Correction des exercices 52 à 54 — Axe, centre de symétrie, primitives et étude de fonctions — Al Moufid
Correction des exercices 52 à 54 — Symétries et étude de fonctions — Al Moufid
Exercice 52 — Axe de symétrie
1) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2-4x+1}\) et \((\Delta):x=2\)
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La racine cubique étant définie sur \(\mathbb R\), on a \(D_f=\mathbb R\).
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} f(4-x) &= \sqrt[3]{(4-x)^2-4(4-x)+1}\\ &= \sqrt[3]{x^2-4x+1}\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(4-x\) sont symétriques par rapport à \(2\).
2) \(\displaystyle f(x)=\sin^4x-5\cos^2x+7\) et \((\Delta):x=\frac{\pi}{2}\)
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La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \sin(\pi-x)=\sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x. \]Donc :
\[ \begin{aligned} f(\pi-x) &= \sin^4(\pi-x)-5\cos^2(\pi-x)+7\\ &= \sin^4x-5\cos^2x+7\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(\pi-x\) sont symétriques par rapport à \(\frac{\pi}{2}\).
3) \(\displaystyle f(x)=\operatorname{Arctan}\!\left(\sqrt{x^2+4x}\right)\) et \((\Delta):x=-2\)
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La condition \(x^2+4x\geq0\) équivaut à :
\[ x(x+4)\geq0. \]Ainsi :
\[ D_f=]-\infty;-4]\cup[0;+\infty[. \]Ce domaine est symétrique par rapport à \(-2\). En effet, si \(x\in D_f\), alors \(-4-x\in D_f\).
Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \begin{aligned} f(-4-x) &= \operatorname{Arctan} \left( \sqrt{(-4-x)^2+4(-4-x)} \right)\\ &= \operatorname{Arctan} \left( \sqrt{x^2+4x} \right)\\ &= f(x). \end{aligned} \]Les réels \(x\) et \(-4-x\) sont symétriques par rapport à \(-2\).
4) \(\displaystyle f(x)=\frac{2-\sin^4x}{\cos x+3}\) et \((\Delta):x=0\)
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ \cos x+3\geq2\gt0. \]Donc \(D_f=\mathbb R\). De plus :
\[ \sin(-x)=-\sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(-x)=\cos x. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{2-\sin^4(-x)}{\cos(-x)+3}\\ &= \frac{2-\sin^4x}{\cos x+3}\\ &= f(x). \end{aligned} \]La fonction \(f\) est paire.
Exercice 53 — Centre de symétrie
1) \(\displaystyle f(x)=\frac{3x^2+8x+4}{x+1}\) et \(\Omega(-1;2)\)
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La fonction est définie sur :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]Effectuons la division :
\[ f(x)=3x+5-\frac{1}{x+1}. \]Pour tout \(x\in D_f\), le réel \(-2-x\) appartient aussi à \(D_f\), et :
\[ \begin{aligned} f(-2-x) &= 3(-2-x)+5-\frac{1}{-1-x}\\ &= -3x-1+\frac{1}{x+1}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ f(x)+f(-2-x)=4=2\times2. \]2) \(\displaystyle f(x)=\sqrt3\cos(2x)+\sin(2x)\) et \(\Omega\left(\frac{\pi}{3};0\right)\)
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On peut écrire :
\[ f(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right). \]Pour tout réel \(h\) :
\[ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}+h\right) &= 2\cos\left( \frac{2\pi}{3}+2h-\frac{\pi}{6} \right)\\ &= 2\cos\left(\frac{\pi}{2}+2h\right)\\ &= -2\sin(2h), \end{aligned} \]tandis que :
\[ f\left(\frac{\pi}{3}-h\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2h\right) = 2\sin(2h). \]Ainsi :
\[ f\left(\frac{\pi}{3}+h\right) + f\left(\frac{\pi}{3}-h\right) = 0. \]3) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\) et \(\Omega\left(\frac{\pi}{4};\frac12\right)\)
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La fonction est définie lorsque :
\[ \sin x+\cos x\neq0, \]c’est-à-dire :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ -\frac{\pi}{4}+k\pi \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Ce domaine est symétrique par rapport à \(\frac{\pi}{4}\). Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \qquad\text{et}\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x. \]Donc :
\[ f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}. \]Par conséquent :
\[ f(x) + f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} = 1 = 2\times\frac12. \]Exercice 54 — Étude et représentation graphique
1) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}\)
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Domaine.
\[ D_f=[0;1[\cup]1;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) et \(x\neq1\) :
\[ f'(x) = -\frac{x+1}{2\sqrt{x}(x-1)^2} \lt0. \]La fonction est strictement décroissante sur \([0;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
On a :
\[ f(0)=0, \] \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, \] \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]La droite \(x=1\) est une asymptote verticale et la droite \(y=0\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
À droite de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+} \frac{1}{\sqrt{x}(x-1)} = -\infty. \]2) \(\displaystyle f(x)=\operatorname{Arctan}(2x)-x\)
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La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Elle est impaire.
\[ f'(x) = \frac{2}{1+4x^2}-1 = \frac{1-4x^2}{1+4x^2}. \]Ainsi, \(f'(x)\lt0\) sur \(]-\infty;-\frac12[\cup]\frac12;+\infty[\), \(f'(x)\gt0\) sur \(]-\frac12;\frac12[\), et :
\[ f'\left(-\frac12\right) = f'\left(\frac12\right) = 0. \]Les valeurs aux points critiques sont :
\[ f\left(-\frac12\right) = \frac12-\frac{\pi}{4}, \] \[ f\left(\frac12\right) = \frac{\pi}{4}-\frac12. \]Donc \(f\) décroît de \(+\infty\) jusqu’au minimum local \(\frac12-\frac{\pi}{4}\), croît jusqu’au maximum local \(\frac{\pi}{4}-\frac12\), puis décroît vers \(-\infty\).
Au voisinage des infinis :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left[ f(x)-\left(-x+\frac{\pi}{2}\right) \right] = 0, \] \[ \lim_{x\to-\infty} \left[ f(x)-\left(-x-\frac{\pi}{2}\right) \right] = 0. \]La courbe admet donc les asymptotes obliques :
\[ y=-x+\frac{\pi}{2} \quad\text{au voisinage de }+\infty, \] \[ y=-x-\frac{\pi}{2} \quad\text{au voisinage de }-\infty. \]La fonction s’annule en \(0\). Elle possède également deux autres zéros opposés \(-\alpha\) et \(\alpha\), avec :
\[ 1\lt\alpha\lt\frac32. \]3) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x\cos x}{1-\cos(4x)}\)
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La fonction est définie lorsque \(1-\cos(4x)\neq0\), donc :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Sur ce domaine :
\[ \sin x\cos x=\frac12\sin(2x) \]et :
\[ 1-\cos(4x)=2\sin^2(2x). \]Ainsi :
\[ f(x)=\frac{1}{4\sin(2x)}. \]La fonction est impaire et de période \(\pi\). Sa dérivée est :
\[ f'(x) = -\frac{\cos(2x)}{2\sin^2(2x)}. \]Pour tout \(k\in\mathbb Z\), posons :
\[ I_k= \left] \frac{k\pi}{2}; \frac{(k+1)\pi}{2} \right[, \qquad m_k= \frac{(2k+1)\pi}{4}. \]Si \(k\) est pair, \(f\) décroît sur \(]\frac{k\pi}{2};m_k]\), puis croît sur \([m_k;\frac{(k+1)\pi}{2}[\), avec :
\[ f(m_k)=\frac14. \]Si \(k\) est impair, \(f\) croît puis décroît, avec :
\[ f(m_k)=-\frac14. \]Chaque droite :
\[ x=\frac{k\pi}{2} \]est une asymptote verticale.
4) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2}\)
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La fonction est définie sur :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]On a :
\[ f'(x)=\frac{5x-7}{(x+1)^3}. \]Donc \(f'(x)\gt0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]\frac75;+\infty[\), et \(f'(x)\lt0\) sur \(]-1;\frac75[\).
La fonction est croissante sur \(]-\infty;-1[\), décroissante sur \(]-1;\frac75]\), puis croissante sur \([\frac75;+\infty[\).
Au point critique :
\[ f\left(\frac75\right)=-\frac1{24}. \]Les limites sont :
\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = \lim_{x\to-1^+}f(x) = +\infty, \] \[ \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}f(x) = 1. \]Les droites \(x=-1\) et \(y=1\) sont respectivement des asymptotes verticale et horizontale.
De plus :
\[ f(x)-1=\frac{1-5x}{(x+1)^2}. \]La courbe est au-dessus de \(y=1\) pour \(x\lt\frac15\), et au-dessous pour \(x\gt\frac15\). Elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses \(1\) et \(2\).
5) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-x\)
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ t=\sqrt[3]{x}. \]Alors \(x=t^3\), et la fonction \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante. On a :
\[ f(x)=\varphi(t) \qquad\text{avec}\qquad \varphi(t)=t^2+t-t^3. \]Étudions \(\varphi\) :
\[ \varphi'(t) = -3t^2+2t+1 = -(3t+1)(t-1). \]Ainsi, \(\varphi\) décroît sur \(]-\infty;-\frac13]\), croît sur \([-\frac13;1]\), puis décroît sur \([1;+\infty[\).
Comme \(x=t^3\), la fonction \(f\) décroît sur \(]-\infty;-\frac1{27}]\), croît sur \([-\frac1{27};1]\), puis décroît sur \([1;+\infty[\).
Les valeurs remarquables sont :
\[ f\left(-\frac1{27}\right) = -\frac5{27}, \] \[ f(1)=1, \qquad f(0)=0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]Au point \(O(0;0)\) :
\[ \lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = +\infty. \]La courbe possède donc une tangente verticale d’équation \(x=0\).
Les zéros de \(f\) correspondent aux solutions :
\[ t(t^2-t-1)=0. \]Ils sont donc :
\[ x=0, \qquad x= \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^3, \qquad x= \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3. \]6) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1-x}-1\)
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq1\) :
\[ f'(x) = -\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{1-x}\right)^2} \lt0. \]La fonction est donc strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]On a :
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=-1. \]Au point \(A(1;-1)\) :
\[ \lim_{x\to1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\infty. \]7) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+2}-1}\)
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Les conditions de définition donnent :
\[ x+2\geq0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{x+2}\neq1. \]Ainsi :
\[ D_f=[-2;-1[\cup]-1;+\infty[. \]Posons \(t=\sqrt{x+2}\). Alors \(t\geq0\), \(t\neq1\), \(x=t^2-2\), et :
\[ f(x) = \frac{t^2-2}{t-1} = t+1-\frac{1}{t-1}. \]Pour \(x\gt-2\) et \(x\neq-1\) :
\[ f'(x) = \frac{1+\frac{1}{(t-1)^2}}{2t} \gt0. \]La fonction est donc strictement croissante sur \([-2;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
Les valeurs et limites sont :
\[ f(-2)=2, \] \[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty, \] \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]La droite \(x=-1\) est une asymptote verticale. Au point \(A(-2;2)\), la courbe possède une demi-tangente verticale à droite, car :
\[ \lim_{x\to-2^+} \frac{f(x)-2}{x+2} = +\infty. \]Enfin :
\[ f(x)-\left(\sqrt{x+2}+1\right) = -\frac{1}{\sqrt{x+2}-1} \longrightarrow0 \]lorsque \(x\to+\infty\).
8) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-|x|+1}\)
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Pour tout réel \(x\) :
\[ x^2-|x|+1 = \left(|x|-\frac12\right)^2+\frac34 \gt0. \]Donc \(D_f=\mathbb R\). La fonction est paire.
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}. \]Pour \(x\lt0\) :
\[ f'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}. \]Ainsi, \(f\) décroît sur \(]-\infty;-\frac12]\), croît sur \([-\frac12;0]\), décroît sur \([0;\frac12]\), puis croît sur \([\frac12;+\infty[\).
Les valeurs remarquables sont :
\[ f\left(-\frac12\right) = f\left(\frac12\right) = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad f(0)=1. \]La fonction n’est pas dérivable en \(0\). Les nombres dérivés latéraux sont :
\[ f'_g(0)=\frac12, \qquad f'_d(0)=-\frac12. \]La courbe possède donc au point \((0;1)\) deux demi-tangentes distinctes.
Au voisinage des infinis :
\[ f(x)-\left(x-\frac12\right)\longrightarrow0 \quad\text{lorsque }x\to+\infty, \] \[ f(x)-\left(-x-\frac12\right)\longrightarrow0 \quad\text{lorsque }x\to-\infty. \]9) \(\displaystyle f(x)=\tan x-\frac{1}{\cos x}\)
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La fonction est définie lorsque \(\cos x\neq0\), donc :
\[ D_f= \mathbb R \setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \; ; \; k\in\mathbb Z \right\}. \]Sur son domaine :
\[ f(x) = \frac{\sin x-1}{\cos x} = \tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right). \]La fonction est de période \(2\pi\). Sa dérivée peut s’écrire :
\[ f'(x) = \frac{1-\sin x}{\cos^2x} \gt0 \]pour tout \(x\in D_f\). Elle est donc strictement croissante sur chaque intervalle inclus dans son domaine.
Pour tout \(k\in\mathbb Z\) :
\[ \lim_{x\to\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)^+}f(x)=-\infty. \]Les droites :
\[ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \]sont donc des asymptotes verticales.
Aux abscisses :
\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \]la fonction n’est pas définie, mais :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+2k\pi}f(x)=0. \]Il s’agit donc de points manquants de coordonnées :
\[ \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi;0\right). \]10) \(\displaystyle f(x)=(4-x)^{\frac32}\)
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La condition \(4-x\geq0\) donne :
\[ D_f=]-\infty;4]. \]Pour \(x\lt4\) :
\[ f'(x) = -\frac32\sqrt{4-x} \lt0. \]La fonction est donc strictement décroissante sur \(]-\infty;4]\).
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad f(4)=0. \]Le nombre dérivé à gauche en \(4\) est :
\[ f'_g(4) = \lim_{x\to4^-} \frac{(4-x)^{3/2}}{x-4} = 0. \]La courbe possède donc au point \(A(4;0)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(y=0\).
De plus, pour \(x\lt4\) :
\[ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{4-x}} \gt0. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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