Correction des exercices 47 à 50 — Limite et continuité
Racines n-ièmes, équations, inéquations et limites — Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 47 à 50 mobilisent plusieurs propriétés des racines n-ièmes et des puissances rationnelles. L’objectif est d’utiliser ces propriétés dans des situations variées : résolution d’équations, changement d’inconnue, résolution d’inéquations et calcul de limites.
Une attention particulière doit être accordée à la parité de la puissance. Une puissance impaire définit une fonction strictement croissante sur \(\mathbb R\), alors qu’une puissance paire oblige à contrôler le signe des expressions avant certaines transformations. Pour les racines carrées et les racines d’indice pair, le domaine de définition doit également être vérifié avant tout calcul.
Dans les calculs de limites, plusieurs formes indéterminées sont levées grâce aux identités remarquables, notamment \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), ou par une mise en facteur d’une puissance convenable de \(x\).
Exercice 47
Pour une puissance d’exposant impair, la fonction \(x\mapsto x^n\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Une égalité \(x^n=a\) possède donc une unique solution réelle lorsque \(n\) est impair. Pour une puissance paire, il faut tenir compte du signe : une égalité \(x^{2n}=a\), avec \(a\gt0\), conduit généralement à deux solutions opposées.
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On commence par isoler la puissance. Comme \(x^8=(x^4)^2\) et \(x^4\ge0\), l’égalité permet de déterminer \(x^4\) sans ambiguïté. On revient ensuite à \(x\), en tenant compte du caractère pair de la puissance quatrième.
Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1
\(x^8=25\), donc \((x^4)^2=25\). Comme \(x^4\ge0\), on obtient \(x^4=5\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On transforme l’équation en une égalité de deux cubes. La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb R\), l’égalité des cubes entraîne directement l’égalité de leurs bases.
Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2
\(x^3=-8=(-2)^3\). La fonction \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le membre de droite est positif et la puissance septième est impaire. On peut donc prendre la racine septième, ou écrire les deux membres sous forme de puissances de \(3\).
Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3
\(\sqrt3=3^{1/2}\), donc \(x=3^{1/14}=\sqrt[14]{3}\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
La racine cubique est définie sur tout \(\mathbb R\). On élève donc les deux membres au cube, opération réversible ici puisque la fonction cube est strictement croissante.
Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4
On élève les deux membres au cube :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
L’exposant est pair. Il faut donc rechercher les deux nombres réels opposés dont la puissance quatrième vaut \(16\).
Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5
\(x^4=2^4\), donc \(|x|=2\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On reconnaît \(32=2^5\). La puissance cinquième étant strictement croissante, l’égalité des puissances permet d’identifier directement les deux bases.
Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6
\(32=2^5\). Comme la puissance cinquième est strictement croissante :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Les deux racines cubiques sont liées par une même quantité. Le changement d’inconnue \(t=\sqrt[3]{x}\) transforme \(\sqrt[3]{x^2}\) en \(t^2\) et ramène l’équation à un trinôme.
Afficher la correction de la question 7 Masquer la correction de la question 7
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).
Ainsi \(t=1\) ou \(t=4\), donc \(x=t^3\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On utilise à nouveau \(t=\sqrt[3]{x}\). Comme \(x=t^3\), l’équation devient un polynôme de degré \(3\), que l’on factorise avant de revenir à l’inconnue \(x\).
Afficher la correction de la question 8 Masquer la correction de la question 8
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors \(x=t^3\) et :
Donc \(t\in\left\{1,-\frac13,-\frac23\right\}\), puis \(x=t^3\).
Exercice 48
Avant toute transformation, on détermine les conditions d’existence des racines d’indice pair. Lorsqu’une élévation à une puissance paire est utilisée, il faut aussi vérifier les signes afin que la transformation soit équivalente. Les changements d’inconnue permettent souvent de transformer les expressions contenant des racines en équations polynomiales.
Résoudre dans \(\mathbb R\)
L’équation est bicarrée : seules \(x^4\) et \(x^2\) interviennent. On pose donc \(X=x^2\), avec la condition essentielle \(X\ge0\).
Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1
Posons \(X=x^2\ge0\). Alors :
La seule valeur admissible est \(X=8\), donc \(x^2=8\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Les puissances \(x^6\) et \(x^3\) suggèrent le changement \(X=x^3\). Contrairement au cas précédent, \(X\) peut ici prendre toute valeur réelle.
Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2
Posons \(X=x^3\). Alors :
Donc \(x^3=1\) ou \(x^3=-4\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Les deux radicandes diffèrent d’une constante. On nomme donc les deux racines \(A\) et \(B\). L’équation donne \(A-B\), tandis que \(A^2-B^2\) permet de déterminer \(A+B\). On obtient ainsi séparément \(A\) et \(B\).
Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3
Posons \(A=\sqrt{3x^2+5x+8}\) et \(B=\sqrt{3x^2+5x+1}\). L’équation donne \(A-B=1\).
Or \(A^2-B^2=7\), donc :
Ainsi \(A=4\) et \(B=3\). On résout alors :
Les deux valeurs obtenues rendent les radicandes positifs et vérifient l’équation initiale.
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Avant de chercher à élever au carré, on exploite les contraintes de domaine et de signe. Une comparaison directe montre ensuite que l’un des termes du membre de gauche est déjà strictement supérieur à \(x\).
Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4
Le domaine impose \(|x|\ge2\). Le membre de gauche est positif, donc une solution éventuelle doit vérifier \(x\ge2\).
Pour \(x\ge2\) :
donc \(2\sqrt{x^2-1}\gt x\). Le membre de gauche est alors strictement supérieur à \(x\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Les deux expressions sous les racines sont réciproques. Après avoir déterminé le domaine, on pose la première racine égale à \(t\gt0\). La seconde devient alors \(1/t\).
Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5
Le domaine est \(]-3,2[\). Posons :
La seconde racine vaut \(\frac1t\). L’équation devient :
Donc \(t=1\), puis :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On isole d’abord le cube. La fonction cube étant strictement croissante, on peut prendre la racine cubique des deux membres sans créer de solution supplémentaire.
Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6
La fonction cube est strictement croissante, donc :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le domaine fournit immédiatement \(-1\le x\le1\). On note ensuite les deux racines \(a\) et \(b\). Leur somme est connue, tandis que leurs puissances quatrièmes ont également une somme simple. La comparaison des deux expressions permet d’exploiter la positivité des termes croisés.
Afficher la correction de la question 7 Masquer la correction de la question 7
Le domaine est \([-1,1]\). Posons \(a=\sqrt[4]{1-x}\) et \(b=\sqrt[4]{1+x}\). Alors \(a,b\ge0\) et :
En élevant la seconde égalité à la puissance \(4\), on obtient \((a+b)^4=2=a^4+b^4\).
Les termes croisés étant positifs ou nuls, cette égalité impose \(ab=0\).
Ainsi \(a=0\) ou \(b=0\), donc \(x=1\) ou \(x=-1\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On note les deux racines cubiques \(a\) et \(b\). L’équation donne leur somme. La somme de leurs cubes est également connue directement, ce qui permet d’utiliser l’identité de \(a^3+b^3\) et de calculer leur produit.
Afficher la correction de la question 8 Masquer la correction de la question 8
Posons \(a=\sqrt[3]{x+8}\) et \(b=\sqrt[3]{27-x}\). Alors :
Or :
Les nombres \(a\) et \(b\) sont donc les racines de \(T^2-5T+6=0\), soit \(2\) et \(3\).
Les deux ordres donnent \(x=0\) ou \(x=19\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
La racine sixième impose d’abord \(|x|\le8\). Le signe du membre de droite permet ensuite de réduire davantage le domaine. On introduit les deux racines cubiques \(a\) et \(b\), puis une nouvelle inconnue liée au quotient \(a/b\).
Afficher la correction de la question 9 Masquer la correction de la question 9
Le domaine de la racine sixième est \([-8,8]\). Le membre de droite est positif ou nul. Comme la fonction racine cubique est croissante, le membre de gauche est positif ou nul seulement si \(x\ge0\). Ainsi \(x\in[0,8]\).
Posons :
Alors \(a,b\ge0\) et :
L’équation devient \(a-b=\sqrt{ab}\). Le cas \(b=0\) ne convient pas, donc on pose \(t=\sqrt{\frac ab}\gt0\). Après division par \(b\) :
Donc :
La résolution donne :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On détermine d’abord le domaine à partir des racines carrées. Les deux membres sont alors non négatifs, ce qui autorise une élévation au carré. Une estimation simple de chaque membre permet ensuite de montrer que l’égalité obtenue est impossible.
Afficher la correction de la question 10 Masquer la correction de la question 10
Les deux racines carrées imposent :
Ainsi :
Les deux membres sont positifs ou nuls. En élevant l’équation au carré :
On obtient :
Or, pour \(x\in[0,9]\) :
L’égalité est donc impossible.
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On remplace \(\sqrt[3]{x}\) par \(t\), donc \(x=t^3\). L’équation devient un polynôme de degré \(3\), que l’on factorise. Il faut ensuite cuber chacune des valeurs obtenues pour revenir à \(x\).
Afficher la correction de la question 11 Masquer la correction de la question 11
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\), donc \(x=t^3\). L’équation devient :
Ainsi :
En calculant \(x=t^3\), on obtient :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
La racine carrée impose \(x\ge0\). Pour exprimer simultanément \(\sqrt{x}\) et \(\sqrt[3]{x}\) comme des puissances entières d’une même quantité, on pose \(t=\sqrt[6]{x}\).
Afficher la correction de la question 12 Masquer la correction de la question 12
Le domaine impose \(x\ge0\). Posons \(t=\sqrt[6]{x}\ge0\). Alors :
Le second facteur est strictement positif. Donc \(t=2\), puis \(x=t^6=64\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le dénominateur impose \(x\ne0\). On introduit les deux quantités \(a=\sqrt[3]{x+3}\) et \(b=\sqrt[3]{x}\). Cette notation permet d’exprimer le second radical en fonction de \(a\) et de transformer l’équation en une relation entre \(a^4\) et \(b^4\).
Afficher la correction de la question 13 Masquer la correction de la question 13
On doit avoir \(x\ne0\). Posons :
Comme :
l’équation devient :
En multipliant par \(6x\), puis en utilisant \(x+3=a^3\) et \(x=b^3\), on obtient :
Posons \(\lambda=\sqrt[4]{\frac32}\). Alors :
Après élévation au cube :
Exercice 49
Une élévation à une puissance impaire conserve toujours l’ordre sur \(\mathbb R\). Une élévation au carré demande davantage de précautions : il faut préalablement contrôler le signe des deux membres. Le domaine de définition doit également être intersecté avec l’ensemble obtenu après résolution de l’inéquation transformée.
Résoudre dans \(\mathbb R\)
La racine impose \(x\ge-2\). Comme son résultat est non négatif, l’inégalité ne peut être vérifiée que si \(x\gt0\). Les deux membres étant alors positifs, on peut les élever au carré.
Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1
Le domaine est \(x\ge-2\). Comme le membre de gauche est positif ou nul, il faut \(x\gt0\).
On peut alors élever au carré :
En tenant compte de \(x\gt0\), on obtient \(x\gt2\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le domaine est déterminé en premier. Ensuite, on distingue les valeurs de \(x\) pour lesquelles le membre de gauche est négatif ou nul de celles pour lesquelles il est positif. Cette séparation évite une élévation au carré non équivalente.
Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2
Le domaine est \(\left[-\frac12,+\infty\right[\).
Pour \(x\le4\), on a \(\sqrt{2x+1}-3\le0\), donc l’inéquation est vraie.
Pour \(x\gt4\), les deux membres sont positifs et on peut élever au carré :
Les deux membres sont positifs. Une seconde élévation au carré donne :
Les racines sont \(28-6\sqrt{21}\) et \(28+6\sqrt{21}\). En réunissant avec le premier cas :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le changement \(t=2-x\) simplifie l’expression cubique et transforme l’inéquation en une inéquation polynomiale dont un facteur est toujours strictement positif.
Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3
Posons \(t=2-x\), donc \(x=2-t\). L’inéquation devient :
Le facteur \(t^2+t+2\) est strictement positif, donc \(t\le1\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
On déplace \(2\) dans le membre de droite. La fonction cube étant strictement croissante sur tout \(\mathbb R\), on peut ensuite cuber directement les deux membres sans condition de signe supplémentaire.
Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4
La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb R\) :
Le trinôme \(x^2+5x+12\) est strictement positif, car son discriminant vaut \(-23\).
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Les deux membres sont réels pour tout \(x\). La fonction cube étant strictement croissante, on élève les deux membres au cube et on simplifie l’inégalité obtenue.
Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5
La fonction cube est strictement croissante, donc :
Résoudre dans \(\mathbb R\)
Le quotient impose \(x\ne0\). Le changement \(t=\sqrt[3]{x}\) transforme toutes les expressions en puissances entières de \(t\). On pose ensuite \(u=t^2\ge0\) pour obtenir une inéquation du second degré.
Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6
Le domaine impose \(x\ne0\). Posons \(t=\sqrt[3]{x}\ne0\). Alors \(x=t^3\) et :
L’inéquation devient :
Posons \(u=t^2\ge0\) :
Donc \(0\lt t^2\le4\), soit \(-2\le t\lt0\) ou \(0\lt t\le2\).
Exercice 50
Lorsqu’une substitution directe conduit à une forme indéterminée, on transforme l’expression sans changer la fonction étudiée. Pour une différence de racines cubiques, l’identité \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) permet souvent de faire apparaître le facteur responsable de la forme \(0/0\). À l’infini, la mise en facteur d’une puissance convenable de \(x\) permet de faire apparaître des quotients qui tendent vers \(0\) ou \(1\).
Calculer
La substitution directe produit la forme \(0/0\). On utilise donc l’identité de la différence de deux cubes afin de faire apparaître explicitement le facteur \(x\) au numérateur.
Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1
On utilise \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) :
Après simplification par \(x\) :
Calculer
Le changement \(t=\sqrt[3]{x}\) est particulièrement adapté : \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\). Il faut conserver le sens \(t\to0^-\), car la limite est à gauche.
Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Lorsque \(x\to0^-\), on a \(t\to0^-\), \(x=t^3\) et \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).
Calculer
À l’infini, on fait apparaître les puissances dominantes : \(x^{1/3}\) au numérateur et \(x^{2/3}\) au dénominateur. Leur quotient fournit alors un facteur \(x^{-1/3}\).
Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3
Pour \(x\gt0\), on met \(x^{\frac13}\) en facteur au numérateur et \(x^{\frac23}\) au dénominateur :
Ainsi :
Le second facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{x^{\frac13}}\to0\).
Calculer
Les deux membres tendent vers \(0\). Pour le numérateur, on utilise une différence de cubes ; pour le dénominateur, on multiplie et divise par la quantité conjuguée afin de faire apparaître dans les deux cas le facteur \(x-2\).
Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4
Pour le numérateur :
Pour le dénominateur :
Après simplification par \(x-2\) et passage à la limite :
Calculer
Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). On applique respectivement les identités correspondant à une différence de cubes et à une différence de puissances quatrièmes, ce qui fait apparaître le même facteur \(x-1\).
Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5
On utilise les identités de degré \(3\) et \(4\) :
Après simplification et passage à la limite :
Calculer
Les deux différences de racines cubiques tendent vers \(0\). On applique deux fois l’identité de la différence de cubes afin de faire apparaître le même facteur \(4-x\), puis on simplifie.
Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6
Posons \(a=\sqrt[3]{5-x}\) et \(b=\sqrt[3]{x+4}\). Alors :
Après simplification :
Lorsque \(x\to4\), \(a\to1\) et \(b\to2\).
Calculer
La différence oppose deux termes qui tendent tous deux vers \(+\infty\). On utilise l’identité de la différence de cubes avec \(a=\sqrt[3]{x^3+x}\), puis on divise par une puissance adaptée de \(x\).
Afficher la correction de la question 7 Masquer la correction de la question 7
Posons :
En utilisant \(a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)\), on obtient :
Pour \(x\gt0\), divisons le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :
Or :
Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(3\).
Calculer
Le terme \(x\) possède la croissance dominante. On le met en facteur afin de faire apparaître deux quotients qui tendent vers \(0\).
Afficher la correction de la question 8 Masquer la correction de la question 8
Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), tandis que \(x\to+\infty\).
Calculer
Pour \(x\gt0\), on met \(x\) en facteur dans la racine cubique. La différence devient alors un produit par \(x\), tandis que le second facteur possède une limite finie non nulle.
Afficher la correction de la question 9 Masquer la correction de la question 9
Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(x\to+\infty\).
Calculer
Cette fois, les deux termes principaux sont du même ordre et leur différence peut avoir une limite finie. On utilise donc la différence de cubes avec \(a=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\).
Afficher la correction de la question 10 Masquer la correction de la question 10
Posons \(a=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\). Alors :
On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\). Comme \(a/x\to1\), on obtient :
Calculer
On met \(x\) en facteur dans l’expression entière. Il suffit alors d’étudier le quotient de la racine cubique par \(x\), qui tend vers \(0\).
Afficher la correction de la question 11 Masquer la correction de la question 11
Or :
Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\).
Calculer
La limite est prise en \(-\infty\). On pose donc \(t=-x\), de sorte que \(t\to+\infty\). L’expression peut alors être factorisée par \(t\) et étudiée uniquement avec des quantités positives.
Afficher la correction de la question 12 Masquer la correction de la question 12
Posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
Le facteur entre parenthèses tend vers \(+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\).
À retenir — Racines n-ièmes, équations, inéquations et limites
La fonction \(x\mapsto x^{2n+1}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). On peut donc élever ou extraire une puissance impaire en conservant les égalités et les inégalités.
Une puissance paire ne conserve pas le signe. Il faut donc contrôler la positivité des expressions et tenir compte des deux signes lorsqu’on revient d’une égalité telle que \(x^{2n}=a\).
Lorsque plusieurs puissances d’une même racine apparaissent, poser \(t=\sqrt[3]{x}\), \(t=\sqrt[6]{x}\) ou une quantité analogue permet de ramener le problème à une équation polynomiale.
Pour une racine d’indice pair, le radicande doit être positif ou nul. Pour un quotient, le dénominateur doit être non nul. Ces conditions doivent être établies avant les transformations algébriques.
Une élévation au carré n’est équivalente que lorsque les signes sont maîtrisés. Une puissance impaire, en revanche, conserve l’ordre sur tout \(\mathbb R\).
L’identité \[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \] est particulièrement utile pour transformer une différence de racines cubiques et éliminer une forme indéterminée.
La mise en facteur de la puissance dominante de \(x\) permet de faire apparaître des quotients dont les limites sont simples. Il faut choisir cette puissance en fonction de la structure exacte de l’expression.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
Commentaires
Enregistrer un commentaire