Correction — Concours Médecine Tanger 2019 — Mathématiques
Université Abdelmalek Essaâdi — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger.
Année universitaire 2019/2020 — Épreuve de mathématiques — Questions Q1 à Q10.
Concours Médecine Tanger 2019 — correction détaillée.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q7 | Q8 | Q9 | Q10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | E | A | B | E | D | E | A | D | B | D |
Correction détaillée des questions
Question 1
Soit \(f\) une fonction polynôme définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \quad \text{avec } a\ne0. \]Quelle proposition est juste ?
A) \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(\mathbb R\).
B) \((C_1)\) admet un axe de symétrie.
C) \((C_1)\) coupe l’axe des abscisses en trois points différents.
D) \(f\) admet une valeur maximale.
E) L’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution réelle.
Un polynôme réel de degré impair admet toujours au moins une racine réelle. Cela vient du fait que ses limites aux deux infinis sont de signes opposés.
La fonction est :
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \qquad a\ne0. \]Donc \(f\) est un polynôme réel de degré \(3\).
Le terme dominant au voisinage de l’infini est :
\[ ax^3. \]Si \(a\gt0\), alors :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Si \(a\lt0\), alors :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]Dans les deux cas, \(f\) prend des valeurs de signes opposés.
Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’au moins une solution réelle de :
\[ f(x)=0. \]Les autres propositions ne sont pas toujours vraies pour un polynôme de degré \(3\) quelconque : il n’est pas forcément injectif, il n’a pas forcément un axe de symétrie, il ne coupe pas forcément l’axe des abscisses en trois points distincts, et il n’admet pas de maximum global sur \(\mathbb R\).
Réponse correcte : E
Question 2
Autour des nombres et leurs ensembles. Quelle proposition est juste ?
A) \(0^0=1\)
B) \(e^{\pi}\) est un nombre entier relatif.
C) Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\sqrt{x}\) est un nombre irrationnel.
D) \(]\frac13;\frac12[\cap\mathbb Q=\varnothing\)
E) \(\pi^2\) est un nombre rationnel.
Dans ce QCM, on vérifie d’abord les propositions clairement fausses. La proposition \(0^0=1\) est alors retenue comme convention de calcul dans cette question.
On examine les propositions une par une.
La proposition B affirme que :
\[ e^\pi\in\mathbb Z. \]C’est faux : \(e^\pi\) n’est pas un entier relatif.
La proposition C affirme que pour tout réel strictement positif \(x\), \(\sqrt{x}\) est irrationnel. C’est faux, car :
\[ x=4\quad\Longrightarrow\quad \sqrt4=2, \] et \(2\) est rationnel.La proposition D affirme :
\[ \left]\frac13,\frac12\right[\cap\mathbb Q=\varnothing. \]C’est faux, car il existe des rationnels entre \(\frac13\) et \(\frac12\). Par exemple :
\[ \frac25\in\mathbb Q \quad\text{et}\quad \frac13\lt\frac25\lt\frac12. \]La proposition E affirme que \(\pi^2\) est rationnel. Cette proposition est fausse.
Il reste donc la proposition A :
\[ 0^0=1. \]Dans ce QCM, elle est retenue comme la réponse attendue.
Réponse retenue dans l’concours : A — avec remarque.
Question 3
Une urne contient \(12\) boules : \(8\) boules portent le numéro \(1\) et \(4\) boules portent le numéro \(2\). On tire simultanément deux boules.
\(X\) associe à chaque tirage le plus petit des numéros des deux boules tirées.
Quelle proposition est juste ?
A) \(\operatorname{card}(\Omega)=132\)
B) \(E(X)=\frac{12}{11}\)
C) \(P(X=1)=\frac23\)
D) \([X\geq2]\) est un événement impossible.
E) \([X=1]\) et \([X=2]\) sont indépendants.
Le tirage est simultané : l’ordre ne compte pas. On utilise donc les combinaisons \(\mathrm{C}_{n}^{p}\), lues « \(p\) parmi \(n\) ».
L’urne contient :
\[ 8\ \text{boules portant le numéro }1 \quad\text{et}\quad 4\ \text{boules portant le numéro }2. \]On tire deux boules simultanément. Le nombre total de tirages possibles est :
\[ \operatorname{Card}(\Omega)=\mathrm{C}_{12}^{2}. \]Donc :
\[ \operatorname{Card}(\Omega)=\frac{12\times11}{2}=66. \]La variable \(X\) désigne le plus petit des deux numéros tirés.
On a \(X=2\) seulement dans un cas : les deux boules tirées portent toutes les deux le numéro \(2\).
Le nombre de tirages favorables à \(X=2\) est donc :
\[ \mathrm{C}_{4}^{2}=6. \]Ainsi :
\[ P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}} = \frac6{66} = \frac1{11}. \]Comme \(X\) ne peut prendre que les valeurs \(1\) et \(2\), on obtient :
\[ P(X=1)=1-P(X=2). \] Donc : \[ P(X=1)=1-\frac1{11}=\frac{10}{11}. \]L’espérance vaut :
\[ E(X)=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2). \]Donc :
\[ E(X)=1\cdot\frac{10}{11}+2\cdot\frac1{11}. \]Finalement :
\[ E(X)=\frac{12}{11}. \]Réponse correcte : B
Question 4
On considère :
\[ g(x)=\frac{e^x}{e^x-1}. \]Quelle proposition est juste ?
A) \(g\) est définie sur \(\mathbb R-\{-1,1\}\).
B) \(g\) est une fonction impaire.
C) \(\ln\left(\frac{e^x+1}{e^x-1}\right)\) est l’expression d’une primitive de \(g\).
D) \(g\) est strictement positive sur son ensemble de définition.
E) \((C_2)\) admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).
Une asymptote parallèle à l’axe des abscisses est une asymptote horizontale. Elle apparaît lorsqu’une limite finie existe au voisinage de l’infini.
La fonction est :
\[ g(x)=\frac{e^x}{e^x-1}. \]Elle est définie lorsque :
\[ e^x-1\ne0. \]Or :
\[ e^x-1=0 \Longleftrightarrow e^x=1 \Longleftrightarrow x=0. \]Donc :
\[ D_g=\mathbb R\setminus\{0\}. \]La proposition A est donc fausse.
Étudions maintenant le comportement au voisinage de \(+\infty\). On divise le numérateur et le dénominateur par \(e^x\) :
\[ g(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ e^{-x}\to0. \]Donc :
\[ g(x)\to1. \]La courbe de \(g\) admet donc l’asymptote horizontale :
\[ y=1. \]Cette droite est parallèle à l’axe des abscisses. La proposition E est donc vraie.
La fonction n’est pas strictement positive sur tout son domaine : si \(x\lt0\), alors \(e^x-1\lt0\) tandis que \(e^x\gt0\), donc \(g(x)\lt0\).
Réponse correcte : E
Question 5
La somme :
\[ S=1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots+\frac1{4096} \]est égale à :
A) \(\frac{2731}{8192}\)
B) \(2\left(1-\frac1{2^{13}}\right)\)
C) \(2\left(1+\frac1{2^{13}}\right)\)
D) \(\frac{2731}{4096}\)
E) Autre valeur.
Une somme alternée de puissances est une somme géométrique. Si le premier terme est \(1\) et la raison \(q=-\frac12\), alors : \[ 1-\frac12+\frac14-\cdots=\sum q^k. \]
La somme est :
\[ S=1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots+\frac1{4096}. \]On remarque que :
\[ 4096=2^{12}. \]Le dernier terme est donc :
\[ \frac1{2^{12}}. \]Comme le signe du terme de rang \(k\) est \((-1)^k\), le dernier terme correspond à \(k=12\), donc il est positif.
On peut écrire :
\[ S=\sum_{k=0}^{12}\left(-\frac12\right)^k. \]C’est une somme géométrique de premier terme \(1\) et de raison :
\[ q=-\frac12. \]La formule donne :
\[ S=\frac{1-q^{13}}{1-q}. \]Donc :
\[ S=\frac{1-\left(-\frac12\right)^{13}}{1+\frac12}. \]Comme \(13\) est impair :
\[ \left(-\frac12\right)^{13}=-\frac1{8192}. \]Ainsi :
\[ S=\frac{1+\frac1{8192}}{\frac32}. \]On simplifie :
\[ S=\frac{8193}{8192}\cdot\frac23. \] Donc : \[ S=\frac{16386}{24576}. \]En divisant par \(6\), on obtient :
\[ S=\frac{2731}{4096}. \]Réponse correcte : D
Question 6
Dans le plan complexe :
\[ E=\{M(z)\mid z\in\mathbb C,\ |z-3|=|z+i|\ \text{et}\ |z-i|=2\}. \]L’ensemble \(E\) est :
A) Un segment
B) \(E=\varnothing\)
C) Un demi-cercle
D) Une demi-droite
E) Autre
Une égalité de distances donne une médiatrice. L’intersection d’une droite et d’un cercle peut être vide, un point, ou deux points selon le discriminant obtenu.
Posons :
\[ z=x+iy. \]La première condition est :
\[ |z-3|=|z+i|. \]On élève au carré :
\[ (x-3)^2+y^2=x^2+(y+1)^2. \]On développe :
\[ x^2-6x+9+y^2=x^2+y^2+2y+1. \]On simplifie \(x^2\) et \(y^2\) :
\[ -6x+9=2y+1. \] Donc : \[ 3x+y-4=0. \]Cette condition représente une droite.
La deuxième condition est :
\[ |z-i|=2. \]Elle donne :
\[ x^2+(y-1)^2=4. \]C’est le cercle de centre \((0,1)\) et de rayon \(2\).
On cherche donc l’intersection de la droite :
\[ y=4-3x \] avec le cercle.En remplaçant dans le cercle :
\[ x^2+(4-3x-1)^2=4. \] Donc : \[ x^2+(3-3x)^2=4. \]On développe :
\[ x^2+9(1-x)^2=4. \] Donc : \[ x^2+9x^2-18x+9=4. \]Ainsi :
\[ 10x^2-18x+5=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-18)^2-4\cdot10\cdot5=324-200=124. \]Comme :
\[ \Delta\gt0, \] il y a deux points d’intersection.L’ensemble \(E\) n’est donc ni un segment, ni l’ensemble vide, ni un demi-cercle, ni une demi-droite.
La réponse proposée correcte est donc :
\[ \text{Autre}. \]Réponse correcte : E
Question 7
\(M'\) est le symétrique du point :
\[ M\left(4;\frac{11}{2};-\frac12\right) \]par rapport au plan \((P)\) d’équation :
\[ 2x+3y-z=4. \]Les coordonnées du point \(M'\) sont :
A) \(\left(-2;-\frac72;\frac52\right)\)
B) \(\left(-8;\frac12;\frac52\right)\)
C) \((2;1;3)\)
D) \(\left(\frac32;\frac32;\frac{11}{2}\right)\)
E) Autre
Le symétrique d’un point \(M\) par rapport à un plan s’obtient en se déplaçant selon un vecteur normal au plan. Pour le plan \(ax+by+cz+d=0\), on utilise le facteur : \[ \frac{ax_M+by_M+cz_M+d}{a^2+b^2+c^2}. \]
Le plan est :
\[ (P):2x+3y-z=4. \]On l’écrit sous la forme :
\[ 2x+3y-z-4=0. \]Un vecteur normal au plan est :
\[ \vec n=(2,3,-1). \]Le point donné est :
\[ M\left(4,\frac{11}{2},-\frac12\right). \]On calcule la valeur :
\[ 2x_M+3y_M-z_M-4. \]En remplaçant :
\[ 2\cdot4+3\cdot\frac{11}{2}-\left(-\frac12\right)-4. \]Donc :
\[ 8+\frac{33}{2}+\frac12-4 = 4+17 = 21. \]On calcule aussi :
\[ \|\vec n\|^2=2^2+3^2+(-1)^2=14. \]Le symétrique \(M'\) est donné par :
\[ M'=M-2\frac{21}{14}\vec n. \]Comme :
\[ 2\frac{21}{14}=3, \] on obtient : \[ M'=M-3\vec n. \]Ainsi :
\[ M'= \left(4,\frac{11}{2},-\frac12\right) - 3(2,3,-1). \]Donc :
\[ M'= \left(4-6,\frac{11}{2}-9,-\frac12+3\right). \]Finalement :
\[ M'=\left(-2,-\frac72,\frac52\right). \]Réponse correcte : A
Question 8
Calculer :
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(4x)}{\cos(2x)-\sin(2x)}\,dx. \]La valeur de cette intégrale est :
A) \(\frac{\sqrt2-\sqrt3}{4}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{4}\)
C) \(\frac{\sqrt3+1}{2}\)
D) \(\frac{\sqrt3-1}{4}\)
E) Autre valeur
On utilise l’identité : \[ \cos(4x)=\cos^2(2x)-\sin^2(2x). \] C’est une différence de deux carrés.
On part de :
\[ I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(4x)}{\cos(2x)-\sin(2x)}\,dx. \]On écrit :
\[ \cos(4x)=\cos^2(2x)-\sin^2(2x). \]Donc :
\[ \cos(4x) = \bigl(\cos(2x)-\sin(2x)\bigr) \bigl(\cos(2x)+\sin(2x)\bigr). \]Sur l’intervalle d’intégration, on simplifie l’expression donnée :
\[ \frac{\cos(4x)}{\cos(2x)-\sin(2x)} = \cos(2x)+\sin(2x). \]Ainsi :
\[ I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \bigl(\cos(2x)+\sin(2x)\bigr)\,dx. \]Une primitive de \(\cos(2x)\) est :
\[ \frac12\sin(2x). \]Une primitive de \(\sin(2x)\) est :
\[ -\frac12\cos(2x). \]Donc :
\[ I= \left[ \frac12\sin(2x)-\frac12\cos(2x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}. \]Pour \(x=\frac{\pi}{3}\), on a :
\[ \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12. \]Donc :
\[ \frac12\sin\frac{2\pi}{3}-\frac12\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{4}+\frac14 = \frac{\sqrt3+1}{4}. \]Pour \(x=\frac{\pi}{4}\), on a :
\[ \sin\frac{\pi}{2}=1, \qquad \cos\frac{\pi}{2}=0. \]Donc :
\[ \frac12\sin\frac{\pi}{2}-\frac12\cos\frac{\pi}{2} = \frac12. \]Finalement :
\[ I=\frac{\sqrt3+1}{4}-\frac12 = \frac{\sqrt3-1}{4}. \]Réponse correcte : D
Question 9
La valeur moyenne de la fonction \(u\) définie par :
\[ u(x)=\frac1{\sqrt[3]{2x+1}} \]sur l’intervalle \(\left[0;\frac72\right]\) est égale à :
A) \(\sqrt[3]{\frac94}\)
B) \(\frac9{14}\)
C) \(\frac{\sqrt[3]{9}}{4}\)
D) \(\frac94\)
E) Autre valeur
La valeur moyenne d’une fonction \(u\) sur \([a,b]\) est : \[ m=\frac1{b-a}\int_a^b u(x)\,dx. \] Il ne faut pas oublier de diviser par la longueur de l’intervalle.
La fonction est :
\[ u(x)=\frac1{\sqrt[3]{2x+1}}=(2x+1)^{-\frac13}. \]L’intervalle est :
\[ \left[0,\frac72\right]. \]Sa longueur est :
\[ \frac72-0=\frac72. \]Donc la valeur moyenne est :
\[ m=\frac{1}{\frac72}\int_0^{\frac72}(2x+1)^{-\frac13}\,dx. \] Ainsi : \[ m=\frac27\int_0^{\frac72}(2x+1)^{-\frac13}\,dx. \]Calculons l’intégrale. On pose :
\[ t=2x+1. \]Alors :
\[ dt=2\,dx, \qquad dx=\frac{dt}{2}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Rightarrow t=1, \qquad x=\frac72\Rightarrow t=8. \]Donc :
\[ \int_0^{\frac72}(2x+1)^{-\frac13}\,dx = \frac12\int_1^8 t^{-\frac13}\,dt. \]Or :
\[ \int t^{-\frac13}\,dt=\frac{t^{\frac23}}{\frac23} = \frac32t^{\frac23}. \]Ainsi :
\[ \frac12\int_1^8 t^{-\frac13}\,dt = \frac12\left[\frac32t^{\frac23}\right]_1^8. \] Donc : \[ = \frac34\left(8^{\frac23}-1^{\frac23}\right). \]Comme :
\[ 8^{\frac23}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4, \] on obtient : \[ \int_0^{\frac72}(2x+1)^{-\frac13}\,dx = \frac34(4-1)=\frac94. \]Finalement :
\[ m=\frac27\cdot\frac94=\frac9{14}. \]Réponse correcte : B
Question 10
La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ h(x)=e^{-x}+2x-1. \]\((D)\) est son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).
Si les droites \((T)\) et \((D)\) sont perpendiculaires, alors l’ordonnée \(y_P\) du point \(P\) est :
A) \(y_P=\frac32+2\ln\left(\frac52\right)\)
B) \(y_P=\ln(4)-\ln(25)\)
C) \(y_P=-\frac25\)
D) \(y_P=\frac32+2\ln\left(\frac25\right)\)
E) Autre valeur
Deux droites de coefficients directeurs \(m_1\) et \(m_2\) sont perpendiculaires si : \[ m_1m_2=-1. \] Il faut donc trouver le coefficient directeur de l’asymptote, puis celui de la tangente.
La fonction est :
\[ h(x)=e^{-x}+2x-1. \]Au voisinage de \(+\infty\), on a :
\[ e^{-x}\to0. \]Donc :
\[ h(x)-(2x-1)=e^{-x}\to0. \]L’asymptote oblique \((D)\) est donc :
\[ y=2x-1. \]Son coefficient directeur est :
\[ m_D=2. \]Si la tangente \((T)\) est perpendiculaire à \((D)\), son coefficient directeur \(m_T\) vérifie :
\[ 2m_T=-1. \] Donc : \[ m_T=-\frac12. \]Or le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(x_P\) est :
\[ h'(x_P). \]On calcule :
\[ h'(x)=-e^{-x}+2. \]On cherche donc :
\[ -e^{-x_P}+2=-\frac12. \]On isole l’exponentielle :
\[ -e^{-x_P}=-\frac52. \] Donc : \[ e^{-x_P}=\frac52. \]En appliquant le logarithme :
\[ -x_P=\ln\frac52. \] Donc : \[ x_P=-\ln\frac52=\ln\frac25. \]On calcule alors l’ordonnée :
\[ y_P=h(x_P)=e^{-x_P}+2x_P-1. \]Comme \(e^{-x_P}=\frac52\) et \(x_P=\ln\frac25\), on obtient :
\[ y_P=\frac52+2\ln\frac25-1. \]Finalement :
\[ y_P=\frac32+2\ln\left(\frac25\right). \]Réponse correcte : D
Conseil aux élèves
Ce sujet demande une lecture attentive : plusieurs questions semblent simples mais contiennent des pièges de convention, de domaine, de signe, ou de vocabulaire géométrique. Il faut vérifier chaque proposition avec les idées de base du cours.
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