Correction des exercices 34 à 37 — Continuité sur un intervalle et image d’un intervalle — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 34 à 37 — Continuité et image d’un intervalle

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 34

Énoncé

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ g(x)= \begin{cases} \alpha^2x+3, & \text{si }x\leq1,\\[6pt] \displaystyle\frac{8-\beta^2x}{2x-1}, & \text{si }1<x<3,\\[10pt] \displaystyle\frac25x^2-\frac{\beta^2}{5}x+\alpha\beta, & \text{si }x\geq3. \end{cases} \]

Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) sachant que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correctionMasquer la correction

Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il suffit donc d’étudier les raccordements en \(1\) et en \(3\).

Continuité en \(1\)

Comme \(1\) appartient au premier morceau :

\[ g(1)=\alpha^2+3. \]

La limite à droite vaut :

\[ \lim_{x\to1^+}g(x) = \frac{8-\beta^2}{2-1} = 8-\beta^2. \]

La continuité en \(1\) impose :

\[ \alpha^2+3=8-\beta^2, \]

\[ \alpha^2+\beta^2=5. \tag{1} \]

Continuité en \(3\)

La limite à gauche vaut :

\[ \lim_{x\to3^-}g(x) = \frac{8-3\beta^2}{6-1} = \frac{8-3\beta^2}{5}. \]

Comme \(3\) appartient au troisième morceau :

\[ \begin{aligned} g(3) &= \frac25\times9-\frac{\beta^2}{5}\times3+\alpha\beta\\[3pt] &= \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \end{aligned} \]

La continuité en \(3\) impose :

\[ \frac{8-3\beta^2}{5} = \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \]

Donc :

\[ \alpha\beta=-2. \tag{2} \]

À partir de (1) et (2) :

\[ (\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = 5-4 = 1. \]

Ainsi :

\[ \alpha+\beta=1 \quad\text{ou}\quad \alpha+\beta=-1. \]

Avec \(\alpha\beta=-2\), on obtient les couples suivants :

\[ \boxed{ (\alpha,\beta)\in \{(2,-1),\,(-1,2),\,(1,-2),\,(-2,1)\} } \]

Exercice 35

Énoncé

1)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^2-3x+1. \]

Déterminer l’image de l’intervalle \(I=]0,+\infty[\) par \(f\).

2)

Déterminer l’image de \(J=]0,1[\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

3)

Déterminer l’image de \(K=]-\infty,-1]\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

On met le trinôme sous forme canonique :

\[ f(x) = \left(x-\frac32\right)^2-\frac54. \]

Pour tout réel \(x\) :

\[ \left(x-\frac32\right)^2\geq0, \]

donc :

\[ f(x)\geq-\frac54. \]

Le minimum \(-\frac54\) est atteint en \(x=\frac32\), qui appartient à \(I\). De plus, \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\).

Bien que \(0\notin I\), la valeur \(1\) appartient quand même à l’image, car \(f(3)=1\) et \(3\in I\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[-\frac54,+\infty\right[ } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On calcule la dérivée :

\[ f'(x)=2x-3. \]

Pour \(x\in]0,1[\), on a \(2x-3<0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(J\).

Aux bornes de \(J\) :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=-1. \]

Comme les deux bornes \(0\) et \(1\) ne sont pas incluses dans \(J\), les valeurs \(1\) et \(-1\) ne sont pas atteintes sur cet intervalle.

\[ \boxed{f(J)=]-1,1[} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Pour \(x\leq-1\) :

\[ f'(x)=2x-3<0. \]

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(K\).

On a :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(-1)=1+3+1=5. \]

La borne \(-1\) appartient à \(K\), donc la valeur \(5\) est atteinte.

\[ \boxed{f(K)=[5,+\infty[} \]

Exercice 36

Énoncé

1)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} 2x-3, & \text{si }x<2,\\ x^2-3, & \text{si }x\geq2. \end{cases} \]

Justifier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).

2.a)

Déterminer \(f([-2,4])\).

2.b)

Déterminer \(f(]-\infty,1])\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La fonction affine \(x\mapsto2x-3\) est continue sur \(]-\infty,2[\).

La fonction polynomiale \(x\mapsto x^2-3\) est continue sur \([2,+\infty[\).

Il reste à vérifier le raccordement en \(2\).

\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = 2\times2-3 = 1. \]

Comme \(2\) appartient au second morceau :

\[ f(2)=2^2-3=1. \]

De plus :

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 1 } \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On partage l’intervalle au point de raccordement \(2\).

Sur \([-2,2[\), on a \(f(x)=2x-3\), fonction strictement croissante. Ainsi :

\[ f([-2,2[)=[-7,1[. \]

Sur \([2,4]\), on a \(f(x)=x^2-3\). Comme \(x\geq2\), cette fonction est strictement croissante. Donc :

\[ f([2,4])=[1,13]. \]

En réunissant les deux images :

\[ \boxed{f([-2,4])=[-7,13]} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Pour tout \(x\leq1\), on a \(x<2\). On utilise donc uniquement l’expression :

\[ f(x)=2x-3. \]

Cette fonction est strictement croissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}(2x-3)=-\infty, \qquad f(1)=-1. \]

\[ \boxed{ f(]-\infty,1])=]-\infty,-1] } \]

Exercice 37

Énoncé

1)

Soit la fonction :

\[ f(x)=\frac{x^3}{x+1}. \]

Montrer que \(f\) est strictement croissante sur :

\[ I=\left[-\frac32,-1\right[. \]

2)

Déterminer l’image de \(I=\left[-\frac32,-1\right[\) par \(f\).

3)

En déduire que l’équation :

\[ f(x)=10 \]

admet une unique solution dans l’intervalle \(I\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La fonction \(f\) est dérivable sur \(I=\left[-\frac32,-1\right[\), car \(x+1\neq0\) pour tout \(x\in I\).

On calcule :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}\\[3pt] &= \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}. \end{aligned} \]

Pour tout \(x\in\left]-\frac32,-1\right[\), on a :

\[ x^2>0,\qquad 2x+3>0,\qquad (x+1)^2>0. \]

Donc :

\[ f'(x)>0 \quad\text{sur}\quad \left]-\frac32,-1\right[. \]

La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur l’intervalle \(I=\left[-\frac32,-1\right[\).

\[ \boxed{ f\text{ est strictement croissante sur } I=\left[-\frac32,-1\right[ } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\).

À la borne gauche :

\[ f\left(-\frac32\right) = \frac{\left(-\frac32\right)^3} {-\frac32+1} = \frac{-\frac{27}{8}}{-\frac12} = \frac{27}{4}. \]

À la borne droite :

\[ \lim_{x\to-1^-}\frac{x^3}{x+1}=+\infty, \]

car \(x^3\to-1\) et \(x+1\to0^-\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[ } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

D’après la question précédente :

\[ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Or :

\[ 10\in\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Il existe donc au moins un réel \(x\in I\) tel que \(f(x)=10\).

De plus, \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Elle ne peut donc prendre la valeur \(10\) qu’une seule fois.

\[ \boxed{ \text{L’équation }f(x)=10 \text{ admet une unique solution dans }I. } \]

Résultats essentiels

Continuité d’une fonction définie par morceaux

Chaque expression est continue sur son intervalle. Aux points de raccordement, il faut vérifier l’égalité entre la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction.

Image d’un intervalle

Pour déterminer \(f(I)\), on étudie la continuité et le sens de variation de \(f\) sur \(I\), puis on calcule les valeurs ou les limites aux bornes. Une borne appartient à l’image seulement si la valeur correspondante est effectivement atteinte.

Fonction continue et strictement monotone

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle et chaque valeur de \(f(I)\) possède un unique antécédent dans \(I\).

Existence et unicité

Pour montrer que l’équation \(f(x)=m\) possède une unique solution dans \(I\), on vérifie que \(m\in f(I)\), puis on utilise la stricte monotonie de \(f\) sur \(I\).