Correction détaillée des exercices 43 à 46
TVI, fonction réciproque, racines n-ièmes et puissances rationnelles — Manuel Al Moufid
Chaque question est rappelée intégralement avant sa correction. Les raisonnements et les calculs ont été comparés aux énoncés originaux.
Chercher d’abord la question, puis ouvrir uniquement sa correction. Une anomalie objective de l’énoncé original est signalée localement dans l’exercice 44.
Exercice 43
Existence et unicité d’une solution.
utiliser une identité trigonométrique pour la première équation ; pour la seconde, transformer l’équation en \(H(x)=1\) avec une fonction continue et strictement croissante.
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Pour \(x\notin2\pi\mathbb Z\), on utilise l’identité :
\[ \cos x+\cos(2x)+\cdots+\cos(nx) = \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)} {\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. \]Choisissons :
\[ x_0=\frac{\pi}{n+1}. \]On a \(0\lt x_0\lt\pi\), et :
\[ \cos\left(\frac{(n+1)x_0}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2}=0. \]Le dénominateur n’est pas nul. Par conséquent :
\[ \cos x_0+\cos(2x_0)+\cdots+\cos(nx_0)=0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), posons :
\[ H(x)= \frac{2\sin^n x} {(1+\cos x)\left(x+\frac14\right)}. \]L’équation proposée équivaut à \(H(x)=1\).
La fonction \(H\) est continue sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), avec :
\[ H(0)=0, \qquad H\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{\frac{\pi}{2}+\frac14}\gt1. \]Il existe donc au moins une solution dans \(]0,\frac{\pi}{2}[\).
Pour \(x\in]0,\frac{\pi}{2}[\), \(H(x)\gt0\) et :
\[ \frac{H'(x)}{H(x)} = n\cot x+\frac{\sin x}{1+\cos x} -\frac1{x+\frac14}. \]Or :
\[ \frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}, \] \[ n\cot x+\tan\frac{x}{2} = (n-1)\cot x+\frac1{\sin x}. \]Comme \((n-1)\cot x\ge0\) et \(\sin x\lt x\lt x+\frac14\), on obtient :
\[ \frac1{\sin x}\gt\frac1{x+\frac14}. \]Ainsi \(H'(x)\gt0\). La fonction \(H\) est strictement croissante, donc l’équation \(H(x)=1\) admet une seule solution.
Exercice 44
Théorème de la fonction réciproque.
dans chaque cas, montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis déterminer \(f^{-1}\).
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la fonction n’est pas injective sur l’intervalle imprimé \(I=[5,+\infty[\). La bijection demandée n’existe donc pas sur cet intervalle.
En effet :
\[ f(5)=\frac{25+25}{3}=\frac{50}{3}, \] \[ f\left(\frac{20}{3}\right) = \frac{\frac{400}{9}+\frac{100}{3}} {\frac{20}{3}-2} = \frac{50}{3}. \]Or :
\[ 5\ne\frac{20}{3}, \qquad 5,\frac{20}{3}\in[5,+\infty[. \]Ainsi \(f\) prend la même valeur en deux points distincts de \(I\).
Par conséquent, il n’existe pas de fonction réciproque de \(f\) sur tout l’intervalle imprimé. L’énoncé doit être corrigé avant de pouvoir répondre à la demande de bijection.
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Sur \(]-\infty,3]\), la fonction est continue et strictement décroissante. De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(3)=-4. \]Ainsi :
\[ J=[-4,+\infty[. \]Soit \(y\in J\). De \(y=(x-3)^2-4\), on déduit :
\[ (x-3)^2=y+4. \]Comme \(x\le3\), on choisit le signe négatif :
\[ x-3=-\sqrt{y+4}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction est continue sur \(\mathbb R^+\), et :
\[ f'(x)=\frac1{(x^2+1)^{3/2}}\gt0. \]Elle est donc strictement croissante. De plus :
\[ f(0)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]Ainsi :
\[ J=[0,1[. \]Pour \(y\in[0,1[\), l’égalité \(y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) donne, avec \(x\ge0\) :
\[ y^2(x^2+1)=x^2, \] \[ x^2=\frac{y^2}{1-y^2}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(x\mapsto\sqrt{3-x}\) est strictement décroissante sur \(I\). Comme \(\sqrt{3-x}+1\gt0\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(I\).
\[ f(3)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]Ainsi :
\[ J=[1,+\infty[. \]Pour \(y\in J\) :
\[ \sqrt y=\sqrt{3-x}+1, \] \[ \sqrt{3-x}=\sqrt y-1, \] \[ x=3-(\sqrt y-1)^2. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\gt1\) :
\[ f'(x) = 1-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}. \]Or :
\[ (2x-1)^2-4(x^2-x)=1\gt0. \]Comme les deux membres sont positifs, on a \(2x-1\gt2\sqrt{x^2-x}\), donc \(f'(x)\lt0\). La fonction est strictement décroissante sur \(I\).
\[ f(1)=1. \]En rationalisant :
\[ f(x) = \frac{x}{x+\sqrt{x^2-x}}, \] d’où : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]Ainsi :
\[ J=]\tfrac12,1]. \]Pour \(y\in J\), l’égalité \(y=x-\sqrt{x^2-x}\) donne :
\[ \sqrt{x^2-x}=x-y. \]Après élévation au carré :
\[ x^2-x=x^2-2xy+y^2, \] \[ x(2y-1)=y^2. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=\sqrt{x}\). Alors :
\[ t\in\left[0,\frac14\right], \qquad f(x)=2t^2-t. \]La fonction \(t\mapsto2t^2-t\) a pour dérivée \(4t-1\le0\) sur \([0,\frac14]\). Elle est donc strictement décroissante.
\[ f(0)=0, \qquad f\left(\frac1{16}\right)=-\frac18. \]Ainsi :
\[ J=\left[-\frac18,0\right]. \]Pour \(y\in J\), on résout :
\[ 2t^2-t-y=0. \] \[ t=\frac{1\pm\sqrt{1+8y}}4. \]La condition \(t\in[0,\frac14]\) impose :
\[ t=\frac{1-\sqrt{1+8y}}4. \]Comme \(x=t^2\) :
Exercice 45
Étude complète d’une fonction réciproque.
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La fonction \(f\) est continue sur \(]-1,+\infty[\). De plus :
\[ f'(x) = \frac{x+2}{2(x+1)^{3/2}}. \]Pour \(x\gt-1\), on a \(x+2\gt1\), donc \(f'(x)\gt0\). Ainsi \(f\) est strictement croissante.
\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) est strictement croissante de \(]-1,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). Sa fonction réciproque est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).
\[ \lim_{y\to-\infty}f^{-1}(y)=-1, \qquad \lim_{y\to+\infty}f^{-1}(y)=+\infty. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Soit \(y\in\mathbb R\) et soit \(x\gt-1\) tel que :
\[ y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}. \]Comme \(\sqrt{x+1}\gt0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe. En élevant au carré :
\[ y^2(x+1)=x^2, \] \[ x^2-y^2x-y^2=0. \]Les solutions de cette équation en \(x\) sont :
\[ x= \frac{y^2\pm|y|\sqrt{y^2+4}}2. \]Le choix compatible avec le signe de \(x\) et de \(y\) s’écrit uniformément :
\[ x= \frac{y^2+y\sqrt{y^2+4}}2. \]Exercice 46
Fonction racine n-ième et puissance rationnelle.
écrire les nombres sous forme de puissances de nombres premiers, appliquer les règles des puissances rationnelles, puis rationaliser les dénominateurs à l’aide des identités \(a^3-b^3\), \(a^3+b^3\) ou \(a^4-b^4\).
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Calcul de \(a\).
\[ \sqrt{18}=3\cdot2^{1/2}, \quad \sqrt{\sqrt[3]{256}}=2^{4/3}, \quad \sqrt[4]{64}=2^{3/2}, \] \[ \sqrt[3]{1024}=2^{10/3}, \qquad \sqrt[6]{64}=2. \] \[ a= \frac{3\cdot2^{1/2+4/3+3/2}} {2^{10/3+1}\,10^6} = \frac3{2\cdot10^6}. \]Calcul de \(b\).
\[ b= 3^{1/15+2/3+3-3/4-1/4} = 3^{41/15}. \]Calcul de \(c\).
\[ \sqrt[4]{2048}=2^{11/4}, \qquad \sqrt[4]{160000}=20=5\cdot2^2, \] \[ \sqrt[8]{4096}=2^{3/2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt{256}\sqrt{512}} = \sqrt[3]{2^4\cdot2^{9/2}} = 2^{17/6}. \] \[ c= 5\cdot2^{19/4-3/2-17/6} = 5\cdot2^{5/12} = 5\sqrt[12]{32}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Calcul de \(x\).
\[ 27^{2/3}=9, \qquad 16^{3/4}=8, \qquad \sqrt[3]{8^{-2}}=\frac14, \] \[ \frac{\sqrt[5]{2}}{4^{2/5}} = 2^{1/5-4/5} = 2^{-3/5} = \frac1{\sqrt[5]{8}}. \] \[ x=9+8-8+\frac1{\sqrt[5]{8}} = 9+\frac1{\sqrt[5]{8}}. \]Calcul de \(y\).
\[ y= 3^{8/9+3/4+5-14/3} = 3^{71/36}. \]Calcul de \(z\).
\[ \left(\sqrt[4]{\frac1{a^2}}\right)^3 = a^{-3/2}, \qquad \left(a^{5/3}\right)^{2/3} = a^{10/9}, \] \[ \sqrt[5]{b^{3/4}}=b^{3/20}. \] \[ z= a^{5/3-3/2-10/9} b^{5/2-3/20} = a^{-17/18}b^{47/20}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les deux nombres sont strictement positifs. On peut les élever à la puissance \(15\), qui conserve l’ordre :
\[ \left(\sqrt[5]{91}\right)^{15}=91^3=753571, \] \[ \left(\sqrt[3]{15}\right)^{15}=15^5=759375. \]Comme \(753571\lt759375\), on obtient :
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Pour comparer \(C\) et \(D\), on les élève à la puissance \(12\) :
\[ C^{12}=25, \qquad D^{12}=27. \]Donc \(C\lt D\).
Pour comparer \(D\) et \(A\), on les élève à la puissance \(4\) :
\[ D^4=3, \qquad A^4=4. \]Donc \(D\lt A\).
Pour comparer \(A\) et \(B\), on les élève à la puissance \(6\) :
\[ A^6=8, \qquad B^6=16. \]Donc \(A\lt B\).
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Premier nombre.
\[ \frac1{2\sqrt[3]{4}} \times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}4. \]Deuxième nombre.
Avec \(a=\sqrt[3]{3}\), on utilise \((a-1)(a^2+a+1)=a^3-1=2\) :
\[ \frac2{\sqrt[3]{3}-1} = \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1. \]Troisième nombre.
Posons \(a=\sqrt[4]{5}\) et \(b=\sqrt[4]{2}\). En multipliant d’abord par \(a+b\), puis par \(\sqrt5+\sqrt2\) :
\[ \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}. \] \[ = \frac{(\sqrt5+\sqrt2+2\sqrt[4]{10})(\sqrt5+\sqrt2)}3. \]Quatrième nombre.
Posons \(a=\sqrt[3]{5}\) et \(b=\sqrt[3]{2}\). Le dénominateur vaut \(a^2-ab+b^2\), et :
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3=7. \] \[ \frac1{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}7. \]Les 16 questions des exercices 43 à 46 ont été reprises intégralement. Deux problèmes majeurs de l’ancienne version ont été corrigés : le signe de l’équation 43-2 et l’absence totale de correction de l’exercice 46. L’anomalie imprimée dans la question 44-1 est signalée sans inventer un nouvel intervalle.
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