Correction détaillée des exercices 13 à 19 — Continuité à gauche, à droite et raccordement
les seize questions ont été comparées aux énoncés originaux. Les limites latérales, les valeurs de raccordement et les paramètres assurant la continuité ont été contrôlés mathématiquement.
Exercice 13
Étudier la continuité au point \(x_0=1\) de la fonction :
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Au voisinage de \(1\), les fonctions \(x\mapsto x^2-5\), \(x\mapsto |x^2-5|\) et \(x\mapsto\sqrt{x}\) sont continues. De plus :
La fonction \(f\) est donc continue en \(1\). On peut aussi calculer directement :
Étudier la continuité au point \(x_0=2\) de la fonction :
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On a \(f(2)=18\). Pour \(x\neq2\), on rationalise le dénominateur :
Or :
Donc, pour \(x\neq2\) :
Par conséquent :
Étudier la continuité au point \(x_0=3\) de la fonction :
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On a \(f(3)=0\). Pour \(x\neq3\), puisque \(\left|\sin\left(\frac1{x-3}\right)\right|\leq1\), on obtient :
Or :
D’après le théorème d’encadrement :
Étudier la continuité au point \(x_0=\frac{\pi}{4}\) de la fonction :
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On a :
De plus :
Ainsi, pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\) et \(x\) assez proche de \(\frac{\pi}{4}\) :
Donc :
Mais :
Exercice 14
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
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À gauche de \(0\) : si \(x<0\), alors \(|x|=-x\). Ainsi :
Donc :
À droite de \(0\) : si \(x>0\), alors \(|x|=x\). Ainsi :
Donc :
Or \(f(0)=4\).
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
où \(E\) désigne la fonction partie entière.
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On a :
À gauche de \(0\) : pour \(x\in\left]-\frac12,0\right[\), on a :
Donc :
Par conséquent :
À droite de \(0\) : pour \(x>0\) assez proche de \(0\), on a :
Donc :
Par conséquent :
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=4\) de la fonction :
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À gauche de \(4\) : pour \(0\leq x<4\), on a :
Donc, pour \(x\neq4\) :
Ainsi :
À droite de \(4\) : pour \(x>4\) :
Donc :
Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :
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À droite de \(0\) :
Donc :
Ainsi :
À gauche de \(0\) :
Donc :
Ainsi :
Exercice 15
On considère la fonction \(g\) définie par :
Calculer :
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1. Limite en \(+\infty\)
Pour \(x\geq0\) :
Comme \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\), on écrit :
Donc :
Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(1\). Ainsi :
2. Limite à droite de \(-\frac{\pi}{2}\)
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :
Lorsque \(x\to-\frac{\pi}{2}^{+}\), on a :
Par conséquent :
3. Limite à gauche de \(-\frac{\pi}{2}\)
Posons :
Alors \(t\to0^-\), \(2x+\pi=2t\) et :
Ainsi :
Comme \(\frac{\sin t}{t}\to1\) et \(\cos t\to1\), on obtient :
Établir la continuité de la fonction \(g\) en \(0\).
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Comme \(0\) appartient au troisième intervalle :
Limite à droite de \(0\)
La fonction :
est continue en \(0\). Donc :
Limite à gauche de \(0\)
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :
Ainsi :
Donc :
Exercice 16
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction :
soit continue au point \(x_0=2\).
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Pour que la limite à droite en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule en \(2\) :
Donc :
Avec \(a=6\) :
Donc, pour \(x>2\) :
Comme \(2\) appartient au second morceau :
La continuité en \(2\) impose :
D’où :
Exercice 17
Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la fonction :
soit continue au point \(x_0=1\).
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Limite à droite de \(1\)
Limite à gauche de \(1\)
Le dénominateur s’annule toujours en \(1\) :
Pour obtenir une limite finie, le numérateur doit aussi s’annuler en \(1\) :
Donc :
Avec \(b=2\), on factorise :
Donc :
La continuité impose l’égalité avec la limite à droite :
D’où :
Enfin, il faut aussi que :
Donc :
Avec \(a=-3\), le facteur restant du dénominateur vaut \(2x-1\), qui est non nul au voisinage de \(x=1\). La simplification utilisée pour calculer la limite à gauche est donc valide.
Exercice 18
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie par :
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f_n\) soit continue en \(2\).
Lire la correction +
Pour que la limite à gauche en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule lorsque \(x\to2\) :
Donc :
Avec \(a=1\), posons \(u=3-x\). Lorsque \(x\to2^-\), on a \(u\to1^+\) et :
En utilisant l’identité :
on obtient :
Ainsi :
Comme \(2\) appartient au second morceau :
La continuité en \(2\) impose :
D’où :
Exercice 19
On considère la fonction :
Utiliser la condition :
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Lorsque \(x\to+\infty\), on utilise le premier morceau. Le numérateur et le dénominateur sont de degré \(2\). Donc :
La condition imposée donne :
Utiliser la condition :
Lire la correction +
Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :
Au voisinage de \(3\), on utilise le premier morceau :
Avec \(a=2\), on obtient :
Utiliser la condition : \(f\) est continue en \(x_0=2\).
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La limite à gauche en \(2\) vaut :
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=6+c. \]Comme \(2\) appartient au premier morceau :
\[ f(2)=\frac{4a+2b-1}{3}. \]D’après la première condition, \(a=2\). Ainsi :
\[ f(2)=\frac{7+2b}{3}. \]La continuité en \(2\) impose :
\[ 6+c=\frac{7+2b}{3}. \]D’après la deuxième condition :
\[ c=\frac{17+3b}{8}. \]En remplaçant \(c\) :
\[ 6+\frac{17+3b}{8} = \frac{7+2b}{3}. \] \[ 3(65+3b)=8(7+2b), \] \[ 195+9b=56+16b, \] \[ b=\frac{139}{7}. \]Puis :
\[ c= \frac{17+3\cdot\frac{139}{7}}{8} = \frac{67}{7}. \]Bilan du bloc
Les exercices 13 à 19 sont conformes aux énoncés originaux et les résultats mathématiques sont corrects.
Aucun résultat majeur n’a dû être remplacé. La version a seulement été renforcée par la précision du domaine dans l’exercice 13, la suppression d’une ancienne remarque technique dans l’exercice 15 et une justification supplémentaire dans l’exercice 17.
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