Correction du devoir 4
Équations xⁿ + x − 1 = 0 et suite de racines
2e Bac Sciences Mathématiques
Ce devoir étudie les racines positives des équations \(x^n+x-1=0\), puis utilise la fonction auxiliaire \[ f(x)=\frac{\ln(1-x)}{\ln x} \] pour établir la monotonie et la convergence de la suite des racines.
Devoir 4 Suite de racines d’équations
Pour \(n=1\).
\[ x+x-1=0 \]donc :
\[ 2x=1. \]Ainsi :
\[ x=\frac12. \]Pour \(n=2\).
\[ x^2+x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=1+4=5. \]Les deux solutions réelles sont :
\[ x=\frac{-1-\sqrt5}{2} \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]La seule solution positive est :
\[ x_2=\frac{\sqrt5-1}{2}. \]Pour tout \(x\ge0\) :
\[ h_n'(x)=n x^{n-1}+1. \]Comme \(n\ge1\) et \(x^{n-1}\ge0\), on a :
\[ h_n'(x)\gt0. \]La fonction \(h_n\) est donc strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
De plus :
\[ h_n(0)=-1\lt0 \]et :
\[ h_n(1)=1\gt0. \]La fonction \(h_n\) est continue sur \([0,+\infty[\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel \(x_n\in]0,1[\) tel que :
\[ h_n(x_n)=0. \]La stricte croissance de \(h_n\) assure l’unicité de cette racine.
Pour que \(\ln x\) soit défini, il faut :
\[ x\gt0. \]Pour que \(\ln(1-x)\) soit défini, il faut :
\[ 1-x\gt0, \]c’est-à-dire :
\[ x\lt1. \]Sur \(]0,1[\), on a automatiquement \(\ln x\ne0\). Donc :
\[ D_f=]0,1[. \]Limite en \(0^+\).
\[ \ln(1-x)\longrightarrow0 \]et :
\[ \frac1{\ln x}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f(x) = \ln(1-x)\cdot\frac1{\ln x} \longrightarrow0. \]Limite en \(1^-\).
Posons \(t=1-x\). Alors \(t\to0^+\), et :
\[ f(x)=\frac{\ln t}{\ln(1-t)}. \]On écrit :
\[ \frac{\ln t}{\ln(1-t)} = \frac{-\ln t}{t} \cdot \frac{t}{-\ln(1-t)}. \]Or :
\[ \frac{-\ln t}{t}\longrightarrow+\infty \]et :
\[ \frac{t}{-\ln(1-t)}\longrightarrow1. \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]Pour \(x\in]0,1[\), la règle du quotient donne :
\[ f'(x) = \frac{ -\dfrac{\ln x}{1-x} - \dfrac{\ln(1-x)}x }{ (\ln x)^2 }. \]En réduisant au même dénominateur :
\[ f'(x) = \frac{ -x\ln x-(1-x)\ln(1-x) }{ x(1-x)(\ln x)^2 }. \]Sur \(]0,1[\), on a :
\[ x\gt0, \qquad 1-x\gt0, \qquad (\ln x)^2\gt0. \]De plus, \(\ln x\lt0\) et \(\ln(1-x)\lt0\). Par conséquent :
\[ -x\ln x\gt0 \]et :
\[ -(1-x)\ln(1-x)\gt0. \]Ainsi :
\[ f'(x)\gt0 \qquad\text{pour tout }x\in]0,1[. \]La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,1[\).
Elle croît de \(0\) vers \(+\infty\).
La fonction \(f\) réalise donc une bijection de \(]0,1[\) sur \(]0,+\infty[\).
Par définition, \(x_n\) vérifie :
\[ x_n^n+x_n-1=0. \]Donc :
\[ x_n^n=1-x_n. \]Comme \(0\lt x_n\lt1\), les deux membres sont strictement positifs. On peut donc appliquer le logarithme népérien :
\[ \ln(x_n^n)=\ln(1-x_n). \]Ainsi :
\[ n\ln x_n=\ln(1-x_n). \]Comme \(\ln x_n\ne0\), on obtient :
\[ \frac{\ln(1-x_n)}{\ln x_n}=n. \]On sait que :
\[ f(x_n)=n \]et :
\[ f(x_{n+1})=n+1. \]Comme :
\[ n+1\gt n, \]on a :
\[ f(x_{n+1})\gt f(x_n). \]Or la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,1[\). Par conséquent :
\[ x_{n+1}\gt x_n. \]La suite \((x_n)\) est strictement croissante.
De plus, pour tout \(n\ge1\) :
\[ 0\lt x_n\lt1. \]Elle est donc majorée par \(1\). Une suite croissante et majorée est convergente. Notons \(\ell\) sa limite.
\[ 0\lt\ell\le1. \]Supposons que \(\ell\lt1\). Alors \(\ell\in]0,1[\), et la continuité de \(f\) sur \(]0,1[\) donnerait :
\[ f(x_n)\longrightarrow f(\ell). \]Mais :
\[ f(x_n)=n\longrightarrow+\infty, \]ce qui est impossible puisque \(f(\ell)\) est un réel fini.
Par conséquent :
\[ \ell=1. \]Méthodes à retenir
- La continuité et la stricte monotonie permettent de démontrer l’existence et l’unicité d’une racine.
- Une relation de la forme \(x_n^n=1-x_n\) peut être transformée par le logarithme lorsque les deux membres sont positifs.
- Une fonction auxiliaire strictement croissante permet de comparer les termes d’une suite définie implicitement.
- Une suite croissante et majorée converge.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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