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Correction des exercices 34 à 37 — Continuité sur un intervalle et image d’un intervalle — Al Moufid

Correction des exercices 34 à 37 — Limite et continuité

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ces quatre exercices travaillent deux idées centrales du chapitre : assurer la continuité d’une fonction définie par morceaux et déterminer l’image d’un intervalle par une fonction continue. Le premier exercice ramène la continuité sur \(\mathbb R\) à l’étude des points de raccordement. Les exercices suivants utilisent la forme canonique, le signe de la dérivée et les valeurs ou limites aux bornes pour décrire précisément les ensembles d’images. Le dernier exercice relie enfin continuité, stricte monotonie et existence d’un antécédent unique. Dans chaque cas, il faut d’abord reconnaître la propriété du cours adaptée, vérifier ses conditions, puis effectuer les calculs. Cette démarche permet de comprendre pourquoi les bornes obtenues appartiennent ou non à l’image et pourquoi une équation peut avoir une solution unique sur un intervalle donné.

Exercice 34

Repère de cours — Continuité d’une fonction définie par morceaux.

Sur chaque intervalle où une même expression est utilisée, on applique les propriétés usuelles de continuité. Aux points où l’expression change, il faut étudier le raccordement : la continuité exige que les limites latérales nécessaires coïncident avec la valeur de la fonction. Ici, les seuls points à contrôler sont \(1\) et \(3\).

Énoncé.

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ g(x)= \begin{cases} \alpha^2x+3, & \text{si }x\leq1,\\[6pt] \displaystyle\frac{8-\beta^2x}{2x-1}, & \text{si }1<x<3,\\[10pt] \displaystyle\frac25x^2-\frac{\beta^2}{5}x+\alpha\beta, & \text{si }x\geq3. \end{cases} \]

Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) sachant que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb R\).

Méthode.

Les premier et troisième morceaux sont polynomiaux. Le morceau central est un quotient dont le dénominateur \(2x-1\) ne s’annule pas sur \(]1,3[\). Chaque expression est donc continue sur l’intervalle où elle intervient. Pour obtenir la continuité sur tout \(\mathbb R\), il reste uniquement à imposer les deux conditions de raccordement.

Afficher la correction Masquer la correction

Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il suffit donc d’étudier les raccordements en \(1\) et en \(3\).

Continuité en \(1\)

Comme \(1\) appartient au premier morceau, la valeur \(g(1)\) est donnée par cette expression. Pour assurer la continuité, cette valeur doit coïncider avec la limite obtenue à droite à l’aide du deuxième morceau.

Comme \(1\) appartient au premier morceau :

\[ g(1)=\alpha^2+3. \]

La limite à droite vaut :

\[ \lim_{x\to1^+}g(x) = \frac{8-\beta^2}{2-1} = 8-\beta^2. \]

La continuité en \(1\) impose :

\[ \alpha^2+3=8-\beta^2, \]
\[ \alpha^2+\beta^2=5. \tag{1} \]
Cette première condition de raccordement fournit une relation entre \(\alpha\) et \(\beta\). Le raccordement en \(3\) va fournir la seconde.

Continuité en \(3\)

Au point \(3\), le deuxième morceau fournit la limite à gauche, tandis que la troisième expression donne directement \(g(3)\). La continuité impose l’égalité de ces deux quantités.

La limite à gauche vaut :

\[ \lim_{x\to3^-}g(x) = \frac{8-3\beta^2}{6-1} = \frac{8-3\beta^2}{5}. \]

Comme \(3\) appartient au troisième morceau :

\[ \begin{aligned} g(3) &= \frac25\times9-\frac{\beta^2}{5}\times3+\alpha\beta\\[3pt] &= \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \end{aligned} \]

La continuité en \(3\) impose :

\[ \frac{8-3\beta^2}{5} = \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \]

Donc :

\[ \alpha\beta=-2. \tag{2} \]

Les deux conditions de continuité sont maintenant traduites par les relations (1) et (2). Il reste à les combiner.

À partir de (1) et (2) :

\[ (\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = 5-4 = 1. \]

Ainsi :

\[ \alpha+\beta=1 \quad\text{ou}\quad \alpha+\beta=-1. \]

Avec \(\alpha\beta=-2\), on obtient les couples suivants :

\[ \boxed{ (\alpha,\beta)\in \{(2,-1),\,(-1,2),\,(1,-2),\,(-2,1)\} } \]
Ces quatre couples satisfont simultanément les deux conditions de raccordement. Ils rendent donc \(g\) continue en \(1\) et en \(3\), et par conséquent continue sur \(\mathbb R\).

Exercice 35

Repère de cours — Image d’un intervalle.

Pour déterminer \(f(I)\), il faut tenir compte des variations de \(f\), de sa continuité et de la nature des bornes de \(I\). Les valeurs ou les limites obtenues aux extrémités permettent de déterminer les bornes de l’image. Il faut ensuite vérifier si ces bornes sont effectivement atteintes afin de choisir correctement les crochets.

Énoncé — Question 1).

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^2-3x+1. \]

Déterminer l’image de l’intervalle \(I=]0,+\infty[\) par \(f\).

Méthode.

La forme canonique fait apparaître directement le minimum du trinôme. Comme \(f\) est polynomiale, elle est continue sur \(\mathbb R\). Il faut vérifier si le point où le minimum est atteint appartient à \(I\), puis tenir compte du comportement de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1

On met le trinôme sous forme canonique :

\[ f(x) = \left(x-\frac32\right)^2-\frac54. \]

Pour tout réel \(x\) :

\[ \left(x-\frac32\right)^2\geq0, \]

donc :

\[ f(x)\geq-\frac54. \]

Le minimum \(-\frac54\) est atteint en \(x=\frac32\), qui appartient à \(I\). De plus, \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\).

Bien que \(0\notin I\), la valeur \(1\) appartient quand même à l’image, car \(f(3)=1\) et \(3\in I\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[-\frac54,+\infty\right[ } \]
Le crochet est fermé en \(-\frac54\) parce que ce minimum est réellement atteint dans \(I\). À droite, l’image n’est pas majorée.
Énoncé — Question 2).

Déterminer l’image de \(J=]0,1[\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

Méthode.

Sur l’intervalle ouvert \(J=]0,1[\), on détermine d’abord le sens de variation à l’aide du signe de \(f'\). Les limites aux deux extrémités donnent ensuite les bornes de l’image. Comme \(0\) et \(1\) ne sont pas inclus dans \(J\), il faut tenir compte de ce caractère ouvert dans la conclusion.

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On calcule la dérivée :

\[ f'(x)=2x-3. \]

Pour \(x\in]0,1[\), on a \(2x-3<0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(J\).

Aux bornes de \(J\) :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=-1. \]

Comme les deux bornes \(0\) et \(1\) ne sont pas incluses dans \(J\), les valeurs \(1\) et \(-1\) ne sont pas atteintes sur cet intervalle.

\[ \boxed{f(J)=]-1,1[} \]
La décroissance inverse l’ordre des valeurs aux extrémités : lorsque \(x\) parcourt \(]0,1[\), \(f(x)\) parcourt l’intervalle ouvert \(]-1,1[\).
Énoncé — Question 3).

Déterminer l’image de \(K=]-\infty,-1]\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

Méthode.

On procède de la même manière sur \(K\). Le signe de la dérivée donne le sens de variation ; la limite en \(-\infty\) et la valeur au point \(-1\), qui appartient cette fois à l’intervalle, déterminent les extrémités de l’image.

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

Pour \(x\leq-1\) :

\[ f'(x)=2x-3<0. \]

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(K\).

On a :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(-1)=1+3+1=5. \]

La borne \(-1\) appartient à \(K\), donc la valeur \(5\) est atteinte.

\[ \boxed{f(K)=[5,+\infty[} \]
Ici, \(5\) est la plus petite valeur prise sur \(K\) et elle est atteinte en \(-1\), ce qui explique le crochet fermé.

Exercice 36

Repère de cours — Raccordement et image d’un intervalle.

Une fonction définie par morceaux peut être continue sur chacun de ses morceaux tout en présentant une rupture au point où l’expression change. Ce point doit donc être contrôlé séparément. Pour déterminer ensuite l’image d’un intervalle qui traverse le raccordement, on peut partager l’intervalle suivant les différentes expressions de la fonction, puis réunir les images obtenues.

Énoncé — Question 1).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} 2x-3, & \text{si }x<2,\\ x^2-3, & \text{si }x\geq2. \end{cases} \]

Justifier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Méthode.

Les deux expressions sont polynomiales, donc continues sur les intervalles où elles sont utilisées. Le seul point où la formule change est \(2\). Il suffit donc de comparer la limite à gauche, la limite à droite et la valeur \(f(2)\).

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La fonction affine \(x\mapsto2x-3\) est continue sur \(]-\infty,2[\).

La fonction polynomiale \(x\mapsto x^2-3\) est continue sur \([2,+\infty[\).

Il reste à vérifier le raccordement en \(2\).

\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = 2\times2-3 = 1. \]

Comme \(2\) appartient au second morceau :

\[ f(2)=2^2-3=1. \]

De plus :

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 1 } \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).
Les deux morceaux se raccordent sans rupture en \(2\). Comme chacun est continu sur son intervalle, cela permet de conclure à la continuité de \(f\) sur tout \(\mathbb R\).
Énoncé — Question 2.a).

Déterminer \(f([-2,4])\).

Méthode.

L’intervalle \([-2,4]\) traverse le point de raccordement \(2\). On le partage donc en deux parties correspondant aux deux expressions de \(f\), puis on détermine l’image de chacune à partir du sens de variation.

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On partage l’intervalle au point de raccordement \(2\).

Sur \([-2,2[\), on a \(f(x)=2x-3\), fonction strictement croissante. Ainsi :

\[ f([-2,2[)=[-7,1[. \]

Sur \([2,4]\), on a \(f(x)=x^2-3\). Comme \(x\geq2\), cette fonction est strictement croissante. Donc :

\[ f([2,4])=[1,13]. \]

En réunissant les deux images :

\[ \boxed{f([-2,4])=[-7,13]} \]
La valeur \(1\), absente de l’image du premier morceau, est prise par le second morceau en \(x=2\). Les deux images se rejoignent donc sans laisser de valeur manquante.
Énoncé — Question 2.b).

Déterminer \(f(]-\infty,1])\).

Méthode.

Sur \(]-\infty,1]\), on a toujours \(x<2\). Une seule expression de \(f\) intervient donc. Il n’est pas nécessaire de partager l’intervalle : l’image se détermine directement à partir de la croissance de la fonction affine et de son comportement aux extrémités.

Afficher la correction de la question 2.b Masquer la correction de la question 2.b

Pour tout \(x\leq1\), on a \(x<2\). On utilise donc uniquement l’expression :

\[ f(x)=2x-3. \]

Cette fonction est strictement croissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}(2x-3)=-\infty, \qquad f(1)=-1. \]
\[ \boxed{ f(]-\infty,1])=]-\infty,-1] } \]
La valeur \(-1\) est atteinte puisque \(1\) appartient à l’intervalle de départ ; elle constitue donc une borne fermée de l’image.

Exercice 37

Repère de cours — Fonction continue et strictement monotone.

Le cours établit qu’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur son image \(f(I)\). Ainsi, une fois \(f(I)\) déterminé, toute valeur appartenant à cet ensemble possède un unique antécédent dans \(I\). C’est précisément le lien qui sera utilisé dans la dernière question.

Énoncé — Question 1).

Soit la fonction :

\[ f(x)=\frac{x^3}{x+1}. \]

Montrer que \(f\) est strictement croissante sur :

\[ I=\left[-\frac32,-1\right[. \]
Méthode.

Pour étudier les variations à l’aide de la dérivée, on vérifie d’abord que \(f\) est dérivable sur l’intervalle considéré. Le dénominateur ne s’y annule pas puisque \(-1\) est exclu. Le signe de \(f'(x)\) permettra alors de conclure.

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La fonction \(f\) est dérivable sur \(I=\left[-\frac32,-1\right[\), car \(x+1\neq0\) pour tout \(x\in I\).

On calcule :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}\\[3pt] &= \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}. \end{aligned} \]

Pour tout \(x\in\left]-\frac32,-1\right[\), on a :

\[ x^2>0,\qquad 2x+3>0,\qquad (x+1)^2>0. \]

Donc :

\[ f'(x)>0 \quad\text{sur}\quad \left]-\frac32,-1\right[. \]

La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur l’intervalle \(I=\left[-\frac32,-1\right[\).

\[ \boxed{ f\text{ est strictement croissante sur } I=\left[-\frac32,-1\right[ } \]
Cette stricte croissance sera essentielle pour l’unicité : deux réels distincts de \(I\) ne peuvent pas avoir la même image par \(f\).
Énoncé — Question 2).

Déterminer l’image de \(I=\left[-\frac32,-1\right[\) par \(f\).

Méthode.

La fonction rationnelle est continue sur \(I\), car son dénominateur n’y est jamais nul. Comme la question précédente a établi qu’elle est strictement croissante, son image est déterminée par la valeur à la borne gauche et par la limite à la borne droite.

Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2

La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\).

À la borne gauche :

\[ f\left(-\frac32\right) = \frac{\left(-\frac32\right)^3} {-\frac32+1} = \frac{-\frac{27}{8}}{-\frac12} = \frac{27}{4}. \]

À la borne droite :

\[ \lim_{x\to-1^-}\frac{x^3}{x+1}=+\infty, \]

car \(x^3\to-1\) et \(x+1\to0^-\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[ } \]
La borne \(\frac{27}{4}\) appartient à l’image parce que \(-\frac32\in I\). À droite, \(-1\notin I\) et la fonction tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\to-1^-\).
Énoncé — Question 3).

En déduire que l’équation :

\[ f(x)=10 \]

admet une unique solution dans l’intervalle \(I\).

Méthode.

Il faut distinguer existence et unicité. L’appartenance \(10\in f(I)\) donne l’existence d’un antécédent dans \(I\). La stricte monotonie obtenue à la question 1 garantit ensuite que cet antécédent ne peut être qu’unique.

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

D’après la question précédente :

\[ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Or :

\[ 10\in\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Il existe donc au moins un réel \(x\in I\) tel que \(f(x)=10\).

De plus, \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Elle ne peut donc prendre la valeur \(10\) qu’une seule fois.

\[ \boxed{ \text{L’équation }f(x)=10 \text{ admet une unique solution dans }I. } \]
On retrouve exactement la propriété du cours : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.

À retenir — Limite et continuité

Continuité d’une fonction définie par morceaux.

Chaque expression est étudiée sur son intervalle. Aux points de raccordement, il faut comparer les limites latérales nécessaires avec la valeur de la fonction.

Image d’un intervalle.

Pour déterminer \(f(I)\), on étudie la continuité et le sens de variation de \(f\) sur \(I\), puis les valeurs ou les limites aux bornes. Une borne appartient à l’image seulement lorsque la valeur correspondante est effectivement atteinte.

Fonction continue et strictement monotone.

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors elle réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\). Chaque valeur de \(f(I)\) possède donc un unique antécédent dans \(I\).

Existence et unicité.

Pour montrer que l’équation \(f(x)=m\) possède une unique solution dans \(I\), on peut déterminer \(f(I)\), vérifier que \(m\in f(I)\), puis utiliser la stricte monotonie de \(f\) sur \(I\).

Dans ces exercices, la continuité ne se résume donc pas au calcul d’une limite. Elle permet de contrôler un raccordement et de déterminer l’image d’un intervalle ; associée à la stricte monotonie, elle conduit également à des résultats d’existence et d’unicité.

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
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