Correction détaillée des exercices 38 à 40
Théorème des valeurs intermédiaires — Existence de solutions — Manuel Al Moufid
Les seize équations ont été comparées aux énoncés originaux. Pour chacune, on choisit un segment inclus dans l’intervalle demandé, puis on vérifie la continuité et le changement de signe.
si une fonction \(F\) est continue sur \([a,b]\) et si \(F(a)F(b)\lt0\), alors il existe au moins un réel \(c\in]a,b[\) tel que \(F(c)=0\).
Exercice 38
Montrer que chaque équation admet au moins une solution dans l’intervalle indiqué.
ramener l’équation à \(F(x)=0\), vérifier que \(F\) est continue sur le segment choisi et calculer exactement le signe de \(F\) aux bornes.
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Posons :
\[ F(x)=x^3-2x^2-1. \]La fonction \(F\) est polynomiale, donc continue sur \([2,3]\).
\[ F(2)=8-8-1=-1\lt0, \] \[ F(3)=27-18-1=8\gt0. \]Comme \(F(2)F(3)\lt0\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’un réel \(\alpha\in]2,3[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
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Posons :
\[ F(x)=x^4-2x-\sqrt{x}+1. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).
\[ F(0)=1\gt0, \] \[ F(1)=1-2-1+1=-1\lt0. \]D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
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Posons :
\[ F(x)=x^4+x^2+4x-1. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\), et :
\[ F(0)=-1\lt0, \qquad F(1)=1+1+4-1=5\gt0. \]Le TVI donne un réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
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Posons :
\[ F(x)=x-2\sin x. \]La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{3},\pi\right]\).
\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}-\sqrt3. \]Or \(\pi\lt4\), donc \(\frac{\pi}{3}\lt\frac43\), et \(\frac43\lt\sqrt3\), car \(\frac{16}{9}\lt3\). Ainsi :
\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right)\lt0. \] \[ F(\pi)=\pi\gt0. \]Le TVI donne donc une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{3},\pi\right[\).
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Posons :
\[ F(x)=\sqrt{1+\frac1x}-x. \]La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac54,\frac32\right]\).
À gauche :
\[ F\left(\frac54\right) = \sqrt{\frac95}-\frac54. \]Les deux termes sont positifs et :
\[ \frac95\gt\frac{25}{16} \quad\text{car}\quad 144\gt125. \]Donc :
\[ F\left(\frac54\right)\gt0. \]À droite :
\[ F\left(\frac32\right) = \sqrt{\frac53}-\frac32. \]Or :
\[ \frac53\lt\frac94 \quad\text{car}\quad 20\lt27. \]Donc :
\[ F\left(\frac32\right)\lt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in\left]\frac54,\frac32\right[\).
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Posons :
\[ F(x)=6\cos x-x. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,\pi]\).
\[ F(0)=6\gt0, \] \[ F(\pi)=-6-\pi\lt0. \]D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]0,\pi[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
Exercice 39
Existence de solutions dans des intervalles imposés.
appliquer le TVI après avoir vérifié le domaine ; pour la question 4, commencer par déterminer la valeur de la partie entière sur l’intervalle \([1,2]\).
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Posons :
\[ F(x)=2x^3+3x-3. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).
\[ F(0)=-3\lt0, \qquad F(1)=2\gt0. \]Le TVI donne un réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
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Posons :
\[ F(x)=\sin x+x-2. \]La fonction \(F\) est continue sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).
\[ F(0)=-2\lt0, \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1+\frac{\pi}{2}-2 = \frac{\pi}{2}-1\gt0, \]car \(\pi\gt2\). D’après le TVI, il existe \(\alpha\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
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Posons :
\[ F(x)=\tan x+4x-5. \]La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]\).
\[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1+\pi-5 = \pi-4\lt0. \]À l’autre borne :
\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt3+\frac{4\pi}{3}-5. \]Comme \(\pi\gt3\), on a \(\frac{4\pi}{3}\gt4\), et comme \(\sqrt3\gt1\), on obtient :
\[ F\left(\frac{\pi}{3}\right)\gt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right[\).
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Pour \(x\in[1,2]\), on a :
\[ \frac13\le\frac{x}{3}\le\frac23. \]Donc :
\[ E\left(\frac{x}{3}\right)=0. \]L’équation devient alors :
\[ x^3=x+1. \]Posons :
\[ F(x)=x^3-x-1. \]La fonction \(F\) est continue sur \([1,2]\), et :
\[ F(1)=-1\lt0, \qquad F(2)=8-2-1=5\gt0. \]D’après le TVI, il existe \(\alpha\in]1,2[\) tel que \(F(\alpha)=0\).
Exercice 40
Existence d’au moins une solution dans un intervalle réel convenable.
l’intervalle indiqué est large. Il suffit donc de choisir, pour chaque équation, un segment simple inclus dans cet intervalle sur lequel la fonction associée change de signe.
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Posons :
\[ F(x)=x^3-3x^2+15x-7. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).
\[ F(0)=-7\lt0, \] \[ F(1)=1-3+15-7=6\gt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,1[\subset\mathbb R\).
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Posons :
\[ F(x)=1+\sin x-x^2. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,2]\).
\[ F(0)=1\gt0. \]Comme \(\sin2\le1\), on a :
\[ F(2)=1+\sin2-4\le-2\lt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,2[\subset\mathbb R\).
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Posons :
\[ F(x)=x^{17}-x^{11}-1. \]La fonction \(F\) est continue sur \([1,2]\subset\mathbb R^+\).
\[ F(1)=1-1-1=-1\lt0, \] \[ F(2)=2^{17}-2^{11}-1 = 2^{11}(2^6-1)-1\gt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in]1,2[\subset\mathbb R^+\).
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Posons :
\[ F(x)=\sqrt{x^3+5x+4}-100. \]Sur \([21,22]\), le radicand est strictement positif, donc \(F\) est continue.
\[ 21^3+5\cdot21+4=9370\lt10000, \]d’où :
\[ F(21)=\sqrt{9370}-100\lt0. \] \[ 22^3+5\cdot22+4=10762\gt10000, \]d’où :
\[ F(22)=\sqrt{10762}-100\gt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in]21,22[\subset\mathbb R^+\).
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Sur \([0,1]\), posons :
\[ F(x)=\cos x-\frac{2}{(x+1)^2}. \]La fonction \(F\) est continue sur \([0,1]\).
\[ F(0)=1-2=-1\lt0. \]Comme \(1\lt\frac{\pi}{3}\) et que \(\cos\) est strictement décroissante sur \([0,\pi]\), on a :
\[ \cos1\gt\cos\frac{\pi}{3}=\frac12. \]Donc :
\[ F(1)=\cos1-\frac12\gt0. \]Le TVI donne une solution \(\alpha\in]0,1[\subset\mathbb R\).
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Posons :
\[ F(x)=x^2\cos x+x\sin x+1. \]La fonction \(F\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\subset\mathbb R^+\).
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}+1\gt0, \] \[ F(\pi) = -\pi^2+1 \lt0. \]D’après le TVI, il existe une solution \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\subset\mathbb R^+\).
Les seize équations des exercices 38 à 40 sont désormais reproduites et corrigées conformément aux pages originales. L’ancienne version associait par erreur à l’exercice 40 le contenu d’un autre exercice ; les six véritables questions de l’exercice 40 ont été entièrement rétablies.
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