Concours Médecine Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès à l’école de médecine — Épreuve de mathématiques — Session 2023.

14 QCM — une seule réponse juste indiquée dans l’énoncé transmis — durée indiquée : 30 minutes.

Cette page présente l’énoncé de la partie mathématiques du concours Médecine Maroc 2023. Elle permet aux élèves de s’entraîner sur des questions de type QSM, avec un temps limité et sans calculatrice.

L’objectif est de travailler les automatismes utiles en concours : nombres complexes, suites, limites, fonctions, intégrales, géométrie dans l’espace, dérivabilité et probabilités.

Voir la correction détaillée Guide Concours Médecine Page Concours

Données de l’énoncé transmis

Session indiquée : 2023.
Durée indiquée : 30 minutes.
Nombre de questions : 14 QSM.
Chaque QSM comporte une seule réponse juste.
L’utilisation de toute sorte de calculatrice est indiquée comme interdite.

Remarque importante : ces informations sont reprises de l’énoncé transmis pour cette publication pédagogique. Dans la version transmise, la QCM 13 présente un cas à traiter avec prudence : la proposition A et la proposition C semblent toutes les deux vraies. Pour les inscriptions, dates, conditions et modalités administratives, il faut toujours consulter l’annonce officielle de l’année concernée.

Conseil avant de commencer

Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter les questions en respectant la durée indiquée. Travaillez avec un chronomètre, notez vos réponses, puis comparez ensuite avec la correction détaillée.

Énoncé de mathématiques

Question 1

Dans \(\mathbb C\), si :

\[ z=\sqrt5\,e^{-i\frac{\pi}{8}}, \]

alors :

A) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{10-5\sqrt2}}{2}\)
B) \(z=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)
C) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{10-5\sqrt2}}{2}\)
D) \(z=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)
E) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}\)

Question 2

Le nombre complexe :

\[ z=\left(\frac1{\sqrt2}(1-i\sqrt3)\right)^{18} \]

est égal à :

A) \(z=-512\)
B) \(z=\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\)
C) \(z=512\)
D) \(z=251\)
E) \(z=\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Question 3

Pour \(z\in\mathbb C-\{1\}\), l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

\[ \frac{z+1}{z-1}\in i\mathbb R \]

est :

A) La droite \((Ox)\) privée du point \((1,0)\)
B) La droite \((Oy)\) privée du point \((0,1)\)
C) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
D) La droite \((Ox)\)
E) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) privé du point \((1,0)\)

Question 4

Pour tout entier \(n\geq2\), on pose :

\[ U_n=\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac1{n^2}\right). \]

Alors \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n\) est égale à :

A) \(1\)
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(\dfrac12\)
E) La limite n’existe pas

Question 5

Pour tout entier \(n\geq1\), on pose :

\[ U_n=\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots+\frac1{2^n} \]

et :

\[ \ln(V_n)=U_n\ln(2). \]

Alors :

A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\ln(2)\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\dfrac12\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\ln(2)\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=2\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=1\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\dfrac12\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=2\)
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=2\)

Question 6

Soit \(f\) une fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}}. \]

Alors \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(0\)
C) \(1\)
D) \(\dfrac12\)
E) La limite n’existe pas

Question 7

Soit \(g\) une fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=\frac{(2x)^x}{x^{2x}}. \]

Alors \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(0\)
E) La limite n’existe pas

Question 8

Soit \(f\) une fonction réelle telle que :

\[ f(1)=3 \quad \text{et} \quad f'(1)=-3. \]

La courbe de la fonction \(f\) admet au point \(A(1,3)\) une tangente d’équation :

A) \(y=3x-2\)
B) \(y=3x-6\)
C) \(y=-3x+6\)
D) \(y=3x\)
E) \(y=-3x+2\)

Question 9

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par :

\[ f(x)=\ln(x-1) \]

et :

\[ g(x)=\sqrt{x+1}. \]

Alors le domaine de définition de \(g\circ f\) est :

A) \([-1,+\infty[\)
B) \(]1,+\infty[\)
C) \(\left[1+\frac1e,+\infty\right[\)
D) \(]e,+\infty[\)
E) \(]-e,+\infty[\)

Question 10

L’intégrale :

\[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac1{\sin(x)\tan(x)}\,dx \]

est égale à :

A) \(\dfrac12-\dfrac{\sqrt2}{2}\)
B) \(2-\sqrt2\)
C) \(\sqrt2-2\)
D) \(\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac12\)
E) \(1-\sqrt2\)

Question 11

L’intégrale :

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{1+\sin^2(x)}\,dx \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(\ln(2)+1\)
C) \(\ln(2)\)
D) \(1\)
E) \(-\ln(2)\)

Question 12

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), soient les plans :

\[ (P):x-y-z+2=0 \]

et :

\[ (P'):x+z-2=0. \]

Soit la droite \((\Delta)\) telle que :

\[ \begin{cases} x=1+t,\\ y=2+2t,\\ z=1-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

Alors :

A) \((\Delta)\subset(P)\)
B) \((\Delta)\perp(P)\)
C) \((\Delta)\cap(P)=\varnothing\)
D) \((\Delta)\cap(P')=\varnothing\)
E) \((\Delta)\perp(P')\)

Question 13

Soit \(f\) une fonction réelle définie par :

\[ f(x)=x+x^2\sin\left(\frac1x\right) \quad \text{si } x\ne0 \]

et :

\[ f(0)=0. \]

Alors :

Remarque pédagogique : dans la version transmise, la QCM 13 doit être traitée avec prudence, car la proposition A et la proposition C semblent toutes les deux vraies. La correction détaillée explique ce point.

A) \(f\) est dérivable en \(0\)
B) \(f'(0)=0\)
C) \(f'(0)=1\)
D) Pour tout \(x\ne0\), \(f'(x)=1+2x\sin\left(\frac1x\right)+\cos\left(\frac1x\right)\)
E) \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=2\)

Question 14

Une urne contient \(5\) boules bleues, \(4\) boules blanches et \(3\) boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard et simultanément \(3\) boules de ce sac. On répète cette expérience \(n\) fois de suite \((n\geq5)\), en remettant dans l’urne les boules tirées après chaque tirage.

La probabilité d’obtenir \(3\) boules de couleurs deux à deux distinctes \((n-1)\) fois exactement est :

A) \(\dfrac{8\times3^n}{11^n}\)
B) \(\dfrac{8n\times3^n}{11^n}\)
C) \(\dfrac{8n\times3^{n-1}}{11^n}\)
D) \(\dfrac{8^n\times3^{n-1}}{11^n}\)
E) \(\dfrac{8\times3^n}{11^{n-1}}\)

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