Correction des exercices 52 à 54 — Axe, centre de symétrie, primitives et étude de fonctions — Al Moufid
Correction des exercices 52 à 54 — Symétries et étude de fonctions — Al Moufid
Dérivation — 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces trois exercices rassemblent plusieurs outils importants de l’étude des fonctions. Les exercices 52 et 53 portent sur les symétries d’une courbe : il ne suffit pas d’observer une expression qui « semble symétrique », il faut vérifier précisément la stabilité du domaine puis appliquer le critère correspondant à un axe ou à un centre de symétrie. L’exercice 54 est plus complet : pour chacune des fonctions proposées, on détermine le domaine, les variations, les limites, les éventuelles asymptotes, les tangentes particulières et les informations nécessaires au tracé. La dérivation intervient donc comme un outil au service de l’étude globale de la fonction. Dans toute la correction, l’objectif est de reconnaître la propriété du cours utilisée, de vérifier ses conditions d’application, puis d’interpréter géométriquement les résultats obtenus.
Rappel de cours — Symétries et étude d’une fonction
Pour montrer que la droite d’équation \(x=a\) est un axe de symétrie de \(\mathcal C_f\), on vérifie d’abord que le domaine de définition est stable par la transformation \(x\mapsto2a-x\), puis que :
\[ f(2a-x)=f(x). \]Pour montrer que le point \(\Omega(a;b)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal C_f\), on vérifie la stabilité du domaine puis :
\[ f(2a-x)+f(x)=2b. \]Pour l’étude des variations, le signe de \(f'\) détermine le sens de variation sur les intervalles considérés. La périodicité permet éventuellement de réduire l’étude à un intervalle de longueur égale à une période. Les limites permettent de reconnaître les asymptotes et les branches infinies. Enfin, lorsque la dérivée seconde intervient, son signe permet d’étudier la convexité de la courbe.
Exercice 52 — Axe de symétrie
Méthode. Pour une droite verticale d’équation \(x=a\), les abscisses \(x\) et \(2a-x\) sont symétriques par rapport à \(a\). On commence donc par vérifier que le domaine est stable par cette transformation, puis on cherche à établir \(f(2a-x)=f(x)\).
1) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2-4x+1}\) et \((\Delta):x=2\)
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Pourquoi considérer \(4-x\) ? L’axe proposé est \(x=2\). L’abscisse symétrique de \(x\) par rapport à \(2\) est donc \(2\times2-x=4-x\). Comme la racine cubique est définie pour tout réel, aucune restriction supplémentaire n’apparaît dans le domaine.
La racine cubique étant définie sur \(\mathbb R\), on a \(D_f=\mathbb R\).
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} f(4-x) &= \sqrt[3]{(4-x)^2-4(4-x)+1}\\ &= \sqrt[3]{x^2-4x+1}\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(4-x\) sont symétriques par rapport à \(2\).
2) \(\displaystyle f(x)=\sin^4x-5\cos^2x+7\) et \((\Delta):x=\frac{\pi}{2}\)
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Règle utilisée. Pour l’axe \(x=\frac{\pi}{2}\), l’abscisse symétrique de \(x\) est \(\pi-x\). Les relations trigonométriques associées permettent alors de comparer directement \(f(\pi-x)\) à \(f(x)\).
La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \sin(\pi-x)=\sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x. \]Donc :
\[ \begin{aligned} f(\pi-x) &= \sin^4(\pi-x)-5\cos^2(\pi-x)+7\\ &= \sin^4x-5\cos^2x+7\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(\pi-x\) sont symétriques par rapport à \(\frac{\pi}{2}\).
3) \(\displaystyle f(x)=\operatorname{Arctan}\!\left(\sqrt{x^2+4x}\right)\) et \((\Delta):x=-2\)
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Point important : le domaine. La racine carrée impose ici une condition de définition. Avant de comparer \(f(x)\) et \(f(-4-x)\), il faut donc vérifier que le domaine est lui-même symétrique par rapport à \(-2\).
La condition \(x^2+4x\geq0\) équivaut à :
\[ x(x+4)\geq0. \]Ainsi :
\[ D_f=]-\infty;-4]\cup[0;+\infty[. \]Ce domaine est symétrique par rapport à \(-2\). En effet, si \(x\in D_f\), alors \(-4-x\in D_f\).
Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \begin{aligned} f(-4-x) &= \operatorname{Arctan} \left( \sqrt{(-4-x)^2+4(-4-x)} \right)\\ &= \operatorname{Arctan} \left( \sqrt{x^2+4x} \right)\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(-4-x\) sont symétriques par rapport à \(-2\).
4) \(\displaystyle f(x)=\frac{2-\sin^4x}{\cos x+3}\) et \((\Delta):x=0\)
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Cas particulier. L’axe \(x=0\) est l’axe des ordonnées. Le critère devient donc \(f(-x)=f(x)\), c’est-à-dire la définition d’une fonction paire. Il faut néanmoins commencer par contrôler le dénominateur.
Pour tout réel \(x\), on a :
\[ \cos x+3\geq2\gt0. \]Donc \(D_f=\mathbb R\). De plus :
\[ \sin(-x)=-\sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(-x)=\cos x. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{2-\sin^4(-x)}{\cos(-x)+3}\\ &= \frac{2-\sin^4x}{\cos x+3}\\ &= f(x). \end{aligned} \]La fonction \(f\) est paire.
Exercice 53 — Centre de symétrie
Méthode. Pour un centre \(\Omega(a;b)\), les abscisses \(x\) et \(2a-x\) sont symétriques par rapport à \(a\). Leurs ordonnées doivent être symétriques par rapport à \(b\). On cherche donc à vérifier \(f(x)+f(2a-x)=2b\), après avoir contrôlé le domaine.
1) \(\displaystyle f(x)=\frac{3x^2+8x+4}{x+1}\) et \(\Omega(-1;2)\)
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Pourquoi effectuer la division ? L’écriture obtenue après division fait apparaître un terme affine et un terme en \(\frac1{x+1}\). Elle facilite ainsi le calcul de l’image de l’abscisse symétrique de \(x\) par rapport à \(-1\).
La fonction est définie sur :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]Effectuons la division :
\[ f(x)=3x+5-\frac{1}{x+1}. \]Pour tout \(x\in D_f\), le réel \(-2-x\) appartient aussi à \(D_f\), et :
\[ \begin{aligned} f(-2-x) &= 3(-2-x)+5-\frac{1}{-1-x}\\ &= -3x-1+\frac{1}{x+1}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ f(x)+f(-2-x)=4=2\times2. \]2) \(\displaystyle f(x)=\sqrt3\cos(2x)+\sin(2x)\) et \(\Omega\left(\frac{\pi}{3};0\right)\)
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Idée de la correction. La combinaison trigonométrique est d’abord transformée en un seul cosinus. On compare ensuite les valeurs de la fonction aux deux abscisses \(\frac{\pi}{3}+h\) et \(\frac{\pi}{3}-h\).
On peut écrire :
\[ f(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right). \]Pour tout réel \(h\) :
\[ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}+h\right) &= 2\cos\left( \frac{2\pi}{3}+2h-\frac{\pi}{6} \right)\\ &= 2\cos\left(\frac{\pi}{2}+2h\right)\\ &= -2\sin(2h), \end{aligned} \]tandis que :
\[ f\left(\frac{\pi}{3}-h\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2h\right) = 2\sin(2h). \]Ainsi :
\[ f\left(\frac{\pi}{3}+h\right) + f\left(\frac{\pi}{3}-h\right) = 0. \]3) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\) et \(\Omega\left(\frac{\pi}{4};\frac12\right)\)
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Commencer par le domaine. La fonction est un quotient. Il faut donc exclure les valeurs qui annulent \(\sin x+\cos x\). Pour le centre d’abscisse \(\frac{\pi}{4}\), l’abscisse symétrique de \(x\) est \(\frac{\pi}{2}-x\).
La fonction est définie lorsque :
\[ \sin x+\cos x\neq0, \]c’est-à-dire :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ -\frac{\pi}{4}+k\pi \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Ce domaine est symétrique par rapport à \(\frac{\pi}{4}\). Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \qquad\text{et}\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x. \]Donc :
\[ f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}. \]Par conséquent :
\[ f(x) + f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} = 1 = 2\times\frac12. \]Exercice 54 — Étude et représentation graphique
Stratégie générale. Une étude complète commence par le domaine de définition. On détermine ensuite les variations à l’aide de la dérivée, puis les limites aux bornes du domaine. Ces limites permettent notamment de reconnaître les asymptotes. Selon la fonction, la parité, la périodicité, les nombres dérivés latéraux ou la dérivée seconde complètent les informations nécessaires à la représentation graphique.
1) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}\)
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Organisation. La racine impose \(x\geq0\) et le dénominateur impose \(x\neq1\). Après le domaine, le signe de \(f'\) donnera les variations. Les limites au voisinage de \(1\) et de \(+\infty\) fourniront les asymptotes. Le point \(0\), extrémité du domaine, sera étudié à droite.
Domaine.
\[ D_f=[0;1[\cup]1;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) et \(x\neq1\) :
\[ f'(x) = -\frac{x+1}{2\sqrt{x}(x-1)^2} \lt0. \]Sur les intervalles considérés, le dénominateur est positif et \(x+1>0\). Le signe négatif placé devant impose donc \(f'(x)\lt0\).
La fonction est strictement décroissante sur \([0;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
On a :
\[ f(0)=0, \] \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, \] \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Les limites infinies au voisinage de \(1\) indiquent une asymptote verticale, tandis que la limite nulle à \(+\infty\) indique une asymptote horizontale.
La droite \(x=1\) est une asymptote verticale et la droite \(y=0\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
À droite de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+} \frac{1}{\sqrt{x}(x-1)} = -\infty. \]2) \(\displaystyle f(x)=\operatorname{Arctan}(2x)-x\)
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Points à reconnaître. La fonction est définie sur tout \(\mathbb R\). Sa parité fournit une première information géométrique. Le signe de sa dérivée permet ensuite de localiser les extremums, tandis que le comportement de la fonction Arctan aux infinis conduit aux asymptotes obliques.
La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Elle est impaire.
\[ f'(x) = \frac{2}{1+4x^2}-1 = \frac{1-4x^2}{1+4x^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de la dérivée est donc déterminé par \(1-4x^2\).
Ainsi, \(f'(x)\lt0\) sur \(]-\infty;-\frac12[\cup]\frac12;+\infty[\), \(f'(x)\gt0\) sur \(]-\frac12;\frac12[\), et :
\[ f'\left(-\frac12\right) = f'\left(\frac12\right) = 0. \]Les valeurs aux points critiques sont :
\[ f\left(-\frac12\right) = \frac12-\frac{\pi}{4}, \] \[ f\left(\frac12\right) = \frac{\pi}{4}-\frac12. \]Donc \(f\) décroît de \(+\infty\) jusqu’au minimum local \(\frac12-\frac{\pi}{4}\), croît jusqu’au maximum local \(\frac{\pi}{4}-\frac12\), puis décroît vers \(-\infty\).
Au voisinage des infinis :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left[ f(x)-\left(-x+\frac{\pi}{2}\right) \right] = 0, \] \[ \lim_{x\to-\infty} \left[ f(x)-\left(-x-\frac{\pi}{2}\right) \right] = 0. \]La courbe admet donc les asymptotes obliques :
\[ y=-x+\frac{\pi}{2} \quad\text{au voisinage de }+\infty, \] \[ y=-x-\frac{\pi}{2} \quad\text{au voisinage de }-\infty. \]La fonction s’annule en \(0\). Elle possède également deux autres zéros opposés \(-\alpha\) et \(\alpha\), avec :
\[ 1\lt\alpha\lt\frac32. \]3) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x\cos x}{1-\cos(4x)}\)
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Simplifier avant de dériver. Les identités trigonométriques utilisées dans la correction ramènent l’expression à une forme beaucoup plus simple. Cette nouvelle écriture rend plus visibles la périodicité, la parité et les variations.
La fonction est définie lorsque \(1-\cos(4x)\neq0\), donc :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Sur ce domaine :
\[ \sin x\cos x=\frac12\sin(2x) \]et :
\[ 1-\cos(4x)=2\sin^2(2x). \]Ainsi :
\[ f(x)=\frac{1}{4\sin(2x)}. \]La fonction est impaire et de période \(\pi\). Sa dérivée est :
\[ f'(x) = -\frac{\cos(2x)}{2\sin^2(2x)}. \]Sur le domaine, \(\sin^2(2x)>0\). Le signe de \(f'(x)\) est donc l’opposé de celui de \(\cos(2x)\).
Pour tout \(k\in\mathbb Z\), posons :
\[ I_k= \left] \frac{k\pi}{2}; \frac{(k+1)\pi}{2} \right[, \qquad m_k= \frac{(2k+1)\pi}{4}. \]Si \(k\) est pair, \(f\) décroît sur \(]\frac{k\pi}{2};m_k]\), puis croît sur \([m_k;\frac{(k+1)\pi}{2}[\), avec :
\[ f(m_k)=\frac14. \]Si \(k\) est impair, \(f\) croît puis décroît, avec :
\[ f(m_k)=-\frac14. \]Chaque droite :
\[ x=\frac{k\pi}{2} \]est une asymptote verticale.
4) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2}\)
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Étude d’une fonction rationnelle. Le domaine est d’abord déterminé à partir du dénominateur. La dérivée donne ensuite les variations. Les limites permettent d’obtenir les asymptotes, puis l’étude de \(f(x)-1\) précise la position de la courbe par rapport à l’asymptote horizontale.
La fonction est définie sur :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]On a :
\[ f'(x)=\frac{5x-7}{(x+1)^3}. \]Le signe de \(f'\) dépend à la fois de \(5x-7\) et de \(x+1\). La valeur \(-1\), qui n’appartient pas au domaine, doit donc rester une séparation dans l’étude du signe.
Donc \(f'(x)\gt0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]\frac75;+\infty[\), et \(f'(x)\lt0\) sur \(]-1;\frac75[\).
La fonction est croissante sur \(]-\infty;-1[\), décroissante sur \(]-1;\frac75]\), puis croissante sur \([\frac75;+\infty[\).
Au point critique :
\[ f\left(\frac75\right)=-\frac1{24}. \]Les limites sont :
\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = \lim_{x\to-1^+}f(x) = +\infty, \] \[ \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}f(x) = 1. \]Les droites \(x=-1\) et \(y=1\) sont respectivement des asymptotes verticale et horizontale.
De plus :
\[ f(x)-1=\frac{1-5x}{(x+1)^2}. \]La courbe est au-dessus de \(y=1\) pour \(x\lt\frac15\), et au-dessous pour \(x\gt\frac15\). Elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses \(1\) et \(2\).
5) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-x\)
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Changement de variable. La présence simultanée de \(\sqrt[3]{x}\), de \(\sqrt[3]{x^2}\) et de \(x\) motive la substitution \(t=\sqrt[3]{x}\). L’expression devient alors polynomiale en \(t\). Comme \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante, les variations obtenues en fonction de \(t\) peuvent être traduites en fonction de \(x\).
La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ t=\sqrt[3]{x}. \]Alors \(x=t^3\), et la fonction \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante. On a :
\[ f(x)=\varphi(t) \qquad\text{avec}\qquad \varphi(t)=t^2+t-t^3. \]Étudions \(\varphi\) :
\[ \varphi'(t) = -3t^2+2t+1 = -(3t+1)(t-1). \]Ainsi, \(\varphi\) décroît sur \(]-\infty;-\frac13]\), croît sur \([-\frac13;1]\), puis décroît sur \([1;+\infty[\).
Comme \(x=t^3\), la fonction \(f\) décroît sur \(]-\infty;-\frac1{27}]\), croît sur \([-\frac1{27};1]\), puis décroît sur \([1;+\infty[\).
Les valeurs remarquables sont :
\[ f\left(-\frac1{27}\right) = -\frac5{27}, \] \[ f(1)=1, \qquad f(0)=0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]Au point \(O(0;0)\) :
\[ \lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = +\infty. \]La courbe possède donc une tangente verticale d’équation \(x=0\).
Les zéros de \(f\) correspondent aux solutions :
\[ t(t^2-t-1)=0. \]Ils sont donc :
\[ x=0, \qquad x= \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^3, \qquad x= \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3. \]6) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1-x}-1\)
Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6
Point de vigilance. La dérivée donnée ci-dessous est définie pour \(x\neq1\). Elle permet donc d’établir la décroissance de part et d’autre de \(1\). La fonction reste néanmoins strictement décroissante sur tout \(\mathbb R\) : lorsque \(x\) augmente, \(1-x\) diminue, et la fonction racine cubique conserve l’ordre.
La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq1\) :
\[ f'(x) = -\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{1-x}\right)^2} \lt0. \]La fonction est donc strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]On a :
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=-1. \]La dérivée n’étant pas définie en \(1\), on revient au quotient de dérivabilité pour déterminer la nature de la tangente en ce point.
Au point \(A(1;-1)\) :
\[ \lim_{x\to1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\infty. \]7) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+2}-1}\)
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Pourquoi poser \(t=\sqrt{x+2}\) ? Ce changement de variable simplifie l’expression de la fonction et de sa dérivée. Il faut néanmoins conserver les conditions initiales \(t\geq0\) et \(t\neq1\).
Les conditions de définition donnent :
\[ x+2\geq0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{x+2}\neq1. \]Ainsi :
\[ D_f=[-2;-1[\cup]-1;+\infty[. \]Posons \(t=\sqrt{x+2}\). Alors \(t\geq0\), \(t\neq1\), \(x=t^2-2\), et :
\[ f(x) = \frac{t^2-2}{t-1} = t+1-\frac{1}{t-1}. \]Pour \(x\gt-2\) et \(x\neq-1\) :
\[ f'(x) = \frac{1+\frac{1}{(t-1)^2}}{2t} \gt0. \]Les quantités du numérateur sont positives et \(2t>0\) pour \(x>-2\). La dérivée est donc positive sur chacune des deux composantes considérées.
La fonction est donc strictement croissante sur \([-2;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
Les valeurs et limites sont :
\[ f(-2)=2, \] \[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty, \] \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]La droite \(x=-1\) est une asymptote verticale. Au point \(A(-2;2)\), la courbe possède une demi-tangente verticale à droite, car :
\[ \lim_{x\to-2^+} \frac{f(x)-2}{x+2} = +\infty. \]Enfin :
\[ f(x)-\left(\sqrt{x+2}+1\right) = -\frac{1}{\sqrt{x+2}-1} \longrightarrow0 \]lorsque \(x\to+\infty\).
8) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-|x|+1}\)
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Rôle de la valeur absolue. La réécriture du radicand permet d’abord de déterminer le domaine. Pour dériver, il faut ensuite distinguer \(x>0\) et \(x<0\), puisque \(|x|\) change d’expression en \(0\). La parité permettra enfin de contrôler la cohérence du tracé.
Pour tout réel \(x\) :
\[ x^2-|x|+1 = \left(|x|-\frac12\right)^2+\frac34 \gt0. \]Donc \(D_f=\mathbb R\). La fonction est paire.
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}. \]Pour \(x\lt0\) :
\[ f'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}. \]Les dénominateurs sont positifs. Le signe de chaque dérivée dépend donc uniquement de son numérateur.
Ainsi, \(f\) décroît sur \(]-\infty;-\frac12]\), croît sur \([-\frac12;0]\), décroît sur \([0;\frac12]\), puis croît sur \([\frac12;+\infty[\).
Les valeurs remarquables sont :
\[ f\left(-\frac12\right) = f\left(\frac12\right) = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad f(0)=1. \]En \(0\), les deux expressions de la dérivée conduisent à deux nombres dérivés latéraux différents.
La fonction n’est pas dérivable en \(0\). Les nombres dérivés latéraux sont :
\[ f'_g(0)=\frac12, \qquad f'_d(0)=-\frac12. \]La courbe possède donc au point \((0;1)\) deux demi-tangentes distinctes.
Au voisinage des infinis :
\[ f(x)-\left(x-\frac12\right)\longrightarrow0 \quad\text{lorsque }x\to+\infty, \] \[ f(x)-\left(-x-\frac12\right)\longrightarrow0 \quad\text{lorsque }x\to-\infty. \]9) \(\displaystyle f(x)=\tan x-\frac{1}{\cos x}\)
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Attention au domaine initial. La simplification trigonométrique facilite l’étude, mais elle ne permet pas de réintroduire les abscisses exclues par l’expression de départ. Les valeurs vérifiant \(\cos x=0\) restent donc exclues et devront être étudiées par les limites.
La fonction est définie lorsque \(\cos x\neq0\), donc :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Sur son domaine :
\[ f(x) = \frac{\sin x-1}{\cos x} = \tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right). \]Cette écriture simplifiée permet de mieux lire le comportement de la fonction, tout en conservant le domaine de définition initial.
La fonction est de période \(2\pi\). Sa dérivée peut s’écrire :
\[ f'(x) = \frac{1-\sin x}{\cos^2x} \gt0 \]pour tout \(x\in D_f\). Elle est donc strictement croissante sur chaque intervalle inclus dans son domaine.
La positivité est stricte sur \(D_f\) : les valeurs pour lesquelles \(1-\sin x=0\) correspondent à des abscisses où \(\cos x=0\), donc à des valeurs exclues du domaine.
Pour tout \(k\in\mathbb Z\) :
\[ \lim_{x\to\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)^+}f(x)=-\infty. \]Les droites :
\[ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \]sont donc des asymptotes verticales.
Aux abscisses :
\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \]la fonction n’est pas définie, mais :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+2k\pi}f(x)=0. \]Il s’agit donc de points manquants de coordonnées :
\[ \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi;0\right). \]10) \(\displaystyle f(x)=(4-x)^{\frac32}\)
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Bord du domaine. La condition \(4-x\geq0\) donne une extrémité du domaine en \(4\). On étudie donc la dérivée pour \(x<4\), puis le nombre dérivé à gauche au point terminal. La dérivée seconde permettra enfin de préciser la convexité.
La condition \(4-x\geq0\) donne :
\[ D_f=]-\infty;4]. \]Pour \(x\lt4\) :
\[ f'(x) = -\frac32\sqrt{4-x} \lt0. \]La fonction est donc strictement décroissante sur \(]-\infty;4]\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(4)=0. \]Puisque \(4\) est une extrémité du domaine, c’est le nombre dérivé à gauche qui permet de déterminer la direction de la demi-tangente.
Le nombre dérivé à gauche en \(4\) est :
\[ f'_g(4) = \lim_{x\to4^-} \frac{(4-x)^{3/2}}{x-4} = 0. \]La courbe possède donc au point \(A(4;0)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(y=0\).
Pour compléter l’étude de la forme de la courbe, on examine maintenant le signe de la dérivée seconde.
De plus, pour \(x\lt4\) :
\[ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{4-x}} \gt0. \]À retenir
Ces exercices montrent qu’une étude de fonction doit être organisée et non réduite à un simple calcul de dérivée. Pour une symétrie, on vérifie d’abord le domaine puis l’identité correspondant à l’axe ou au centre proposé. Pour une étude complète, le domaine précède toujours la dérivation ; le signe de \(f'\) fournit ensuite les variations, tandis que les limites décrivent le comportement aux bornes et permettent d’identifier les asymptotes. Les nombres dérivés latéraux donnent des informations sur les demi-tangentes, et la dérivée seconde peut préciser la convexité. Enfin, la parité et la périodicité sont des outils de réduction de l’étude : elles permettent d’obtenir une partie de la courbe puis de compléter la représentation géométrique sans recommencer inutilement les mêmes calculs.
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