Correction du devoir 6
Famille de fonctions logarithmiques dépendant d’un paramètre
2e Bac Sciences Mathématiques
Ce devoir étudie, pour \(m\in\mathbb R^*\), la fonction : \[ f_m(x)= \begin{cases} 1+x-mx\ln|x|,&x\ne0,\\[2mm] 1,&x=0. \end{cases} \] On examine sa continuité et sa dérivabilité en \(0\), la symétrie de sa courbe, ses branches infinies, ses points fixes et ses variations. Le cas particulier \(m=1\) est ensuite étudié et tracé.
Devoir 6 Étude de la famille de fonctions \(f_m\)
Soit \(f_m\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f_m(x)= \begin{cases} 1+x-mx\ln|x|,&x\ne0,\\[2mm] 1,&x=0, \end{cases} \]où \(m\) est un paramètre réel non nul. On note \(\mathcal C_m\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Étudier la continuité de \(f_m\) en \(0\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f_m\) en \(0\).
3) Montrer que \(A(0;1)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal C_m\).
4) Étudier les branches infinies de \(\mathcal C_m\), selon les valeurs de \(m\).
5) Montrer que toutes les courbes \(\mathcal C_m\) passent par trois points fixes.
6) Étudier les variations de \(f_m\).
7-a) Dresser les variations de \(f_1\).
7-b) Montrer que \(\mathcal C_1\) coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse \(\alpha\in]3,4[\).
7-c) Tracer \(\mathcal C_1\).
Pour \(x\ne0\) :
\[ f_m(x)=1+x-mx\ln|x|. \]On utilise la limite fondamentale :
\[ \lim_{t\to0^+}t\ln t=0. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(|x|=x\), donc :
\[ x\ln|x|=x\ln x\longrightarrow0. \]Lorsque \(x\to0^-\), posons \(t=-x\). Alors \(t\to0^+\), \(|x|=t\), et :
\[ x\ln|x|=-t\ln t\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0}x\ln|x|=0. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to0}f_m(x) &=\lim_{x\to0}\left(1+x-mx\ln|x|\right)\\ &=1. \end{aligned} \]Or \(f_m(0)=1\). Donc :
Pour \(x\ne0\), le taux d’accroissement en \(0\) est :
\[ \begin{aligned} \frac{f_m(x)-f_m(0)}x &= \frac{1+x-mx\ln|x|-1}{x}\\ &=1-m\ln|x|. \end{aligned} \]Or, lorsque \(x\to0\) :
\[ \ln|x|\longrightarrow-\infty. \]Si \(m\gt0\).
\[ 1-m\ln|x|\longrightarrow+\infty. \]Si \(m\lt0\).
\[ 1-m\ln|x|\longrightarrow-\infty. \]Dans les deux cas, la limite du taux d’accroissement n’est pas un réel fini. Ainsi, \(f_m\) n’est pas dérivable en \(0\).
Le domaine de \(f_m\) est \(\mathbb R\), qui est symétrique par rapport à \(0\).
Pour \(x\ne0\), comme \(|-x|=|x|\), on a :
\[ \begin{aligned} f_m(-x) &=1-x-m(-x)\ln|-x|\\ &=1-x+mx\ln|x|. \end{aligned} \]Donc :
\[ \begin{aligned} f_m(-x)+f_m(x) &=1-x+mx\ln|x|\\ &\quad+1+x-mx\ln|x|\\ &=2. \end{aligned} \]Pour \(x=0\), on a également \(f_m(0)+f_m(0)=2\).
Pour \(x\ne0\) :
\[ \frac{f_m(x)}x = \frac1x+1-m\ln|x|. \]Lorsque \(x\to\pm\infty\) :
\[ \frac1x\longrightarrow0, \qquad \ln|x|\longrightarrow+\infty. \]Si \(m\gt0\), alors \(\dfrac{f_m(x)}x\to-\infty\). Si \(m\lt0\), alors \(\dfrac{f_m(x)}x\to+\infty\).
Dans les deux cas :
\[ \left|\frac{f_m(x)}x\right|\longrightarrow+\infty. \]Les branches infinies sont donc paraboliques de direction l’axe des ordonnées.
Si \(m\gt0\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f_m(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f_m(x)=-\infty. \]Si \(m\lt0\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f_m(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f_m(x)=+\infty. \]Pour \(x=0\), on a directement :
\[ f_m(0)=1. \]Le point \((0;1)\) est donc commun à toutes les courbes \(\mathcal C_m\).
Considérons maintenant \(x\ne0\). L’ordonnée \(f_m(x)=1+x-mx\ln|x|\) est indépendante de \(m\) lorsque :
\[ x\ln|x|=0. \]Comme \(x\ne0\), cette égalité équivaut à :
\[ \ln|x|=0 \iff |x|=1 \iff x=-1\text{ ou }x=1. \]On calcule alors :
\[ f_m(-1)=0, \qquad f_m(1)=2. \]Toutes les courbes \(\mathcal C_m\) passent par ces trois points fixes.
Pour \(x\ne0\) :
\[ \left(x\ln|x|\right)'=\ln|x|+1. \]Donc :
\[ f_m'(x)=1-m-m\ln|x|. \]Résolvons \(f_m'(x)=0\) :
\[ \begin{aligned} 1-m-m\ln|x|=0 &\iff \ln|x|=\frac1m-1\\ &\iff |x|=e^{\frac1m-1}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ f_m'(x)=0 \iff x=-e^{\frac1m-1} \text{ ou } x=e^{\frac1m-1}. \]Premier cas : \(m\gt0\).
On a \(f_m'(x)\gt0\) lorsque \(|x|\lt e^{\frac1m-1}\), et \(f_m'(x)\lt0\) lorsque \(|x|\gt e^{\frac1m-1}\).
Sur \(]-\infty,-e^{\frac1m-1}]\), \(f_m\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \[ f_m\left(-e^{\frac1m-1}\right) = 1-me^{\frac1m-1}. \]
Sur \([-e^{\frac1m-1},e^{\frac1m-1}]\), \(f_m\) est strictement croissante, en passant par \(f_m(0)=1\), jusqu’à \[ f_m\left(e^{\frac1m-1}\right) = 1+me^{\frac1m-1}. \]
Sur \([e^{\frac1m-1},+\infty[\), \(f_m\) est strictement décroissante vers \(-\infty\).
Deuxième cas : \(m\lt0\).
On a \(f_m'(x)\gt0\) lorsque \(|x|\gt e^{\frac1m-1}\), et \(f_m'(x)\lt0\) lorsque \(|x|\lt e^{\frac1m-1}\).
Sur \(]-\infty,-e^{\frac1m-1}]\), \(f_m\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \[ f_m\left(-e^{\frac1m-1}\right) = 1-me^{\frac1m-1}. \]
Sur \([-e^{\frac1m-1},e^{\frac1m-1}]\), \(f_m\) est strictement décroissante, en passant par \(f_m(0)=1\), jusqu’à \[ f_m\left(e^{\frac1m-1}\right) = 1+me^{\frac1m-1}. \]
Sur \([e^{\frac1m-1},+\infty[\), \(f_m\) est strictement croissante vers \(+\infty\).
Pour \(m=1\) :
\[ f_1(x)= \begin{cases} 1+x-x\ln|x|,&x\ne0,\\[2mm] 1,&x=0. \end{cases} \]Pour \(x\ne0\) :
\[ f_1'(x)=-\ln|x|. \]Si \(|x|\gt1\), alors \(\ln|x|\gt0\), donc \(f_1'(x)\lt0\).
Si \(0\lt|x|\lt1\), alors \(\ln|x|\lt0\), donc \(f_1'(x)\gt0\).
Les valeurs utiles sont :
\[ f_1(-1)=0, \qquad f_1(0)=1, \qquad f_1(1)=2. \]Sur \(]-\infty,-1]\), \(f_1\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).
Sur \([-1,0]\), \(f_1\) est strictement croissante de \(0\) vers \(1\).
Sur \([0,1]\), \(f_1\) reste strictement croissante de \(1\) vers \(2\).
Sur \([1,+\infty[\), \(f_1\) est strictement décroissante de \(2\) vers \(-\infty\).
La fonction \(f_1\) est continue et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\).
\[ f_1(3)=4-3\ln3. \]Avec \(\ln3\simeq1{,}0986\) :
\[ f_1(3)\simeq0{,}7042\gt0. \] \[ f_1(4)=5-4\ln4. \]Avec \(\ln4\simeq1{,}3863\) :
\[ f_1(4)\simeq-0{,}5452\lt0. \]Comme \(f_1(3)\gt0\) et \(f_1(4)\lt0\), le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’un réel \(\alpha\in]3,4[\) tel que \(f_1(\alpha)=0\).
La stricte décroissance de \(f_1\) sur \([1,+\infty[\) assure l’unicité de cette solution sur cet intervalle.
Numériquement :
\[ \alpha\simeq3{,}591. \]La courbe décroît jusqu’au minimum \((-1;0)\), croît ensuite jusqu’au maximum \((1;2)\), puis redescend, coupe l’axe des abscisses en \((\alpha;0)\) et tend vers \(-\infty\). Le point \(A(0;1)\) est son centre de symétrie et la droite \(x=0\) est sa tangente verticale en ce point.
Méthodes à retenir
- La limite \(x\ln|x|\to0\) permet de prolonger continûment une expression logarithmique en \(0\).
- Une limite infinie du taux d’accroissement donne une tangente verticale, mais pas une dérivée réelle finie.
- La relation \(f(-x)+f(x)=2b\) caractérise une symétrie centrale de centre \((0;b)\).
- Les points fixes d’une famille sont obtenus en annulant le coefficient du paramètre.
- L’étude des variations dépend ici du signe de \(m\), sans introduire de notation auxiliaire étrangère au manuel.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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