Correction du problème 2
Équation exponentielle, étude de fonction et suites
Examen National 2003 — Session normale
Ce problème étudie les solutions positives de l’équation \[ (E):\quad e^x=x^n, \qquad n\in\mathbb N^*, \] à l’aide de la fonction \[ f(0)=0, \qquad f(x)=\frac{x}{\ln x} \] définie sur \(D=[0,1[\cup]1,+\infty[\). La première partie est consacrée à l’étude complète de \(f\). La deuxième partie exploite les deux solutions \(a_n\) et \(b_n\) afin d’étudier leur comportement lorsque \(n\to+\infty\).
Problème 2 Équation \(e^x=x^n\) et suites de solutions
Première partie. On veut étudier les solutions positives de l’équation :
\[ (E):\quad e^x=x^n, \qquad n\in\mathbb N^*. \]On considère la fonction \(f\) définie sur :
\[ D=[0,1[\cup]1,+\infty[ \]par :
\[ f(x)=\frac{x}{\ln x}\quad\text{si }x\ne0, \qquad f(0)=0. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Deuxième partie. On étudie la convergence des suites \((a_n)_{n\ge3}\) et \((b_n)_{n\ge3}\), où \(a_n\) et \(b_n\) sont les deux solutions obtenues dans la première partie.
Première partie — Étude de la fonction \(f\)
Soit \(x\in]0,1[\cup]1,+\infty[\). Alors \(x>0\) et \(x\ne1\). Par conséquent, \(\ln x\) existe et \(\ln x\ne0\).
Les deux membres de l’égalité \(e^x=x^n\) étant strictement positifs, on peut appliquer le logarithme népérien :
\[ \begin{aligned} e^x=x^n &\iff \ln(e^x)=\ln(x^n)\\[2mm] &\iff x=n\ln x. \end{aligned} \]Comme \(\ln x\ne0\), on peut diviser par \(\ln x\) :
\[ x=n\ln x \iff n=\frac{x}{\ln x}. \]Or, pour \(x\ne0\) appartenant à \(D\) :
\[ f(x)=\frac{x}{\ln x}. \]Toutes les transformations précédentes étant équivalentes, on obtient :
Comme \(0\) est l’extrémité gauche de l’ensemble de définition, on étudie le taux d’accroissement lorsque \(x\to0^+\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}. \]Pour \(x\in]0,1[\), on a \(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\) et \(f(0)=0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} &=\frac{\dfrac{x}{\ln x}}{x}\\[2mm] &=\frac1{\ln x}. \end{aligned} \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac1{\ln x}=0. \]La limite du taux d’accroissement existe et est finie. Par conséquent, \(f\) est dérivable à droite en \(0\), et :
Géométriquement, \(\mathcal C\) admet au point \(O(0,0)\) une demi-tangente à droite horizontale, d’équation :
\[ \boxed{y=0.} \]1. Limite lorsque \(x\to1^-\).
Lorsque \(x\to1^-\), on a \(x\to1\) et \(\ln x\to0^-\). Le numérateur tend vers \(1>0\), tandis que le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs négatives. Donc :
\[ \boxed{ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty. } \]2. Limite lorsque \(x\to1^+\).
Lorsque \(x\to1^+\), on a \(x\to1\) et \(\ln x\to0^+\). Le numérateur tend vers \(1>0\), tandis que le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs positives. Donc :
\[ \boxed{ \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty. } \]Les deux limites précédentes montrent que la droite :
\[ \boxed{x=1} \]est une asymptote verticale à la courbe \(\mathcal C\).
3. Limite lorsque \(x\to+\infty\).
On utilise la limite fondamentale :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0. \]Pour \(x>1\), on a \(\dfrac{\ln x}{x}>0\), et :
\[ f(x) =\frac{x}{\ln x} =\frac1{\dfrac{\ln x}{x}}. \]Comme \(\dfrac{\ln x}{x}\to0^+\), on obtient :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. } \]4. Limite de \(\dfrac{f(x)}x\).
Pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)}x =\frac{\dfrac{x}{\ln x}}x =\frac1{\ln x}. \]Or \(\ln x\to+\infty\). Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=0. } \]Pour tout \(x\in]0,1[\cup]1,+\infty[\), la fonction \(f\) est dérivable et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{1\cdot\ln x-x\cdot\dfrac1x}{(\ln x)^2}\\[2mm] &=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. } \]Comme \((\ln x)^2>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(\ln x-1\).
Sur \(]0,1[\).
On a \(\ln x<0\), donc \(\ln x-1<0\). Par conséquent :
\[ f'(x)<0. \]La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,1[\). De plus, pour tout \(x\in]0,1[\), \(f(x)<0=f(0)\). Elle est donc strictement décroissante sur \([0,1[\).
Sur \(]1,+\infty[\).
On résout :
\[ \ln x-1=0 \iff \ln x=1 \iff x=e. \]Si \(1<x<e\), alors \(0<\ln x<1\), donc \(f'(x)<0\).
Si \(x>e\), alors \(\ln x>1\), donc \(f'(x)>0\).
Enfin :
\[ f(e)=\frac{e}{\ln e}=e. \]Traduction textuelle du tableau de variations :
• Sur \([0,1[\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(f(0)=0\) vers \(-\infty\) lorsque \(x\to1^-\).
• Sur \(]1,e]\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) lorsque \(x\to1^+\) jusqu’à \(f(e)=e\).
• Sur \([e,+\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(e\) vers \(+\infty\).
On a :
\[ f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \]Pour calculer la dérivée seconde, on peut écrire :
\[ f'(x)=(\ln x-1)(\ln x)^{-2}. \]Pour tout \(x\in]0,1[\cup]1,+\infty[\) :
\[ \begin{aligned} f''(x) &=\frac1x(\ln x)^{-2} -\frac{2(\ln x-1)}{x(\ln x)^3}\\[2mm] &=\frac{\ln x-2(\ln x-1)}{x(\ln x)^3}\\[2mm] &=\frac{2-\ln x}{x(\ln x)^3}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ f''(x)=\frac{2-\ln x}{x(\ln x)^3}. } \]Sur \(]0,1[\). On a \(2-\ln x>0\), \(x>0\) et \((\ln x)^3<0\). Donc \(f''(x)<0\), et \(\mathcal C\) est concave sur \(]0,1[\).
Sur \(]1,e^2[\). On a \(0<\ln x<2\). Ainsi \(2-\ln x>0\) et \((\ln x)^3>0\). Donc \(f''(x)>0\), et \(\mathcal C\) est convexe sur \(]1,e^2[\).
Sur \(]e^2,+\infty[\). On a \(\ln x>2\), donc \(2-\ln x<0\), tandis que le dénominateur est positif. Par conséquent \(f''(x)<0\), et \(\mathcal C\) est concave sur \(]e^2,+\infty[\).
La dérivée seconde s’annule pour :
\[ 2-\ln x=0 \iff \ln x=2 \iff x=e^2. \]Elle change de signe de \(+\) vers \(-\) en \(e^2\). La courbe admet donc un point d’inflexion d’abscisse \(e^2\).
Son ordonnée vaut :
\[ f(e^2)=\frac{e^2}{\ln(e^2)}=\frac{e^2}{2}. \]La construction repose sur tous les résultats précédents.
Branche sur \([0,1[\). La courbe passe par \(O(0,0)\), où elle admet la demi-tangente horizontale \(y=0\). Elle reste sous l’axe des abscisses, elle est strictement décroissante et concave, puis elle tend vers \(-\infty\) lorsque \(x\to1^-\).
Asymptote verticale. La droite \(x=1\) est une asymptote verticale. À gauche de cette droite, \(f(x)\to-\infty\), tandis qu’à droite, \(f(x)\to+\infty\).
Branche sur \(]1,+\infty[\). La courbe décroît de \(+\infty\) jusqu’au minimum \(A(e,e)\), où la tangente est horizontale d’équation \(y=e\). Elle croît ensuite vers \(+\infty\).
Concavité. La branche droite est convexe sur \(]1,e^2[\), passe par le point d’inflexion \(I\left(e^2;\dfrac{e^2}{2}\right)\), puis devient concave sur \(]e^2,+\infty[\).
Au voisinage de \(+\infty\). La courbe admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
Schéma qualitatif de \(\mathcal C\), construit à partir des limites, des variations et de la concavité.
D’après la question 1 :
\[ e^x=x^n \iff f(x)=n. \]On cherche donc les intersections de \(\mathcal C\) avec la droite horizontale d’équation \(y=n\).
Sur \([0,1[\).
On a \(f(0)=0\) et, pour tout \(x\in]0,1[\), \(\ln x<0\), donc :
\[ f(x)=\frac{x}{\ln x}<0. \]Comme \(n\ge3>0\), l’équation \(f(x)=n\) n’admet aucune solution dans \([0,1[\).
Sur \(]1,e]\).
La fonction \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]1,e]\), avec :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad f(e)=e. \]On sait que \(e<3\), et \(n\ge3\). Ainsi :
\[ e=f(e)<n<+\infty. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(a_n\in]1,e[\) tel que \(f(a_n)=n\). Comme \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle, cette solution est unique.
Sur \([e,+\infty[\).
La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \([e,+\infty[\), avec :
\[ f(e)=e<n \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(b_n\in]e,+\infty[\) tel que \(f(b_n)=n\). La stricte croissance de \(f\) assure l’unicité de cette solution.
Deuxième partie — Convergence des suites \((a_n)\) et \((b_n)\)
Comme \(b_n\) est une solution de \((E)\), on a, d’après la première partie :
\[ f(b_n)=n. \]Donc :
\[ \frac{b_n}{\ln(b_n)}=n, \]ce qui donne :
\[ b_n=n\ln(b_n). \]Or \(b_n>e\). La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), on obtient :
\[ \ln(b_n)>\ln e=1. \]Comme \(n>0\), on peut multiplier cette inégalité par \(n\) :
\[ n\ln(b_n)>n. \]Puisque \(n\ln(b_n)=b_n\), on a même :
\[ b_n>n. \]En particulier :
\[ \boxed{b_n\ge n.} \]Enfin, \(n\to+\infty\) et \(b_n\ge n\). D’après le théorème de comparaison :
Pour tout entier \(n\ge3\), on a :
\[ f(a_n)=n. \]Au rang \(n+1\), on a également :
\[ f(a_{n+1})=n+1. \]Par conséquent :
\[ f(a_{n+1})=n+1>n=f(a_n). \]Or \(a_n\) et \(a_{n+1}\) appartiennent à \(]1,e[\), intervalle sur lequel \(f\) est strictement décroissante. L’ordre des images étant inversé par une fonction strictement décroissante, on en déduit :
\[ a_{n+1}<a_n. \]Ainsi, la suite \((a_n)_{n\ge3}\) est strictement décroissante.
D’autre part, pour tout \(n\ge3\) :
\[ a_n>1. \]La suite \((a_n)\) est donc minorée par \(1\). Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Comme \(f(a_n)=n\), on a :
\[ \frac{a_n}{\ln(a_n)}=n. \]Puisque \(a_n>1\), on a \(\ln(a_n)>0\). L’égalité précédente peut donc s’écrire :
\[ a_n=n\ln(a_n), \]puis :
\[ \ln(a_n)=\frac{a_n}{n}. \]Or, d’après la première partie :
\[ 1<a_n<e. \]Comme \(n>0\), la division par \(n\) conserve le sens des inégalités :
\[ \frac1n<\frac{a_n}{n}<\frac en. \]En utilisant \(\dfrac{a_n}{n}=\ln(a_n)\), on obtient :
\[ \boxed{ \frac1n<\ln(a_n)<\frac en. } \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac en=0. \]D’après le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{n\to+\infty}\ln(a_n)=0. \]Comme \(a_n=e^{\ln(a_n)}\) et que la fonction exponentielle est continue en \(0\), on en déduit :
Pour tout entier \(n\ge3\), le nombre \(a_n\) est une solution de l’équation :
\[ e^x=x^n. \]En remplaçant \(x\) par \(a_n\), on obtient :
\[ e^{a_n}=a_n^n. \]D’après la question précédente :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1. \]La fonction exponentielle étant continue sur \(\mathbb R\), on a :
\[ \lim_{n\to+\infty}e^{a_n} =e^{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n} =e^1 =e. \]Comme \(a_n^n=e^{a_n}\), il vient :
Méthodes à retenir
- Pour transformer une équation contenant une exponentielle et une puissance positive, on peut appliquer le logarithme népérien aux deux membres.
- Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence d’une solution ; la stricte monotonie permet ensuite d’établir son unicité.
- Une étude complète de fonction rassemble les limites, les asymptotes, la dérivée, les variations, la dérivée seconde et la concavité.
- Les relations \(f(a_n)=n\) et \(f(b_n)=n\) permettent de transformer l’étude des suites en égalités et en encadrements simples.
- Pour déterminer \(\lim a_n^n\), il est ici préférable d’utiliser directement l’équation vérifiée par \(a_n\) : \(a_n^n=e^{a_n}\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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