc apparaître exactement le quotient \(\frac{\sin3x}{3x}\) ; le coefficient restant est constant et se traite par les règles d’opération sur les limites.
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Méthode — forme \(\frac00\) et limites usuelles. Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). On décompose le quotient afin d’utiliser les limites de référence \(\displaystyle\frac{\tan u}{u}\to1\) et \(\displaystyle\frac{\sin u}{u}\to1\) lorsque \(u\to0\). Les coefficients provenant des arguments \(5x\) et \(x\) sont alors conservés.
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Méthode — forme \(\frac00\) et limite usuelle du cosinus. Le remplacement direct donne \(0/0\). La limite usuelle du cours est \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\). Comme l’argument vaut \(u=2x\), on introduit \((2x)^2\) afin de faire apparaître exactement cette limite de référence.
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Méthode — forme \(\frac00\). Le numérateur et \(\sqrt x\) tendent vers \(0\). On utilise l’identité \(\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\), qui fait apparaître les deux limites usuelles \(\frac{\sin x}{x}\to1\) et \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\). Le facteur restant contient une puissance positive de \(x\), d’où la conclusion.
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On écrit :
Ainsi :
Méthode — forme \(\frac00\). Comme dans la question précédente, l’identité reliant \(\sin x\) et \(\tan x\) permet de décomposer le quotient. Cette fois, le dénominateur \(x^3\) est exactement adapté aux limites usuelles \(\frac{\sin x}{x}\to1\), \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\) et \(\cos x\to1\).
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Méthode — forme \(\frac00\). Les deux membres du quotient tendent vers \(0\). On réécrit l’expression comme produit de quotients de référence : \(\frac{\sin x}{x}\), \(\frac{\sin2x}{2x}\) et l’inverse de \(\frac{1-\cos x}{x^2}\). On peut alors appliquer directement les limites usuelles du cours.
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Les trois facteurs tendent respectivement vers \(1\), \(1\) et \(4\).
Méthode — forme \(\frac00\) et quantité conjuguée. Le remplacement direct annule le numérateur et le dénominateur. On utilise la quantité conjuguée de la différence de racines ; l’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) fait apparaître \(2\sin x\). Le quotient se ramène alors à la limite usuelle \(\frac{\sin x}{x}\to1\), tandis que la somme des racines tend vers \(2\).
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On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
Méthode — forme \(\frac00\). On factorise \(1-\cos^3x\) par la différence de deux cubes afin de faire apparaître \(1-\cos x\). L’expression peut alors être organisée autour des limites usuelles \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\) et \(\frac{\sin4x}{4x}\to1\), les autres facteurs ayant des limites immédiates.
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On utilise \(1-\cos^3x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)\) :
Méthode — forme \(\frac00\). Pour utiliser les résultats du cours, on fait apparaître séparément \((5x)^2\) sous le terme \(1-\cos5x\) et l’argument \(3x\) sous la tangente. On fait ainsi apparaître \(\displaystyle\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12\) et \(\displaystyle\frac{\tan u}{u}\to1\).
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Or \(\dfrac{\tan3x}{x}=3\dfrac{\tan3x}{3x}\to3\).
Méthode — forme \(\frac00\) en \(x=1\). Le numérateur et le dénominateur s’annulent. On factorise \(1-x^2\) pour faire apparaître \(x-1\), puis on écrit \(\sin(\pi x)=-\sin(\pi(x-1))\). L’écart \(x-1\) conduit alors à la limite usuelle \(\frac{\sin u}{u}\to1\) avec \(u=\pi(x-1)\).
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Comme \(\sin(\pi x)=\sin\bigl(\pi+\pi(x-1)\bigr)=-\sin\bigl(\pi(x-1)\bigr)\), on a :
Méthode — forme \(\frac00\). En \(x=\frac\pi4\), le numérateur et le dénominateur s’annulent. Le numérateur est un polynôme en \(\tan x\), donc on le factorise ; parallèlement, \(\sin x-\cos x=\cos x(\tan x-1)\). Le facteur \(\tan x-1\) se simplifie avant le passage à la limite.
Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11
On factorise le numérateur et on utilise \(\sin x-\cos x=\cos x(\tan x-1)\) :
Méthode — forme \(\frac00\). En \(x=\frac\pi3\), les deux membres du quotient s’annulent. L’identité \(\cos2x=2\cos^2x-1\) transforme le numérateur en un polynôme en \(\cos x\), dont la factorisation fait apparaître exactement le facteur \(2\cos x-1\) du dénominateur.
Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12
En utilisant \(\cos2x=2\cos^2x-1\), on obtient :
Exercice 05
Repère de cours — Limites usuelles et changement de variable. Lorsqu’une limite est prise en un point différent de \(0\), on peut introduire l’écart à ce point pour ramener les arguments trigonométriques vers \(0\). On applique alors les limites usuelles du cours. Lorsque le signe dépend du côté d’approche, les limites à gauche et à droite doivent être distinguées.
Méthode — forme \(\frac00\) et limites latérales. En \(x=\frac\pi4\), numérateur et dénominateur s’annulent. On pose \(h=x-\frac\pi4\) pour ramener l’étude en \(0\) et utiliser les limites trigonométriques usuelles. L’expression obtenue se comporte comme une constante strictement positive divisée par \(h\) : le signe change donc selon que \(h\to0^-\) ou \(h\to0^+\), ce qui impose l’étude des deux limites latérales.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Posons \(h=x-\frac\pi4\). Alors :
Si \(F(x)\) désigne le quotient, alors :
Par conséquent, \(F(x)\) a le signe de \(h\) et sa valeur absolue devient non bornée :
Méthode — forme \(\frac00\) ramenée en \(0\). En \(x=\frac\pi2\), le numérateur et le dénominateur s’annulent. On pose \(h=x-\frac\pi2\) afin d’obtenir des arguments qui tendent vers \(0\). Les limites usuelles \(\frac{\tan u}{u}\to1\) et \(\frac{\sin u}{u}\to1\) s’appliquent alors directement.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\tan2x=\tan2h\), \(\cos x=-\sin h\) et \(\pi-2x=-2h\). Ainsi :
Méthode — différence de termes non bornés. Dans l’expression initiale, les deux termes deviennent non bornés au voisinage de \(\frac\pi2\) : une soustraction de termes infinis ne se traite pas directement par les règles sur les limites. On les met d’abord au même dénominateur, puis on pose \(h=x-\frac\pi2\). Le quotient obtenu fait apparaître \(\frac{\sin h}{h}\to1\). De plus, la limite usuelle \(\frac{1-\cos h}{h^2}\to\frac12\) entraîne \(\frac{\cos h-1}{h}\to0\), ce qui permet de conclure sans introduire d’autre outil.
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
On écrit :
Posons \(h=x-\frac\pi2\). Alors \(\sin x=\cos h\) et \(\cos x=-\sin h\) :
Le premier terme tend vers \(0\) et le second vers \(-1\).
Méthode — forme \(\frac00\). Le remplacement direct en \(x=\frac\pi3\) annule le numérateur et le dénominateur. On pose \(h=x-\frac\pi3\) pour ramener le problème au voisinage de \(0\). Après les identités trigonométriques, la division par \(h\) fait apparaître \(\frac{\sin h}{h}\to1\). La relation \(\frac{\cos h-1}{h}=-h\,\frac{1-\cos h}{h^2}\) ramène l’autre terme à la limite usuelle \(\frac{1-\cos h}{h^2}\to\frac12\).
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Posons \(h=x-\frac\pi3\). On obtient :
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(h\), puis en utilisant \(\frac{\sin h}{h}\to1\) et \(\frac{\cos h-1}{h}\to0\), on obtient :
Méthode — forme indéterminée \(0\times+\infty\). Lorsque \(x\to(\frac\pi2)^-\), on a \(\frac\pi2-x\to0^+\) tandis que \(\tan x\to+\infty\). On pose donc \(u=\frac\pi2-x\) ; la tangente devient \(\frac{\cos u}{\sin u}\), ce qui ramène le produit à la limite usuelle \(\frac{u}{\sin u}\to1\).
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Posons \(u=\frac\pi2-x\). Alors \(u\to0^+\) et \(\tan x=\dfrac{\cos u}{\sin u}\). Donc :
Méthode — forme indéterminée \(0\times\infty\). Le facteur polynomial tend vers \(0\) alors que la tangente devient non bornée au voisinage de \(1\). On pose \(h=x-1\), on factorise le polynôme par \(h\), puis on réécrit la tangente à l’aide du sinus et du cosinus. Le produit contient alors le quotient de référence \(\frac{h}{\sin(\pi h/2)}\).
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Posons \(h=x-1\). Alors :
Le produit devient :
Méthode — forme indéterminée \(+\infty\times0\). Le polynôme tend vers \(+\infty\), tandis que \(\sin^2(1/x)\to0\). On ne multiplie donc pas directement les limites. On factorise \(x^2\) et on fait apparaître \(\left(\frac{\sin(1/x)}{1/x}\right)^2\), qui tend vers \(1\) par la limite usuelle du sinus.
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7
Méthode — forme \(\frac00\). En \(x=\frac\pi4\), le numérateur et le dénominateur s’annulent. La différence de deux cubes fait apparaître le facteur \(\cos x-\sin x\), puis l’identité \(\cos x-\sin x=\sqrt2\sin(\frac\pi4-x)\) fournit exactement le facteur du dénominateur, que l’on simplifie avant de passer à la limite.
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8
On factorise :
Or \(\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac\pi4-x\right)\). Donc :
Pour \((a,b)\in(\mathbb R^\ast)^2\), calculer :
Méthode — forme \(\frac00\). La différence de cosinus s’annule en \(0\) et le dénominateur aussi. On utilise l’identité \(\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}\), puis on rapporte chaque sinus à son propre argument. Le calcul se ramène ainsi à deux applications de \(\frac{\sin t}{t}\to1\).
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9
On utilise l’identité :
Ainsi :
Exercice 06
Soit \(f\) une fonction numérique vérifiant :
Repère de cours — Comparaison et encadrement. La fonction \(f\) n’est pas donnée explicitement : toute l’information utile est contenue dans l’inégalité. On applique la même opération aux trois membres en tenant compte du signe du diviseur, puis on utilise le principe de comparaison ou la propriété d’encadrement lorsque les bornes ont le comportement requis.
Méthode — comparaison vers \(+\infty\). La fonction \(f\) n’est pas donnée explicitement ; on doit donc exploiter l’encadrement fourni. Après addition de \(x^2\) aux trois membres, la borne inférieure \(1+x\) tend vers \(+\infty\). D’après le principe de comparaison, cette seule minoration suffit pour imposer la même limite à \(f(x)+x^2\).
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
En ajoutant \(x^2\) aux trois membres :
Comme \(1+x\to+\infty\), l’encadrement précédent permet d’en déduire :
Méthode — propriété d’encadrement et signe du diviseur. Après soustraction de \(1\), on veut diviser l’encadrement par \(x\). Comme le signe de \(x\) change de part et d’autre de \(0\), il faut traiter séparément \(x>0\) et \(x<0\) : l’ordre est conservé dans le premier cas et inversé dans le second. Les deux encadrements obtenus ont des bornes de même limite, ce qui permet de conclure.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Après soustraction de \(1\) :
Pour \(x>0\), la division par \(x\) conserve le sens des inégalités :
Pour \(x<0\), la division par \(x\) inverse le sens des inégalités :
Dans les deux cas, les deux bornes tendent vers \(1\).
Méthode — propriété d’encadrement. On soustrait \(1+x\) aux trois membres de l’inégalité. Pour \(x\neq0\), on divise ensuite par \(x^2>0\), donc le sens des inégalités est conservé. Les deux bornes tendent vers \(-1\) : la propriété d’encadrement donne alors la limite recherchée.
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
On soustrait \(1+x\) :
Pour \(x\neq0\), on divise par \(x^2>0\) :
Exercice 07
Repère de cours — Fonctions bornées, comparaison et encadrement. Une fonction oscillante comme \(\sin\) ou \(\cos\) peut ne pas avoir de limite, tout en restant bornée. On exploite alors \(|\sin t|\le1\) ou \(|\cos t|\le1\) pour construire une majoration ou une minoration. Pour les dernières questions, on revient directement à la définition de la partie entière \(E(x)\), notamment à \(E(x)\le x<E(x)+1\).
Méthode — comparaison avec une fonction non oscillante. Le terme \(\sin x\) n’a pas de limite lorsque \(x\to+\infty\), mais le cours permet d’exploiter sa borne \(-1\le\sin x\le1\). On en déduit un encadrement positif du dénominateur et donc une minoration du quotient par \(\frac{3x+2}{9}\), qui tend vers \(+\infty\). Le principe de comparaison permet de conclure.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Comme \(-1\leq\sin x\leq1\), on a \(1\leq5-4\sin x\leq9\). Pour \(x\) assez grand :
Méthode — encadrement par la valeur absolue. La fonction \(\sin(1/x)\) n’a pas de limite en \(0\), mais elle reste bornée par \(1\) en valeur absolue. Ainsi, \(\left|x^2\sin(1/x)\right|\le x^2\). Comme la borne de droite tend vers \(0\), la propriété d’encadrement donne la limite sans chercher celle du sinus composé.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Méthode — neutraliser l’oscillation par encadrement. Le cosinus n’a pas de limite à l’infini, mais \(|\cos x|\le1\). Pour \(x\) assez grand, on majore donc la valeur absolue du quotient par \(\frac{x+1}{x^2+1}\), dont la limite est \(0\). La propriété d’encadrement permet alors de conclure.
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
Méthode — produit d’un facteur borné par un facteur tendant vers \(0\). La quantité \(\cos(1/\sqrt x)\) oscille, mais sa valeur absolue est au plus égale à \(1\). On obtient donc \(\left|\sqrt x\cos(1/\sqrt x)\right|\le\sqrt x\). Comme \(\sqrt x\to0\) lorsque \(x\to0^+\), l’encadrement donne la limite.
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Méthode — comparaison vers \(+\infty\). Le terme \(\cos x\) reste borné alors que \(\sqrt x\to+\infty\). La borne \(\cos x\le1\) donne \(\sqrt x-\cos x\ge\sqrt x-1\), et la borne de droite tend vers \(+\infty\). Le principe de comparaison suffit donc pour conclure.
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
Comme \(\cos x\leq1\), on a :
Méthode — propriété locale de la partie entière. Pour une limite en \(0^+\), on peut restreindre l’étude à \(0<x<1\). Sur cet intervalle, la définition de la partie entière donne exactement \(E(x)=0\). Le quotient se simplifie alors en \(1/x\), dont la limite à droite en \(0\) est connue.
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
Pour \(0\lt x\lt1\), on a :
\[ E(x)=0. \]Ainsi :
\[ \frac{x-E(x)}{x^2} = \frac{x}{x^2} = \frac1x. \]Méthode — propriété locale de la partie entière. Pour \(x\to0^-\), on se place sur \(-1<x<0\). La définition de la partie entière donne alors \(E(x)=-1\). Le numérateur devient la constante négative \(-\sin1\) ; comme le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs négatives, la règle de signe des limites infinies détermine le sens de l’infini.
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7
Pour \(-1\lt x\lt0\), on a :
\[ E(x)=-1. \]Par conséquent :
\[ \frac{\sin(E(x))}{x} = \frac{\sin(-1)}{x} = -\frac{\sin1}{x}. \]Le numérateur est négatif et \(x\to0^-\), donc le quotient tend vers \(+\infty\).
Méthode — facteur oscillant borné. La fonction \(\sin(x^7)\) n’a pas de limite lorsque \(x\to+\infty\), mais \(|\sin(x^7)|\le1\). Pour \(x>\sqrt3\), on majore donc la valeur absolue de l’expression par \(\frac{x}{x^2-3}\), qui tend vers \(0\). La propriété d’encadrement donne la limite.
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8
Pour \(x>\sqrt3\) :
Méthode — encadrer un dénominateur oscillant. Le terme \(\sin(1/(x-2))\) n’a pas de limite en \(2\), mais \(-1\le\sin(1/(x-2))\le1\). Ainsi, le dénominateur reste compris entre \(1\) et \(3\), donc il ne s’annule pas. On majore alors la valeur absolue du quotient par \(|x-2|\sqrt{5-x}\), qui tend vers \(0\), puis on applique l’encadrement.
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9
On a \(1\leq2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)\leq3\). Par conséquent :
Le membre de droite tend vers \(0\).
Méthode — dénominateur borné loin de \(0\). Le sinus composé n’a pas de limite en \(0\), mais \(2\le3+\sin(1/x)\le4\). Le dénominateur reste donc strictement positif. On obtient \(\left|\frac{x}{3+\sin(1/x)}\right|\le\frac{|x|}{2}\), et la propriété d’encadrement donne la limite \(0\).
Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10
Comme \(2\leq3+\sin\left(\frac1x\right)\leq4\), on a :
Méthode — comparaison vers \(+\infty\). Le numérateur vérifie \(1+\cos^2x\ge1\), tandis que \((x+1)^2\to0^+\). On minore donc le quotient par \(\frac1{(x+1)^2}\), dont la limite vaut \(+\infty\). Le principe de comparaison permet de conclure sans calculer plus finement le numérateur.
Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11
On a \(1+\cos^2x\geq1\), donc :
Méthode — encadrement issu de la définition de la partie entière. De \(E(x)\le x<E(x)+1\), on déduit directement \(0\le x-E(x)<1\). Comme \(x^2>0\), on peut diviser l’encadrement par \(x^2\) sans changer son sens. Les deux bornes tendent vers \(0\) lorsque \(x\to-\infty\), donc la propriété d’encadrement donne la limite recherchée.
Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12
D’après la définition de la partie entière, on a pour tout réel \(x\) :
Comme \(x^2>0\) :
À retenir
Lorsqu’un remplacement direct donne une forme indéterminée, les règles d’opération sur les limites ne permettent pas encore de conclure : il faut d’abord transformer l’expression par un outil adapté à sa structure.
Pour une différence de racines, la quantité conjuguée sert à utiliser l’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) et à faire apparaître des facteurs simplifiables.
Pour les expressions trigonométriques, on cherche à faire apparaître les limites usuelles du cours. Pour les fonctions bornées ou données par un encadrement, on utilise les propriétés de comparaison et d’encadrement, en vérifiant toujours le signe avant de diviser une inégalité.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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