Correction détaillée des exercices 14 à 17
Fonctions exponentielles — Inéquations et systèmes
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 14Inéquations exponentielles élémentaires
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes :
\[ \begin{aligned} &1)\ e^{2x}\lt 1 &&2)\ e^{-x}\ge-3 &&3)\ e^{\frac x3}\lt e^2 &&4)\ e^{3x-1}>\sqrt[6]{e^5}\\[2mm] &5)\ 3\le4-e^{x^2} &&6)\ e^{-x+7}>e^x &&7)\ e^{-4x^2+2x}\ge1\\[2mm] &8)\ e^{5x+2\ln7}\ge\frac1{e^{4x}} &&9)\ \frac1{e^{2-x}}\le\frac3{e^{2x}} &&10)\ (e^x)^2>e^{x^2}. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(1=e^0\) et que l’exponentielle est strictement croissante :
\[ e^{2x}\lt e^0\iff 2x\lt 0\iff x\lt 0. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\), on a \(e^{-x}>0\). Donc :
\[ e^{-x}>0>-3. \]L’inégalité est vraie pour tout \(x\in\mathbb R\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Par croissance stricte de l’exponentielle :
\[ \frac x3\lt 2\iff x\lt 6. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit :
\[ \sqrt[6]{e^5}=e^{\frac56}. \]Par croissance stricte de l’exponentielle :
\[ 3x-1>\frac56 \iff 3x>\frac{11}{6} \iff x>\frac{11}{18}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On a :
\[ 3\le4-e^{x^2}\iff e^{x^2}\le1. \]Or \(x^2\ge0\), donc \(e^{x^2}\ge e^0=1\). L’inégalité est vérifiée seulement si \(e^{x^2}=1\), c’est-à-dire :
\[ x^2=0\iff x=0. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Par croissance stricte de l’exponentielle :
\[ -x+7>x \iff 7>2x \iff x\lt \frac72. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(1=e^0\), on obtient :
\[ -4x^2+2x\ge0. \]On factorise :
\[ 2x(1-2x)\ge0. \]Le produit est positif ou nul pour \(0\le x\le\frac12\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(\dfrac1{e^{4x}}=e^{-4x}\), l’inégalité devient :
\[ e^{5x+2\ln7}\ge e^{-4x}. \]Par croissance de l’exponentielle :
\[ 5x+2\ln7\ge-4x \iff 9x\ge-2\ln7 \iff x\ge-\frac{2\ln7}{9}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On écrit \(\dfrac1{e^{2-x}}=e^{x-2}\). Comme \(e^{2x}>0\), on multiplie les deux membres par \(e^{2x}\) :
\[ e^{3x-2}\le3=e^{\ln3}. \]Par croissance de l’exponentielle :
\[ 3x-2\le\ln3 \iff x\le\frac{2+\ln3}{3}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \((e^x)^2=e^{2x}\), on a :
\[ e^{2x}>e^{x^2}\iff 2x>x^2. \]Donc :
\[ x(2-x)>0. \]Le produit est strictement positif entre ses deux racines.
Exercice 15Inéquations avec logarithmes, quotients et produits
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes :
\[ \begin{aligned} &1)\ \ln(4-e^x)\ge2 &&2)\ (e^x+1)(e^x-5)>0 &&3)\ e^x-\frac9{e^x}\lt 0\\[2mm] &4)\ \frac{2-3e^{-x}}{1-3e^{-x}}\lt \frac12 &&5)\ \frac{16x}{e^{24x+9}}\ge2 &&6)\ \frac{e^{\frac53x}}{e^{4x+\frac32}}\ge e^{-2}\\[2mm] &7)\ (e^x-2)(e^x-4)\lt 0 &&8)\ -1\lt \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\lt 1. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Le logarithme impose \(4-e^x>0\). Si l’inégalité était vérifiée, la croissance de \(\ln\) donnerait :
\[ 4-e^x\ge e^2. \]Or \(e^x>0\), donc \(4-e^x\lt 4\), tandis que \(e^2>4\). C’est impossible.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\), \(e^x+1>0\). Le produit a donc le signe de \(e^x-5\) :
\[ (e^x+1)(e^x-5)>0 \iff e^x>5 \iff x>\ln5. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(e^x>0\), on multiplie par \(e^x\) sans changer le sens :
\[ e^{2x}-9\lt 0 \iff e^{2x}\lt 9=e^{2\ln3}. \]Par croissance de l’exponentielle :
\[ 2x\lt 2\ln3\iff x\lt \ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Le dénominateur doit être non nul :
\[ 1-3e^{-x}\ne0\iff x\ne\ln3. \]On ramène tout dans le membre de gauche :
\[ \frac{2-3e^{-x}}{1-3e^{-x}}-\frac12 = \frac{3(1-e^{-x})}{2(1-3e^{-x})}. \]Posons \(t=e^{-x}>0\). Il faut résoudre :
\[ \frac{1-t}{1-3t}\lt 0. \]Les valeurs critiques sont \(\frac13\) et \(1\). Le quotient est négatif pour :
\[ \frac13\lt t\lt 1. \]Donc \(\frac13\lt e^{-x}\lt 1\), ce qui équivaut à :
\[ 0\lt x\lt \ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Si \(x\le0\), alors \(\dfrac{16x}{e^{24x+9}}\le0\lt 2\). Il n’y a donc aucune solution avec \(x\le0\).
Supposons \(x>0\). D’après \(e^u\ge u+1\), appliqué à \(u=24x+9\) :
\[ e^{24x+9}\ge24x+10>8x. \]Comme \(x>0\), on obtient :
\[ \frac{16x}{e^{24x+9}}\lt \frac{16x}{8x}=2. \]L’inégalité est impossible également pour \(x>0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On simplifie le quotient :
\[ \frac{e^{\frac53x}}{e^{4x+\frac32}} = e^{-\frac73x-\frac32}. \]Par croissance de l’exponentielle :
\[ -\frac73x-\frac32\ge-2 \iff -\frac73x\ge-\frac12. \]En multipliant par \(-\frac37\), le sens s’inverse :
\[ x\le\frac3{14}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). L’inéquation devient :
\[ (t-2)(t-4)\lt 0. \]Le produit est négatif entre ses racines :
\[ 2\lt t\lt 4. \]Donc :
\[ \ln2\lt x\lt \ln4. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(x\), \(e^{2x}+1>0\).
D’une part :
\[ -1\lt \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \iff -(e^{2x}+1)\lt e^{2x}-1 \iff 0\lt 2e^{2x}, \]ce qui est toujours vrai.
D’autre part :
\[ \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\lt 1 \iff e^{2x}-1\lt e^{2x}+1, \]ce qui est également toujours vrai.
Exercice 16Inéquations résolues par changement d’inconnue
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes :
\[ \begin{aligned} &1)\ 7e^{2x}-4e^x-3>0 &&2)\ e^{3x}-6e^{2x}+3e^x\le0\\[2mm] &3)\ 1-2e^x\le2e^x(1-2e^x) &&4)\ \frac{e^x-1}{e^x+1}+1>0\\[2mm] &5)\ e^{2x}+e^{2(\ln2-x)}\le5 &&6)\ e^{2x}-e^{x+2}-e^{2-x}+1\le0. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). On obtient :
\[ 7t^2-4t-3>0. \]Or :
\[ 7t^2-4t-3=(7t+3)(t-1). \]Comme \(7t+3>0\), l’inégalité équivaut à \(t>1\), donc \(e^x>1\), d’où \(x>0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). Alors :
\[ t^3-6t^2+3t\le0 \iff t(t^2-6t+3)\le0. \]Comme \(t>0\), il faut résoudre :
\[ t^2-6t+3\le0. \]Les racines sont \(3-\sqrt6\) et \(3+\sqrt6\). Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines :
\[ 3-\sqrt6\le t\le3+\sqrt6. \]Comme \(t=e^x\), on obtient :
\[ \ln(3-\sqrt6)\le x\le\ln(3+\sqrt6). \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). Alors :
\[ 1-2t\le2t(1-2t) \iff 4t^2-4t+1\le0. \]Or :
\[ 4t^2-4t+1=(2t-1)^2. \]Un carré est inférieur ou égal à \(0\) seulement s’il est nul :
\[ 2t-1=0\iff t=\frac12. \]Donc \(e^x=\frac12=e^{-\ln2}\), d’où \(x=-\ln2\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(e^x+1>0\), on simplifie :
\[ \frac{e^x-1}{e^x+1}+1 = \frac{2e^x}{e^x+1}. \]Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout \(x\in\mathbb R\).
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On a :
\[ e^{2(\ln2-x)}=e^{2\ln2-2x}=4e^{-2x}. \]Posons \(t=e^{2x}>0\). Alors \(e^{-2x}=\frac1t\), et :
\[ t+\frac4t\le5. \]En multipliant par \(t>0\) :
\[ t^2-5t+4\le0 \iff (t-1)(t-4)\le0. \]Donc \(1\le t\le4\), c’est-à-dire :
\[ 1\le e^{2x}\le4 \iff 0\le x\le\ln2. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(t=e^x>0\). Alors :
\[ e^{2x}=t^2,\qquad e^{x+2}=e^2t,\qquad e^{2-x}=\frac{e^2}{t}. \]L’inéquation devient :
\[ t^2-e^2t-\frac{e^2}{t}+1\le0. \]En multipliant par \(t>0\) :
\[ t^3-e^2t^2+t-e^2\le0. \]On factorise par regroupement :
\[ (t-e^2)(t^2+1)\le0. \]Comme \(t^2+1>0\), on a \(t\le e^2\), donc \(e^x\le e^2\), d’où :
\[ x\le2. \]Exercice 17Systèmes exponentiels dans \(\mathbb R^2\)
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) les systèmes suivants :
\[ \begin{aligned} &1)\ \begin{cases} e^{x-y}=12e^{-2}\\ e^{x+y}=\dfrac43 \end{cases} && 2)\ \begin{cases} e^x+e^{-y+1}=e+1\\ e^{x-1}+e^{-y}=2 \end{cases}\\[4mm] &3)\ \begin{cases} 2e^{x+\ln2}-e^y=15\\ e^x+e^y=20 \end{cases} && 4)\ \begin{cases} e^{2x+1}=7e^y-10\\ 2(x-y)+1=0 \end{cases}\\[4mm] &5)\ \begin{cases} x+y=1\\ 3e^{x-3}-e^{y+2}=2 \end{cases} && 6)\ \begin{cases} 4e^{-x}+3e^{-y}=1\\ 3e^{x-y}=4 \end{cases}. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
En appliquant le logarithme aux deux équations :
\[ \begin{cases} x-y=\ln12-2\\ x+y=\ln\left(\dfrac43\right) \end{cases} \]En additionnant :
\[ 2x=\ln12+\ln\left(\frac43\right)-2=\ln16-2=4\ln2-2, \]d’où :
\[ x=2\ln2-1. \]En soustrayant la première équation de la seconde :
\[ 2y=\ln\left(\frac43\right)-\ln12+2 =\ln\left(\frac19\right)+2 =2-2\ln3. \]Ainsi :
\[ y=1-\ln3. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On a \(e^x=e\,e^{x-1}\) et \(e^{-y+1}=e\,e^{-y}\). La première équation devient donc :
\[ e\left(e^{x-1}+e^{-y}\right)=e+1. \]Or la seconde équation impose :
\[ e^{x-1}+e^{-y}=2. \]On obtiendrait alors \(2e=e+1\), donc \(e=1\), ce qui est faux. Le système est incompatible.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(e^{x+\ln2}=2e^x\), la première équation devient :
\[ 4e^x-e^y=15. \]Posons \(u=e^x>0\) et \(v=e^y>0\). On obtient :
\[ \begin{cases} 4u-v=15\\ u+v=20 \end{cases} \]En additionnant, \(5u=35\), donc \(u=7\). Puis \(v=13\).
\[ e^x=7\iff x=\ln7, \qquad e^y=13\iff y=\ln13. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
La seconde équation donne \(2x+1=2y\). Ainsi :
\[ e^{2x+1}=e^{2y}=(e^y)^2. \]La première équation devient :
\[ (e^y)^2-7e^y+10=0. \]Posons \(t=e^y>0\). Alors :
\[ t^2-7t+10=0 \iff (t-2)(t-5)=0. \]Donc \(t=2\) ou \(t=5\).
Si \(e^y=2\), alors \(y=\ln2\) et \(x=y-\frac12=\ln2-\frac12\).
Si \(e^y=5\), alors \(y=\ln5\) et \(x=\ln5-\frac12\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La première équation donne \(y=1-x\), donc \(y+2=3-x=-(x-3)\).
Posons \(t=e^{x-3}>0\). Alors \(e^{y+2}=e^{3-x}=\dfrac1t\). La seconde équation devient :
\[ 3t-\frac1t=2. \]En multipliant par \(t>0\) :
\[ 3t^2-2t-1=0 \iff (3t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t>0\), on retient \(t=1\). Ainsi \(e^{x-3}=1\), donc \(x=3\), puis \(y=1-3=-2\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(u=e^{-x}>0\) et \(v=e^{-y}>0\). Comme \(e^{x-y}=\dfrac vu\), la seconde équation donne :
\[ 3\frac vu=4 \iff v=\frac43u. \]La première équation devient :
\[ 4u+3\left(\frac43u\right)=1 \iff 8u=1. \]Donc \(u=\frac18\), puis \(v=\frac16\).
\[ e^{-x}=\frac18=e^{-\ln8}\iff x=\ln8, \] \[ e^{-y}=\frac16=e^{-\ln6}\iff y=\ln6. \]Méthodes à retenir
- La fonction exponentielle est strictement croissante : \(e^u\lt e^v\) équivaut à \(u\lt v\).
- Une exponentielle est toujours strictement positive.
- Lorsqu’on pose \(t=e^u\), il faut conserver la condition \(t>0\).
- Avant de multiplier une inégalité par une expression, il faut connaître son signe.
- Dans un système, l’introduction de \(e^x\), \(e^y\), \(e^{-x}\) ou \(e^{-y}\) permet souvent d’obtenir un système algébrique.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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