Correction des exercices 47 à 50 — Racines n-ièmes et puissances rationnelles — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 47 à 50 — Racines n-ièmes, équations, inéquations et limites

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Menu des exercices

Exercice 47 Exercice 48 Exercice 49 Exercice 50

Exercice 47

Énoncé

1)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^8-25=0.\]

2)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^3+8=0.\]

3)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^7=\sqrt3.\]

4)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x}=\sqrt[6]{7}.\]

5)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^4=16.\]

6)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[(3x-4)^5=32.\]

7)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}+4=0.\]

8)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[9x-7\sqrt[3]{x}-2=0.\]

Rappel utile

Avant d’élever une égalité ou une inégalité à une puissance paire, il faut contrôler le domaine et le signe des deux membres. Les puissances impaires conservent l’ordre sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

\(x^8=25\), donc \((x^4)^2=25\). Comme \(x^4\ge0\), on obtient \(x^4=5\).

\[\boxed{S=\left\{-\sqrt[4]{5},\sqrt[4]{5}\right\}}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

\(x^3=-8=(-2)^3\). La fonction \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

\[\boxed{S=\{-2\}}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

\(\sqrt3=3^{1/2}\), donc \(x=3^{1/14}=\sqrt[14]{3}\).

\[\boxed{S=\left\{\sqrt[14]{3}\right\}}\]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On élève les deux membres au cube :

\[x=\left(\sqrt[6]{7}\right)^3=\sqrt7.\]

\[\boxed{S=\{\sqrt7\}}\]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

\(x^4=2^4\), donc \(|x|=2\).

\[\boxed{S=\{-2,2\}}\]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

\(32=2^5\). Comme la puissance cinquième est strictement croissante :

\[3x-4=2,\qquad 3x=6,\qquad x=2.\]

\[\boxed{S=\{2\}}\]

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).

\[t^2-5t+4=0\iff(t-1)(t-4)=0.\]

Ainsi \(t=1\) ou \(t=4\), donc \(x=t^3\).

\[\boxed{S=\{1,64\}}\]

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et :

\[9t^3-7t-2=0.\] \[9t^3-7t-2=(t-1)(9t^2+9t+2)=(t-1)(3t+1)(3t+2).\]

Donc \(t\in\left\{1,-\frac13,-\frac23\right\}\), puis \(x=t^3\).

\[\boxed{S=\left\{1,-\frac1{27},-\frac8{27}\right\}}\]

Exercice 48

Énoncé

1)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^4-5x^2-24=0.\]

2)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[x^6+3x^3-4=0.\]

3)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt{3x^2+5x+8}-\sqrt{3x^2+5x+1}=1.\]

4)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x^2-1}=x.\]

5)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[4]{\frac{2-x}{3+x}}+\sqrt[4]{\frac{3+x}{2-x}}=2.\]

6)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\left(\sqrt[3]{x}-1\right)^3-54=0.\]

7)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}=\sqrt[4]{2}.\]

8)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{27-x}=5.\]

9)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x+8}-\sqrt[3]{8-x}=\sqrt[6]{64-x^2}.\]

10)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \sqrt{3+\sqrt{x}}+\sqrt{3-\sqrt{x}}=\sqrt[4]{2x}. \]

11)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[5x-4\sqrt[3]{x}-1=0.\]

12)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-12=0.\]

13)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\frac{\sqrt[3]{x+3}}3+\sqrt[3]{\frac3{x^3}+\frac1{x^2}}=\frac{\sqrt[3]{x}}2.\]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons \(X=x^2\ge0\). Alors :

\[X^2-5X-24=0\iff(X-8)(X+3)=0.\]

La seule valeur admissible est \(X=8\), donc \(x^2=8\).

\[\boxed{S=\{-2\sqrt2,2\sqrt2\}}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons \(X=x^3\). Alors :

\[X^2+3X-4=0\iff(X-1)(X+4)=0.\]

Donc \(x^3=1\) ou \(x^3=-4\).

\[\boxed{S=\left\{1,-\sqrt[3]{4}\right\}}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons \(A=\sqrt{3x^2+5x+8}\) et \(B=\sqrt{3x^2+5x+1}\). L’équation donne \(A-B=1\).

Or \(A^2-B^2=7\), donc :

\[(A-B)(A+B)=7\implies A+B=7.\]

Ainsi \(A=4\) et \(B=3\). On résout alors :

\[3x^2+5x+1=9\iff3x^2+5x-8=0.\] \[(3x+8)(x-1)=0.\]

Les deux valeurs obtenues rendent les radicandes positifs et vérifient l’équation initiale.

\[\boxed{S=\left\{1,-\frac83\right\}}\]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Le domaine impose \(|x|\ge2\). Le membre de gauche est positif, donc une solution éventuelle doit vérifier \(x\ge2\).

Pour \(x\ge2\) :

\[4(x^2-1)-x^2=3x^2-4\gt0,\]

donc \(2\sqrt{x^2-1}\gt x\). Le membre de gauche est alors strictement supérieur à \(x\).

\[\boxed{S=\varnothing}\]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Le domaine est \(]-3,2[\). Posons :

\[t=\sqrt[4]{\frac{2-x}{3+x}}\gt0.\]

La seconde racine vaut \(\frac1t\). L’équation devient :

\[t+\frac1t=2\iff(t-1)^2=0.\]

Donc \(t=1\), puis :

\[\frac{2-x}{3+x}=1\iff2-x=3+x\iff x=-\frac12.\]

\[\boxed{S=\left\{-\frac12\right\}}\]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

\[\left(\sqrt[3]{x}-1\right)^3=54.\]

La fonction cube est strictement croissante, donc :

\[\sqrt[3]{x}-1=\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}.\] \[\sqrt[3]{x}=1+3\sqrt[3]{2}.\]

\[\boxed{S=\left\{\left(1+3\sqrt[3]{2}\right)^3\right\}}\]

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Le domaine est \([-1,1]\). Posons \(a=\sqrt[4]{1-x}\) et \(b=\sqrt[4]{1+x}\). Alors \(a,b\ge0\) et :

\[a^4+b^4=2,\qquad a+b=\sqrt[4]{2}.\]

En élevant la seconde égalité à la puissance \(4\), on obtient \((a+b)^4=2=a^4+b^4\).

Les termes croisés étant positifs ou nuls, cette égalité impose \(ab=0\).

Ainsi \(a=0\) ou \(b=0\), donc \(x=1\) ou \(x=-1\).

\[\boxed{S=\{-1,1\}}\]

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Posons \(a=\sqrt[3]{x+8}\) et \(b=\sqrt[3]{27-x}\). Alors :

\[a+b=5,\qquad a^3+b^3=35.\]

Or :

\[a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).\] \[35=125-15ab\implies ab=6.\]

Les nombres \(a\) et \(b\) sont donc les racines de \(T^2-5T+6=0\), soit \(2\) et \(3\).

Les deux ordres donnent \(x=0\) ou \(x=19\).

\[\boxed{S=\{0,19\}}\]

Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

Le domaine de la racine sixième est \([-8,8]\). Le membre de droite est positif ou nul. Comme la fonction racine cubique est croissante, le membre de gauche est positif ou nul seulement si \(x\ge0\). Ainsi \(x\in[0,8]\).

Posons :

\[a=\sqrt[3]{x+8},\qquad b=\sqrt[3]{8-x}.\]

Alors \(a,b\ge0\) et :

\[\sqrt[6]{64-x^2}=\sqrt[6]{(x+8)(8-x)}=\sqrt{ab}.\]

L’équation devient \(a-b=\sqrt{ab}\). Le cas \(b=0\) ne convient pas, donc on pose \(t=\sqrt{\frac ab}\gt0\). Après division par \(b\) :

\[t^2-1=t\iff t^2-t-1=0.\] \[t=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

Donc :

\[\frac ab=t^2,\qquad \frac{x+8}{8-x}=t^6=9+4\sqrt5.\]

La résolution donne :

\[x=\frac{16\sqrt5}{5}.\]

\[\boxed{S=\left\{\frac{16\sqrt5}{5}\right\}}\]

Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Les deux racines carrées imposent :

\[ x\ge0 \qquad\text{et}\qquad 3-\sqrt{x}\ge0. \]

Ainsi :

\[ 0\le x\le9. \]

Les deux membres sont positifs ou nuls. En élevant l’équation au carré :

\[ \left(\sqrt{3+\sqrt{x}}+\sqrt{3-\sqrt{x}}\right)^2 = \left(\sqrt[4]{2x}\right)^2. \]

On obtient :

\[ 6+2\sqrt{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})} = \sqrt{2x}, \] c’est-à-dire : \[ 6+2\sqrt{9-x}=\sqrt{2x}. \]

Or, pour \(x\in[0,9]\) :

\[ 6+2\sqrt{9-x}\ge6, \] tandis que : \[ \sqrt{2x}\le\sqrt{18}=3\sqrt2\lt6. \]

L’égalité est donc impossible.

\[ \boxed{S=\varnothing} \]

Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11

Posons \(t=\sqrt[3]{x}\), donc \(x=t^3\). L’équation devient :

\[5t^3-4t-1=0.\] \[5t^3-4t-1=(t-1)(5t^2+5t+1).\]

Ainsi :

\[t=1\quad\text{ou}\quad t=\frac{-5\pm\sqrt5}{10}.\]

En calculant \(x=t^3\), on obtient :

\[\boxed{S=\left\{1,\frac{-5+2\sqrt5}{25},\frac{-5-2\sqrt5}{25}\right\}}\]

Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12

Le domaine impose \(x\ge0\). Posons \(t=\sqrt[6]{x}\ge0\). Alors :

\[\sqrt{x}=t^3,\qquad \sqrt[3]{x}=t^2.\] \[t^3+t^2-12=0.\] \[t^3+t^2-12=(t-2)(t^2+3t+6).\]

Le second facteur est strictement positif. Donc \(t=2\), puis \(x=t^6=64\).

\[\boxed{S=\{64\}}\]

Afficher la correction de la question 13Masquer la correction de la question 13

On doit avoir \(x\ne0\). Posons :

\[a=\sqrt[3]{x+3},\qquad b=\sqrt[3]{x}.\]

Comme :

\[\sqrt[3]{\frac3{x^3}+\frac1{x^2}} =\sqrt[3]{\frac{x+3}{x^3}}=\frac ax,\]

l’équation devient :

\[\frac a3+\frac ax=\frac b2.\]

En multipliant par \(6x\), puis en utilisant \(x+3=a^3\) et \(x=b^3\), on obtient :

\[2a(x+3)=3xb\iff2a^4=3b^4.\]

Posons \(\lambda=\sqrt[4]{\frac32}\). Alors :

\[\frac ab=\lambda\quad\text{ou}\quad\frac ab=-\lambda.\]

Après élévation au cube :

\[\frac{x+3}{x}=\lambda^3\quad\text{ou}\quad\frac{x+3}{x}=-\lambda^3.\]

\[ \boxed{ S=\left\{ \frac3{\lambda^3-1}, -\frac3{\lambda^3+1} \right\}, \qquad \lambda=\sqrt[4]{\frac32} } \]

Exercice 49

Énoncé

1)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt{x+2}\lt x.\]

2)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt{2x+1}-3\lt\sqrt{x+2}.\]

3)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[(2-x)^3\le x.\]

4)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x^2+8}-2\lt x.\]

5)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[\sqrt[3]{x^3-3x^2+x+1}\ge x-1.\]

6)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[2\sqrt[3]{x^4}-\frac{3x}{\sqrt[3]{x}}\le20.\]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Le domaine est \(x\ge-2\). Comme le membre de gauche est positif ou nul, il faut \(x\gt0\).

On peut alors élever au carré :

\[x+2\lt x^2\iff(x-2)(x+1)\gt0.\]

En tenant compte de \(x\gt0\), on obtient \(x\gt2\).

\[\boxed{S=]2,+\infty[}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Le domaine est \(\left[-\frac12,+\infty\right[\).

Pour \(x\le4\), on a \(\sqrt{2x+1}-3\le0\), donc l’inéquation est vraie.

Pour \(x\gt4\), les deux membres sont positifs et on peut élever au carré :

\[(\sqrt{2x+1}-3)^2\lt x+2.\] \[x+8\lt6\sqrt{2x+1}.\]

Les deux membres sont positifs. Une seconde élévation au carré donne :

\[(x+8)^2\lt36(2x+1).\] \[x^2-56x+28\lt0.\]

Les racines sont \(28-6\sqrt{21}\) et \(28+6\sqrt{21}\). En réunissant avec le premier cas :

\[\boxed{S=\left[-\frac12,\,28+6\sqrt{21}\right[}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons \(t=2-x\), donc \(x=2-t\). L’inéquation devient :

\[t^3\le2-t\iff t^3+t-2\le0.\] \[t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2).\]

Le facteur \(t^2+t+2\) est strictement positif, donc \(t\le1\).

\[2-x\le1\iff x\ge1.\]

\[\boxed{S=[1,+\infty[}\]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb R\) :

\[\sqrt[3]{x^2+8}\lt x+2\iff x^2+8\lt(x+2)^3.\] \[0\lt x^3+5x^2+12x=x(x^2+5x+12).\]

Le trinôme \(x^2+5x+12\) est strictement positif, car son discriminant vaut \(-23\).

\[\boxed{S=]0,+\infty[}\]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

La fonction cube est strictement croissante, donc :

\[x^3-3x^2+x+1\ge(x-1)^3.\] \[x^3-3x^2+x+1\ge x^3-3x^2+3x-1.\] \[2\ge2x\iff x\le1.\]

\[\boxed{S=]-\infty,1]}\]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Le domaine impose \(x\ne0\). Posons \(t=\sqrt[3]{x}\ne0\). Alors \(x=t^3\) et :

\[\sqrt[3]{x^4}=t^4,\qquad \frac{3x}{\sqrt[3]{x}}=3t^2.\]

L’inéquation devient :

\[2t^4-3t^2-20\le0.\]

Posons \(u=t^2\ge0\) :

\[2u^2-3u-20\le0\iff-\frac52\le u\le4.\]

Donc \(0\lt t^2\le4\), soit \(-2\le t\lt0\) ou \(0\lt t\le2\).

\[\boxed{S=[-8,0[\ \cup\ ]0,8]}\]

Exercice 50

Énoncé

1)

Calculer

\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}.\]

2)

Calculer

\[\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x}.\]

3)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2+1}}. \]

4)

Calculer

\[\lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2x+5}}.\]

5)

Calculer

\[\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]{x}-1}.\]

6)

Calculer

\[\lim_{x\to4}\frac{\sqrt[3]{5-x}-1}{2-\sqrt[3]{x+4}}.\]

7)

Calculer

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right).\]

8)

Calculer

\[\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}\right).\]

9)

Calculer

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-2x\right).\]

10)

Calculer

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right).\]

11)

Calculer

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^2-x}-x-1\right).\]

12)

Calculer

\[\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{x^4+5}+2x\right).\]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

On utilise \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) :

\[\sqrt[3]{x+8}-2= \frac{x}{\left(\sqrt[3]{x+8}\right)^2+2\sqrt[3]{x+8}+4}.\]

Après simplification par \(x\) :

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}=\frac1{12}}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Lorsque \(x\to0^-\), on a \(t\to0^-\), \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).

\[\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x} =\frac{t^2-t^3}{t^3} =\frac1t-1.\]

\[\boxed{\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x}=-\infty}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Pour \(x\gt0\), on met \(x^{\frac13}\) en facteur au numérateur et \(x^{\frac23}\) au dénominateur :

\[ \sqrt[3]{x}-1 = x^{\frac13} \left(1-\frac1{x^{\frac13}}\right), \] \[ \sqrt[3]{x^2+1} = x^{\frac23} \sqrt[3]{1+\frac1{x^2}}. \]

Ainsi :

\[ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2+1}} = \frac1{x^{\frac13}}\, \frac{1-\frac1{x^{\frac13}}} {\sqrt[3]{1+\frac1{x^2}}}. \]

Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{x^{\frac13}}\to0\).

\[ \boxed{0} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Pour le numérateur :

\[x-\sqrt[3]{x+6} =\frac{x^3-x-6}{x^2+x\sqrt[3]{x+6}+\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2}.\] \[x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3).\]

Pour le dénominateur :

\[3-\sqrt{2x+5} =\frac{4-2x}{3+\sqrt{2x+5}} =\frac{-2(x-2)}{3+\sqrt{2x+5}}.\]

Après simplification par \(x-2\) et passage à la limite :

\[\boxed{-\frac{11}{4}}\]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

On utilise les identités de degré \(3\) et \(4\) :

\[\sqrt[3]{x+7}-2= \frac{x-1}{\left(\sqrt[3]{x+7}\right)^2+2\sqrt[3]{x+7}+4},\] \[\sqrt[4]{x}-1= \frac{x-1}{(\sqrt[4]{x})^3+(\sqrt[4]{x})^2+\sqrt[4]{x}+1}.\]

Après simplification et passage à la limite :

\[\boxed{\frac13}\]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons \(a=\sqrt[3]{5-x}\) et \(b=\sqrt[3]{x+4}\). Alors :

\[a-1=\frac{4-x}{a^2+a+1},\qquad 2-b=\frac{4-x}{b^2+2b+4}.\]

Après simplification :

\[\frac{a-1}{2-b}=\frac{b^2+2b+4}{a^2+a+1}.\]

Lorsque \(x\to4\), \(a\to1\) et \(b\to2\).

\[\boxed{4}\]

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Posons :

\[ a=\sqrt[3]{x^3+x}. \]

En utilisant \(a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)\), on obtient :

\[ a-x=\frac{x}{a^2+ax+x^2}. \]

Pour \(x>0\), divisons le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :

\[ a-x= \frac{\frac1x}{ \left(\frac ax\right)^2+\frac ax+1}. \]

Or :

\[ \frac ax= \sqrt[3]{1+\frac1{x^2}} \longrightarrow1. \]

Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(3\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right)=0 } \]

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

\[x-\sqrt[3]{x}-\sqrt{x} =x\left(1-\frac1{\sqrt[3]{x^2}}-\frac1{\sqrt{x}}\right).\]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), tandis que \(x\to+\infty\).

\[\boxed{+\infty}\]

Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

\[\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-2x =x\left(\sqrt[3]{1+\frac1x+\frac1{x^3}}-2\right).\]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(x\to+\infty\).

\[\boxed{-\infty}\]

Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Posons \(a=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\). Alors :

\[a-x=\frac{x^2+1}{a^2+ax+x^2}.\]

On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\). Comme \(a/x\to1\), on obtient :

\[\boxed{\frac13}\]

Afficher la correction de la question 11Masquer la correction de la question 11

\[\sqrt[3]{x^2-x}-x-1 =x\left(\frac{\sqrt[3]{x^2-x}}x-1-\frac1x\right).\]

Or :

\[\frac{\sqrt[3]{x^2-x}}x =\frac{\sqrt[3]{1-\frac1x}}{\sqrt[3]{x}}\longrightarrow0.\]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\).

\[\boxed{-\infty}\]

Afficher la correction de la question 12Masquer la correction de la question 12

Posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :

\[\sqrt[3]{x^4+5}+2x =\sqrt[3]{t^4+5}-2t.\] \[=t\left(\sqrt[3]{t+\frac5{t^3}}-2\right).\]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{+\infty}\]

Résultats essentiels

Changement d’inconnue

Lorsqu’une équation contient plusieurs puissances d’une même racine, on pose par exemple \(t=\sqrt[3]{x}\) ou \(t=\sqrt[6]{x}\), puis on revient à \(x\).

Puissances paires et impaires

Une puissance impaire conserve l’ordre sur \(\mathbb R\). Pour une puissance paire, il faut contrôler les signes avant l’élévation.

Racines cubiques

Pour transformer une différence de racines cubiques, on utilise \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Limites à l’infini

On factorise par une puissance adaptée de \(x\), ou on divise le numérateur et le dénominateur par cette puissance, afin de faire apparaître des limites usuelles.