Correction des exercices 34 à 37 — Continuité sur un intervalle et image d’un intervalle — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 34 à 37 — Continuité et image d’un intervalle

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — version vérifiée

Vérification effectuée :
les dix questions ont été comparées aux énoncés originaux. Les raccordements, les images d’intervalles, les variations et les conclusions ont été contrôlés mathématiquement.

Menu des exercices

Exercice 34Exercice 35Exercice 36Exercice 37

Exercice 34

Menu des questions — Exercice 34

Question 1

Question

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ g(x)= \begin{cases} \alpha^2x+3, & \text{si }x\leq1,\\[6pt] \displaystyle\frac{8-\beta^2x}{2x-1}, & \text{si }1<x<3,\\[10pt] \displaystyle\frac25x^2-\frac{\beta^2}{5}x+\alpha\beta, & \text{si }x\geq3. \end{cases} \]

Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) sachant que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb R\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il suffit donc d’étudier les raccordements en \(1\) et en \(3\).

Continuité en \(1\)

Comme \(1\) appartient au premier morceau :

\[ g(1)=\alpha^2+3. \]

La limite à droite vaut :

\[ \lim_{x\to1^+}g(x) = \frac{8-\beta^2}{2-1} = 8-\beta^2. \]

La continuité en \(1\) impose :

\[ \alpha^2+3=8-\beta^2, \]

\[ \alpha^2+\beta^2=5. \tag{1} \]

Continuité en \(3\)

La limite à gauche vaut :

\[ \lim_{x\to3^-}g(x) = \frac{8-3\beta^2}{6-1} = \frac{8-3\beta^2}{5}. \]

Comme \(3\) appartient au troisième morceau :

\[ \begin{aligned} g(3) &= \frac25\times9-\frac{\beta^2}{5}\times3+\alpha\beta\\[3pt] &= \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \end{aligned} \]

La continuité en \(3\) impose :

\[ \frac{8-3\beta^2}{5} = \frac{18-3\beta^2}{5}+\alpha\beta. \]

Donc :

\[ \alpha\beta=-2. \tag{2} \]

À partir de (1) et (2) :

\[ (\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = 5-4 = 1. \]

Ainsi :

\[ \alpha+\beta=1 \quad\text{ou}\quad \alpha+\beta=-1. \]

Avec \(\alpha\beta=-2\), on obtient les couples suivants :

\[ \boxed{ (\alpha,\beta)\in \{(2,-1),\,(-1,2),\,(1,-2),\,(-2,1)\} } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 34

↩ Questions de l’exercice 34☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 35

Menu des questions — Exercice 35

Question 1Question 2Question 3

Question 1 — Image de \(I=]0,+\infty[\)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^2-3x+1. \]

Déterminer l’image de l’intervalle \(I=]0,+\infty[\) par \(f\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On met le trinôme sous forme canonique :

\[ f(x) = \left(x-\frac32\right)^2-\frac54. \]

Pour tout réel \(x\) :

\[ \left(x-\frac32\right)^2\geq0, \]

donc :

\[ f(x)\geq-\frac54. \]

Le minimum \(-\frac54\) est atteint en \(x=\frac32\), qui appartient à \(I\). De plus, \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\).

Bien que \(0\notin I\), la valeur \(1\) appartient quand même à l’image, car \(f(3)=1\) et \(3\in I\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[-\frac54,+\infty\right[ } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 35

Question 2 — Image de \(J=]0,1[\)

Déterminer l’image de \(J=]0,1[\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On calcule la dérivée :

\[ f'(x)=2x-3. \]

Pour \(x\in]0,1[\), on a \(2x-3<0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(J\).

Aux bornes de \(J\) :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=-1. \]

Comme les deux bornes \(0\) et \(1\) ne sont pas incluses dans \(J\), les valeurs \(1\) et \(-1\) ne sont pas atteintes sur cet intervalle.

\[ \boxed{f(J)=]-1,1[} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 35

Question 3 — Image de \(K=]-\infty,-1]\)

Déterminer l’image de \(K=]-\infty,-1]\) par la fonction \(f(x)=x^2-3x+1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\leq-1\) :

\[ f'(x)=2x-3<0. \]

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(K\).

On a :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(-1)=1+3+1=5. \]

La borne \(-1\) appartient à \(K\), donc la valeur \(5\) est atteinte.

\[ \boxed{f(K)=[5,+\infty[} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 35

↩ Questions de l’exercice 35☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 36

Menu des questions — Exercice 36

Question 1Question 2Question 3

Question 1 — Continuité sur \(\mathbb R\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} 2x-3, & \text{si }x<2,\\ x^2-3, & \text{si }x\geq2. \end{cases} \]

Justifier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction affine \(x\mapsto2x-3\) est continue sur \(]-\infty,2[\).

La fonction polynomiale \(x\mapsto x^2-3\) est continue sur \([2,+\infty[\).

Il reste à vérifier le raccordement en \(2\).

\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = 2\times2-3 = 1. \]

Comme \(2\) appartient au second morceau :

\[ f(2)=2^2-3=1. \]

De plus :

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 1 } \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 36

Question 2.a — Image de \([-2,4]\)

Déterminer \(f([-2,4])\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On partage l’intervalle au point de raccordement \(2\).

Sur \([-2,2[\), on a \(f(x)=2x-3\), fonction strictement croissante. Ainsi :

\[ f([-2,2[)=[-7,1[. \]

Sur \([2,4]\), on a \(f(x)=x^2-3\). Comme \(x\geq2\), cette fonction est strictement croissante. Donc :

\[ f([2,4])=[1,13]. \]

En réunissant les deux images :

\[ \boxed{f([-2,4])=[-7,13]} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 36

Question 2.b — Image de \(]-\infty,1]\)

Déterminer \(f(]-\infty,1])\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\leq1\), on a \(x<2\). On utilise donc uniquement l’expression :

\[ f(x)=2x-3. \]

Cette fonction est strictement croissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}(2x-3)=-\infty, \qquad f(1)=-1. \]

\[ \boxed{ f(]-\infty,1])=]-\infty,-1] } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 36

↩ Questions de l’exercice 36☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 37

Menu des questions — Exercice 37

Question 1Question 2Question 3

Question 1 — Monotonie sur \(I\)

Soit la fonction :

\[ f(x)=\frac{x^3}{x+1}. \]

Montrer que \(f\) est strictement croissante sur :

\[ I=\left[-\frac32,-1\right[. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\), car \(x+1\neq0\) pour tout \(x\in I\).

On calcule :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}\\[3pt] &= \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}. \end{aligned} \]

Pour tout \(x\in\left]-\frac32,-1\right[\) :

\[ x^2>0,\qquad 2x+3>0,\qquad (x+1)^2>0. \]

Donc :

\[ f'(x)>0 \quad\text{sur}\quad \left]-\frac32,-1\right[. \]

Comme \(f'(c)\gt0\) et \(y-x\gt0\), on a \(f(y)\gt f(x)\). Ainsi \(f\) est bien strictement croissante sur tout l’intervalle \(I\).

\[ f(y)-f(x)=f'(c)(y-x). \]

Plus précisément, pour tous \(x,y\in I\) tels que \(x\lt y\), le théorème des accroissements finis appliqué sur \([x,y]\) donne un réel \(c\in]x,y[\subset]-\frac32,-1[\) tel que :

\[ \boxed{ f\text{ est strictement croissante sur } I=\left[-\frac32,-1\right[ } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 37

Question 2 — Image de \(I\)

Déterminer l’image de \(I=\left[-\frac32,-1\right[\) par \(f\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\).

À la borne gauche :

\[ f\left(-\frac32\right) = \frac{\left(-\frac32\right)^3} {-\frac32+1} = \frac{-\frac{27}{8}}{-\frac12} = \frac{27}{4}. \]

À la borne droite :

\[ \lim_{x\to-1^-}\frac{x^3}{x+1}=+\infty, \]

car \(x^3\to-1\) et \(x+1\to0^-\).

\[ \boxed{ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[ } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 37

Question 3 — Équation \(f(x)=10\)

En déduire que l’équation :

\[ f(x)=10 \]

admet une unique solution dans l’intervalle \(I\).

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente :

\[ f(I)=\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Or :

\[ 10\in\left[\frac{27}{4},+\infty\right[. \]

Il existe donc au moins un réel \(x\in I\) tel que \(f(x)=10\).

De plus, \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Elle ne peut donc prendre la valeur \(10\) qu’une seule fois.

\[ \boxed{ \text{L’équation }f(x)=10 \text{ admet une unique solution dans }I. } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 37

↩ Questions de l’exercice 37☰ Menu des exercices← Page Continuité

Bilan du bloc :
les exercices 34 à 37 sont mathématiquement corrects après comparaison avec les pages originales. Aucun résultat majeur n’a dû être remplacé. Deux justifications ont été renforcées : la valeur \(1\) appartient bien à \(f(]0,+\infty[)\) dans l’exercice 35, et la stricte croissance de la fonction de l’exercice 37 est justifiée sur tout l’intervalle par le théorème des accroissements finis.

Retour à la page Continuité Retour à Al Moufid