Correction des exercices 14 à 17 — Fonctions exponentielles
Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Inéquations exponentielles et systèmes
Les exercices suivants permettent d'approfondir l'utilisation des propriétés de la fonction exponentielle dans la résolution d'inéquations et de systèmes. Les premières questions exploitent sa croissance stricte : comparer deux exponentielles revient alors à comparer leurs exposants. D'autres situations nécessitent d'examiner le signe d'un produit ou d'un quotient, en tenant compte du fait qu'une exponentielle est toujours strictement positive. Lorsqu'une inéquation comporte plusieurs puissances liées, un changement d'inconnue permet de retrouver une expression polynomiale dont on peut étudier le signe. Enfin, les systèmes exponentiels se ramènent souvent à des systèmes algébriques grâce à des substitutions adaptées. Pour chaque question, nous commencerons par reconnaître la propriété utile et ses conditions, puis nous expliquerons les transformations effectuées avant de déterminer l'ensemble des solutions.
Repère de cours — Exponentielle et inéquations
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Par conséquent, pour tous réels \(u\) et \(v\) :
\[ e^u\lt e^v\iff u\lt v, \qquad e^u\le e^v\iff u\le v. \]De plus, l'exponentielle est strictement positive :
\[ \forall u\in\mathbb R,\qquad e^u\gt0. \]Ainsi, une multiplication par \(e^u\) ne change jamais le sens d'une inégalité. En revanche, si l'on multiplie ou divise par une expression dont le signe est inconnu, il faut commencer par étudier ce signe.
Pour résoudre une inéquation polynomiale en \(e^x\), on peut introduire :
\[ t=e^x,\qquad t\gt0. \]Après la résolution algébrique en \(t\), on revient à \(x\) en utilisant la croissance de l'exponentielle et la réciprocité entre exponentielle et logarithme.
Exercice 14 — Inéquations exponentielles élémentaires
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{2x}\lt1 &&2)\ e^{-x}\ge-3\\ &3)\ e^{\frac x3}\lt e^2 &&4)\ e^{3x-1}\gt\sqrt[6]{e^5}\\ &5)\ 3\le4-e^{x^2} &&6)\ e^{-x+7}\gt e^x\\ &7)\ e^{-4x^2+2x}\ge1\\ &8)\ e^{5x+2\ln7}\ge\frac1{e^{4x}}\\ &9)\ \frac1{e^{2-x}}\le\frac3{e^{2x}}\\ &10)\ (e^x)^2\gt e^{x^2}. \end{aligned} \]Méthode générale
On cherche d'abord à écrire les deux membres sous la forme d'exponentielles de même base. La croissance stricte permet ensuite de comparer les exposants sans changer le sens de l'inégalité. Si l'un des membres est négatif ou si un carré intervient dans l'exposant, une étude préalable du signe ou des valeurs possibles peut simplifier la résolution.
Méthode. On écrit \(1=e^0\), puis on compare les exposants grâce à la croissance stricte de l'exponentielle.
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Comme \(1=e^0\) et que l'exponentielle est strictement croissante :
\[ e^{2x}\lt e^0\iff2x\lt0\iff x\lt0. \]Interprétation. L'exponentielle d'un réel est inférieure à \(1\) exactement lorsque son exposant est négatif.
Méthode. Avant de transformer l'inégalité, on examine le signe des deux membres. La positivité de l'exponentielle suffit ici.
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Pour tout réel \(x\), on a \(e^{-x}\gt0\). Donc :
\[ e^{-x}\gt0\gt-3. \]L'inégalité est vraie pour tout \(x\in\mathbb R\).
À retenir. Toute exponentielle est strictement positive : elle est donc supérieure à n'importe quel nombre négatif.
Méthode. Les deux membres ont déjà la même base. Il suffit donc de comparer les exposants.
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Par croissance stricte de l'exponentielle :
\[ \frac x3\lt2\iff x\lt6. \]Interprétation. La fonction exponentielle conserve l'ordre de ses exposants.
Méthode. La racine sixième d'une exponentielle positive se transforme en une puissance fractionnaire. On peut ensuite comparer les exposants.
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On écrit :
\[ \sqrt[6]{e^5}=e^{\frac56}. \]Par croissance stricte de l'exponentielle :
\[ 3x-1\gt\frac56 \iff3x\gt\frac{11}{6} \iff x\gt\frac{11}{18}. \]Interprétation. L'écriture de la racine sous forme exponentielle rend l'inéquation linéaire.
Méthode. On isole l'exponentielle. Comme son exposant est un carré, on utilise la propriété \(x^2\ge0\) pour déterminer les valeurs possibles.
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On a :
\[ 3\le4-e^{x^2}\iff e^{x^2}\le1. \]Or \(x^2\ge0\), donc \(e^{x^2}\ge e^0=1\). L'inégalité est vérifiée seulement si \(e^{x^2}=1\), c'est-à-dire :
\[ x^2=0\iff x=0. \]Interprétation. La valeur minimale de \(e^{x^2}\) est \(1\), atteinte uniquement pour \(x=0\).
Méthode. L'inéquation compare directement deux exponentielles. On passe à une inéquation affine entre leurs exposants.
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Par croissance stricte de l'exponentielle :
\[ -x+7\gt x \iff7\gt2x \iff x\lt\frac72. \]Interprétation. Tous les réels strictement inférieurs à \(\frac72\) vérifient l'inégalité initiale.
Méthode. On compare l'exposant à zéro, puis on factorise le polynôme du second degré pour étudier son signe.
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Comme \(1=e^0\), on obtient :
\[ -4x^2+2x\ge0. \]On factorise :
\[ 2x(1-2x)\ge0. \]Le produit est positif ou nul pour \(0\le x\le\frac12\).
Interprétation. Les deux bornes appartiennent à l'ensemble des solutions puisque l'inégalité est large.
Méthode. L'inverse d'une exponentielle s'écrit avec un exposant opposé. Les deux membres pourront alors être comparés directement.
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Comme \(\dfrac1{e^{4x}}=e^{-4x}\), l'inégalité devient :
\[ e^{5x+2\ln7}\ge e^{-4x}. \]Par croissance de l'exponentielle :
\[ 5x+2\ln7\ge-4x \iff9x\ge-2\ln7 \iff x\ge-\frac{2\ln7}{9}. \]À retenir. La relation \(e^{-u}=\frac1{e^u}\) est particulièrement utile dans les inéquations comportant des inverses.
Méthode. Les dénominateurs sont strictement positifs. On peut donc multiplier l'inégalité par \(e^{2x}\) sans inverser son sens.
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On écrit \(\dfrac1{e^{2-x}}=e^{x-2}\). Comme \(e^{2x}\gt0\), on multiplie les deux membres par \(e^{2x}\) :
\[ e^{3x-2}\le3=e^{\ln3}. \]Par croissance de l'exponentielle :
\[ 3x-2\le\ln3 \iff x\le\frac{2+\ln3}{3}. \]Interprétation. Le passage à une seule exponentielle permet d'obtenir une borne supérieure pour \(x\).
Méthode. Il faut distinguer \((e^x)^2=e^{2x}\) de \(e^{x^2}\). On compare ensuite les exposants et on étudie le signe d'un produit.
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Comme \((e^x)^2=e^{2x}\), on a :
\[ e^{2x}\gt e^{x^2}\iff2x\gt x^2. \]Donc :
\[ x(2-x)\gt0. \]Le produit est strictement positif entre ses deux racines.
Interprétation. Les valeurs \(0\) et \(2\) sont exclues car elles donnent l'égalité, et non une inégalité stricte.
Exercice 15 — Inéquations avec logarithmes, quotients et produits
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ \ln(4-e^x)\ge2\\ &2)\ (e^x+1)(e^x-5)\gt0\\ &3)\ e^x-\frac9{e^x}\lt0\\ &4)\ \frac{2-3e^{-x}}{1-3e^{-x}}\lt\frac12\\ &5)\ \frac{16x}{e^{24x+9}}\ge2\\ &6)\ \frac{e^{\frac83x}}{e^{4x+\frac32}}\ge e^{-2}\\ &7)\ (e^x-2)(e^x-4)\lt0\\ &8)\ -1\lt\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\lt1. \end{aligned} \]Repère de cours — Signe des expressions
Pour résoudre une inéquation comportant un logarithme, son argument doit être strictement positif. Pour un produit ou un quotient, on étudie le signe de chaque facteur.
Il est interdit de multiplier directement une inégalité par une expression dont on ne connaît pas le signe. En revanche, un facteur de la forme \(e^u\) est toujours strictement positif.
Méthode. On commence par rappeler que l'argument du logarithme doit être positif. La croissance de la fonction logarithme permet ensuite de comparer les arguments.
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Le logarithme impose \(4-e^x\gt0\). Si l'inégalité était vérifiée, la croissance de \(\ln\) donnerait :
\[ 4-e^x\ge e^2. \]Or \(e^x\gt0\), donc \(4-e^x\lt4\), tandis que \(e^2\gt4\). C'est impossible.
Interprétation. L'argument du logarithme reste inférieur à \(4\) et ne peut donc jamais atteindre \(e^2\).
Méthode. Le premier facteur est toujours strictement positif. Le signe du produit dépend donc uniquement du second facteur.
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Pour tout réel \(x\), \(e^x+1\gt0\). Le produit a donc le signe de \(e^x-5\) :
\[ (e^x+1)(e^x-5)\gt0 \iff e^x\gt5 \iff x\gt\ln5. \]Interprétation. Il suffit d'étudier le facteur susceptible de changer de signe.
Méthode. Comme \(e^x\gt0\), on peut multiplier l'inégalité par \(e^x\) sans en changer le sens. On obtient ainsi une comparaison de deux exponentielles.
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Comme \(e^x\gt0\), on multiplie par \(e^x\) sans changer le sens :
\[ e^{2x}-9\lt0 \iff e^{2x}\lt9=e^{2\ln3}. \]Par croissance de l'exponentielle :
\[ 2x\lt2\ln3\iff x\lt\ln3. \]À retenir. Il est essentiel de justifier la positivité du facteur par lequel on multiplie une inégalité.
Méthode. Le dénominateur peut changer de signe. On commence donc par exclure sa valeur d'annulation, puis on ramène l'inégalité à un quotient dont on étudie le signe.
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Le dénominateur doit être non nul :
\[ 1-3e^{-x}\ne0\iff x\ne\ln3. \]On ramène tout dans le membre de gauche :
\[ \frac{2-3e^{-x}}{1-3e^{-x}}-\frac12 = \frac{3(1-e^{-x})}{2(1-3e^{-x})}. \]Posons \(t=e^{-x}\gt0\). Il faut résoudre :
\[ \frac{1-t}{1-3t}\lt0. \]Les valeurs critiques sont \(\frac13\) et \(1\). Le quotient est négatif pour :
\[ \frac13\lt t\lt1. \]Donc \(\frac13\lt e^{-x}\lt1\), ce qui équivaut à :
\[ 0\lt x\lt\ln3. \]Interprétation. L'intervalle obtenu exclut les valeurs donnant l'annulation du numérateur ou du dénominateur.
Méthode. Le dénominateur est toujours positif. On distingue d'abord les valeurs positives et non positives de \(x\), puis on utilise une minoration de l'exponentielle pour montrer que le quotient ne peut atteindre \(2\).
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Si \(x\le0\), alors \(\dfrac{16x}{e^{24x+9}}\le0\lt2\). Il n'y a donc aucune solution avec \(x\le0\).
Supposons \(x\gt0\). D'après \(e^u\ge u+1\), appliqué à \(u=24x+9\) :
\[ e^{24x+9}\ge24x+10\gt8x. \]Comme \(x\gt0\), on obtient :
\[ \frac{16x}{e^{24x+9}} \lt\frac{16x}{8x}=2. \]L'inégalité est impossible également pour \(x\gt0\).
Interprétation. Les deux cas couvrent tous les réels. Le quotient reste strictement inférieur à \(2\) dans chaque cas.
Méthode. On utilise la propriété du quotient d'exponentielles pour soustraire les exposants. Comme les deux membres ont ensuite la même base, on applique la croissance de l'exponentielle.
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Le dénominateur est toujours strictement positif. On simplifie le quotient :
\[ \frac{e^{\frac83x}}{e^{4x+\frac32}} = e^{-\frac43x-\frac32}. \]L'inégalité devient :
\[ e^{-\frac43x-\frac32}\ge e^{-2}. \]Par croissance de l'exponentielle :
\[ -\frac43x-\frac32\ge-2 \iff-\frac43x\ge-\frac12. \]En multipliant par le nombre négatif \(-\frac34\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ x\le\frac38. \]À retenir. Lorsqu'on divise une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser son sens.
Méthode. Le changement d'inconnue \(t=e^x\) ramène l'inéquation à un produit de deux facteurs affines. On étudie son signe entre ses racines.
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Posons \(t=e^x\gt0\). L'inéquation devient :
\[ (t-2)(t-4)\lt0. \]Le produit est négatif entre ses racines :
\[ 2\lt t\lt4. \]Donc :
\[ \ln2\lt x\lt\ln4. \]Interprétation. Les bornes sont exclues car le produit y est nul.
Méthode. On traite séparément les deux inégalités. Le dénominateur étant strictement positif, les produits en croix conservent leur sens.
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Pour tout réel \(x\), \(e^{2x}+1\gt0\).
D'une part :
\[ -1\lt\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \iff-(e^{2x}+1)\lt e^{2x}-1 \iff0\lt2e^{2x}, \]ce qui est toujours vrai.
D'autre part :
\[ \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\lt1 \iff e^{2x}-1\lt e^{2x}+1, \]ce qui est également toujours vrai.
Interprétation. Les deux inégalités sont satisfaites pour tout réel : le quotient est toujours strictement compris entre \(-1\) et \(1\).
Exercice 16 — Inéquations polynomiales en une exponentielle
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ 7e^{2x}-4e^x-3\gt0\\ &2)\ e^{3x}-6e^{2x}+3e^x\le0\\ &3)\ 1-2e^x\le2e^x(1-2e^x)\\ &4)\ \frac{e^x-1}{e^x+1}+1\gt0\\ &5)\ e^{2x}+e^{2(\ln2-x)}\le5\\ &6)\ e^{2x}-e^{x+2}-e^{2-x}+1\le0. \end{aligned} \]Repère de cours — Changement d'inconnue
Pour les expressions contenant plusieurs puissances de \(e^x\), le changement \(t=e^x\) permet de retrouver une inéquation polynomiale. Cette substitution impose \(t\gt0\).
On étudie ensuite le signe de l'expression algébrique obtenue, puis on traduit les conditions sur \(t\) en conditions sur \(x\).
Méthode. On pose \(t=e^x\gt0\). L'inéquation devient un trinôme du second degré qu'on peut factoriser.
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Posons \(t=e^x\gt0\). On obtient :
\[ 7t^2-4t-3\gt0. \]Or :
\[ 7t^2-4t-3=(7t+3)(t-1). \]Comme \(7t+3\gt0\), l'inégalité équivaut à \(t\gt1\), donc \(e^x\gt1\), d'où \(x\gt0\).
Interprétation. Le premier facteur étant positif sur \(t\gt0\), seul le signe de \(t-1\) intervient.
Méthode. Après substitution, on met \(t\) en facteur. Comme \(t\gt0\), le signe dépend uniquement du trinôme restant.
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Posons \(t=e^x\gt0\). Alors :
\[ t^3-6t^2+3t\le0 \iff t(t^2-6t+3)\le0. \]Comme \(t\gt0\), il faut résoudre :
\[ t^2-6t+3\le0. \]Les racines sont \(3-\sqrt6\) et \(3+\sqrt6\). Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines :
\[ 3-\sqrt6\le t\le3+\sqrt6. \]Ces deux bornes étant strictement positives, on peut appliquer le logarithme.
Comme \(t=e^x\), on obtient :
\[ \ln(3-\sqrt6)\le x\le\ln(3+\sqrt6). \]Interprétation. La positivité de \(t\) simplifie l'étude du signe, tandis que le logarithme permet de revenir à \(x\).
Méthode. On utilise le changement \(t=e^x\), puis on ramène tous les termes dans le même membre. Une identité remarquable fait apparaître un carré.
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Posons \(t=e^x\gt0\). Alors :
\[ 1-2t\le2t(1-2t) \iff4t^2-4t+1\le0. \]Or :
\[ 4t^2-4t+1=(2t-1)^2. \]Un carré est inférieur ou égal à \(0\) seulement s'il est nul :
\[ 2t-1=0\iff t=\frac12. \]Donc \(e^x=\frac12=e^{-\ln2}\), d'où \(x=-\ln2\).
Interprétation. L'inéquation se réduit à une égalité car un carré ne peut jamais être négatif.
Méthode. On vérifie d'abord que le dénominateur est positif, puis on regroupe les termes en une seule fraction pour examiner son signe.
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Comme \(e^x+1\gt0\), on simplifie :
\[ \frac{e^x-1}{e^x+1}+1 = \frac{2e^x}{e^x+1}. \]Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout \(x\in\mathbb R\).
Interprétation. La fraction simplifiée est positive pour tout réel, donc l'inéquation est toujours vérifiée.
Méthode. On transforme le second terme pour faire apparaître \(e^{-2x}\), puis on pose \(t=e^{2x}\gt0\). La multiplication par \(t\) ne change pas le sens de l'inégalité.
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On a :
\[ e^{2(\ln2-x)} =e^{2\ln2-2x} =4e^{-2x}. \]Posons \(t=e^{2x}\gt0\). Alors \(e^{-2x}=\frac1t\), et :
\[ t+\frac4t\le5. \]En multipliant par \(t\gt0\) :
\[ t^2-5t+4\le0 \iff(t-1)(t-4)\le0. \]Donc \(1\le t\le4\), c'est-à-dire :
\[ 1\le e^{2x}\le4 \iff0\le x\le\ln2. \]Interprétation. Les deux valeurs limites sont admises car l'inéquation est large.
Méthode. On pose \(t=e^x\gt0\) et on exprime tous les termes en fonction de \(t\). Une factorisation par regroupement permet ensuite d'étudier le signe.
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Posons \(t=e^x\gt0\). Alors :
\[ e^{2x}=t^2,\qquad e^{x+2}=e^2t,\qquad e^{2-x}=\frac{e^2}{t}. \]L'inéquation devient :
\[ t^2-e^2t-\frac{e^2}{t}+1\le0. \]En multipliant par \(t\gt0\) :
\[ t^3-e^2t^2+t-e^2\le0. \]On factorise par regroupement :
\[ (t-e^2)(t^2+1)\le0. \]Comme \(t^2+1\gt0\), on a \(t\le e^2\), donc \(e^x\le e^2\), d'où :
\[ x\le2. \]Interprétation. Le facteur \(t^2+1\) est toujours strictement positif ; le signe du produit dépend seulement de \(t-e^2\).
Exercice 17 — Systèmes exponentiels dans \(\mathbb R^2\)
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{aligned} &1)\ \begin{cases} e^{x-y}=12e^{-2}\\ e^{x+y}=\dfrac43 \end{cases} \\[4mm] &2)\ \begin{cases} e^x+e^{-y+1}=e+1\\ e^{x-1}+e^{-y}=2 \end{cases} \\[4mm] &3)\ \begin{cases} 2e^{x+\ln2}-e^y=15\\ e^x+e^y=20 \end{cases} \\[4mm] &4)\ \begin{cases} e^{2x+1}=7e^y-10\\ 2(x-y)+1=0 \end{cases} \\[4mm] &5)\ \begin{cases} x+y=1\\ 3e^{x-3}-e^{y+2}=2 \end{cases} \\[4mm] &6)\ \begin{cases} 4e^{-x}+3e^{-y}=1\\ 3e^{x-y}=4 \end{cases}. \end{aligned} \]Repère de cours — Résoudre un système exponentiel
Avant de chercher à éliminer une inconnue, on examine les relations entre les exposants. Les propriétés \(e^{u+v}=e^ue^v\) et \(e^{-u}=\frac1{e^u}\) permettent souvent de simplifier le système.
Lorsqu'on introduit \(u=e^x\) et \(v=e^y\), on obtient des inconnues strictement positives. Si le système transformé admet des valeurs positives, on revient à \(x\) et \(y\) à l'aide du logarithme népérien.
Méthode. Les seconds membres sont strictement positifs. On peut appliquer le logarithme à chaque équation pour obtenir un système linéaire en \(x\) et \(y\).
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En appliquant le logarithme aux deux équations :
\[ \begin{cases} x-y=\ln12-2\\ x+y=\ln\left(\dfrac43\right) \end{cases} \]En additionnant :
\[ 2x=\ln12+\ln\left(\frac43\right)-2 =\ln16-2=4\ln2-2, \]d'où :
\[ x=2\ln2-1. \]En soustrayant la première équation de la seconde :
\[ 2y=\ln\left(\frac43\right)-\ln12+2 =\ln\left(\frac19\right)+2 =2-2\ln3. \]Ainsi :
\[ y=1-\ln3. \]Interprétation. Le logarithme a transformé le système exponentiel en un système linéaire admettant un unique couple solution.
Méthode. On compare les expressions présentes dans les deux équations. La première peut être écrite comme un multiple du membre de gauche de la seconde.
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On a \(e^x=e\,e^{x-1}\) et \(e^{-y+1}=e\,e^{-y}\). La première équation devient donc :
\[ e\left(e^{x-1}+e^{-y}\right)=e+1. \]Or la seconde équation impose :
\[ e^{x-1}+e^{-y}=2. \]On obtiendrait alors \(2e=e+1\), donc \(e=1\), ce qui est faux. Le système est incompatible.
Interprétation. Les deux équations imposent des conditions contradictoires. Aucun couple réel ne peut les satisfaire simultanément.
Méthode. On utilise d'abord \(e^{x+\ln2}=2e^x\). Les substitutions \(u=e^x\) et \(v=e^y\) donnent ensuite un système linéaire.
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Comme \(e^{x+\ln2}=2e^x\), la première équation devient :
\[ 4e^x-e^y=15. \]Posons \(u=e^x\gt0\) et \(v=e^y\gt0\). On obtient :
\[ \begin{cases} 4u-v=15\\ u+v=20 \end{cases} \]En additionnant, \(5u=35\), donc \(u=7\). Puis \(v=13\).
\[ e^x=7\iff x=\ln7, \qquad e^y=13\iff y=\ln13. \]Interprétation. Les deux valeurs auxiliaires sont positives, donc elles correspondent bien à des exponentielles réelles.
Méthode. On exploite d'abord l'équation linéaire entre \(x\) et \(y\). Elle permet d'exprimer \(2x+1\) en fonction de \(y\), puis de transformer la première équation en trinôme en \(e^y\).
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La seconde équation donne \(2x+1=2y\). Ainsi :
\[ e^{2x+1}=e^{2y}=(e^y)^2. \]La première équation devient :
\[ (e^y)^2-7e^y+10=0. \]Posons \(t=e^y\gt0\). Alors :
\[ t^2-7t+10=0 \iff(t-2)(t-5)=0. \]Donc \(t=2\) ou \(t=5\).
Si \(e^y=2\), alors \(y=\ln2\) et \(x=y-\frac12=\ln2-\frac12\).
Si \(e^y=5\), alors \(y=\ln5\) et \(x=\ln5-\frac12\).
Interprétation. Les deux racines du trinôme sont positives et fournissent deux couples solutions.
Méthode. La première équation permet de remplacer \(y\) par \(1-x\). Les exposants deviennent alors opposés, ce qui suggère un changement d'inconnue positif.
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La première équation donne \(y=1-x\), donc \(y+2=3-x=-(x-3)\).
Posons \(t=e^{x-3}\gt0\). Alors \(e^{y+2}=e^{3-x}=\dfrac1t\). La seconde équation devient :
\[ 3t-\frac1t=2. \]En multipliant par \(t\gt0\) :
\[ 3t^2-2t-1=0 \iff(3t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t\gt0\), on retient \(t=1\). Ainsi \(e^{x-3}=1\), donc \(x=3\), puis \(y=1-3=-2\).
Interprétation. Le changement d'inconnue transforme le système en une équation algébrique à une seule inconnue, puis l'autre valeur se déduit de \(x+y=1\).
Méthode. On pose \(u=e^{-x}\) et \(v=e^{-y}\). Ces deux nombres sont positifs. La seconde équation permet d'exprimer \(v\) en fonction de \(u\), puis on utilise la première.
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Posons \(u=e^{-x}\gt0\) et \(v=e^{-y}\gt0\). Comme \(e^{x-y}=\dfrac vu\), la seconde équation donne :
\[ 3\frac vu=4 \iff v=\frac43u. \]La première équation devient :
\[ 4u+3\left(\frac43u\right)=1 \iff8u=1. \]Donc \(u=\frac18\), puis \(v=\frac16\).
\[ e^{-x}=\frac18=e^{-\ln8} \iff x=\ln8, \] \[ e^{-y}=\frac16=e^{-\ln6} \iff y=\ln6. \]Interprétation. La positivité des deux nouvelles inconnues justifie les quotients utilisés et permet de revenir aux valeurs de \(x\) et \(y\).
Méthodes à retenir
Pour résoudre une inéquation exponentielle, il faut d'abord reconnaître si l'on peut comparer directement les exposants. La croissance stricte de l'exponentielle permet alors de conserver le sens de l'inégalité.
La positivité de l'exponentielle est un outil fondamental : elle permet de justifier les multiplications, d'étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, et parfois de conclure immédiatement.
Lorsqu'une expression comporte plusieurs puissances d'une même exponentielle, le changement d'inconnue ramène la question à une étude algébrique. Il est indispensable de conserver la condition de positivité de la nouvelle inconnue et de traduire correctement l'ensemble obtenu en fonction de \(x\).
Enfin, dans les systèmes exponentiels, les relations entre les exposants doivent être exploitées avant les calculs. Une substitution adaptée ou l'utilisation du logarithme permet souvent d'obtenir un système plus simple.
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