Correction des exercices 13 à 19 — Limite et continuité
Objectif de cette série. Ces exercices approfondissent la continuité en un point lorsque la fonction est définie par plusieurs expressions ou lorsque le comportement dépend du côté d’approche. On distingue donc systématiquement la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction au point de raccordement. Les questions avec paramètres demandent ensuite de déterminer les valeurs qui rendent ces trois quantités compatibles.
Lien avec le cours. Une fonction est continue à droite en \(a\) lorsque \(\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), et continue à gauche lorsque \(\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)\). Elle est continue en \(a\) lorsque ces deux conditions sont simultanément vérifiées. Les calculs utilisent seulement les outils nécessaires du lycée : opérations sur les limites, factorisation, quantité conjuguée, encadrement, limites trigonométriques usuelles et propriétés élémentaires de la partie entière.
Exercice 13
Pour conclure à la continuité en \(a\), on vérifie \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Lorsque la fonction est obtenue par opérations sur des fonctions continues et que le dénominateur ne s’annule pas, la continuité se déduit directement. Si le remplacement direct donne \(\frac00\), on transforme d’abord l’expression ; si un facteur trigonométrique reste borné, un encadrement peut suffire.
Étudier la continuité au point \(x_0=1\) de la fonction :
Étudier la continuité au point \(x_0=2\) de la fonction :
Étudier la continuité au point \(x_0=3\) de la fonction :
Étudier la continuité au point \(x_0=\frac{\pi}{4}\) de la fonction :
Méthode. La formule est un quotient de fonctions continues au voisinage de \(1\), et le dénominateur vaut \(3\neq0\) en ce point. On peut donc utiliser directement les opérations sur les fonctions continues, puis vérifier que la limite obtenue est bien égale à \(f(1)\).
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Au voisinage de \(1\), les fonctions \(x\mapsto x^2-5\), \(x\mapsto |x^2-5|\) et \(x\mapsto\sqrt{x}\) sont continues. De plus :
La fonction \(f\) est donc continue en \(1\). On peut aussi calculer directement :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). La continuité en \(2\) impose \(\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=18\). Le remplacement direct dans la branche fractionnaire donne \(\frac00\). On utilise la quantité conjuguée du dénominateur, puis les factorisations de \(x^3-8\) et \(x^2-4\) font apparaître le facteur \(x-2\), que l’on simplifie pour \(x\neq2\).
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On a \(f(2)=18\). Pour \(x\neq2\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur :
Or :
Donc, pour \(x\neq2\) :
Par conséquent :
Méthode — encadrement. Le facteur \(\sin\!\left(\frac1{x-3}\right)\) n’a pas de limite lorsque \(x\to3\), mais sa valeur absolue est toujours inférieure ou égale à \(1\). On majore donc \(|f(x)|\) par \(|x^2-9|\), qui tend vers \(0\), puis on applique le théorème d’encadrement et on compare avec \(f(3)\).
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On a \(f(3)=0\). Pour \(x\neq3\), puisque \(\left|\sin\left(\frac1{x-3}\right)\right|\leq1\), on obtient :
Or :
D’après le théorème d’encadrement :
Méthode — forme indéterminée \(\frac00\). Au voisinage de \(\frac{\pi}{4}\), on transforme \(1-\tan x\) et \(1+\cos4x\) à l’aide d’identités trigonométriques du lycée. Le facteur \(\cos x-\sin x\) apparaît au numérateur et dans \(\cos2x\), ce qui permet la simplification avant de calculer la limite et de la comparer à la valeur imposée au point.
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On a :
De plus :
Ainsi, pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\) et \(x\) assez proche de \(\frac{\pi}{4}\) :
Donc :
Mais :
Exercice 14
La continuité à droite en \(a\) exige \(\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), tandis que la continuité à gauche exige \(\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)\). Pour une fonction définie par morceaux, chaque limite unilatérale se calcule avec l’expression valable du côté considéré. Les valeurs absolues et la partie entière doivent donc être traitées localement selon le signe ou l’intervalle où se trouve \(x\).
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
où \(E\) désigne la fonction partie entière.
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=4\) de la fonction :
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
Méthode — étudier séparément les deux côtés. La valeur absolue change d’écriture selon le signe de \(x\). Pour \(x<0\), on remplace \(|x|\) par \(-x\) ; pour \(x>0\), on remplace \(|x|\) par \(x\). On calcule ensuite les deux limites unilatérales et on les compare séparément à \(f(0)=4\).
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À gauche de \(0\) : si \(x<0\), alors \(|x|=-x\). Ainsi :
Donc :
À droite de \(0\) : si \(x>0\), alors \(|x|=x\). Ainsi :
Donc :
Or \(f(0)=4\).
Méthode — utiliser localement la partie entière. Il ne faut pas chercher une formule globale pour \(E\!\left(\frac1{x+1}\right)\). On détermine seulement sa valeur sur un petit intervalle à gauche de \(0\), puis sur un petit intervalle à droite. La définition de la partie entière donne alors une expression simple de \(f\) de chaque côté.
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On a :
À gauche de \(0\) : pour \(x\in\left]-\frac12,0\right[\), on a :
Donc :
Par conséquent :
À droite de \(0\) : pour \(x>0\) assez proche de \(0\), on a :
Donc :
Par conséquent :
Méthode — une branche pour chaque limite unilatérale. À gauche de \(4\), on factorise à l’aide de \(\sqrt{x}\) afin de simplifier le facteur \(\sqrt{x}-2\). À droite, on réécrit directement \(\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}\) sous la forme \(\frac1{\sqrt{x-4}}\). Chaque limite est ensuite comparée à \(f(4)=\frac12\).
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À gauche de \(4\) : pour \(0\leq x<4\), on a :
Donc, pour \(x\neq4\) :
Ainsi :
À droite de \(4\) : pour \(x>4\) :
Donc :
Méthode — limites trigonométriques usuelles. Les deux branches conduisent à la forme \(\frac00\) au voisinage de \(0\). On transforme chacune d’elles pour faire apparaître \(\frac{\sin x}{x}\to1\) et \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\), puis on compare séparément les limites à droite et à gauche avec \(f(0)=1\).
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À droite de \(0\) :
Donc :
Ainsi :
À gauche de \(0\) :
Donc :
Ainsi :
Exercice 15
À un point où la formule change, les limites à gauche et à droite se calculent séparément avec les branches correspondantes. Pour établir la continuité en \(0\), il faut ensuite vérifier que les deux limites unilatérales sont égales à \(g(0)\). Les calculs trigonométriques sont ramenés aux limites usuelles du cours, notamment \(\frac{\sin t}{t}\to1\) et \(\frac{1-\cos t}{t^2}\to\frac12\).
On considère la fonction \(g\) définie par :
Calculer :
Établir la continuité de la fonction \(g\) en \(0\).
Méthode — choisir la branche correspondant à chaque approche. Pour \(x\to+\infty\), on utilise la troisième expression et on met en évidence la puissance dominante de \(x\). Pour \(x\to-\frac{\pi}{2}^{+}\), on utilise la branche centrale et on étudie le signe des facteurs. Pour \(x\to-\frac{\pi}{2}^{-}\), on utilise la première branche et le changement de variable \(t=x+\frac{\pi}{2}\) ramène la limite à \(\frac{\sin t}{t}\to1\).
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1. Limite en \(+\infty\)
Pour \(x\geq0\) :
Comme \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\), on écrit :
Donc :
Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(1\). Ainsi :
2. Limite à droite de \(-\frac{\pi}{2}\)
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :
Lorsque \(x\to-\frac{\pi}{2}^{+}\), on a :
Par conséquent :
3. Limite à gauche de \(-\frac{\pi}{2}\)
Posons :
Alors \(t\to0^-\), \(2x+\pi=2t\) et :
Ainsi :
Comme \(\frac{\sin t}{t}\to1\) et \(\cos t\to1\), on obtient :
Méthode — vérifier les deux limites unilatérales en \(0\). On calcule d’abord \(g(0)\) avec la branche qui contient \(0\). À droite, cette branche est continue et donne directement la limite. À gauche, on transforme la branche trigonométrique pour faire apparaître les limites usuelles. La continuité exige ensuite l’égalité des deux limites avec \(g(0)\).
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Comme \(0\) appartient au troisième intervalle :
Limite à droite de \(0\)
La fonction :
est continue en \(0\). Donc :
Limite à gauche de \(0\)
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :
Ainsi :
Donc :
Exercice 16
La continuité au point de raccordement \(2\) impose l’existence d’une limite finie à droite puis son égalité avec la valeur fournie par la branche de gauche. Comme le dénominateur \(x-2\) tend vers \(0\), le numérateur doit d’abord s’annuler en \(2\) pour permettre la simplification du facteur \(x-2\).
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction :
soit continue au point \(x_0=2\).
Méthode — déterminer d’abord le paramètre qui lève la singularité. Dans la branche \(x>2\), le dénominateur tend vers \(0\). Pour obtenir une limite finie, le numérateur doit donc s’annuler en \(2\), ce qui détermine \(a\). Après simplification par \(x-2\), on calcule la limite à droite puis on impose son égalité avec \(f(2)\), donné par la branche \(x\leq2\), afin de déterminer \(b\).
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Pour que la limite à droite en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule en \(2\) :
Donc :
Avec \(a=6\) :
Donc, pour \(x>2\) :
Comme \(2\) appartient au second morceau :
La continuité en \(2\) impose :
D’où :
Exercice 17
Pour rendre la fonction continue en \(1\), il faut faire coïncider la limite à gauche, la limite à droite et \(f(1)\). La branche de droite donne directement une limite finie. À gauche, le dénominateur s’annule en \(1\) pour toute valeur de \(a\) : on impose donc d’abord l’annulation du numérateur, puis on simplifie avant d’identifier les paramètres restants.
Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la fonction :
soit continue au point \(x_0=1\).
Méthode — faire coïncider trois quantités. La branche de droite donne directement la limite en \(1\). À gauche, le dénominateur s’annule toujours en \(1\) ; pour obtenir une limite finie, le numérateur doit donc aussi s’annuler, ce qui détermine \(b\). La factorisation permet ensuite de déterminer \(a\), puis la condition \(f(1)=2\) donne \(c\).
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Limite à droite de \(1\)
Limite à gauche de \(1\)
Le dénominateur s’annule toujours en \(1\) :
Pour obtenir une limite finie, le numérateur doit aussi s’annuler en \(1\) :
Donc :
Avec \(b=2\), on factorise :
Donc :
La continuité impose l’égalité avec la limite à droite :
D’où :
Enfin, il faut aussi que :
Donc :
Avec \(a=-3\), le facteur restant du dénominateur vaut \(2x-1\), qui est non nul au voisinage de \(x=1\). La simplification utilisée pour calculer la limite à gauche est donc valide.
Exercice 18
Pour que la limite à gauche en \(2\) soit finie, le numérateur du quotient doit s’annuler en même temps que \(x-2\). Après détermination de \(a\), l’identité algébrique \(u^n-1=(u-1)(u^{n-1}+\cdots+u+1)\) permet de simplifier le facteur responsable de la forme \(\frac00\). La continuité impose ensuite l’égalité avec la valeur donnée par la branche \(x\ge2\).
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie par :
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f_n\) soit continue en \(2\).
Méthode — annulation puis factorisation. Comme \(x-2\to0\) dans la branche de gauche, l’existence d’une limite finie impose d’abord \((3-2)^n-a=0\). Avec la valeur de \(a\) ainsi obtenue, on pose \(u=3-x\) et on utilise l’identité de différence de puissances pour simplifier. La continuité fournit ensuite l’équation qui détermine \(b\).
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Pour que la limite à gauche en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule lorsque \(x\to2\) :
Donc :
Avec \(a=1\), posons \(u=3-x\). Lorsque \(x\to2^-\), on a \(u\to1^+\) et :
En utilisant l’identité :
on obtient :
Ainsi :
Comme \(2\) appartient au second morceau :
La continuité en \(2\) impose :
D’où :
Exercice 19
Chaque condition fournit une relation entre les paramètres. La limite en \(+\infty\) d’une fonction rationnelle se calcule ici en divisant par \(x^2\). Les limites en \(0\) et en \(3\) utilisent la branche valable au voisinage du point. Enfin, la continuité en \(2\) impose l’égalité entre la limite à gauche et la valeur de la branche définie pour \(x\ge2\).
On considère la fonction :
Utiliser la condition :
Utiliser la condition :
Utiliser la condition : \(f\) est continue en \(x_0=2\).
Méthode — limite d’une fonction rationnelle à l’infini. Lorsque \(x\to+\infty\), seule la branche \(x\ge2\) intervient. On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) ; la limite obtenue est alors le coefficient \(a\), que la condition imposée permet de déterminer.
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Lorsque \(x\to+\infty\), on utilise le premier morceau. En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\), on obtient :
La condition imposée donne :
Méthode — utiliser la bonne branche près de chaque point. Au voisinage de \(0\), on utilise l’expression \(3x+c\). Au voisinage de \(3\), on utilise la branche rationnelle. Les deux limites sont immédiates par les opérations sur les limites ; leur égalité fournit une relation entre \(b\) et \(c\), en tenant compte de la valeur déjà obtenue pour \(a\).
Afficher la correction de la condition 2 Masquer la correction de la condition 2
Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :
Au voisinage de \(3\), on utilise le premier morceau :
Avec \(a=2\), on obtient :
Méthode — condition de raccordement en \(2\). La limite à gauche est calculée avec \(3x+c\), tandis que la valeur \(f(2)\) provient de la branche rationnelle, puisque celle-ci est définie pour \(x\ge2\). La continuité impose leur égalité. On remplace ensuite \(a\) et la relation entre \(b\) et \(c\) obtenues précédemment pour résoudre le système restant.
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La limite à gauche en \(2\) vaut :
Comme \(2\) appartient au premier morceau :
D’après la première condition, \(a=2\). Ainsi :
La continuité en \(2\) impose :
D’après la deuxième condition :
En remplaçant \(c\) :
Puis :
Résultats essentiels
Une fonction \(f\) est continue à droite en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), et continue à gauche en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)\).
Pour une fonction définie par plusieurs expressions, la continuité au point de raccordement exige l’égalité de la limite à gauche, de la limite à droite et de la valeur de la fonction au point.
Lorsqu’un quotient présente la forme \(\frac00\) au point de raccordement, on détermine d’abord le paramètre qui annule le numérateur, puis on simplifie avant de calculer la limite.
Avant toute étude de continuité, vérifier que la fonction est définie au point étudié et dans le voisinage unilatéral considéré.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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