Correction des exercices 20 à 23 — Fonctions composées et calcul de limites — Al Moufid
Exercice 20 — Dérivée d’une fonction composée
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\left(2x^3-1\right)^4. \]1) Calcul de \(f'(x)\)
Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
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La fonction \(f\) est polynomiale, donc dérivable sur \(\mathbb R\).
\[ f(x)=\left(2x^3-1\right)^4. \]Par dérivation d’une fonction composée :
\[ f'(x) = 4\left(2x^3-1\right)^3\cdot6x^2. \]2-a) Fonction \(g(x)=f(\cos x)\)
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La fonction \(g\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
\[ g'(x)=f'(\cos x)(-\sin x). \]Comme :
\[ f'(\cos x) = 24\cos^2x\left(2\cos^3x-1\right)^3, \]2-b) Fonction \(h(x)=f\left(\sqrt[3]{6x+1}\right)\)
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Il est préférable de simplifier avant de dériver :
\[ h(x) = \left[ 2\left(\sqrt[3]{6x+1}\right)^3-1 \right]^4. \]Donc :
\[ h(x)=\left(12x+1\right)^4. \]2-c) Fonction \(k(x)=f\left(\dfrac2{\sqrt x}\right)\)
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La racine est au dénominateur, donc :
\[ D_k=]0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) :
\[ \left(\frac2{\sqrt x}\right)'=-\frac1{x^{3/2}}. \]Par composition :
\[ k'(x) = f'\left(\frac2{\sqrt x}\right) \left(-\frac1{x^{3/2}}\right). \]2-d) Fonction \(s(x)=f\left(\tan\dfrac\pi x\right)\)
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Il faut avoir \(x\neq0\) et :
\[ \cos\frac{\pi}{x}\neq0. \]Donc :
\[ D_s = \mathbb R\setminus \left( \{0\} \cup \left\{ \frac2{2k+1}\ ;\ k\in\mathbb Z \right\} \right). \]Sur ce domaine :
\[ \left(\tan\frac{\pi}{x}\right)' = -\frac{\pi}{x^2} \left(1+\tan^2\frac{\pi}{x}\right). \]2-e) Fonction \(u(x)=f\left(\sqrt[4]x\right)\)
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La racine quatrième impose :
\[ D_u=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) :
\[ u(x)=\left(2x^{3/4}-1\right)^4. \]Donc :
En \(0\), on a \(u(0)=1\), et :
\[ \frac{u(x)-u(0)}x = \frac{\left(1-2x^{3/4}\right)^4-1}{x} \longrightarrow-\infty. \]2-f) Fonction \(v(x)=f\left((\operatorname{Arctan}x)^4\right)\)
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La fonction \(v\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ w(x)=\left(\operatorname{Arctan}x\right)^4. \]Alors :
\[ w'(x) = \frac{4\left(\operatorname{Arctan}x\right)^3}{1+x^2}. \]De plus :
\[ f'(w(x)) = 24\left(\operatorname{Arctan}x\right)^8 \left[ 2\left(\operatorname{Arctan}x\right)^{12}-1 \right]^3. \]Exercice 21 — Dérivation et calcul de limites
Utiliser le nombre dérivé pour calculer les limites demandées.
1) Limite associée à \(f(x)=(2x-1)^{15}\)
Montrer que la fonction \[ f:x\longmapsto(2x-1)^{15} \] est dérivable sur \(\mathbb R\), puis calculer :
\[ \lim_{x\to1} \frac{(2x-1)^{15}-1}{x-1}. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ f'(x)=30(2x-1)^{14}. \]Comme \(f(1)=1\), la limite demandée est le nombre dérivé de \(f\) en \(1\) :
\[ \lim_{x\to1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1). \]2) Limite associée à \(g(x)=3\cos^2x-\sin^2x\)
On considère : \[ g(x)=3\cos^2x-\sin^2x. \] Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\), puis calculer :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{3\cos^2x-\sin^2x} {3x-\pi}. \]Lire la réponse +
La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ g'(x) = -6\sin x\cos x - 2\sin x\cos x. \]Donc :
\[ \boxed{g'(x)=-8\sin x\cos x}. \]Or :
\[ g\left(\frac{\pi}{3}\right)=0 \]et :
\[ 3x-\pi = 3\left(x-\frac{\pi}{3}\right). \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{g(x)-g\left(\frac{\pi}{3}\right)} {3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)} = \frac13g'\left(\frac{\pi}{3}\right). \]Comme :
\[ g'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 = -2\sqrt3, \]Exercice 22 — Calcul de limites à l’aide du nombre dérivé
En utilisant le nombre dérivé, calculer les limites suivantes.
1) Limite d’une puissance quatrième
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Posons \(F(x)=x^4\). Comme \(F(5)=625\), la limite vaut \(F'(5)\).
\[ F'(x)=4x^3. \]2) Limite de \((1+x)^{10}\)
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Posons \(F(x)=(1+x)^{10}\). Comme \(F(0)=1\), la limite vaut \(F'(0)\).
\[ F'(x)=10(1+x)^9. \]3) Limite comportant une racine cubique
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Posons \(F(x)=\sqrt[3]{x+8}\). On a \(F(0)=2\), donc la limite vaut \(F'(0)\).
\[ F'(x)=\frac1{3(x+8)^{2/3}}. \]4) Différence d’une racine carrée et d’une racine cubique
Le manuel affiche \(x-3\) au dénominateur. Or le numérateur s’annule en \(x=6\), et l’exercice demande d’utiliser le nombre dérivé. Le dénominateur cohérent est donc \(x-6\).
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Posons :
\[ F(x)=\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{4x+3}. \]On a :
\[ F(6)=3-3=0. \]La limite demandée est donc \(F'(6)\). Or :
\[ F'(x) = \frac1{2\sqrt{x+3}} - \frac4{3(4x+3)^{2/3}}. \]Ainsi :
\[ F'(6) = \frac16-\frac4{27} = \frac1{54}. \]5) Limite en \(\pi\)
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Posons \(F(x)=x+\sin^2x\). Comme \(F(\pi)=\pi\), la limite vaut \(F'(\pi)\).
\[ F'(x)=1+2\sin x\cos x. \]6) Limite en \(\dfrac\pi3\)
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Posons \(F(x)=4\cos^2x\). On a \(F\left(\dfrac\pi3\right)=1\).
\[ F'(x)=-8\sin x\cos x. \]7) Limite en \(\dfrac\pi6\)
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Posons \(F(x)=\sqrt[3]{7-4\sin x}\). Alors :
\[ F\left(\frac\pi6\right)=\sqrt[3]5. \]Pour les points où \(7-4\sin x\neq0\) :
\[ F'(x) = -\frac{4\cos x} {3(7-4\sin x)^{2/3}}. \]8) Limite \(\dfrac{x-\sin x}{\tan x-x}\)
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On n’utilise pas la règle de L’Hôpital. Posons :
\[ \varphi(t)=t-\sin t, \qquad \psi(t)=\tan t-t. \]Pour \(x\neq0\) suffisamment proche de \(0\), le théorème des accroissements finis de Cauchy appliqué à \(\varphi\) et \(\psi\) entre \(0\) et \(x\) assure l’existence d’un réel \(c_x\) situé entre \(0\) et \(x\) tel que :
\[ \frac{\varphi(x)-\varphi(0)} {\psi(x)-\psi(0)} = \frac{\varphi'(c_x)} {\psi'(c_x)}. \]Or :
\[ \varphi'(t)=1-\cos t, \qquad \psi'(t)=\tan^2t. \]Comme \(c_x\to0\) lorsque \(x\to0\) :
\[ \frac{1-\cos c_x}{\tan^2c_x} = \frac{ \dfrac{1-\cos c_x}{c_x^2} }{ \left(\dfrac{\tan c_x}{c_x}\right)^2 } \longrightarrow \frac12. \]9) Quotient de deux accroissements en \(-\dfrac\pi4\)
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Posons :
\[ F(x)=2\cos x, \qquad G(x)=\tan x. \]Au point \(a=-\dfrac\pi4\) :
\[ F(a)=\sqrt2, \qquad G(a)=-1. \]Comme \(G'(a)=2\neq0\), le quotient des accroissements tend vers :
\[ \frac{F'(a)}{G'(a)} = \frac{-2\sin\left(-\frac\pi4\right)} {1+\tan^2\left(-\frac\pi4\right)}. \]10) Limite en \(1\)
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Posons \(t=x-1\). Alors \(t\to0\), \(x=1+t\) et \(2-x=1-t\).
\[ \frac{x\sin(x-1)} {(2-x)^6-1} = \frac{(1+t)\sin t} {(1-t)^6-1}. \]En divisant le numérateur et le dénominateur par \(t\) :
\[ \frac{(1+t)\dfrac{\sin t}{t}} {\dfrac{(1-t)^6-1}{t}}. \]Le numérateur tend vers \(1\). Le dénominateur est le nombre dérivé en \(0\) de \(t\mapsto(1-t)^6\), donc tend vers \(-6\).
11) Limite en \(0\)
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Posons :
\[ F(x)=\sqrt{x^{12}+1}-\cos x. \]On a \(F(0)=0\). La limite demandée est donc \(F'(0)\).
\[ F'(x) = \frac{6x^{11}}{\sqrt{x^{12}+1}} + \sin x. \]12) Limite en \(\dfrac\pi4\) — absence de limite bilatérale
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Posons :
\[ t=x-\frac{\pi}{4}. \]Les formules d’addition donnent :
\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\sin t \]et :
\[ \sin x+\cos x-\sqrt2 = \sqrt2(\cos t-1). \]Donc :
\[ \frac{\sin x-\cos x} {\sin x+\cos x-\sqrt2} = \frac{\sin t}{\cos t-1} = -\cot\frac t2. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to\left(\frac{\pi}{4}\right)^-} \frac{\sin x-\cos x} {\sin x+\cos x-\sqrt2} = +\infty \]et :
\[ \lim_{x\to\left(\frac{\pi}{4}\right)^+} \frac{\sin x-\cos x} {\sin x+\cos x-\sqrt2} = -\infty. \]13) Limite avec \(\tan^2x-1\)
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Posons :
\[ F(x)=2\cos x, \qquad G(x)=\tan^2x. \]Au point \(a=\dfrac\pi4\), on a :
\[ F(a)=\sqrt2, \qquad G(a)=1. \]Comme :
\[ F'(a)=-\sqrt2 \]et :
\[ G'(a) = 2\tan a(1+\tan^2a) = 4, \]14) Limite avec une racine carrée
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Posons :
\[ F(x)= \sqrt{ 1-\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) }. \]On a \(F(1)=1\). La limite devient :
\[ \lim_{x\to1} \frac{x-1}{F(x)-F(1)} = \frac1{F'(1)}. \]Or :
\[ F'(x) = \frac{ \frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) } { 2\sqrt{ 1-\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) } }. \]Ainsi :
\[ F'(1)=\frac{\pi}{4}. \]Exercice 23 — Limites dépendant de \(n\) et de \(a\)
Soit \(n\) un entier naturel non nul. En utilisant le nombre dérivé, calculer les limites suivantes, avec \(a\in\mathbb R_+^\ast\).
1) Différence de deux puissances
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Posons \(F(x)=x^n\). Comme \(F(a)=a^n\), la limite vaut \(F'(a)\).
2) Puissance de \(\cos x\)
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Posons \(F(x)=\cos^n x\). On a \(F(0)=1\), et :
\[ F'(x) = -n\cos^{n-1}x\sin x. \]3) Puissance de \(1+x\)
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Posons \(F(x)=(1+x)^n\). Comme \(F(0)=1\), la limite vaut \(F'(0)\).
4) Limite imprimée avec une racine \(n\)-ième
Tel qu’imprimé, le quotient n’est pas un quotient de dérivabilité en \(a\). Deux corrections minimales sont possibles — remplacer \(x\to a\) par \(x\to0\), ou supprimer \(+a\) sous la première racine — sans que le manuel permette de choisir sûrement entre elles. L’énoncé imprimé est donc conservé et traité tel quel.
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Comme \(a\gt0\), on a :
\[ \sqrt[n]{2a}-\sqrt[n]{a}\gt0. \]Lorsque \(x\to a\), le numérateur tend donc vers une constante strictement positive, tandis que le dénominateur tend vers \(0\) en changeant de signe.
\[ \lim_{x\to a^-} \frac{ \sqrt[n]{x+a}-\sqrt[n]{a} }{ x-a } = -\infty \]et :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{ \sqrt[n]{x+a}-\sqrt[n]{a} }{ x-a } = +\infty. \]5) Fonction \(x\mapsto x\sqrt x\)
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Comme \(a\gt0\), la fonction :
\[ F(x)=x\sqrt x=x^{3/2} \]est dérivable en \(a\), avec :
\[ F'(x)=\frac32\sqrt x. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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