Correction des exercices 51 à 52 — Limites avec racines n-ièmes — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 51 et 52 — Limites avec racines n-ièmes

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 51Exercice 52

Exercice 51

Énoncé

1)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[4]{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x^2}. \]

2)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x-1}-\sqrt[6]{x}} {\sqrt[3]{x-1}-\sqrt{x}}. \]

3)

Calculer

\[ \lim_{|x|\to+\infty} \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}-\sqrt[3]{(x-1)^2}\right). \]

4)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac34}-x^{\frac52}\right). \]

5)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}{x}. \]

6)

Calculer

\[ \lim_{\substack{x\to8\\x\lt8}} \frac{\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}}{x-8}. \]

7)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3+x-3}}{5x}. \]

8)

Calculer

\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt[4]{x^4+x-3}}{x}. \]

9)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[4]{x+2}-\sqrt[3]{x}} {\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x+1}}. \]

10)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[4]{x}} {\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}}\, \sqrt[12]{x}. \]

Rappel utile

Pour une racine d’ordre pair, \(\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|\). À l’infini, il faut donc distinguer \(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\). Pour une différence de racines n-ièmes, on utilise \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+\cdots+b^{n-1})\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Pour \(x\gt0\), on met respectivement \(x\) et \(x^2\) en facteur :

\[ \sqrt[4]{x^2+1}-x = x\left( \frac{\sqrt[4]{1+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x}}-1 \right), \] \[ \sqrt{x^2+1}-x^2 = x^2\left( \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}-1 \right). \]

Ainsi :

\[ \frac{\sqrt[4]{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}-x^2} = \frac1x\, \frac{\frac{\sqrt[4]{1+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x}}-1} {\frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}-1}. \]

Le second facteur tend vers \(\frac{-1}{-1}=1\), tandis que \(\frac1x\to0\).

\[\boxed{0}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Pour \(x\gt1\), on met \(\sqrt{x}\) en facteur au numérateur et au dénominateur :

\[ \sqrt{x-1}-\sqrt[6]{x} = \sqrt{x}\left( \sqrt{1-\frac1x}-\frac1{\sqrt[3]{x}} \right), \] \[ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{x} = \sqrt{x}\left( \frac{\sqrt[3]{1-\frac1x}}{\sqrt[6]{x}}-1 \right). \]

Après simplification par \(\sqrt{x}\), le numérateur entre parenthèses tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(-1\).

\[\boxed{-1}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons :

\[ a=\sqrt[3]{(x+1)^2}, \qquad b=\sqrt[3]{(x-1)^2}. \]

L’identité \(a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}\) donne :

\[ a-b = \frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{a^2+ab+b^2} = \frac{4x}{a^2+ab+b^2}. \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(|x|^{\frac43}\), le dénominateur tend vers \(3\), tandis que :

\[ \left|\frac{4x}{|x|^{\frac43}}\right| = \frac4{|x|^{\frac13}} \longrightarrow0. \]

La même conclusion vaut lorsque \(x\to+\infty\) et lorsque \(x\to-\infty\).

\[\boxed{0}\]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On met la plus grande puissance en facteur :

\[ x^{\frac34}-x^{\frac52} = x^{\frac52} \left(x^{-\frac74}-1\right). \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x^{\frac52}\to+\infty\) et \(x^{-\frac74}-1\to-1\).

\[\boxed{-\infty}\]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Pour \(x\gt0\), on extrait \(x^3\) de chaque racine cubique :

\[ \sqrt[3]{2x^3-x} = x\sqrt[3]{2-\frac1{x^2}}, \qquad \sqrt[3]{x^3+2x} = x\sqrt[3]{1+\frac2{x^2}}. \]

Après simplification par \(x\) :

\[ \frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}x = \sqrt[3]{2-\frac1{x^2}} - \sqrt[3]{1+\frac2{x^2}}. \]

\[\boxed{\sqrt[3]{2}-1}\]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Lorsque \(x\to8\) avec \(x\lt8\), on a \(t\to2\) avec \(t\lt2\), et :

\[ x=t^3, \qquad x^{\frac23}=t^2. \]

Alors :

\[ \frac{(4-x^{\frac23})^{\frac32}}{x-8} = \frac{(4-t^2)^{\frac32}}{t^3-8}. \]

Comme \(4-t^2=(2-t)(2+t)\) et \(t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4)\), on obtient :

\[ \frac{(4-t^2)^{\frac32}}{t^3-8} = -\sqrt{2-t}\, \frac{(2+t)^{\frac32}}{t^2+2t+4}. \]

Le premier facteur tend vers \(0\) et le second vers une valeur finie.

\[\boxed{0}\]

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

Pour \(x\gt0\), on extrait \(x^3\) de la racine cubique :

\[ \frac{\sqrt[3]{x^3+x-3}}{5x} = \frac15 \sqrt[3]{1+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}}. \]

Le contenu de la racine tend vers \(1\).

\[\boxed{\frac15}\]

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

On extrait \(x^4\) de la racine quatrième :

\[ \sqrt[4]{x^4+x-3} = |x|\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}-\frac3{x^4}}. \]

Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\), donc :

\[ \frac{\sqrt[4]{x^4+x-3}}x = -\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}-\frac3{x^4}}. \]

\[\boxed{-1}\]

Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

On met \(x^{\frac13}\) en facteur au numérateur et au dénominateur :

\[ \sqrt[4]{x+2}-\sqrt[3]{x} = x^{\frac13} \left( \frac{\sqrt[4]{1+\frac2x}}{\sqrt[12]{x}}-1 \right), \] \[ \sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x+1} = x^{\frac13} \left( \frac1{\sqrt[12]{x}}-\sqrt[3]{1+\frac1x} \right). \]

Après simplification par \(x^{\frac13}\), les deux expressions entre parenthèses tendent vers \(-1\).

\[\boxed{1}\]

Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Posons :

\[ a=\sqrt[4]{x+1},\quad b=\sqrt[4]{x}, \qquad c=\sqrt[3]{x+1},\quad d=\sqrt[3]{x}. \]

Les identités de degré \(4\) et \(3\) donnent :

\[ a-b= \frac1{a^3+a^2b+ab^2+b^3}, \qquad c-d= \frac1{c^2+cd+d^2}. \]

Par conséquent :

\[ \frac{a-b}{c-d}\sqrt[12]{x} = \frac{c^2+cd+d^2} {a^3+a^2b+ab^2+b^3}\sqrt[12]{x}. \]

On met \(x^{\frac23}\) en facteur au numérateur et \(x^{\frac34}\) au dénominateur. Comme :

\[ x^{\frac23-\frac34}\sqrt[12]{x} = x^{-\frac1{12}}x^{\frac1{12}}=1, \]

les trois termes normalisés du numérateur tendent vers \(1\), et les quatre termes normalisés du dénominateur tendent vers \(1\).

\[\boxed{\frac34}\]

Exercice 52

Énoncé

1)

Calculer

\[ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan x}-\sqrt[3]{1+\sin x}}{x^3}. \]

2)

Calculer

\[ \lim_{x\to0} \frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}{x}. \]

3)

Calculer

\[ \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{x+7}} {1-\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)}. \]

4)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin\left(\frac1x\right)} {\sqrt[3]{\frac{1+8x}{x^4}}}. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons :

\[ a=\sqrt[3]{1+\tan x}, \qquad b=\sqrt[3]{1+\sin x}. \]

Alors :

\[ a-b = \frac{\tan x-\sin x}{a^2+ab+b^2}. \]

De plus :

\[ \tan x-\sin x = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]

Ainsi :

\[ \frac{\tan x-\sin x}{x^3} = \frac{\sin x}{x}\, \frac{1-\cos x}{x^2}\, \frac1{\cos x} \longrightarrow 1\cdot\frac12\cdot1=\frac12. \]

Comme \(a\to1\) et \(b\to1\), on a \(a^2+ab+b^2\to3\).

\[\boxed{\frac16}\]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons \(u=\sqrt[3]{\cos x}\). Alors \(\cos x=u^3\), donc :

\[ \cos x-\sqrt[3]{\cos x} = u^3-u=u(u-1)(u+1). \]

Or :

\[ u-1=\frac{\cos x-1}{u^2+u+1}. \]

Par conséquent :

\[ \frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}x = \frac{\cos x-1}{x}\, \frac{u(u+1)}{u^2+u+1}. \]

Le second facteur tend vers \(\frac23\), et :

\[ \frac{\cos x-1}{x} = -x\,\frac{1-\cos x}{x^2} \longrightarrow0. \]

\[\boxed{0}\]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Le numérateur et le dénominateur s’annulent en \(x=1\). On transforme d’abord le numérateur :

\[ \sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{x+7} = \left(\sqrt{2x+2}-2\right) + \left(2-\sqrt[3]{x+7}\right). \]

On a :

\[ \sqrt{2x+2}-2 = \frac{2(x-1)}{\sqrt{2x+2}+2}, \] \[ 2-\sqrt[3]{x+7} = -\frac{x-1} {\left(\sqrt[3]{x+7}\right)^2+2\sqrt[3]{x+7}+4}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{x+7}}{x-1} = \frac24-\frac1{12} = \frac5{12}. \]

Posons \(u=\frac{\pi}{4}(x-1)\). Alors \(u\to0\) et :

\[ \tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \tan\left(\frac\pi4+u\right) = \frac{1+\tan u}{1-\tan u}. \]

Ainsi :

\[ 1-\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -\frac{2\tan u}{1-\tan u}, \] \[ \lim_{x\to1} \frac{1-\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)}{x-1} = -2\cdot1\cdot\frac\pi4 = -\frac\pi2. \]

Le quotient initial est le quotient de ces deux expressions. On obtient donc :

\[ \lim = \frac{\frac5{12}}{-\frac\pi2}. \]

\[\boxed{-\frac5{6\pi}}\]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Pour \(x\gt0\), on transforme le dénominateur :

\[ \sqrt[3]{\frac{1+8x}{x^4}} = \sqrt[3]{\frac{8+\frac1x}{x^3}} = \frac1x\sqrt[3]{8+\frac1x}. \]

Le quotient devient :

\[ \frac{\sin\left(\frac1x\right)} {\sqrt[3]{\frac{1+8x}{x^4}}} = \frac{x\sin\left(\frac1x\right)} {\sqrt[3]{8+\frac1x}} = \frac{\frac{\sin(1/x)}{1/x}} {\sqrt[3]{8+\frac1x}}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\frac1x\to0\), donc le numérateur tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(2\).

\[\boxed{\frac12}\]

Remarque pédagogique :
Le changement \(t=\frac1x\) ramène directement cette limite à \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\).

Résultats essentiels

Extraction d’une puissance

Pour \(x>0\), \(\sqrt[n]{x^n A(x)}=x\sqrt[n]{A(x)}\). Lorsque \(n\) est pair et \(x\) peut être négatif, le facteur extrait est \(|x|\).

Différence de racines n-ièmes

L’identité \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})\) permet de transformer une différence de racines.

Limites trigonométriques usuelles

Lorsque \(u\to0\), \(\frac{\sin u}{u}\to1\), \(\frac{\tan u}{u}\to1\) et \(\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12\).

Changement de variable

Un changement comme \(t=\sqrt[3]{x}\) ou \(u=\frac1x\) ramène souvent la limite à une expression algébrique ou à une limite usuelle.