Concours Médecine Tanger 2019 — Énoncé de mathématiques

Université Abdelmalek Essaâdi — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger.

Année universitaire 2019/2020 — Épreuve 1 : Mathématiques — Questions Q1 à Q10.

Archive régionale avant concours commun national — Mathématiques — 10 questions.

Compétences et points clés

Tanger Médecine 2019 combine lecture de courbes, propositions sur les nombres et intersections de lieux complexes. L’enjeu est de relier une représentation graphique à des propriétés algébriques sans supposer qu’un tracé donne une preuve exacte.

Prérequis à revoir : quantificateurs, implication et valeur de vérité; distances, équations de droites et de cercles; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient.

Rappels de cours utiles

Négation et contre-exemple. La négation d’une affirmation universelle cherche un élément pour lequel elle échoue. Pour une implication, il faut réunir l’hypothèse et la négation de la conclusion. Un exemple compatible ne prouve pas une propriété universelle ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.

Lieux géométriques. Une égalité de distances à deux points distincts décrit leur médiatrice. Une distance constante à un point décrit un cercle si cette constante est strictement positive. Lorsque plusieurs conditions sont imposées ensemble, le lieu recherché est leur intersection, qui peut être vide ou réduite à quelques points.

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la cubique, utiliser les informations du graphe en distinguant lecture et égalité à démontrer. Pour les affirmations générales, préciser les conditions et les cas où une expression n’est pas définie. Pour le lieu complexe, étudier séparément la médiatrice et le cercle avant leur intersection.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours Médecine Tanger 2019. L’épreuve de mathématiques correspond aux questions Q1 à Q10.

Pour chaque question, cinq propositions sont données et une seule proposition est juste selon la consigne. Il est conseillé de traiter l’énoncé avant de consulter la correction détaillée.

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Remarque importante : cet énoncé est une archive scannée du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger, année universitaire 2019/2020. Il doit être classé parmi les archives avant le concours commun national.

Consignes

Aucune calculatrice n’est autorisée.
Pour chaque question, il y a cinq propositions parmi lesquelles une seule est juste.
Sur la feuille des réponses, entourer la lettre correspondant à la proposition juste.
L’épreuve de mathématiques correspond aux questions Q1 à Q10.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Soit \(f\) une fonction polynôme définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \quad \text{avec } a\ne0. \]

\((C_1)\) est sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Quelle proposition est juste ?

A) \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(\mathbb R\).
B) \((C_1)\) admet un axe de symétrie.
C) \((C_1)\) coupe l’axe des abscisses en trois points différents.
D) \(f\) admet une valeur maximale.
E) L’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution réelle.

Question 2

Autour des nombres et leurs ensembles.

Quelle proposition est juste ?

Attention : dans le cadre scolaire usuel du lycée, l’écriture \(0^0\) est généralement considérée comme non définie. Cette proposition est conservée car elle figure dans l’archive, mais elle repose sur une convention non usuelle au lycée.

A) \(0^0=1\)
B) \(e^{\pi}\) est un nombre entier relatif.
C) Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\sqrt{x}\) est un nombre irrationnel.
D) \(]\frac13;\frac12[\cap\mathbb Q=\varnothing\)
E) \(\pi^2\) est un nombre rationnel.

Question 3

Dans une urne, on dispose de \(12\) boules indiscernables au toucher, \(8\) d’entre elles portent chacune le numéro \(1\) et les \(4\) autres boules portent chacune le numéro \(2\).

On tire au hasard simultanément deux boules de cette urne.

On note \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le plus petit des numéros des boules tirées.

Quelle proposition est juste ?

A) \(\operatorname{card}(\Omega)=132\)
B) \(E(X)=\frac{12}{11}\)
C) \(P(X=1)=\frac23\)
D) \([X\geq2]\) est un événement impossible.
E) \([X=1]\) et \([X=2]\) sont indépendants.

Question 4

On considère la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=\frac{e^x}{e^x-1}. \]

\((C_2)\) est sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Quelle proposition est juste ?

A) \(g\) est définie sur \(\mathbb R-\{-1,1\}\).
B) \(g\) est une fonction impaire.
C) \(\ln\left(\frac{e^x+1}{e^x-1}\right)\) est l’expression d’une primitive de \(g\).
D) \(g\) est strictement positive sur son ensemble de définition.
E) \((C_2)\) admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).

Question 5

La somme :

\[ S=1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots+\frac1{4096} \]

est égale à :

A) \(\frac{2731}{8192}\)
B) \(2\left(1-\frac1{2^{13}}\right)\)
C) \(2\left(1+\frac1{2^{13}}\right)\)
D) \(\frac{2731}{4096}\)
E) Autre valeur.

Question 6

Dans le plan complexe, l’ensemble :

\[ E=\{M(z)\mid z\in\mathbb C,\ |z-3|=|z+i|\ \text{et}\ |z-i|=2\} \]

est :

A) Un segment
B) \(E=\varnothing\)
C) Un demi-cercle
D) Une demi-droite
E) Autre

Question 7

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, \(M'\) est le symétrique du point :

\[ M\left(4;\frac{11}{2};-\frac12\right) \]

par rapport au plan \((P)\) d’équation :

\[ 2x+3y-z=4. \]

Les coordonnées du point \(M'\) sont :

A) \(\left(-2;-\frac72;\frac52\right)\)
B) \(\left(-8;\frac12;\frac52\right)\)
C) \((2;1;3)\)
D) \(\left(\frac32;\frac32;\frac{11}{2}\right)\)
E) Autre

Question 8

Calculer :

\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(4x)}{\cos(2x)-\sin(2x)}\,dx. \]

La valeur de cette intégrale est :

A) \(\frac{\sqrt2-\sqrt3}{4}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{4}\)
C) \(\frac{\sqrt3+1}{2}\)
D) \(\frac{\sqrt3-1}{4}\)
E) Autre valeur

Question 9

La valeur moyenne de la fonction \(u\) définie par :

\[ u(x)=\frac1{\sqrt[3]{2x+1}} \]

sur l’intervalle \(\left[0;\frac72\right]\) est égale à :

A) \(\sqrt[3]{\frac94}\)
B) \(\frac9{14}\)
C) \(\frac{\sqrt[3]{9}}{4}\)
D) \(\frac94\)
E) Autre valeur

Question 10

Sur la figure ci-contre, \((C_3)\) est la courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ h(x)=e^{-x}+2x-1. \]

La droite \((D)\) est son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).

\((T)\) est la droite tangente à \((C_3)\) en un point \(P\).

Si on sait que les droites \((T)\) et \((D)\) sont perpendiculaires, alors l’ordonnée \(y_P\) du point \(P\) est :

A) \(y_P=\frac32+2\ln\left(\frac52\right)\)
B) \(y_P=\ln(4)-\ln(25)\)
C) \(y_P=-\frac25\)
D) \(y_P=\frac32+2\ln\left(\frac25\right)\)
E) Autre valeur

Conseil de travail

Ce sujet est utile pour l’entraînement aux QCM rapides : polynômes, ensembles de nombres, probabilités, fonctions exponentielles, suites géométriques, complexes, géométrie dans l’espace, intégrales, valeurs moyennes et tangentes. Il faut aussi faire attention aux conventions scolaires, notamment dans la question Q2.

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