Correction détaillée des exercices 51 à 52
Limites avec racines n-ièmes — Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Chaque limite est rappelée intégralement avant sa correction. Les calculs sont détaillés avec les méthodes du programme : mise en facteur, identités algébriques, changement de variable et limites usuelles.
Chercher d’abord la limite, puis ouvrir uniquement la correction correspondante. Aucun développement limité et aucune règle de l’Hôpital ne sont utilisés.
Exercice 51
mettre la puissance dominante de \(x\) en facteur, utiliser \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})\), et tenir compte de \(\sqrt[2m]{x^{2m}}=|x|\).
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Pour \(x\gt0\), on met respectivement \(x\) et \(x^2\) en facteur :
\[ \sqrt[4]{x^2+1}-x = x\left( \frac{\sqrt[4]{1+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x}}-1 \right), \] \[ \sqrt{x^2+1}-x^2 = x^2\left( \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}-1 \right). \]Ainsi :
\[ \frac{\sqrt[4]{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x^2} = \frac1x\, \frac{\frac{\sqrt[4]{1+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x}}-1} {\frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}-1}. \]Le second facteur tend vers \(\frac{-1}{-1}=1\), tandis que \(\frac1x\to0\).
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Pour \(x\gt1\), on met \(\sqrt{x}\) en facteur au numérateur et au dénominateur :
\[ \sqrt{x-1}-\sqrt[6]{x} = \sqrt{x}\left( \sqrt{1-\frac1x}-\frac1{\sqrt[3]{x}} \right), \] \[ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{x} = \sqrt{x}\left( \frac{\sqrt[3]{1-\frac1x}}{\sqrt[6]{x}}-1 \right). \]Après simplification par \(\sqrt{x}\), le numérateur entre parenthèses tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(-1\).
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Posons :
\[ a=\sqrt[3]{(x+1)^2}, \qquad b=\sqrt[3]{(x-1)^2}. \]L’identité \(a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}\) donne :
\[ a-b = \frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{a^2+ab+b^2} = \frac{4x}{a^2+ab+b^2}. \]En divisant le numérateur et le dénominateur par \(|x|^{\frac43}\), le dénominateur tend vers \(3\), tandis que :
\[ \left|\frac{4x}{|x|^{\frac43}}\right| = \frac4{|x|^{\frac13}} \longrightarrow0. \]La même conclusion vaut lorsque \(x\to+\infty\) et lorsque \(x\to-\infty\).
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On met la plus grande puissance en facteur :
\[ x^{\frac34}-x^{\frac52} = x^{\frac52} \left(x^{-\frac74}-1\right). \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x^{\frac52}\to+\infty\) et \(x^{-\frac74}-1\to-1\).
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Pour \(x\gt0\), on extrait \(x^3\) de chaque racine cubique :
\[ \sqrt[3]{2x^3-x} = x\sqrt[3]{2-\frac1{x^2}}, \qquad \sqrt[3]{x^3+2x} = x\sqrt[3]{1+\frac2{x^2}}. \]Après simplification par \(x\) :
\[ \frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}x = \sqrt[3]{2-\frac1{x^2}} - \sqrt[3]{1+\frac2{x^2}}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Lorsque \(x\to8\) avec \(x\lt8\), on a \(t\to2\) avec \(t\lt2\), et :
\[ x=t^3, \qquad x^{\frac23}=t^2. \]Alors :
\[ \frac{(4-x^{\frac23})^{\frac32}}{x-8} = \frac{(4-t^2)^{\frac32}}{t^3-8}. \]Comme \(4-t^2=(2-t)(2+t)\) et \(t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4)\), on obtient :
\[ \frac{(4-t^2)^{\frac32}}{t^3-8} = -\sqrt{2-t}\, \frac{(2+t)^{\frac32}}{t^2+2t+4}. \]Le premier facteur tend vers \(0\) et le second vers une valeur finie.
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Pour \(x\gt0\), on extrait \(x^3\) de la racine cubique :
\[ \frac{\sqrt[3]{x^3+x-3}}{5x} = \frac15 \sqrt[3]{1+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}}. \]Le contenu de la racine tend vers \(1\).
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On extrait \(x^4\) de la racine quatrième :
\[ \sqrt[4]{x^4+x-3} = |x|\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}-\frac3{x^4}}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\), donc :
\[ \frac{\sqrt[4]{x^4+x-3}}x = -\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}-\frac3{x^4}}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On met \(x^{\frac13}\) en facteur au numérateur et au dénominateur :
\[ \sqrt[4]{x+2}-\sqrt[3]{x} = x^{\frac13} \left( \frac{\sqrt[4]{1+\frac2x}}{\sqrt[12]{x}}-1 \right), \] \[ \sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x+1} = x^{\frac13} \left( \frac1{\sqrt[12]{x}}-\sqrt[3]{1+\frac1x} \right). \]Après simplification par \(x^{\frac13}\), les deux expressions entre parenthèses tendent vers \(-1\).
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Posons :
\[ a=\sqrt[4]{x+1},\quad b=\sqrt[4]{x}, \qquad c=\sqrt[3]{x+1},\quad d=\sqrt[3]{x}. \]Les identités de degré \(4\) et \(3\) donnent :
\[ a-b= \frac1{a^3+a^2b+ab^2+b^3}, \qquad c-d= \frac1{c^2+cd+d^2}. \]Par conséquent :
\[ \frac{a-b}{c-d}\sqrt[12]{x} = \frac{c^2+cd+d^2} {a^3+a^2b+ab^2+b^3}\sqrt[12]{x}. \]On met \(x^{\frac23}\) en facteur au numérateur et \(x^{\frac34}\) au dénominateur. Comme :
\[ x^{\frac23-\frac34}\sqrt[12]{x} = x^{-\frac1{12}}x^{\frac1{12}}=1, \]les trois termes normalisés du numérateur tendent vers \(1\), et les quatre termes normalisés du dénominateur tendent vers \(1\).
Exercice 52
utiliser les identités sur les racines cubiques ainsi que \(\displaystyle\lim_{u o0}rac{\sin u}{u}=1\), \(\displaystyle\lim_{u o0}rac{ an u}{u}=1\) et \(\displaystyle\lim_{u o0}rac{1-\cos u}{u^2}=rac12\).
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Posons :
\[ a=\sqrt[3]{1+\tan x}, \qquad b=\sqrt[3]{1+\sin x}. \]Alors :
\[ a-b = \frac{\tan x-\sin x}{a^2+ab+b^2}. \]De plus :
\[ \tan x-\sin x = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]Ainsi :
\[ \frac{\tan x-\sin x}{x^3} = \frac{\sin x}{x}\, \frac{1-\cos x}{x^2}\, \frac1{\cos x} \longrightarrow 1\cdot\frac12\cdot1=\frac12. \]Comme \(a\to1\) et \(b\to1\), on a \(a^2+ab+b^2\to3\).
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Posons \(u=\sqrt[3]{\cos x}\). Alors \(\cos x=u^3\), donc :
\[ \cos x-\sqrt[3]{\cos x} = u^3-u=u(u-1)(u+1). \]Or :
\[ u-1=\frac{\cos x-1}{u^2+u+1}. \]Par conséquent :
\[ \frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}x = \frac{\cos x-1}{x}\, \frac{u(u+1)}{u^2+u+1}. \]Le second facteur tend vers \(\frac23\), et :
\[ \frac{\cos x-1}{x} = -x\,\frac{1-\cos x}{x^2} \longrightarrow0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le numérateur et le dénominateur s’annulent en \(x=1\). On transforme d’abord le numérateur :
\[ \sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{x+7} = \left(\sqrt{2x+2}-2\right) + \left(2-\sqrt[3]{x+7}\right). \]On a :
\[ \sqrt{2x+2}-2 = \frac{2(x-1)}{\sqrt{2x+2}+2}, \] \[ 2-\sqrt[3]{x+7} = -\frac{x-1} {\left(\sqrt[3]{x+7}\right)^2+2\sqrt[3]{x+7}+4}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{x+7}}{x-1} = \frac24-\frac1{12} = \frac5{12}. \]Posons \(u=\frac{\pi}{4}(x-1)\). Alors \(u\to0\) et :
\[ \tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \tan\left(\frac\pi4+u\right) = \frac{1+\tan u}{1-\tan u}. \]Ainsi :
\[ 1-\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -\frac{2\tan u}{1-\tan u}, \] \[ \lim_{x\to1} \frac{1-\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)}{x-1} = -2\cdot1\cdot\frac\pi4 = -\frac\pi2. \]Finalement :
\[ \lim = \frac{\frac5{12}}{-\frac\pi2}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\gt0\), on transforme le dénominateur :
\[ \sqrt[3]{\frac{1+8x}{x^4}} = \sqrt[3]{\frac{8+\frac1x}{x^3}} = \frac1x\sqrt[3]{8+\frac1x}. \]Le quotient devient :
\[ \frac{\sin\left(\frac1x\right)} {\sqrt[3]{\frac{1+8x}{x^4}}} = \frac{x\sin\left(\frac1x\right)} {\sqrt[3]{8+\frac1x}} = \frac{\frac{\sin(1/x)}{1/x}} {\sqrt[3]{8+\frac1x}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\frac1x\to0\), donc le numérateur tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(2\).
Le changement \(t=\frac1x\) ramène directement cette limite à \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\).
Les 14 limites des exercices 51 et 52 sont désormais rappelées et corrigées intégralement. Les résultats reposent uniquement sur les méthodes du programme : factorisation, identités sur les racines, puissances rationnelles, changement de variable et limites trigonométriques usuelles.
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