Correction des exercices 38 à 40 — Théorème des valeurs intermédiaires — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 38 à 40 — Théorème des valeurs intermédiaires

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 38 Exercice 39 Exercice 40

Exercice 38

Énoncé

1)

\[ x^3-2x^2-1=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=[2,3]. \]

2)

\[ x^4-2x-\sqrt{x}+1=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=]0,1[. \]

3)

\[ x^4+x^2+4x=1 \] admet au moins une solution dans \[ I=[0,1]. \]

4)

\[ x-2\sin x=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=\left]\frac{\pi}{3},\pi\right[. \]

5)

\[ \sqrt{1+\frac1x}=x \] admet au moins une solution dans \[ I=\left[\frac54,\frac32\right]. \]

6)

\[ 6\cos x=x \] admet au moins une solution dans \[ I=[0,\pi]. \]

Rappel utile — Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \(F\) une fonction continue sur un segment \([a,b]\). Si \(F(a)\) et \(F(b)\) sont de signes contraires, alors il existe au moins un réel \(c\in]a,b[\) tel que \(F(c)=0\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons :

\[ F(x)=x^3-2x^2-1. \]

La fonction \(F\) est polynomiale, donc continue sur \([2,3]\).

\[ F(2)=8-8-1=-1\lt0, \] \[ F(3)=27-18-1=8\gt0. \]

Comme \(F(2)F(3)\lt0\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’un réel \(\alpha\in]2,3[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]2,3[} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons :

\[ F(x)=x^4-2x-\sqrt{x}+1. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).

\[ F(0)=1\gt0, \] \[ F(1)=1-2-1+1=-1\lt0. \]

D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]0,1[} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons :

\[ F(x)=x^4+x^2+4x-1. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\), et :

\[ F(0)=-1\lt0, \qquad F(1)=1+1+4-1=5\gt0. \]

Le TVI donne un réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]0,1[} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Posons :

\[ F(x)=x-2\sin x. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{3},\pi\right]\).

\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}-\sqrt3. \]

Or \(\pi\lt4\), donc \(\frac{\pi}{3}\lt\frac43\), et \(\frac43\lt\sqrt3\), car \(\frac{16}{9}\lt3\). Ainsi :

\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right)\lt0. \] \[ F(\pi)=\pi\gt0. \]

Le TVI donne donc une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{3},\pi\right[\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } \left]\frac{\pi}{3},\pi\right[} \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Posons :

\[ F(x)=\sqrt{1+\frac1x}-x. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac54,\frac32\right]\).

À gauche :

\[ F\left(\frac54\right) = \sqrt{\frac95}-\frac54. \]

Les deux termes sont positifs et :

\[ \frac95\gt\frac{25}{16} \quad\text{car}\quad 144\gt125. \]

Donc :

\[ F\left(\frac54\right)\gt0. \]

À droite :

\[ F\left(\frac32\right) = \sqrt{\frac53}-\frac32. \]

Or :

\[ \frac53\lt\frac94 \quad\text{car}\quad 20\lt27. \]

Donc :

\[ F\left(\frac32\right)\lt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in\left]\frac54,\frac32\right[\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } \left]\frac54,\frac32\right[} \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons :

\[ F(x)=6\cos x-x. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,\pi]\).

\[ F(0)=6\gt0, \] \[ F(\pi)=-6-\pi\lt0. \]

D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]0,\pi[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]0,\pi[} \]

Exercice 39

Énoncé

1)

\[ 2x^3+3x-3=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=[0,1]. \]

2)

\[ \sin x=2-x \] admet au moins une solution dans \[ I=\left]0,\frac{\pi}{2}\right[. \]

3)

\[ \tan x+4x=5 \] admet au moins une solution dans \[ I=\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]. \]

4)

\[ x^3+E\left(\frac{x}{3}\right)=x+1 \] admet au moins une solution dans \[ I=[1,2]. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons :

\[ F(x)=2x^3+3x-3. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).

\[ F(0)=-3\lt0, \qquad F(1)=2\gt0. \]

Le TVI donne un réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]0,1[} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons :

\[ F(x)=\sin x+x-2. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).

\[ F(0)=-2\lt0, \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1+\frac{\pi}{2}-2 = \frac{\pi}{2}-1\gt0, \]

car \(\pi\gt2\). D’après le TVI, il existe \(\alpha\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } \left]0,\frac{\pi}{2}\right[} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons :

\[ F(x)=\tan x+4x-5. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]\).

\[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1+\pi-5 = \pi-4\lt0. \]

À l’autre borne :

\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt3+\frac{4\pi}{3}-5. \]

Comme \(\pi\gt3\), on a \(\frac{4\pi}{3}\gt4\), et comme \(\sqrt3\gt1\), on obtient :

\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right)\gt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right[\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } \left]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right[} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Pour \(x\in[1,2]\), on a :

\[ \frac13\le\frac{x}{3}\le\frac23. \]

Donc :

\[ E\left(\frac{x}{3}\right)=0. \]

L’équation devient alors :

\[ x^3=x+1. \]

Posons :

\[ F(x)=x^3-x-1. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([1,2]\), et :

\[ F(1)=-1\lt0, \qquad F(2)=8-2-1=5\gt0. \]

D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]1,2[\) tel que \(F(\alpha)=0\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution dans } ]1,2[} \]

Exercice 40

Énoncé

1)

\[ x^3-3x^2+15x-7=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R. \]

2)

\[ 1+\sin x-x^2=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R. \]

3)

\[ x^{17}=x^{11}+1 \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R^+. \]

4)

\[ \sqrt{x^3+5x+4}=100 \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R^+. \]

5)

\[ \cos x=\frac{2}{(x+1)^2} \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R. \]

6)

\[ x^2\cos x+x\sin x+1=0 \] admet au moins une solution dans \[ I=\mathbb R^+. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons :

\[ F(x)=x^3-3x^2+15x-7. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).

\[ F(0)=-7\lt0, \] \[ F(1)=1-3+15-7=6\gt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,1[\subset\mathbb R\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution réelle}} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons :

\[ F(x)=1+\sin x-x^2. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,2]\).

\[ F(0)=1\gt0. \]

Comme \(\sin2\le1\), on a :

\[ F(2)=1+\sin2-4\le-2\lt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,2[\subset\mathbb R\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution réelle}} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons :

\[ F(x)=x^{17}-x^{11}-1. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([1,2]\subset\mathbb R^+\).

\[ F(1)=1-1-1=-1\lt0, \] \[ F(2)=2^{17}-2^{11}-1 = 2^{11}(2^6-1)-1\gt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in]1,2[\subset\mathbb R^+\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution positive}} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Posons :

\[ F(x)=\sqrt{x^3+5x+4}-100. \]

Sur \([21,22]\), le radicand est strictement positif, donc \(F\) est continue.

\[ 21^3+5\cdot21+4=9370\lt10000, \]

d’où :

\[ F(21)=\sqrt{9370}-100\lt0. \] \[ 22^3+5\cdot22+4=10762\gt10000, \]

d’où :

\[ F(22)=\sqrt{10762}-100\gt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in]21,22[\subset\mathbb R^+\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution positive}} \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Sur \([0,1]\), posons :

\[ F(x)=\cos x-\frac{2}{(x+1)^2}. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).

\[ F(0)=1-2=-1\lt0. \]

Comme \(1\lt\frac{\pi}{3}\) et que \(\cos\) est strictement décroissante sur \([0,\pi]\), on a :

\[ \cos1\gt\cos\frac{\pi}{3}=\frac12. \]

Donc :

\[ F(1)=\cos1-\frac12\gt0. \]

Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,1[\subset\mathbb R\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution réelle}} \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons :

\[ F(x)=x^2\cos x+x\sin x+1. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\subset\mathbb R^+\).

\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}+1\gt0, \] \[ F(\pi) = -\pi^2+1 \lt0. \]

D’après le TVI, il existe une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\subset\mathbb R^+\).

\[ \boxed{\text{L’équation admet au moins une solution positive}} \]

Résultats essentiels

Ramener l’équation à \(F(x)=0\)

Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, on écrit l’équation sous la forme \(F(x)=0\), puis on choisit un segment inclus dans l’intervalle demandé.

Conditions d’application

Il faut vérifier que \(F\) est continue sur \([a,b]\) et que \(F(a)F(b)<0\). On conclut alors à l’existence d’au moins une solution dans \(]a,b[\).

Intervalle ouvert demandé

Même lorsque l’intervalle demandé est ouvert, on peut appliquer le théorème sur le segment fermé formé par ses bornes. Le changement strict de signe garantit que la solution se trouve à l’intérieur.

Existence et unicité

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit seulement l’existence. Pour obtenir l’unicité, il faut ajouter un argument de stricte monotonie.