Concours Médecine Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès aux études de médecine — Épreuve de mathématiques

Session 2023 — Mathématiques — 14 questions à choix simple

Cette page présente les quatorze questions de mathématiques du concours de médecine du Maroc, session 2023. L’épreuve propose des situations courtes mais variées qui font appel aux nombres complexes, aux suites numériques, aux limites, à la dérivabilité, à l’étude de fonctions, au calcul intégral, à la géométrie dans l’espace et aux probabilités. Les énoncés et les propositions sont conservés dans l’ordre du sujet transmis pour permettre un entraînement fidèle.

L’objectif est de reconnaître rapidement les propriétés du cours et de les appliquer dans leurs conditions de validité. Avant de choisir une lettre, il convient de préciser la question posée, de sélectionner une stratégie et de contrôler le résultat obtenu. Les repères proposés entre les groupes de questions guident la révision sans fournir les réponses. Il est préférable d’effectuer une première tentative autonome, puis de consulter la correction détaillée afin de comprendre aussi bien les méthodes que les éventuelles erreurs.

Présentation de l’épreuve

L’énoncé transmis indique une durée de 30 minutes pour la partie mathématiques, avec 14 questions à choix simple et une utilisation de la calculatrice interdite. Chaque question propose cinq réponses, de A à E. Ces renseignements correspondent à la session 2023 et ne constituent pas des consignes administratives pour les concours ultérieurs.

La formulation du sujet annonce une seule bonne réponse par question. Cependant, la question 13 comporte deux affirmations vraies dans les choix tels qu’ils ont été reproduits. Cette particularité est conservée et signalée pour ne pas présenter le questionnaire comme entièrement univoque.

Comment travailler efficacement les QCM ?

Commencez par lire toutes les hypothèses, notamment les restrictions sur un nombre complexe, le domaine d’une fonction ou la nature d’un tirage aléatoire. Identifiez ensuite la notion pertinente et formulez la propriété du cours qui répond au problème. Vérifiez ses conditions avant d’effectuer les simplifications : une transformation formelle n’est pas nécessairement valide sur tout le domaine.

Après le calcul, comparez la conclusion exacte avec chacune des propositions. Pour les questions comportant une limite, distinguez la forme initiale de l’expression et sa forme simplifiée. Pour les questions géométriques, interprétez les égalités de coordonnées. Pour les probabilités, définissez explicitement l’expérience et l’événement. En cas d’hésitation, notez le point à revoir plutôt que d’adopter une réponse au hasard.

Attention à une question de l’archive

La question 13 présente plusieurs affirmations mathématiquement vraies. Les propositions ont été maintenues sans modification. Lors de votre entraînement, étudiez-les indépendamment ; la correction détaillée permettra ensuite d’en justifier la validité sans ambiguïté.

Accès rapide aux quatorze questions

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10 Question 11 Question 12 Question 13 Question 14

Questions 1 à 3 — Nombres complexes et interprétation géométrique

Les trois premières questions utilisent les nombres complexes dans des situations différentes. Pour passer d’une écriture exponentielle à une écriture algébrique, il faut relier le module, l’argument et les fonctions trigonométriques. Les signes des parties réelle et imaginaire doivent être contrôlés en fonction de l’argument. Pour une puissance complexe, la forme trigonométrique peut simplifier le calcul en séparant le module de l’argument.

Dans le plan complexe, une condition sur un quotient peut décrire un ensemble géométrique. La démarche consiste à identifier le rôle de l’affixe, du quotient et des points particuliers qui doivent être exclus. Avant de conclure qu’un point appartient à un lieu, il faut vérifier que l’expression proposée est bien définie. Une représentation géométrique cohérente doit respecter exactement les restrictions de l’énoncé.

Question 1

Dans \(\mathbb C\), si :

\[ z=\sqrt5\,e^{-i\frac{\pi}{8}}, \]

alors :

A) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{10-5\sqrt2}}{2}\)
B) \(z=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)
C) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{10-5\sqrt2}}{2}\)
D) \(z=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)
E) \(z=\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{10+5\sqrt2}}{2}\)

Question 2

Le nombre complexe :

\[ z=\left(\frac1{\sqrt2}(1-i\sqrt3)\right)^{18} \]

est égal à :

A) \(z=-512\)
B) \(z=\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\)
C) \(z=512\)
D) \(z=251\)
E) \(z=\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Question 3

Pour \(z\in\mathbb C-\{1\}\), l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

\[ \frac{z+1}{z-1}\in i\mathbb R \]

est :

A) La droite \((Ox)\) privée du point \((1,0)\)
B) La droite \((Oy)\) privée du point \((0,1)\)
C) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
D) La droite \((Ox)\)
E) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) privé du point \((1,0)\)

Questions 4 à 7 — Suites numériques et limites de fonctions

Les questions 4 et 5 concernent des suites dont les termes sont construits à l’aide de produits ou de sommes. Avant d’étudier une limite, il est utile de regarder comment les termes consécutifs se combinent et de rechercher une écriture plus simple de la somme ou du produit. Lorsqu’une autre suite est définie au moyen du logarithme, les propriétés de cette fonction doivent être utilisées après avoir vérifié que les expressions concernées sont positives.

Les questions 6 et 7 portent sur des limites. La substitution directe peut ne pas suffire : une réécriture algébrique permet parfois de comparer les puissances présentes et d’identifier la grandeur dominante. Pour une expression à exposant variable, le domaine et les propriétés de l’exponentielle sont essentiels. La conclusion doit concerner la limite demandée et non seulement celle d’une expression intermédiaire.

Question 4

Pour tout entier \(n\geq2\), on pose :

\[ U_n=\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac1{n^2}\right). \]

Alors \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n\) est égale à :

A) \(1\)
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(\dfrac12\)
E) La limite n’existe pas

Question 5

Pour tout entier \(n\geq1\), on pose :

\[ U_n=\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots+\frac1{2^n} \]

et :

\[ \ln(V_n)=U_n\ln(2). \]

Alors :

A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\ln(2)\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\dfrac12\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\ln(2)\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=2\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=1\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\dfrac12\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=2\)
E) \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=2\)

Question 6

Soit \(f\) une fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}}. \]

Alors \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(0\)
C) \(1\)
D) \(\dfrac12\)
E) La limite n’existe pas

Question 7

Soit \(g\) une fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=\frac{(2x)^x}{x^{2x}}. \]

Alors \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(0\)
E) La limite n’existe pas

Questions 8 à 11 — Tangentes, fonctions composées et intégrales

La question 8 fait intervenir l’équation d’une tangente. Il faut relier correctement la dérivée au coefficient directeur, puis utiliser les coordonnées du point de contact. Dans la question 9, le domaine d’une composée de fonctions se détermine en deux temps : l’expression intérieure doit être définie, puis son résultat doit appartenir au domaine de la fonction extérieure. Ne confondez donc pas les domaines pris séparément avec celui de leur composée.

Les questions 10 et 11 demandent de calculer des intégrales définies. Commencez par vérifier la continuité de la fonction intégrée sur l’intervalle, puis recherchez une primitive adaptée. Les identités trigonométriques et les règles de dérivation peuvent orienter la transformation de l’intégrande. La valeur de l’intégrale s’obtient en évaluant une primitive aux deux bornes dans le bon ordre ; un contrôle du signe fournit souvent une vérification utile.

Question 8

Soit \(f\) une fonction réelle telle que :

\[ f(1)=3 \quad \text{et} \quad f'(1)=-3. \]

La courbe de la fonction \(f\) admet au point \(A(1,3)\) une tangente d’équation :

A) \(y=3x-2\)
B) \(y=3x-6\)
C) \(y=-3x+6\)
D) \(y=3x\)
E) \(y=-3x+2\)

Question 9

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par :

\[ f(x)=\ln(x-1) \]

et :

\[ g(x)=\sqrt{x+1}. \]

Alors le domaine de définition de \(g\circ f\) est :

A) \([-1,+\infty[\)
B) \(]1,+\infty[\)
C) \(\left[1+\frac1e,+\infty\right[\)
D) \(]e,+\infty[\)
E) \(]-e,+\infty[\)

Question 10

L’intégrale :

\[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac1{\sin(x)\tan(x)}\,dx \]

est égale à :

A) \(\dfrac12-\dfrac{\sqrt2}{2}\)
B) \(2-\sqrt2\)
C) \(\sqrt2-2\)
D) \(\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac12\)
E) \(1-\sqrt2\)

Question 11

L’intégrale :

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{1+\sin^2(x)}\,dx \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(\ln(2)+1\)
C) \(\ln(2)\)
D) \(1\)
E) \(-\ln(2)\)

Questions 12 à 14 — Géométrie dans l’espace, dérivabilité et probabilités

La question 12 relie des représentations paramétriques de droite à des équations cartésiennes de plans. Pour établir une inclusion, une intersection vide ou une perpendicularité, il faut utiliser les coordonnées d’un point, un vecteur directeur et, si nécessaire, un vecteur normal. Une seule égalité de coordonnées ne suffit pas : la propriété annoncée doit être démontrée pour tous les points concernés.

La question 13 est consacrée à la dérivabilité en un point où une fonction est définie séparément. Pour décider si le nombre dérivé existe, on revient à sa définition par la limite du taux d’accroissement. Cette démarche doit être distinguée du calcul de la dérivée en dehors du point. Enfin, la question 14 porte sur la répétition indépendante d’une expérience aléatoire : il convient de déterminer la probabilité d’un succès élémentaire, puis de tenir compte du nombre de répétitions et du nombre exact de succès demandés.

Question 12

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), soient les plans :

\[ (P):x-y-z+2=0 \]

et :

\[ (P'):x+z-2=0. \]

Soit la droite \((\Delta)\) telle que :

\[ \begin{cases} x=1+t,\\ y=2+2t,\\ z=1-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

Alors :

A) \((\Delta)\subset(P)\)
B) \((\Delta)\perp(P)\)
C) \((\Delta)\cap(P)=\varnothing\)
D) \((\Delta)\cap(P')=\varnothing\)
E) \((\Delta)\perp(P')\)

Question 13

Soit \(f\) une fonction réelle définie par :

\[ f(x)=x+x^2\sin\left(\frac1x\right) \quad \text{si } x\ne0 \]

et :

\[ f(0)=0. \]

Alors :

Attention : plusieurs propositions de cette question sont mathématiquement vraies. Les réponses sont justifiées dans la correction détaillée.

A) \(f\) est dérivable en \(0\)
B) \(f'(0)=0\)
C) \(f'(0)=1\)
D) Pour tout \(x\ne0\), \(f'(x)=1+2x\sin\left(\frac1x\right)+\cos\left(\frac1x\right)\)
E) \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=2\)

Question 14

Une urne contient \(5\) boules bleues, \(4\) boules blanches et \(3\) boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard et simultanément \(3\) boules de ce sac. On répète cette expérience \(n\) fois de suite \((n\geq5)\), en remettant dans l’urne les boules tirées après chaque tirage.

La probabilité d’obtenir \(3\) boules de couleurs deux à deux distinctes \((n-1)\) fois exactement est :

A) \(\dfrac{8\times3^n}{11^n}\)
B) \(\dfrac{8n\times3^n}{11^n}\)
C) \(\dfrac{8n\times3^{n-1}}{11^n}\)
D) \(\dfrac{8^n\times3^{n-1}}{11^n}\)
E) \(\dfrac{8\times3^n}{11^{n-1}}\)

Après l’épreuve : analyser les erreurs

À la fin des quatorze questions, commencez par relire les réponses pour lesquelles vous avez hésité. Distinguez les erreurs de raisonnement des erreurs de calcul : une propriété appliquée hors de ses conditions ne peut pas être validée par un résultat numériquement plausible. Essayez de reformuler l’objectif de chaque question et de nommer la notion du cours qui permet de l’atteindre.

Pour les questions non maîtrisées, reprenez les notions utiles, puis recommencez le calcul sans consulter les choix proposés. Cette démarche permet de progresser dans la reconnaissance des méthodes, plutôt que de mémoriser une lettre. La question 13 exige de vérifier plusieurs affirmations : sa particularité ne doit pas conduire à modifier les propositions d’origine ni à imposer artificiellement un seul choix.

Poursuivre la préparation au concours de médecine

Cette annale de 2023 permet de travailler la rapidité de lecture et la rigueur mathématique dans des domaines variés. Les calculs sont parfois brefs, mais leur validité dépend de la compréhension du cours. Pour approfondir, comparez votre raisonnement à la correction détaillée, repérez les hypothèses déterminantes et recherchez une méthode que vous pourriez réutiliser sur un exercice voisin.

Après avoir repris les difficultés de cette session, entraînez-vous avec les énoncés de 2024 et de 2025 en conservant la même exigence de justification. Une seconde tentative à distance, sans aide ni correction, constitue un bon moyen de mesurer les progrès réalisés.

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