Correction des exercices 13 à 19 — Continuité en un point et continuité à gauche/droite — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 13 à 19 — Continuité à gauche, à droite et raccordement

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 13

Énoncé

1)

Étudier la continuité au point \(x_0=1\) de la fonction :

\[ f(x)=\frac{|x^2-5|+3}{\sqrt{x}+2}. \]

2)

Étudier la continuité au point \(x_0=2\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^3-8}{\sqrt{x^2+5}-3}, & \text{si }x\neq2,\\[8pt] 18, & \text{si }x=2. \end{cases} \]

3)

Étudier la continuité au point \(x_0=3\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle(x^2-9)\sin\left(\frac{1}{x-3}\right), & \text{si }x\neq3,\\[8pt] 0, & \text{si }x=3. \end{cases} \]

4)

Étudier la continuité au point \(x_0=\frac{\pi}{4}\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{(1-\tan x)^2}{1+\cos4x}, & \text{si }x\neq\frac{\pi}{4},\\[9pt] -\displaystyle\frac12, & \text{si }x=\frac{\pi}{4}. \end{cases} \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Au voisinage de \(1\), les fonctions \(x\mapsto x^2-5\), \(x\mapsto |x^2-5|\) et \(x\mapsto\sqrt{x}\) sont continues. De plus :

\[ \sqrt{1}+2=3\neq0. \]

La fonction \(f\) est donc continue en \(1\). On peut aussi calculer directement :

\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{|1^2-5|+3}{\sqrt1+2} = \frac{4+3}{3} = \frac73. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=\frac73=f(1)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(1\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

La formule fractionnaire n’est pas définie en \(x=-2\). La fonction complète est donc définie sur \(\mathbb R\setminus\{-2\}\), puisque la valeur en \(x=2\) est donnée séparément.

On a \(f(2)=18\). Pour \(x\neq2\), on rationalise le dénominateur :

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{x^3-8}{\sqrt{x^2+5}-3} \times \frac{\sqrt{x^2+5}+3}{\sqrt{x^2+5}+3}\\[4pt] &= \frac{(x^3-8)(\sqrt{x^2+5}+3)}{x^2-4}. \end{aligned} \]

Or :

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \qquad x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Donc, pour \(x\neq2\) :

\[ f(x) = \frac{(x^2+2x+4)(\sqrt{x^2+5}+3)}{x+2}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to2}f(x) = \frac{(4+4+4)(3+3)}{4} = 18. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to2}f(x)=18=f(2)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(2\).

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On a \(f(3)=0\). Pour \(x\neq3\), puisque \(\left|\sin\left(\frac1{x-3}\right)\right|\leq1\), on obtient :

\[ |f(x)| = |x^2-9| \left|\sin\left(\frac1{x-3}\right)\right| \leq |x^2-9|. \]

Or :

\[ \lim_{x\to3}|x^2-9|=0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \lim_{x\to3}f(x)=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to3}f(x)=0=f(3)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(3\).

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On a :

\[ 1-\tan x = \frac{\cos x-\sin x}{\cos x}, \qquad 1+\cos4x=2\cos^22x. \]

De plus :

\[ \cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x). \]

Ainsi, pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\) et \(x\) assez proche de \(\frac{\pi}{4}\) :

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{(\cos x-\sin x)^2} {2\cos^2x\,\cos^22x}\\[4pt] &= \frac{1} {2\cos^2x\,(\cos x+\sin x)^2}. \end{aligned} \]

Donc :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x) = \frac{1} {2\left(\frac12\right)(\sqrt2)^2} = \frac12. \]

Mais :

\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=\frac12 \neq f\left(\frac{\pi}{4}\right) } \] Ainsi, \(f\) n’est pas continue en \(\frac{\pi}{4}\).

Exercice 14

Énoncé

1)

Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{|x|+3x}{x^2-2|x|}, & \text{si }x\neq0,\\[8pt] 4, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

2)

Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :

\[ f(x)=xE\left(\frac{1}{x+1}\right), \]

où \(E\) désigne la fonction partie entière.

3)

Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=4\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}, & \text{si }0\leq x<4,\\[9pt] \displaystyle\frac12, & \text{si }x=4,\\[9pt] \displaystyle\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}, & \text{si }x>4. \end{cases} \]

4)

Étudier la continuité à droite et à gauche au point \(x_0=0\) de la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{2\sin x-\sin2x}{x^3}, & \text{si }x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[,\\[9pt] 1, & \text{si }x=0,\\[9pt] \displaystyle\frac{\tan x-\sin x}{x^3}, & \text{si }x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[. \end{cases} \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Point de domaine. La formule fractionnaire s’annule au dénominateur pour \(x=-2\), \(x=0\) et \(x=2\). Comme \(f(0)=4\) est donnée séparément, le domaine de la fonction est \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}\). Cette précision ne change pas l’étude locale au voisinage de \(0\).

À gauche de \(0\) : si \(x<0\), alors \(|x|=-x\). Ainsi :

\[ f(x) = \frac{-x+3x}{x^2+2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]

À droite de \(0\) : si \(x>0\), alors \(|x|=x\). Ainsi :

\[ f(x) = \frac{x+3x}{x^2-2x} = \frac{4x}{x(x-2)} = \frac{4}{x-2}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-2. \]

Or \(f(0)=4\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq4 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=-2\neq4 } \] La fonction \(f\) n’est continue ni à gauche ni à droite en \(0\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On a :

\[ f(0)=0\times E(1)=0. \]

À gauche de \(0\) : pour \(x\in\left]-\frac12,0\right[\), on a :

\[ 1<\frac{1}{x+1}<2. \]

Donc :

\[ E\left(\frac{1}{x+1}\right)=1 \quad\text{et}\quad f(x)=x. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0. \]

À droite de \(0\) : pour \(x>0\) assez proche de \(0\), on a :

\[ 0<\frac{1}{x+1}<1. \]

Donc :

\[ E\left(\frac{1}{x+1}\right)=0 \quad\text{et}\quad f(x)=0. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = f(0) = 0 } \] La fonction \(f\) est continue à gauche et à droite en \(0\), donc continue en \(0\).

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

À gauche de \(4\) : pour \(0\leq x<4\), on a :

\[ x-2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-2), \]

\[ x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2). \]

Donc, pour \(x\neq4\) :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to4^-}f(x) = \frac{2}{2+2} = \frac12 = f(4). \]

À droite de \(4\) : pour \(x>4\) :

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{x-4} = \frac{1}{\sqrt{x-4}}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to4^-}f(x)=f(4)=\frac12, \qquad \lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty } \] La fonction \(f\) est continue à gauche en \(4\), mais elle n’est pas continue à droite en \(4\).

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

À droite de \(0\) :

\[ 2\sin x-\sin2x = 2\sin x(1-\cos x). \]

Donc :

\[ \frac{2\sin x-\sin2x}{x^3} = 2\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^2}. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = 2\times1\times\frac12 = 1 = f(0). \]

À gauche de \(0\) :

\[ \tan x-\sin x = \sin x\left(\frac1{\cos x}-1\right) = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]

Donc :

\[ \frac{\tan x-\sin x}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac1{\cos x}. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 1\times\frac12\times1 = \frac12. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0), \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=\frac12\neq f(0) } \] La fonction \(f\) est continue à droite en \(0\), mais elle n’est pas continue à gauche en \(0\).

Exercice 15

Énoncé

1)

On considère la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)= \begin{cases} (2x+\pi)\tan x, & \text{si }x\in\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[,\\[7pt] \displaystyle\frac{1-\cos^3x}{x\tan x\cos^2x}, & \text{si }x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[,\\[11pt] \displaystyle\frac{3\sqrt{1+x^4}-x}{2+x}, & \text{si }x\in[0,+\infty[. \end{cases} \]

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x), \qquad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}g(x), \qquad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{-}}g(x). \]

2)

Établir la continuité de la fonction \(g\) en \(0\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

1. Limite en \(+\infty\)

Pour \(x\geq0\) :

\[ g(x) = \frac{3\sqrt{1+x^4}-x}{x+2}. \]

Comme \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\), on écrit :

\[ \sqrt{1+x^4} = x^2\sqrt{1+\frac1{x^4}}. \]

Donc :

\[ g(x) = \frac{3x\sqrt{1+\frac1{x^4}}-1} {1+\frac2x}. \]

Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(1\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}. \]

2. Limite à droite de \(-\frac{\pi}{2}\)

Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :

\[ g(x) = \frac{1-\cos^3x}{x\tan x\cos^2x} = \frac{1-\cos^3x}{x\sin x\cos x}. \]

Lorsque \(x\to-\frac{\pi}{2}^{+}\), on a :

\[ 1-\cos^3x\to1, \qquad x\sin x\to\frac{\pi}{2}>0, \qquad \cos x\to0^+. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}g(x)=+\infty}. \]

3. Limite à gauche de \(-\frac{\pi}{2}\)

Posons :

\[ t=x+\frac{\pi}{2}. \]

Alors \(t\to0^-\), \(2x+\pi=2t\) et :

\[ \tan x = \tan\left(t-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\cos t}{\sin t}. \]

Ainsi :

\[ (2x+\pi)\tan x = -2\,\frac{t}{\sin t}\cos t. \]

Comme \(\frac{\sin t}{t}\to1\) et \(\cos t\to1\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{-}}g(x)=-2}. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}g(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{-}}g(x)=-2 } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Comme \(0\) appartient au troisième intervalle :

\[ g(0) = \frac{3\sqrt{1+0^4}-0}{2+0} = \frac32. \]

Limite à droite de \(0\)

La fonction :

\[ x\longmapsto\frac{3\sqrt{1+x^4}-x}{2+x} \]

est continue en \(0\). Donc :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\frac32. \]

Limite à gauche de \(0\)

Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) :

\[ 1-\cos^3x = (1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x), \]

\[ x\tan x\cos^2x=x\sin x\cos x. \]

Ainsi :

\[ g(x) = \frac{1-\cos x}{x^2} \times \frac{1+\cos x+\cos^2x} {\frac{\sin x}{x}\cos x}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0^-}g(x) = \frac12\times\frac{3}{1} = \frac32. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^-}g(x) = \lim_{x\to0^+}g(x) = g(0) = \frac32 } \] Ainsi, \(g\) est continue en \(0\).

Exercice 16

Énoncé

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2+x-a}{x-2}, & \text{si }x>2,\\[9pt] \displaystyle\frac{2x+b}{3}, & \text{si }x\leq2, \end{cases} \]

soit continue au point \(x_0=2\).

Afficher la correctionMasquer la correction

Pour que la limite à droite en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule en \(2\) :

\[ 2^2+2-a=0. \]

Donc :

\[ a=6. \]

Avec \(a=6\) :

\[ x^2+x-6=(x-2)(x+3). \]

Donc, pour \(x>2\) :

\[ f(x)=x+3 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=5. \]

Comme \(2\) appartient au second morceau :

\[ f(2) = \frac{4+b}{3}. \]

La continuité en \(2\) impose :

\[ \frac{4+b}{3}=5. \]

D’où :

\[ b=11. \]

\[ \boxed{a=6\quad\text{et}\quad b=11} \]

Exercice 17

Énoncé

Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{3x^2-2bx+1}{2x^2+ax-a-2}, & \text{si }x<1,\\[10pt] \displaystyle\frac{2+c}{3}, & \text{si }x=1,\\[10pt] \displaystyle\frac{-2x^2+3x+3}{x^2+1}, & \text{si }x>1, \end{cases} \]

soit continue au point \(x_0=1\).

Afficher la correctionMasquer la correction

Limite à droite de \(1\)

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{-2x^2+3x+3}{x^2+1} = \frac{-2+3+3}{2} = 2. \]

Limite à gauche de \(1\)

Le dénominateur s’annule toujours en \(1\) :

\[ 2+a-a-2=0. \]

Pour obtenir une limite finie, le numérateur doit aussi s’annuler en \(1\) :

\[ 3-2b+1=0. \]

Donc :

\[ b=2. \]

Avec \(b=2\), on factorise :

\[ 3x^2-4x+1=(x-1)(3x-1), \]

\[ 2x^2+ax-a-2=(x-1)(2x+a+2). \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \frac{2}{a+4}. \]

La continuité impose l’égalité avec la limite à droite :

\[ \frac{2}{a+4}=2. \]

D’où :

\[ a=-3. \]

Enfin, il faut aussi que :

\[ f(1)=\frac{2+c}{3}=2. \]

Donc :

\[ c=4. \]

Avec \(a=-3\), le facteur restant du dénominateur vaut \(2x-1\), qui est non nul au voisinage de \(x=1\). La simplification utilisée pour calculer la limite à gauche est donc valide.

\[ \boxed{a=-3,\qquad b=2,\qquad c=4} \]

Exercice 18

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb N^*\). On considère la fonction \(f_n\) définie par :

\[ f_n(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{(3-x)^n-a}{x-2}, & \text{si }x<2,\\[10pt] \displaystyle\frac{3x+b}{4}, & \text{si }x\geq2. \end{cases} \]

Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f_n\) soit continue en \(2\).

Afficher la correctionMasquer la correction

Pour que la limite à gauche en \(2\) soit finie, il faut que le numérateur s’annule lorsque \(x\to2\) :

\[ (3-2)^n-a=0. \]

Donc :

\[ a=1. \]

Avec \(a=1\), posons \(u=3-x\). Lorsque \(x\to2^-\), on a \(u\to1^+\) et :

\[ x-2=1-u=-(u-1). \]

En utilisant l’identité :

\[ u^n-1=(u-1)(u^{n-1}+u^{n-2}+\cdots+u+1), \]

on obtient :

\[ \frac{(3-x)^n-1}{x-2} = -\left(u^{n-1}+u^{n-2}+\cdots+u+1\right). \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to2^-}f_n(x)=-n. \]

Comme \(2\) appartient au second morceau :

\[ f_n(2)=\frac{6+b}{4}. \]

La continuité en \(2\) impose :

\[ \frac{6+b}{4}=-n. \]

D’où :

\[ b=-4n-6. \]

\[ \boxed{a=1\quad\text{et}\quad b=-4n-6} \]

Exercice 19

Énoncé

Condition 1

On considère la fonction :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{ax^2+bx-1}{x^2-1}, & \text{si }x\geq2,\\[10pt] 3x+c, & \text{si }x<2. \end{cases} \]

Utiliser la condition :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=2. \]

Condition 2

Utiliser la condition :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to3}f(x). \]

Condition 3

Utiliser la condition : \(f\) est continue en \(x_0=2\).

Afficher la correction de la condition 1Masquer la correction de la condition 1

Lorsque \(x\to+\infty\), on utilise le premier morceau. En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\), on obtient :

\[ f(x)= \frac{a+\frac{b}{x}-\frac{1}{x^2}} {1-\frac{1}{x^2}}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=a. \]

La condition imposée donne :

\[ \boxed{a=2} \]

Afficher la correction de la condition 2Masquer la correction de la condition 2

Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=c. \]

Au voisinage de \(3\), on utilise le premier morceau :

\[ \lim_{x\to3}f(x) = \frac{9a+3b-1}{8}. \]

Avec \(a=2\), on obtient :

\[ c = \frac{18+3b-1}{8} = \frac{17+3b}{8}. \]

\[ \boxed{c=\frac{17+3b}{8}} \]

Afficher la correction de la condition 3Masquer la correction de la condition 3

La limite à gauche en \(2\) vaut :

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=6+c. \]

Comme \(2\) appartient au premier morceau :

\[ f(2)=\frac{4a+2b-1}{3}. \]

D’après la première condition, \(a=2\). Ainsi :

\[ f(2)=\frac{7+2b}{3}. \]

La continuité en \(2\) impose :

\[ 6+c=\frac{7+2b}{3}. \]

D’après la deuxième condition :

\[ c=\frac{17+3b}{8}. \]

En remplaçant \(c\) :

\[ 6+\frac{17+3b}{8} = \frac{7+2b}{3}. \] \[ 3(65+3b)=8(7+2b), \] \[ 195+9b=56+16b, \] \[ b=\frac{139}{7}. \]

Puis :

\[ c= \frac{17+3\cdot\frac{139}{7}}{8} = \frac{67}{7}. \]

\[ \boxed{ a=2,\qquad b=\frac{139}{7},\qquad c=\frac{67}{7} } \]

Résultats essentiels

Continuité à droite et à gauche

Une fonction \(f\) est continue à droite en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), et continue à gauche en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)\).

Continuité en un point de raccordement

Pour une fonction définie par plusieurs expressions, la continuité au point de raccordement exige l’égalité de la limite à gauche, de la limite à droite et de la valeur de la fonction au point.

\[ \boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a) }. \]

Détermination d’un paramètre

Lorsqu’un quotient présente la forme \(\frac00\) au point de raccordement, on détermine d’abord le paramètre qui annule le numérateur, puis on simplifie avant de calculer la limite.

Attention au domaine

Avant toute étude de continuité, vérifier que la fonction est définie au point étudié et dans le voisinage unilatéral considéré.