Correction détaillée des exercices 47 à 50
Racines n-ièmes, équations, inéquations et limites — Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Chaque énoncé est reproduit intégralement avant sa correction. Les solutions utilisent uniquement les méthodes du programme : changements de variable, monotonie des puissances, factorisation, identités algébriques et limites usuelles.
Exercice 47
Résolution d’équations utilisant des racines et des puissances.
Lire la correction +Masquer la correction −
\(x^8=25\), donc \((x^4)^2=25\). Comme \(x^4\ge0\), on obtient \(x^4=5\).
Lire la correction +Masquer la correction −
\(x^3=-8=(-2)^3\). La fonction \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Lire la correction +Masquer la correction −
\(\sqrt3=3^{1/2}\), donc \(x=3^{1/14}=\sqrt[14]{3}\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On élève les deux membres au cube :
\[x=\left(\sqrt[6]{7}\right)^3=\sqrt7.\]Lire la correction +Masquer la correction −
\(x^4=2^4\), donc \(|x|=2\).
Lire la correction +Masquer la correction −
\(32=2^5\). Comme la puissance cinquième est strictement croissante :
\[3x-4=2,\qquad 3x=6,\qquad x=2.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).
\[t^2-5t+4=0\iff(t-1)(t-4)=0.\]Ainsi \(t=1\) ou \(t=4\), donc \(x=t^3\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et :
\[9t^3-7t-2=0.\] \[9t^3-7t-2=(t-1)(9t^2+9t+2)=(t-1)(3t+1)(3t+2).\]Donc \(t\in\left\{1,-\frac13,-\frac23\right\}\), puis \(x=t^3\).
Exercice 48
Équations contenant des racines carrées, cubiques, quatrièmes et sixièmes.
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(X=x^2\ge0\). Alors :
\[X^2-5X-24=0\iff(X-8)(X+3)=0.\]La seule valeur admissible est \(X=8\), donc \(x^2=8\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(X=x^3\). Alors :
\[X^2+3X-4=0\iff(X-1)(X+4)=0.\]Donc \(x^3=1\) ou \(x^3=-4\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(A=\sqrt{3x^2+5x+8}\) et \(B=\sqrt{3x^2+5x+1}\). L’équation donne \(A-B=1\).
Or \(A^2-B^2=7\), donc :
\[(A-B)(A+B)=7\implies A+B=7.\]Ainsi \(A=4\) et \(B=3\). On résout alors :
\[3x^2+5x+1=9\iff3x^2+5x-8=0.\] \[(3x+8)(x-1)=0.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine impose \(|x|\ge2\). Le membre de gauche est positif, donc une solution éventuelle doit vérifier \(x\ge2\).
Pour \(x\ge2\) :
\[4(x^2-1)-x^2=3x^2-4\gt0,\]donc \(2\sqrt{x^2-1}\gt x\). Le membre de gauche est alors strictement supérieur à \(x\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \(]-3,2[\). Posons :
\[t=\sqrt[4]{\frac{2-x}{3+x}}\gt0.\]La seconde racine vaut \(\frac1t\). L’équation devient :
\[t+\frac1t=2\iff(t-1)^2=0.\]Donc \(t=1\), puis :
\[\frac{2-x}{3+x}=1\iff2-x=3+x\iff x=-\frac12.\]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction cube est strictement croissante, donc :
\[\sqrt[3]{x}-1=\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}.\] \[\sqrt[3]{x}=1+3\sqrt[3]{2}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \([-1,1]\). Posons \(a=\sqrt[4]{1-x}\) et \(b=\sqrt[4]{1+x}\). Alors \(a,b\ge0\) et :
\[a^4+b^4=2,\qquad a+b=\sqrt[4]{2}.\]En élevant la seconde égalité à la puissance \(4\), on obtient \((a+b)^4=2=a^4+b^4\).
Les termes croisés étant positifs ou nuls, cette égalité impose \(ab=0\).
Ainsi \(a=0\) ou \(b=0\), donc \(x=1\) ou \(x=-1\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(a=\sqrt[3]{x+8}\) et \(b=\sqrt[3]{27-x}\). Alors :
\[a+b=5,\qquad a^3+b^3=35.\]Or :
\[a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).\] \[35=125-15ab\implies ab=6.\]Les nombres \(a\) et \(b\) sont donc les racines de \(T^2-5T+6=0\), soit \(2\) et \(3\).
Les deux ordres donnent \(x=0\) ou \(x=19\).
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Le domaine de la racine sixième est \([-8,8]\). Le membre de droite est positif ou nul. Comme la fonction racine cubique est croissante, le membre de gauche est positif ou nul seulement si \(x\ge0\). Ainsi \(x\in[0,8]\).
Posons :
\[a=\sqrt[3]{x+8},\qquad b=\sqrt[3]{8-x}.\]Alors \(a,b\ge0\) et :
\[\sqrt[6]{64-x^2}=\sqrt[6]{(x+8)(8-x)}=\sqrt{ab}.\]L’équation devient \(a-b=\sqrt{ab}\). Le cas \(b=0\) ne convient pas, donc on pose \(t=\sqrt{\frac ab}\gt0\). Après division par \(b\) :
\[t^2-1=t\iff t^2-t-1=0.\] \[t=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]Donc :
\[\frac ab=t^2,\qquad \frac{x+8}{8-x}=t^6=9+4\sqrt5.\]La résolution donne :
\[x=\frac{16\sqrt5}{5}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Les deux racines carrées imposent :
\[ x\ge0 \qquad\text{et}\qquad 3-\sqrt{x}\ge0. \]Ainsi :
\[ 0\le x\le9. \]Les deux membres sont positifs ou nuls. En élevant l’équation au carré :
\[ \left(\sqrt{3+\sqrt{x}}+\sqrt{3-\sqrt{x}}\right)^2 = \left(\sqrt[4]{2x}\right)^2. \]On obtient :
\[ 6+2\sqrt{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})} = \sqrt{2x}, \] c’est-à-dire : \[ 6+2\sqrt{9-x}=\sqrt{2x}. \]Or, pour \(x\in[0,9]\) :
\[ 6+2\sqrt{9-x}\ge6, \] tandis que : \[ \sqrt{2x}\le\sqrt{18}=3\sqrt2\lt6. \]L’égalité est donc impossible.
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Posons \(t=\sqrt[3]{x}\), donc \(x=t^3\). L’équation devient :
\[5t^3-4t-1=0.\] \[5t^3-4t-1=(t-1)(5t^2+5t+1).\]Ainsi :
\[t=1\quad\text{ou}\quad t=\frac{-5\pm\sqrt5}{10}.\]En calculant \(x=t^3\), on obtient :
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine impose \(x\ge0\). Posons \(t=\sqrt[6]{x}\ge0\). Alors :
\[\sqrt{x}=t^3,\qquad \sqrt[3]{x}=t^2.\] \[t^3+t^2-12=0.\] \[t^3+t^2-12=(t-2)(t^2+3t+6).\]Le second facteur est strictement positif. Donc \(t=2\), puis \(x=t^6=64\).
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On doit avoir \(x\ne0\). Posons :
\[a=\sqrt[3]{x+3},\qquad b=\sqrt[3]{x}.\]Comme :
\[\sqrt[3]{\frac3{x^3}+\frac1{x^2}} =\sqrt[3]{\frac{x+3}{x^3}}=\frac ax,\]l’équation devient :
\[\frac a3+\frac ax=\frac b2.\]En multipliant par \(6x\), puis en utilisant \(x+3=a^3\) et \(x=b^3\), on obtient :
\[2a(x+3)=3xb\iff2a^4=3b^4.\]Posons \(\lambda=\sqrt[4]{\frac32}\). Alors :
\[\frac ab=\lambda\quad\text{ou}\quad\frac ab=-\lambda.\]Après élévation au cube :
\[\frac{x+3}{x}=\lambda^3\quad\text{ou}\quad\frac{x+3}{x}=-\lambda^3.\]Exercice 49
Résolution d’inéquations avec racines carrées et cubiques.
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Le domaine est \(x\ge-2\). Comme le membre de gauche est positif ou nul, il faut \(x\gt0\).
On peut alors élever au carré :
\[x+2\lt x^2\iff(x-2)(x+1)\gt0.\]En tenant compte de \(x\gt0\), on obtient \(x\gt2\).
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Le domaine est \(\left[-\frac12,+\infty\right[\).
Pour \(x\le4\), on a \(\sqrt{2x+1}-3\le0\), donc l’inéquation est vraie.
Pour \(x\gt4\), les deux membres sont positifs et on peut élever au carré :
\[(\sqrt{2x+1}-3)^2\lt x+2.\] \[x+8\lt6\sqrt{2x+1}.\]Les deux membres sont positifs. Une seconde élévation au carré donne :
\[(x+8)^2\lt36(2x+1).\] \[x^2-56x+28\lt0.\]Les racines sont \(28-6\sqrt{21}\) et \(28+6\sqrt{21}\). En réunissant avec le premier cas :
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Posons \(t=2-x\), donc \(x=2-t\). L’inéquation devient :
\[t^3\le2-t\iff t^3+t-2\le0.\] \[t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2).\]Le facteur \(t^2+t+2\) est strictement positif, donc \(t\le1\).
\[2-x\le1\iff x\ge1.\]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb R\) :
\[\sqrt[3]{x^2+8}\lt x+2\iff x^2+8\lt(x+2)^3.\] \[0\lt x^3+5x^2+12x=x(x^2+5x+12).\]Le trinôme \(x^2+5x+12\) est strictement positif, car son discriminant vaut \(-23\).
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La fonction cube est strictement croissante, donc :
\[x^3-3x^2+x+1\ge(x-1)^3.\] \[x^3-3x^2+x+1\ge x^3-3x^2+3x-1.\] \[2\ge2x\iff x\le1.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine impose \(x\ne0\). Posons \(t=\sqrt[3]{x}\ne0\). Alors \(x=t^3\) et :
\[\sqrt[3]{x^4}=t^4,\qquad \frac{3x}{\sqrt[3]{x}}=3t^2.\]L’inéquation devient :
\[2t^4-3t^2-20\le0.\]Posons \(u=t^2\ge0\) :
\[2u^2-3u-20\le0\iff-\frac52\le u\le4.\]Donc \(0\lt t^2\le4\), soit \(-2\le t\lt0\) ou \(0\lt t\le2\).
Exercice 50
Calcul de limites sans développement limité et sans règle de l’Hôpital.
Lire la correction +Masquer la correction −
On utilise \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) :
\[\sqrt[3]{x+8}-2= \frac{x}{\left(\sqrt[3]{x+8}\right)^2+2\sqrt[3]{x+8}+4}.\]Après simplification par \(x\) :
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Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Lorsque \(x\to0^-\), on a \(t\to0^-\), \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).
\[\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x} =\frac{t^2-t^3}{t^3} =\frac1t-1.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\gt0\), on met \(x^{\frac13}\) en facteur au numérateur et \(x^{\frac23}\) au dénominateur :
\[ \sqrt[3]{x}-1 = x^{\frac13} \left(1-\frac1{x^{\frac13}}\right), \] \[ \sqrt[3]{x^2+1} = x^{\frac23} \sqrt[3]{1+\frac1{x^2}}. \]Ainsi :
\[ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2+1}} = \frac1{x^{\frac13}}\, \frac{1-\frac1{x^{\frac13}}} {\sqrt[3]{1+\frac1{x^2}}}. \]Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{x^{\frac13}}\to0\).
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Pour le numérateur :
\[x-\sqrt[3]{x+6} =\frac{x^3-x-6}{x^2+x\sqrt[3]{x+6}+\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2}.\] \[x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3).\]Pour le dénominateur :
\[3-\sqrt{2x+5} =\frac{4-2x}{3+\sqrt{2x+5}} =\frac{-2(x-2)}{3+\sqrt{2x+5}}.\]Après simplification par \(x-2\) et passage à la limite :
Lire la correction +Masquer la correction −
On utilise les identités de degré \(3\) et \(4\) :
\[\sqrt[3]{x+7}-2= \frac{x-1}{\left(\sqrt[3]{x+7}\right)^2+2\sqrt[3]{x+7}+4},\] \[\sqrt[4]{x}-1= \frac{x-1}{(\sqrt[4]{x})^3+(\sqrt[4]{x})^2+\sqrt[4]{x}+1}.\]Après simplification et passage à la limite :
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(a=\sqrt[3]{5-x}\) et \(b=\sqrt[3]{x+4}\). Alors :
\[a-1=\frac{4-x}{a^2+a+1},\qquad 2-b=\frac{4-x}{b^2+2b+4}.\]Après simplification :
\[\frac{a-1}{2-b}=\frac{b^2+2b+4}{a^2+a+1}.\]Lorsque \(x\to4\), \(a\to1\) et \(b\to2\).
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Posons \(a=\sqrt[3]{x^3+x}\). Alors :
\[a-x=\frac{x}{a^2+ax+x^2}.\]Comme \(a/x\to1\), le dénominateur est de l’ordre de \(3x^2\), tandis que le numérateur vaut \(x\).
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Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), tandis que \(x\to+\infty\).
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Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(x\to+\infty\).
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Posons \(a=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\). Alors :
\[a-x=\frac{x^2+1}{a^2+ax+x^2}.\]On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\). Comme \(a/x\to1\), on obtient :
Lire la correction +Masquer la correction −
Or :
\[\frac{\sqrt[3]{x^2-x}}x =\frac{\sqrt[3]{1-\frac1x}}{\sqrt[3]{x}}\longrightarrow0.\]Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\).
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Posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[\sqrt[3]{x^4+5}+2x =\sqrt[3]{t^4+5}-2t.\] \[=t\left(\sqrt[3]{t+\frac5{t^3}}-2\right).\]Le facteur entre parenthèses tend vers \(+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\).
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