Correction des exercices 18 à 21 — Suites adjacentes
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 18
Dans chacun des cas suivants, montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.
1. \[ u_n=\frac{2n}{n+2} \qquad\text{et}\qquad v_n=2+\frac1{n!}. \] 2. \[ u_n= 1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{n!} \] et : \[ v_n=u_n+\frac1{n\,n!}. \] 3. \[ u_n= \sum_{k=1}^{n-1} \frac1{k^2(k+1)^2} \] et : \[ v_n=u_n+\frac1{3n^2}. \]
1. Premier cas
Lire la réponse +
a) Monotonie de la suite \((u_n)\)
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on calcule :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{2(n+1)}{n+3} - \frac{2n}{n+2}\\ &= \frac{ 2(n+1)(n+2)-2n(n+3) }{ (n+2)(n+3) }\\ &= \frac{ 2\left[(n+1)(n+2)-n(n+3)\right] }{ (n+2)(n+3) }. \end{aligned} \]Or :
\[ (n+1)(n+2)-n(n+3) = n^2+3n+2-n^2-3n = 2. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac4{(n+2)(n+3)}. \]Comme le dénominateur est strictement positif :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]b) Monotonie de la suite \((v_n)\)
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= \left(2+\frac1{(n+1)!}\right) - \left(2+\frac1{n!}\right)\\ &= \frac1{(n+1)!}-\frac1{n!}\\ &= \frac1{n!} \left( \frac1{n+1}-1 \right)\\ &= -\frac{n}{(n+1)n!}. \end{aligned} \]Donc :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0 \qquad\text{pour tout }n\ge1. \]De plus, \(v_1=v_0=3\). Ainsi :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est décroissante.}} \]c) Limite de la différence
On peut écrire :
\[ u_n = \frac{2n}{n+2} = 2-\frac4{n+2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} v_n-u_n &= 2+\frac1{n!} - \left( 2-\frac4{n+2} \right)\\ &= \frac1{n!} + \frac4{n+2}. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac1{n!}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac4{n+2}\to0. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \]La suite \((u_n)\) est croissante, la suite \((v_n)\) est décroissante et leur différence tend vers \(0\). Donc : \[ \boxed{(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont adjacentes}.} \] Elles convergent toutes les deux vers \(2\).
2. Deuxième cas
Lire la réponse +
a) Croissance de la suite \((u_n)\)
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1} = u_n+\frac1{(n+1)!}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{(n+1)!}\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]b) Décroissance de la suite \((v_n)\)
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ v_{n+1} = u_{n+1} + \frac1{(n+1)(n+1)!}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-u_n + \frac1{(n+1)(n+1)!} - \frac1{n\,n!}\\ &= \frac1{(n+1)!} + \frac1{(n+1)(n+1)!} - \frac1{n\,n!}. \end{aligned} \]Comme \((n+1)!=(n+1)n!\), on obtient :
\[ v_{n+1}-v_n = -\frac1{n(n+1)^2n!}. \]Ainsi :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est strictement décroissante.}} \]c) Limite de la différence
D’après la définition de \(v_n\) :
\[ v_n-u_n=\frac1{n\,n!}. \]Or :
\[ \frac1{n\,n!}\to0. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \]3. Troisième cas
Lire la réponse +
a) Croissance de la suite \((u_n)\)
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} \frac1{k^2(k+1)^2}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{n^2(n+1)^2}\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]b) Décroissance de la suite \((v_n)\)
On calcule :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-u_n + \frac1{3(n+1)^2} - \frac1{3n^2}\\ &= \frac1{n^2(n+1)^2} + \frac1{3(n+1)^2} - \frac1{3n^2}. \end{aligned} \]En réduisant au même dénominateur :
\[ v_{n+1}-v_n = -\frac{2(n-1)} {3n^2(n+1)^2}. \]Pour tout \(n\ge1\) :
\[ v_{n+1}-v_n\le0. \]Donc :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est décroissante.}} \]c) Limite de la différence
On a :
\[ v_n-u_n=\frac1{3n^2}. \]Or :
\[ \frac1{3n^2}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \]Exercice 19
On considère les suites \((u_n)_{n\ge1}\) et \((v_n)_{n\ge1}\) définies par : \[ u_n= 1+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{n^2} \] et : \[ v_n=u_n+\frac1n. \] Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.
1. Monotonie de la suite \((u_n)\)
Lire la réponse +
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1} = u_n+\frac1{(n+1)^2}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{(n+1)^2}\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]2. Monotonie de la suite \((v_n)\)
Lire la réponse +
On calcule :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-u_n + \frac1{n+1} - \frac1n\\ &= \frac1{(n+1)^2} + \frac1{n+1} - \frac1n. \end{aligned} \]En réduisant au même dénominateur :
\[ v_{n+1}-v_n = -\frac1{n(n+1)^2}. \]Donc :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est strictement décroissante.}} \]3. Étude de la différence
Lire la réponse +
D’après la définition de \(v_n\) :
\[ v_n-u_n=\frac1n. \]Or :
\[ \frac1n\to0. \]Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont donc adjacentes.
D’après le théorème des suites adjacentes, les deux suites sont convergentes et ont la même limite : \[ \boxed{ (u_n)\text{ et }(v_n) \text{ convergent vers une même limite}. } \]
Exercice 20
On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \[ \begin{cases} u_0=a,\\ u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}, \end{cases} \qquad \begin{cases} v_0=2a,\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}, \end{cases} \] où \(a\) est un réel strictement positif.
1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\lt u_n\lt v_n. \] 2. Montrer que \((u_n)\) est croissante et que \((v_n)\) est décroissante.
3. Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.
1. Comparaison de \(u_n\) et \(v_n\)
Lire la réponse +
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\lt u_n\lt v_n. \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=a \qquad\text{et}\qquad v_0=2a. \]Comme \(a\gt0\), on a :
\[ 0\lt a\lt2a. \]Donc :
\[ 0\lt u_0\lt v_0. \]Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\), on ait :
\[ 0\lt u_n\lt v_n. \]Alors :
\[ u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\gt0 \]et :
\[ v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}\gt0. \]Pour deux réels strictement positifs distincts, la moyenne géométrique est strictement inférieure à la moyenne arithmétique :
\[ \sqrt{u_nv_n} \lt \frac{u_n+v_n}{2}. \]Donc :
\[ 0\lt u_{n+1}\lt v_{n+1}. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\lt u_n\lt v_n. } \]2. Monotonie des deux suites
Lire la réponse +
a) Croissance de \((u_n)\)
Comme :
\[ 0\lt u_n\lt v_n, \]on obtient, en multipliant par \(u_n\gt0\) :
\[ u_n^2\lt u_nv_n. \]La fonction racine carrée étant strictement croissante sur \([0,+\infty[\), on a :
\[ u_n\lt\sqrt{u_nv_n}. \]Or :
\[ u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}. \]Donc :
\[ u_{n+1}\gt u_n. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]b) Décroissance de \((v_n)\)
On calcule :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= \frac{u_n+v_n}{2}-v_n\\ &= \frac{u_n-v_n}{2}. \end{aligned} \]Comme \(u_n\lt v_n\), on a :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0. \]Donc :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est strictement décroissante.}} \]3. Limite de la différence \(v_n-u_n\)
Lire la réponse +
Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-u_{n+1} &= \frac{u_n+v_n}{2} - \sqrt{u_nv_n}\\ &= \frac{ u_n+v_n-2\sqrt{u_nv_n} }{2}\\ &= \frac{ \left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right)^2 }{2}. \end{aligned} \]Or :
\[ v_n-u_n = \left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right) \left(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}\right). \]Comme :
\[ 0\lt \sqrt{v_n}-\sqrt{u_n} \lt \sqrt{v_n}+\sqrt{u_n}, \]on obtient :
\[ \left(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n}\right)^2 \lt v_n-u_n. \]Donc :
\[ 0\lt v_{n+1}-u_{n+1} \lt \frac12(v_n-u_n). \]Par récurrence :
\[ 0\lt v_n-u_n \le \left(\frac12\right)^n(v_0-u_0). \]Or :
\[ v_0-u_0=2a-a=a. \]Ainsi :
\[ 0\lt v_n-u_n \le \frac{a}{2^n}. \]Comme :
\[ \frac{a}{2^n}\to0, \]le théorème d’encadrement donne :
\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \]La suite \((u_n)\) est croissante, la suite \((v_n)\) est décroissante et leur différence tend vers \(0\). Donc : \[ \boxed{(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont adjacentes}.} \]
Exercice 21
Pour tout entier \(n\ge2\), on considère les suites : \[ u_n= 2^{n+1} \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) \] et : \[ v_n= 2^{n+1} \tan\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right). \] Montrer que les suites \((u_n)_{n\ge2}\) et \((v_n)_{n\ge2}\) sont adjacentes.
Posons :
\[ x_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}. \]Pour tout \(n\ge2\), on a :
\[ 0\lt x_n\le\frac{\pi}{8}. \]1. Croissance de la suite \((u_n)\)
Lire la réponse +
Comme :
\[ x_{n+1}=\frac{x_n}{2}, \]on a :
\[ u_{n+1} = 2^{n+2} \sin\left(\frac{x_n}{2}\right). \]D’autre part, la formule de l’angle double donne :
\[ \sin x_n = 2\sin\left(\frac{x_n}{2}\right) \cos\left(\frac{x_n}{2}\right). \]Donc :
\[ \begin{aligned} u_n &= 2^{n+1}\sin x_n\\ &= 2^{n+2} \sin\left(\frac{x_n}{2}\right) \cos\left(\frac{x_n}{2}\right). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ u_n = u_{n+1} \cos\left(\frac{x_n}{2}\right). \]Or :
\[ 0\lt \cos\left(\frac{x_n}{2}\right) \lt1. \]Donc :
\[ u_n\lt u_{n+1}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]2. Décroissance de la suite \((v_n)\)
Lire la réponse +
On a :
\[ v_{n+1} = 2^{n+2} \tan\left(\frac{x_n}{2}\right). \]Posons :
\[ t=\tan\left(\frac{x_n}{2}\right). \]Comme \(0\lt\frac{x_n}{2}\lt\frac{\pi}{2}\), on a \(t\gt0\). De plus, \(t\lt1\).
La formule de l’angle double donne :
\[ \tan x_n=\frac{2t}{1-t^2}. \]Comme :
\[ 0\lt1-t^2\lt1, \]on obtient :
\[ \tan x_n\gt2t. \]C’est-à-dire :
\[ \tan x_n \gt 2\tan\left(\frac{x_n}{2}\right). \]En multipliant par \(2^{n+1}\gt0\), on obtient :
\[ 2^{n+1}\tan x_n \gt 2^{n+2}\tan\left(\frac{x_n}{2}\right). \]Donc :
\[ v_n\gt v_{n+1}. \]Ainsi :
\[ \boxed{(v_n)\text{ est strictement décroissante.}} \]3. Limite de la différence \(v_n-u_n\)
Lire la réponse +
Pour tout \(n\ge2\), on a :
\[ \tan x_n\gt\sin x_n. \]Donc :
\[ v_n-u_n\gt0. \]Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} v_n-u_n &= 2^{n+1} \left( \tan x_n-\sin x_n \right)\\ &= 2^{n+1} \sin x_n \left( \frac1{\cos x_n}-1 \right)\\ &= u_n \frac{1-\cos x_n}{\cos x_n}. \end{aligned} \]Comme \(\sin x\le x\) pour tout \(x\ge0\), on a :
\[ 0\lt u_n = 2^{n+1}\sin x_n \le 2^{n+1}x_n. \]Or :
\[ 2^{n+1}x_n = 2^{n+1}\frac{\pi}{2^{n+1}} = \pi. \]Ainsi :
\[ 0\lt u_n\le\pi. \]Par conséquent :
\[ 0\le v_n-u_n \le \pi \frac{1-\cos x_n}{\cos x_n}. \]Comme :
\[ x_n\to0, \]on a :
\[ \cos x_n\to1 \qquad\text{et}\qquad 1-\cos x_n\to0. \]Donc :
\[ \frac{1-\cos x_n}{\cos x_n}\to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \]La suite \((u_n)\) est croissante, la suite \((v_n)\) est décroissante et leur différence tend vers \(0\). Donc : \[ \boxed{(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont adjacentes}.} \] Leur limite commune est \(\pi\).
Cet article propose une correction détaillée des exercices 18 à 21 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Ces exercices portent sur les suites adjacentes, les sommes partielles, les suites couplées par les moyennes arithmétique et géométrique, ainsi que les suites trigonométriques.
Savoir vérifier rigoureusement les trois conditions permettant de montrer que deux suites sont adjacentes, puis utiliser le théorème des suites adjacentes pour conclure qu’elles convergent vers une même limite.
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes lorsque :
1. l’une des suites est croissante ;
2. l’autre suite est décroissante ;
3. leur différence tend vers \(0\) : \[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0. \] Dans ce cas, les deux suites sont convergentes et ont la même limite.
Exercice 18 : on vérifie directement les trois conditions de la définition des suites adjacentes dans plusieurs situations.
Exercice 19 : une petite correction ajoutée à une somme partielle permet de construire une suite décroissante adjacente à une suite croissante.
Exercice 20 : les moyennes géométrique et arithmétique permettent de construire deux suites de sens de variation contraires. L’écart est ensuite contrôlé par une suite géométrique.
Exercice 21 : les formules de l’angle double permettent d’étudier la monotonie, puis un encadrement trigonométrique permet de montrer que l’écart tend vers \(0\).
Il n’est pas nécessaire de connaître à l’avance la limite commune de deux suites pour montrer qu’elles sont adjacentes. Il suffit de vérifier leur monotonie contraire et de montrer que leur différence tend vers \(0\).
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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