Correction du devoir 5
Étude d’une fonction logarithmique et d’une suite implicite
2e Bac Sciences Mathématiques
Ce devoir étudie la fonction définie sur \(]-\infty,1[\) par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{-x}{(1-x)\ln(1-x)},&x\ne0,\\[2mm] 1,&x=0. \end{cases} \] On établit sa continuité, sa dérivabilité, ses variations et ses limites, puis on étudie la suite \((u_n)\) définie implicitement par \(f(u_n)=n\).
Devoir 5 Fonction logarithmique et suite définie implicitement
Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x\in]-\infty,1[\) par :
\[ f(x)=\frac{-x}{(1-x)\ln(1-x)} \quad\text{si }x\ne0, \qquad f(0)=1. \]1) Montrer que \(f\) est continue sur \(]-\infty,1[\).
2-a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R_-^*\) et sur \(]0,1[\).
2-b) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]-\infty,0[\cup]0,1[\).
2-c) Déterminer le signe de \(\ln(1-x)+x\), lorsque \(x\in]-\infty,0[\), puis en déduire les variations de \(f\).
2-d) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
2-e) On admet que \(f\) est dérivable en \(0\) et que :
\[ f'(0)=\frac12. \]Dresser le tableau complet de variations de \(f\).
3-a) Établir que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), il existe un seul réel de \([0,1[\), noté \(u_n\), tel que \(f(u_n)=n\).
3-b) Donner la valeur de \(u_1\).
3-c) Montrer que la suite \((u_n)\) converge en précisant sa limite.
Continuité sur \(]-\infty,0[\cup]0,1[\).
Pour tout \(x\in]-\infty,1[\), on a \(1-x\gt0\), donc \(\ln(1-x)\) est défini. De plus :
\[ \ln(1-x)=0 \iff 1-x=1 \iff x=0. \]Ainsi, pour \(x\ne0\), le dénominateur \((1-x)\ln(1-x)\) ne s’annule pas. La fonction
\[ x\longmapsto\frac{-x}{(1-x)\ln(1-x)} \]est donc continue sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,1[\).
Continuité en \(0\).
Pour \(x\ne0\), on écrit :
\[ f(x) = \frac1{1-x}\cdot\frac{-x}{\ln(1-x)}. \]Posons \(u=-x\). Lorsque \(x\to0\), on a \(u\to0\) et \(1-x=1+u\). La limite fondamentale
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1 \]donne :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{-x}=1. \]Comme cette limite est non nulle, on peut passer à l’inverse :
\[ \lim_{x\to0}\frac{-x}{\ln(1-x)}=1. \]D’autre part :
\[ \lim_{x\to0}\frac1{1-x}=1. \]Par produit :
\[ \lim_{x\to0}f(x)=1=f(0). \]Sur \(]-\infty,0[\cup]0,1[\), les fonctions \(x\mapsto-x\), \(x\mapsto1-x\) et \(x\mapsto\ln(1-x)\) sont dérivables.
De plus, pour \(x\ne0\) :
\[ (1-x)\ln(1-x)\ne0. \]Ainsi, \(f\) est le quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Posons :
\[ u(x)=-x, \qquad v(x)=(1-x)\ln(1-x). \]On a :
\[ u'(x)=-1. \]Calculons \(v'(x)\) à l’aide de la formule du produit :
\[ \begin{aligned} v'(x) &=(1-x)'\ln(1-x) +(1-x)\big(\ln(1-x)\big)'\\ &=-\ln(1-x) +(1-x)\left(-\frac1{1-x}\right)\\ &=-\ln(1-x)-1. \end{aligned} \]La règle de dérivation d’un quotient donne :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ -(1-x)\ln(1-x) -(-x)\big(-\ln(1-x)-1\big) }{ (1-x)^2\ln^2(1-x) }\\[1mm] &= \frac{ -(1-x)\ln(1-x)-x\ln(1-x)-x }{ (1-x)^2\ln^2(1-x) }\\[1mm] &= -\frac{\ln(1-x)+x} {(1-x)^2\ln^2(1-x)}. \end{aligned} \]Considérons la fonction \(h\), définie sur \(]-\infty,1[\), par :
\[ h(x)=\ln(1-x)+x. \]Sa dérivée est :
\[ h'(x) = -\frac1{1-x}+1 = -\frac{x}{1-x}. \]Sur \(]-\infty,0[\).
On a \(x\lt0\) et \(1-x\gt0\), donc \(h'(x)\gt0\). La fonction \(h\) est strictement croissante sur \(]-\infty,0]\). Comme \(h(0)=0\), on obtient :
\[ \boxed{ \ln(1-x)+x\lt0 \quad\text{pour tout }x\in]-\infty,0[. } \]Le dénominateur de \(f'(x)\) est strictement positif pour \(x\ne0\). Par conséquent :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{sur }]-\infty,0[. \]La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]-\infty,0[\).
sur \(]0,1[\), on a \(h'(x)\lt0\). Comme \(h(0)=0\), on obtient encore \(h(x)\lt0\). Ainsi \(f'(x)\gt0\) également sur \(]0,1[\).
Limite lorsque \(x\to-\infty\).
Posons \(t=1-x\). Alors \(t\to+\infty\) et \(-x=t-1\). Donc :
\[ f(x) = \frac{t-1}{t\ln t} = \frac{1-\frac1t}{\ln t}. \]Or :
\[ 1-\frac1t\longrightarrow1, \qquad \ln t\longrightarrow+\infty. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de \(-\infty\).
Limite lorsque \(x\to1^-\).
Posons encore \(t=1-x\). Alors \(t\to0^+\), \(-x=t-1\), et :
\[ f(x)=\frac{t-1}{t\ln t}. \]On a :
\[ t-1\longrightarrow-1, \qquad t\ln t\longrightarrow0^-. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]La droite \(x=1\) est une asymptote verticale à la courbe.
D’après les résultats précédents :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{sur }]-\infty,0[\cup]0,1[. \]De plus :
\[ f'(0)=\frac12\gt0. \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur tout \(]-\infty,1[\).
On connaît également :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, \qquad f(0)=1, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]Sur \(]-\infty,0]\), on a \(f'(x)\gt0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante : elle part de la limite \(0\) lorsque \(x\to-\infty\) et atteint \[ f(0)=1. \]
Sur \([0,1[\), on a encore \(f'(x)\gt0\). La fonction \(f\) reste strictement croissante : elle part de \(1\) en \(x=0\) et tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\to1^-\).
Ainsi, sur tout \(]-\infty,1[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).
La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,1[\).
Elle croît de \(0\) vers \(+\infty\) et passe par le point \(A(0,1)\).
La restriction de \(f\) à \([0,1[\) est continue et strictement croissante. De plus :
\[ f(0)=1, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]D’après le théorème de la bijection, \(f\) réalise une bijection de \([0,1[\) sur \([1,+\infty[\).
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a \(n\ge1\), donc \(n\in[1,+\infty[\). Il existe alors un unique \(u_n\in[0,1[\) tel que :
\[ f(u_n)=n. \]Par définition :
\[ f(u_1)=1. \]Or \(f(0)=1\). L’unicité établie à la question précédente donne :
Monotonie de la suite.
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ f(u_n)=n, \qquad f(u_{n+1})=n+1. \]Comme \(n+1\gt n\), on obtient :
\[ f(u_{n+1})\gt f(u_n). \]La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \([0,1[\), elle conserve l’ordre. Ainsi :
\[ u_{n+1}\gt u_n. \]La suite \((u_n)\) est donc strictement croissante.
Convergence.
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a \(u_n\in[0,1[\). Donc :
\[ 0\le u_n\lt1. \]La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\). Elle est donc convergente. Notons :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n, \qquad 0\le\ell\le1. \]Détermination de la limite.
Supposons \(\ell\lt1\). Alors \(\ell\in[0,1[\), et la continuité de \(f\) en \(\ell\) donnerait :
\[ f(u_n)\longrightarrow f(\ell). \]Mais :
\[ f(u_n)=n\longrightarrow+\infty, \]ce qui est impossible puisque \(f(\ell)\) est un réel fini. Ainsi, \(\ell\lt1\) est impossible. Comme \(\ell\le1\), on obtient :
\[ \ell=1. \]Méthodes à retenir
- Pour une fonction définie par morceaux, il faut vérifier séparément la continuité au point de raccord.
- La limite fondamentale \(\displaystyle\frac{\ln(1+u)}u\to1\) permet de traiter \(\ln(1-x)\) au voisinage de \(0\).
- Une fonction auxiliaire permet d’étudier le signe d’une expression apparaissant dans la dérivée.
- Une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection de son intervalle de définition sur son image.
- La stricte croissance de \(f\) permet de comparer les termes de la suite définie par \(f(u_n)=n\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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