Correction des exercices 43 à 46 — Fonction réciproque — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 43 à 46 — Fonction réciproque et puissances rationnelles

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 43

Énoncé

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

1)

Montrer que l’équation :

\[ \cos x+\cos(2x)+\cdots+\cos(nx)=0 \]

admet au moins une solution dans \([0,\pi]\).

2)

Montrer que l’équation :

\[ \frac{2\sin^n x}{1+\cos x}=\frac14-x \]

admet une unique solution dans \(]0,\frac{\pi}{2}[\).

Rappel utile

Le changement de signe d’une fonction continue donne l’existence d’une solution. La stricte monotonie permet ensuite d’établir son unicité.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Pour \(x\notin2\pi\mathbb Z\), on utilise l’identité :

\[ \cos x+\cos(2x)+\cdots+\cos(nx) = \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)} {\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. \]

Choisissons :

\[ x_0=\frac{\pi}{n+1}. \]

On a \(0\lt x_0\lt\pi\), et :

\[ \cos\left(\frac{(n+1)x_0}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2}=0. \]

Le dénominateur n’est pas nul. Par conséquent :

\[ \cos x_0+\cos(2x_0)+\cdots+\cos(nx_0)=0. \]

\[ \boxed{x_0=\frac{\pi}{n+1}\ \text{est une solution dans } ]0,\pi[} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons, pour \(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) :

\[ F(x)= \frac{2\sin^n x}{1+\cos x} +x-\frac14. \]

La fonction \(F\) est continue sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\). On a :

\[ F(0)=-\frac14<0. \]

Et :

\[ F\left(\frac14\right) = \frac{2\sin^n\left(\frac14\right)} {1+\cos\left(\frac14\right)} >0. \]

Le théorème des valeurs intermédiaires donne donc une solution \(\alpha\in]0,\frac14[\).

Pour \(x\in]0,\frac{\pi}{2}[\), on calcule :

\[ F'(x) = 1+ \frac{ 2n\sin^{n-1}x\cos x(1+\cos x) +2\sin^{n+1}x }{(1+\cos x)^2}. \]

Tous les termes sont positifs sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\). Ainsi \(F'(x)>0\), donc \(F\) est strictement croissante.

\[ \boxed{ \text{L’équation admet une unique solution } \alpha\in]0,\frac14[ } \]

En particulier, \(\alpha\in]0,\frac{\pi}{2}[\).

Exercice 44

Énoncé

Dans chacun des cas suivants, montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis déterminer une expression de \(f^{-1}(x)\).

1)

\[ f(x)=\frac{x^2+5x}{x-2}, \qquad I=[5,+\infty[. \]

2)

\[ f(x)=x^2-6x+5, \qquad I=]-\infty,3]. \]

3)

\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \qquad I=\mathbb R^+. \]

4)

\[ f(x)=\left(\sqrt{3-x}+1\right)^2, \qquad I=]-\infty,3]. \]

5)

\[ f(x)=x-\sqrt{x^2-x}, \qquad I=[1,+\infty[. \]

6)

\[ f(x)=2x-\sqrt{x}, \qquad I=\left[0,\frac1{16}\right]. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Erreur dans l’intervalle imprimé

Avec \(I=[5,+\infty[\), la fonction n’est pas injective. La bijection demandée ne peut donc pas être établie sur cet intervalle.

En effet :

\[ f(5)=\frac{50}{3}, \qquad f\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{50}{3}. \]

Or :

\[ 5\ne\frac{20}{3}, \qquad 5,\frac{20}{3}\in[5,+\infty[. \]

\[ \boxed{ f\text{ n’est pas injective sur }[5,+\infty[ } \]

Il n’existe donc pas de fonction réciproque de \(f\) sur tout l’intervalle imprimé.

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

\[ f(x)=(x-3)^2-4. \]

Sur \(]-\infty,3]\), la fonction est continue et strictement décroissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(3)=-4. \]

Ainsi :

\[ J=[-4,+\infty[. \]

Soit \(y\in J\). De \(y=(x-3)^2-4\), on déduit :

\[ (x-3)^2=y+4. \]

Comme \(x\le3\), on choisit le signe négatif :

\[ x-3=-\sqrt{y+4}. \]

\[ \boxed{f^{-1}(y)=3-\sqrt{y+4}} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

La fonction est continue sur \(\mathbb R^+\), et :

\[ f'(x)=\frac1{(x^2+1)^{3/2}}\gt0. \]

Elle est donc strictement croissante. De plus :

\[ f(0)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]

Ainsi :

\[ J=[0,1[. \]

Pour \(y\in[0,1[\), l’égalité \(y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) donne, avec \(x\ge0\) :

\[ y^2(x^2+1)=x^2, \] \[ x^2=\frac{y^2}{1-y^2}. \]

\[ \boxed{f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

La fonction \(x\mapsto\sqrt{3-x}\) est strictement décroissante sur \(I\). Comme \(\sqrt{3-x}+1\gt0\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(I\).

\[ f(3)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]

Ainsi :

\[ J=[1,+\infty[. \]

Pour \(y\in J\) :

\[ \sqrt y=\sqrt{3-x}+1, \] \[ \sqrt{3-x}=\sqrt y-1, \] \[ x=3-(\sqrt y-1)^2. \]

\[ \boxed{f^{-1}(y)=3-(\sqrt y-1)^2} \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Pour \(x\gt1\) :

\[ f'(x) = 1-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}. \]

Or :

\[ (2x-1)^2-4(x^2-x)=1\gt0. \]

Comme les deux membres sont positifs, on a \(2x-1\gt2\sqrt{x^2-x}\), donc \(f'(x)\lt0\). La fonction est strictement décroissante sur \(I\).

\[ f(1)=1. \]

En rationalisant :

\[ f(x) = \frac{x}{x+\sqrt{x^2-x}}, \] d’où : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]

Ainsi :

\[ J=]\tfrac12,1]. \]

Pour \(y\in J\), l’égalité \(y=x-\sqrt{x^2-x}\) donne :

\[ \sqrt{x^2-x}=x-y. \]

Après élévation au carré :

\[ x^2-x=x^2-2xy+y^2, \] \[ x(2y-1)=y^2. \]

\[ \boxed{f^{-1}(y)=\frac{y^2}{2y-1}} \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons \(t=\sqrt{x}\). Alors :

\[ t\in\left[0,\frac14\right], \qquad f(x)=2t^2-t. \]

La fonction \(t\mapsto2t^2-t\) a pour dérivée \(4t-1\le0\) sur \([0,\frac14]\). Elle est donc strictement décroissante.

\[ f(0)=0, \qquad f\left(\frac1{16}\right)=-\frac18. \]

Ainsi :

\[ J=\left[-\frac18,0\right]. \]

Pour \(y\in J\), on résout :

\[ 2t^2-t-y=0. \] \[ t=\frac{1\pm\sqrt{1+8y}}4. \]

La condition \(t\in[0,\frac14]\) impose :

\[ t=\frac{1-\sqrt{1+8y}}4. \]

Comme \(x=t^2\) :

\[ \boxed{ f^{-1}(y)= \left(\frac{1-\sqrt{1+8y}}4\right)^2 } \]

Exercice 45

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}. \]

1)

Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2)

Dresser le tableau de variations de \(f^{-1}\).

3)

Déterminer l’expression de \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La fonction \(f\) est continue sur \(]-1,+\infty[\). De plus :

\[ f'(x) = \frac{x+2}{2(x+1)^{3/2}}. \]

Pour \(x\gt-1\), on a \(x+2\gt1\), donc \(f'(x)\gt0\). Ainsi \(f\) est strictement croissante.

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{J=\mathbb R} \] \[ \boxed{f\ \text{réalise une bijection de }]-1,+\infty[ \text{ sur }\mathbb R} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

La fonction \(f\) est strictement croissante de \(]-1,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). Sa fonction réciproque est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).

\[ \lim_{y\to-\infty}f^{-1}(y)=-1, \qquad \lim_{y\to+\infty}f^{-1}(y)=+\infty. \]

\[ \boxed{ f^{-1}\ \text{est strictement croissante sur }\mathbb R, \text{ de }-1\text{ vers }+\infty } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Soit \(y\in\mathbb R\) et soit \(x\gt-1\) tel que :

\[ y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}. \]

Comme \(\sqrt{x+1}\gt0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe. En élevant au carré :

\[ y^2(x+1)=x^2, \] \[ x^2-y^2x-y^2=0. \]

Les solutions de cette équation en \(x\) sont :

\[ x= \frac{y^2\pm|y|\sqrt{y^2+4}}2. \]

Le choix compatible avec le signe de \(x\) et de \(y\) s’écrit uniformément :

\[ x= \frac{y^2+y\sqrt{y^2+4}}2. \]

\[ \boxed{ f^{-1}(y)= \frac{y^2+y\sqrt{y^2+4}}2 } \]

Exercice 46

Énoncé

1)

Simplifier les nombres suivants

\[ a= \frac{\sqrt{18}\, \sqrt{\sqrt[3]{256}}\, \sqrt[4]{64}} {\sqrt[3]{1024}\,\sqrt[6]{64}\,10^6}, \] \[ b= \frac{\sqrt[15]{3}\,\sqrt[3]{9}\,(\sqrt9)^3} {\sqrt[4]{27}\,\sqrt{\sqrt3}}, \] \[ c= \frac{\sqrt[4]{2048}\,\sqrt[4]{160000}} {\sqrt[8]{4096}\, \sqrt[3]{\sqrt{256}\,\sqrt{512}}}. \]

2)

Simplifier les nombres suivants

\[ x= 27^{2/3}+16^{3/4} -\frac2{\sqrt[3]{8^{-2}}} +\frac{\sqrt[5]{2}}{4^{2/5}}, \] \[ y= \frac{81^{2/9}\,27^{1/4}\,9^{5/2}} {3^{14/3}}, \] \[ z= \frac{ a^{5/3} \left(\sqrt[4]{\frac1{a^2}}\right)^3 b^{5/2}} { \left(a^{5/3}\right)^{2/3} \sqrt[5]{b^{3/4}} }, \qquad (a,b)\in(\mathbb R_+^*)^2. \]

3)

Comparer les deux nombres

\[ \sqrt[5]{91} \qquad\text{et}\qquad \sqrt[3]{15}. \]

4)

Ordonner dans l’ordre croissant

\[ A=\sqrt2, \qquad B=\sqrt[3]{4}, \qquad C=\sqrt[6]{5}, \qquad D=\sqrt[4]{3}. \]

5)

Rendre rationnels les dénominateurs

\[ \frac1{2\sqrt[3]{4}}, \qquad \frac2{\sqrt[3]{3}-1}, \qquad \frac{\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2}} {\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}, \qquad \frac1{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}}. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Calcul de \(a\).

\[ \sqrt{18}=3\cdot2^{1/2}, \quad \sqrt{\sqrt[3]{256}}=2^{4/3}, \quad \sqrt[4]{64}=2^{3/2}, \] \[ \sqrt[3]{1024}=2^{10/3}, \qquad \sqrt[6]{64}=2. \] \[ a= \frac{3\cdot2^{1/2+4/3+3/2}} {2^{10/3+1}\,10^6} = \frac3{2\cdot10^6}. \]

Calcul de \(b\).

\[ b= 3^{1/15+2/3+3-3/4-1/4} = 3^{41/15}. \]

Calcul de \(c\).

\[ \sqrt[4]{2048}=2^{11/4}, \qquad \sqrt[4]{160000}=20=5\cdot2^2, \] \[ \sqrt[8]{4096}=2^{3/2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt{256}\sqrt{512}} = \sqrt[3]{2^4\cdot2^{9/2}} = 2^{17/6}. \] \[ c= 5\cdot2^{19/4-3/2-17/6} = 5\cdot2^{5/12} = 5\sqrt[12]{32}. \]

\[ \boxed{ a=\frac3{2\cdot10^6}, \qquad b=3^{41/15}, \qquad c=5\sqrt[12]{32} } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Calcul de \(x\).

\[ 27^{2/3}=9, \qquad 16^{3/4}=8, \qquad \sqrt[3]{8^{-2}}=\frac14, \] \[ \frac{\sqrt[5]{2}}{4^{2/5}} = 2^{1/5-4/5} = 2^{-3/5} = \frac1{\sqrt[5]{8}}. \] \[ x=9+8-8+\frac1{\sqrt[5]{8}} = 9+\frac1{\sqrt[5]{8}}. \]

Calcul de \(y\).

\[ y= 3^{8/9+3/4+5-14/3} = 3^{71/36}. \]

Calcul de \(z\).

\[ \left(\sqrt[4]{\frac1{a^2}}\right)^3 = a^{-3/2}, \qquad \left(a^{5/3}\right)^{2/3} = a^{10/9}, \] \[ \sqrt[5]{b^{3/4}}=b^{3/20}. \] \[ z= a^{5/3-3/2-10/9} b^{5/2-3/20} = a^{-17/18}b^{47/20}. \]

\[ \boxed{ x=9+\frac1{\sqrt[5]{8}}, \qquad y=3^{71/36}, \qquad z=\frac{b^{47/20}}{a^{17/18}} } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Les deux nombres sont strictement positifs. On peut les élever à la puissance \(15\), qui conserve l’ordre :

\[ \left(\sqrt[5]{91}\right)^{15}=91^3=753571, \] \[ \left(\sqrt[3]{15}\right)^{15}=15^5=759375. \]

Comme \(753571\lt759375\), on obtient :

\[ \boxed{\sqrt[5]{91}\lt\sqrt[3]{15}} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Pour comparer \(C\) et \(D\), on les élève à la puissance \(12\) :

\[ C^{12}=25, \qquad D^{12}=27. \]

Donc \(C\lt D\).

Pour comparer \(D\) et \(A\), on les élève à la puissance \(4\) :

\[ D^4=3, \qquad A^4=4. \]

Donc \(D\lt A\).

Pour comparer \(A\) et \(B\), on les élève à la puissance \(6\) :

\[ A^6=8, \qquad B^6=16. \]

Donc \(A\lt B\).

\[ \boxed{ \sqrt[6]{5} \lt \sqrt[4]{3} \lt \sqrt2 \lt \sqrt[3]{4} } \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Premier nombre.

\[ \frac1{2\sqrt[3]{4}} \times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}4. \]

Deuxième nombre.

Avec \(a=\sqrt[3]{3}\), on utilise \((a-1)(a^2+a+1)=a^3-1=2\) :

\[ \frac2{\sqrt[3]{3}-1} = \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1. \]

Troisième nombre.

Posons \(a=\sqrt[4]{5}\) et \(b=\sqrt[4]{2}\). En multipliant d’abord par \(a+b\), puis par \(\sqrt5+\sqrt2\) :

\[ \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}. \] \[ = \frac{(\sqrt5+\sqrt2+2\sqrt[4]{10})(\sqrt5+\sqrt2)}3. \]

Quatrième nombre.

Posons \(a=\sqrt[3]{5}\) et \(b=\sqrt[3]{2}\). Le dénominateur vaut \(a^2-ab+b^2\), et :

\[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3=7. \] \[ \frac1{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}7. \]

\[ \boxed{ \frac{\sqrt[3]{2}}4,\quad \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1,\quad \frac{(\sqrt5+\sqrt2+2\sqrt[4]{10})(\sqrt5+\sqrt2)}3,\quad \frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}7 } \]

Résultats essentiels

Existence et unicité

Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence d’une solution. La stricte monotonie permet ensuite de conclure à son unicité.

Fonction réciproque

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur son image \(J=f(I)\). Sa fonction réciproque possède le même sens de variation.

Puissances rationnelles

Pour des nombres strictement positifs : \(a^r a^s=a^{r+s}\), \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\) et \((a^r)^s=a^{rs}\).

Rationalisation

On choisit un facteur qui transforme le dénominateur à l’aide d’une identité remarquable, notamment \(a^3-b^3\), \(a^3+b^3\) ou \(a^4-b^4\).