Correction des exercices 22 à 25 — Limites, comparaison et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 22
Pour tout entier \(n\ge1\), on considère : \[ u_n= \frac{ 2n-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) }{ 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) }. \] 1. Montrer que : \[ \left|u_n-\frac27\right| \le \frac9{49n-7}. \] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
1. Encadrement de \(\left|u_n-\frac27\right|\)
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Pour tout entier \(n\ge1\), on a :
\[ -1\le \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \le1. \]Donc :
\[ 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \ge 7n-1. \]Comme \(n\ge1\), on obtient :
\[ 7n-1\ge6\gt0. \]Le dénominateur de \(u_n\) est donc strictement positif.
Calculons maintenant la différence :
\[ \begin{aligned} u_n-\frac27 &= \frac{ 2n-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) }{ 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) } - \frac27\\ &= \frac{ 7\left( 2n-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \right) - 2\left( 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right) }{ 7\left( 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right) }\\ &= \frac{ -7\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) }{ 7\left( 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right) }. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \left|u_n-\frac27\right| = \frac{ \left| -7\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right| }{ 7\left( 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right) }. \]D’après l’inégalité triangulaire :
\[ \begin{aligned} & \left| -7\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right|\\ &\le 7\left| \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \right| + 2\left| \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right|\\ &\le7+2\\ &=9. \end{aligned} \]De plus :
\[ 7\left( 7n+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \right) \ge 7(7n-1) = 49n-7. \]On obtient finalement :
\[ \boxed{ \left|u_n-\frac27\right| \le \frac9{49n-7}. } \]2. Limite de la suite
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On a :
\[ 0\le \left|u_n-\frac27\right| \le \frac9{49n-7}. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac9{49n-7} = 0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|u_n-\frac27\right| = 0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=\frac27. } \]Pour montrer qu’une suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), on peut chercher une suite positive \((a_n)\) telle que : \[ \left|u_n-\ell\right|\le a_n \qquad\text{et}\qquad a_n\to0. \]
Exercice 23
Pour tout entier \(n\ge1\), on considère : \[ u_n= 1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3} +\cdots+\frac1{\sqrt n}. \] 1. Montrer que : \[ u_n\ge\sqrt n. \] 2. Préciser la limite de la suite \((u_n)\).
1. Minoration de \(u_n\)
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Pour tout entier \(k\) tel que :
\[ 1\le k\le n, \]on a :
\[ k\le n. \]La fonction racine carrée étant croissante sur \([0,+\infty[\), on obtient :
\[ \sqrt k\le\sqrt n. \]Comme les deux membres sont strictement positifs, l’ordre est inversé lorsqu’on prend leurs inverses :
\[ \frac1{\sqrt k} \ge \frac1{\sqrt n}. \]En sommant ces inégalités pour \(k\) allant de \(1\) à \(n\), on obtient :
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt n}. \]Ainsi :
\[ u_n \ge n\cdot\frac1{\sqrt n}. \]Or :
\[ \frac{n}{\sqrt n} = \sqrt n. \]Donc :
\[ \boxed{u_n\ge\sqrt n.} \]2. Limite de la suite
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On a :
\[ u_n\ge\sqrt n. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]D’après le théorème de comparaison :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]Exercice 24
La version imprimée de l’exercice contient deux inversions de signes. Les relations correctes sont : \[ \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1}-\frac1k \] et, pour tout \(n\ge1\) : \[ u_n\le2-\frac1n\lt2. \] La première inégalité est une égalité pour \(n=1\) et elle est stricte pour \(n\ge2\). La correction ci-dessous utilise ces relations mathématiquement correctes.
Soit la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par : \[ u_n= 1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}. \] 1. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
2.a) Vérifier que, pour tout entier \(k\ge2\) : \[ \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1}-\frac1k \] et : \[ \frac1{k^2} \lt \frac1{k-1}-\frac1k. \] 2.b) En déduire que, pour tout \(n\ge1\) : \[ u_n\le2-\frac1n\lt2. \] 2.c) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
1. Monotonie de la suite
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Pour tout entier \(n\ge1\), on a :
\[ u_n= \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \]Alors :
\[ u_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2} = u_n+\frac1{(n+1)^2}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{(n+1)^2}. \]Comme :
\[ \frac1{(n+1)^2}\gt0, \]on obtient :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante}.} \]2.a) Identité et comparaison
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Pour tout entier \(k\ge2\) :
\[ \begin{aligned} \frac1{k-1}-\frac1k &= \frac{k-(k-1)}{k(k-1)}\\ &= \frac1{k(k-1)}. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1}-\frac1k. } \]Comme \(k\ge2\), on a :
\[ k-1\lt k. \]En multipliant par \(k\gt0\) :
\[ k(k-1)\lt k^2. \]Ces deux nombres étant strictement positifs, on obtient :
\[ \frac1{k^2} \lt \frac1{k(k-1)}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \frac1{k^2} \lt \frac1{k-1}-\frac1k. } \]2.b) Majoration de \(u_n\)
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Pour tout entier \(k\ge2\), on a :
\[ \frac1{k^2} \lt \frac1{k-1}-\frac1k. \]En sommant ces inégalités de \(k=2\) jusqu’à \(k=n\), on obtient :
\[ \sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} \lt \sum_{k=2}^{n} \left( \frac1{k-1}-\frac1k \right). \]La somme du membre de droite est télescopique :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \left( \frac1{k-1}-\frac1k \right) &= \left(1-\frac12\right) + \left(\frac12-\frac13\right) +\cdots+ \left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)\\ &= 1-\frac1n. \end{aligned} \]Donc :
\[ \sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} \lt 1-\frac1n. \]Or :
\[ u_n = 1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2}. \]Ainsi :
\[ u_n \lt 1+1-\frac1n. \]Pour \(n\ge2\), on obtient donc :
\[ u_n\lt2-\frac1n. \]Pour \(n=1\), on a :
\[ u_1=1=2-\frac11. \]Finalement, pour tout \(n\ge1\) :
\[ \boxed{ u_n\le2-\frac1n\lt2. } \]La première inégalité est stricte pour tout \(n\ge2\).
L’encadrement imprimé \(2-\frac1n\lt u_n\lt2\) ne peut pas être correct. Par exemple : \[ u_2=1+\frac14=\frac54 \] tandis que : \[ 2-\frac12=\frac32. \] On a donc bien : \[ u_2\lt2-\frac12. \] Plus précisément, \(u_n\le2-\frac1n\) pour tout \(n\ge1\), avec égalité uniquement au rang \(n=1\).
2.c) Convergence de la suite
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La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
De plus :
\[ u_n\lt2. \]Elle est donc majorée par \(2\).
D’après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente.
\[ \boxed{(u_n)\text{ est convergente}.} \]Exercice 25
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \[ b\ne-a. \] On considère la suite \((u_n)\) définie, pour \(n\ge1\), par : \[ u_n= \frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}. \] Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) selon les valeurs des réels \(a\) et \(b\).
Vérification préalable
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La condition \(b\ne-a\) garantit que le dénominateur ne s’annule pas pour un entier impair.
Pour un entier pair, les nombres \(a^n\) et \(b^n\) sont positifs ou nuls. Leur somme ne peut être nulle que si :
\[ a=b=0. \]Mais dans ce cas, on aurait \(b=-a\), ce qui est exclu. La suite est donc bien définie pour tout entier \(n\ge1\).
Premier cas : \(\lvert a\rvert\gt\lvert b\rvert\)
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Dans ce cas, \(a\ne0\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(a^n\) :
\[ \begin{aligned} u_n &= \frac{ \dfrac{a^n}{a^n}-\dfrac{b^n}{a^n} }{ \dfrac{a^n}{a^n}+\dfrac{b^n}{a^n} }\\ &= \frac{ 1-\left(\frac ba\right)^n }{ 1+\left(\frac ba\right)^n }. \end{aligned} \]Comme :
\[ \left|\frac ba\right| = \frac{|b|}{|a|} \lt1, \]la suite géométrique \(\left(\left(\frac ba\right)^n\right)\) converge vers \(0\).
Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=1. } \]Deuxième cas : \(\lvert a\rvert\lt\lvert b\rvert\)
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Dans ce cas, \(b\ne0\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(b^n\) :
\[ \begin{aligned} u_n &= \frac{ \dfrac{a^n}{b^n}-\dfrac{b^n}{b^n} }{ \dfrac{a^n}{b^n}+\dfrac{b^n}{b^n} }\\ &= \frac{ \left(\frac ab\right)^n-1 }{ \left(\frac ab\right)^n+1 }. \end{aligned} \]Comme :
\[ \left|\frac ab\right| = \frac{|a|}{|b|} \lt1, \]on a :
\[ \left(\frac ab\right)^n\to0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=-1. } \]Troisième cas : \(\lvert a\rvert=\lvert b\rvert\)
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Comme \(a\) et \(b\) sont réels :
\[ |a|=|b| \]implique :
\[ b=a \qquad\text{ou}\qquad b=-a. \]Le cas \(b=-a\) est exclu par l’énoncé. Il reste donc :
\[ b=a. \]De plus, \(a\ne0\), car le couple \((a,b)=(0,0)\) vérifierait \(b=-a\).
Ainsi, pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ u_n = \frac{a^n-a^n}{a^n+a^n} = 0. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. } \]Cet article propose une correction détaillée des exercices 22 à 25 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Ces exercices portent sur l’encadrement d’une suite, les méthodes de comparaison, la divergence vers \(+\infty\), la convergence monotone et la discussion d’une limite selon les valeurs de deux paramètres.
Savoir utiliser une majoration de la distance à une limite, comparer une somme à une suite de référence, démontrer qu’une suite est croissante et majorée, puis traiter une expression contenant des puissances en distinguant les cas selon les valeurs absolues des paramètres.
Exercice 22 : encadrer \(\left|u_n-\ell\right|\) par une suite qui tend vers \(0\).
Exercice 23 : minorer une somme par une expression simple qui tend vers \(+\infty\).
Exercice 24 : étudier la monotonie, construire une majoration à l’aide d’une somme télescopique, puis appliquer le théorème de convergence monotone.
Exercice 25 : diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance dominante.
Exercice 22 : une majoration de \(\left|u_n-\frac27\right|\) permet de déterminer directement la limite.
Exercice 23 : la minoration \(u_n\ge\sqrt n\) permet de conclure que \(u_n\to+\infty\).
Exercice 24 : la suite est croissante et majorée par \(2\). Elle est donc convergente. Deux erreurs de signes de la version imprimée ont été rectifiées.
Exercice 25 : la limite dépend de la puissance dominante, déterminée en comparant \(|a|\) et \(|b|\).
Une majoration ne permet pas nécessairement de calculer la valeur exacte de la limite. Dans l’exercice 24, le fait que \(u_n\lt2\) sert uniquement à établir que la suite croissante est convergente.
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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