Correction des exercices 53 à 56 — Fonction arctangente — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 53 à 56 — Fonction arctangente

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 53Exercice 54Exercice 55Exercice 56

Exercice 53

Énoncé

1)

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{41\pi}{17}\right). \]

2)

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right)\right). \]

3)

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan} \left(\tan\left(5\operatorname{Arctan}\sqrt3\right)\right). \]

4)

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan} \left(\frac1{\tan\left(\frac{3\pi}{11}\right)}\right). \]

5)

Simplifier

\[ \tan\left(\operatorname{Arctan}(2016)\right). \]

6)

Simplifier

\[ \tan\left( \operatorname{Arctan}\frac23-\operatorname{Arctan}\frac37 \right). \]

7)

Simplifier

\[ \tan\left(-\operatorname{Arctan}5\right). \]

8)

Simplifier

\[ \tan\left(2\operatorname{Arctan}3\right). \]

Rappel utile

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) prend ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Pour simplifier \(\operatorname{Arctan}(\tan u)\), on réduit donc \(u\) modulo \(\pi\), puis on retient l’unique représentant appartenant à cet intervalle.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

On a : \[ \frac{41\pi}{17}=2\pi+\frac{7\pi}{17} \] Comme la fonction tangente est périodique de période \(\pi\), on obtient : \[ \tan\frac{41\pi}{17}=\tan\frac{7\pi}{17} \]

Or : \[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{7\pi}{17}\lt\frac{\pi}{2} \] donc l’angle cherché par \(\operatorname{Arctan}\) est \(\frac{7\pi}{17}\).

\(\displaystyle \operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{41\pi}{17}\right)=\frac{7\pi}{17}\)

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On réduit l’angle modulo \(\pi\) :

\[ -\frac{79\pi}{3}=-26\pi-\frac{\pi}{3}. \]

La tangente étant de période \(\pi\) :

\[ \tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right). \]

Or :

\[ -\frac{\pi}{2}\lt-\frac{\pi}{3}\lt\frac{\pi}{2}. \]

\[ \boxed{ \operatorname{Arctan}\left( \tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right) \right) =-\frac{\pi}{3} } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On sait que : \[ \operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{\pi}{3} \] car \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) et \(\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).

Alors : \[ 5\operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{5\pi}{3} \] Or : \[ \frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3} \] donc : \[ \tan\frac{5\pi}{3}=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \] et \(-\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).

\(\displaystyle \operatorname{Arctan}\left(\tan(5\operatorname{Arctan}\sqrt3)\right)=-\frac{\pi}{3}\)

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On utilise l’identité : \[ \frac{1}{\tan a}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right) \] lorsque les deux expressions sont définies.

Ici : \[ \frac{1}{\tan\frac{3\pi}{11}} = \tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{11}\right) = \tan\frac{5\pi}{22} \] et : \[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{5\pi}{22}\lt\frac{\pi}{2} \]

\(\displaystyle \operatorname{Arctan}\left(\frac{1}{\tan\frac{3\pi}{11}}\right)=\frac{5\pi}{22}\)

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Pour tout réel \(x\), on a : \[ \tan(\operatorname{Arctan}x)=x \] donc directement :

\(\displaystyle \tan(\operatorname{Arctan}(2016))=2016\)

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac23 \quad\text{et}\quad b=\operatorname{Arctan}\frac37 \] Alors : \[ \tan a=\frac23,\qquad \tan b=\frac37 \]

On utilise la formule : \[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \] Donc : \[ \tan(a-b) = \frac{\frac23-\frac37}{1+\frac23\cdot\frac37} = \frac{\frac{5}{21}}{\frac97} = \frac{5}{27} \]

\(\displaystyle \tan\left(\operatorname{Arctan}\frac23-\operatorname{Arctan}\frac37\right)=\frac{5}{27}\)

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

La fonction tangente est impaire, donc \(\tan(-u)=-\tan u\). Avec \(u=\operatorname{Arctan}5\), on obtient :

\(\displaystyle \tan(-\operatorname{Arctan}5)=-5\)

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Posons \(a=\operatorname{Arctan}3\). Alors \(\tan a=3\). On utilise : \[ \tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \] Donc : \[ \tan(2a)=\frac{2\cdot3}{1-9}=-\frac34 \]

\(\displaystyle \tan(2\operatorname{Arctan}3)=-\frac34\)

Exercice 54

Énoncé

1.a)

Simplifier

\[ A=\operatorname{Arctan}2+\operatorname{Arctan}\frac12. \]

1.b)

Simplifier

\[ B=\operatorname{Arctan}(1-\sqrt2) -\operatorname{Arctan}(1+\sqrt2). \]

2.a)

Établir l’égalité

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+\operatorname{Arctan}\frac13 =\frac{\pi}{4}. \]

2.b)

Établir l’égalité

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+ \operatorname{Arctan}\frac15+ \operatorname{Arctan}\frac18 =\frac{\pi}{4}. \]

2.c)

Établir l’égalité

\[ 4\operatorname{Arctan}\frac15- \operatorname{Arctan}\frac1{239} =\frac{\pi}{4}. \]

3)

On pose

\[ \alpha= 2\operatorname{Arctan}\frac12- \operatorname{Arctan}\frac17. \]

a) Vérifier que \(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}\).
b) Calculer \(\tan\alpha\), puis en déduire la valeur de \(\alpha\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}2,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac12 \] Alors : \[ a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \] et : \[ \tan a=2,\qquad \tan b=\frac12 \]

Or : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac{1}{\tan a}=\frac12 \] Comme \(b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan b=\frac12\), on a : \[ b=\frac{\pi}{2}-a \] donc : \[ a+b=\frac{\pi}{2} \]

\(\displaystyle A=\frac{\pi}{2}\)

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}(1-\sqrt2), \qquad b=\operatorname{Arctan}(1+\sqrt2) \] Alors \(a\lt0\) et \(b\gt0\), donc : \[ B=a-b\lt0 \]

De plus : \[ \tan a\,\tan b=(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)=-1 \] donc, dans la formule : \[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \] le dénominateur est nul. Ainsi \(B\) est un angle négatif dont la tangente n’est pas définie.

Comme \(a,b\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(B\in]-\pi,0[\). Le seul angle de \(]-\pi,0[\) dont la tangente n’est pas définie est \(-\frac{\pi}{2}\).

\(\displaystyle B=-\frac{\pi}{2}\)

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac12, \qquad b=\operatorname{Arctan}\frac13, \qquad C=a+b \] Alors \(a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\).

Pour savoir si \(C\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\). Comme \(\tan\) est strictement croissante sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), il suffit de comparer leurs tangentes.

Or : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \] et : \[ \tan b=\frac13\lt2 \] donc : \[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \] d’où : \[ a+b\lt\frac{\pi}{2} \]

Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a donc : \[ C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

Maintenant : \[ \tan C= \frac{\frac12+\frac13}{1-\frac12\cdot\frac13} = \frac{\frac56}{\frac56}=1 \] Comme \(C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan C=1\), on obtient :

\(\displaystyle \operatorname{Arctan}\frac12+\operatorname{Arctan}\frac13=\frac{\pi}{4}\)

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac12,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac15,\qquad c=\operatorname{Arctan}\frac18 \] et : \[ D=a+b+c \]

D’abord, on étudie \(E=a+b\). Pour savoir si \(E\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\). On a : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \] et : \[ \tan b=\frac15\lt2 \] donc : \[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \] ainsi : \[ E=a+b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

On calcule : \[ \tan E= \frac{\frac12+\frac15}{1-\frac12\cdot\frac15} = \frac{\frac7{10}}{\frac9{10}} = \frac79 \]

Il reste à vérifier que \(D=E+c\lt\frac{\pi}{2}\). On compare \(c\) avec \(\frac{\pi}{2}-E\). On a : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-E\right)=\frac1{\tan E}=\frac97 \] et : \[ \tan c=\frac18\lt\frac97 \] donc : \[ c\lt\frac{\pi}{2}-E \] d’où : \[ D=E+c\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

Maintenant : \[ \tan D= \frac{\frac79+\frac18}{1-\frac79\cdot\frac18} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1 \] Comme \(D\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), on conclut :

\(\displaystyle \operatorname{Arctan}\frac12+\operatorname{Arctan}\frac15+\operatorname{Arctan}\frac18=\frac{\pi}{4}\)

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Posons :

\[ u=\operatorname{Arctan}\frac15, \qquad v=\operatorname{Arctan}\frac1{239}. \]

On a \(0

\[ \tan(2u) = \frac{2\cdot\frac15}{1-\left(\frac15\right)^2} = \frac5{12}. \]

Comme \(\frac5{12}<1=\tan\frac{\pi}{4}\), on obtient \(0<2u<\frac{\pi}{4}\), donc \(0<4u<\frac{\pi}{2}\).

Ensuite :

\[ \tan(4u) = \frac{2\cdot\frac5{12}} {1-\left(\frac5{12}\right)^2} = \frac{120}{119}. \]

Or \(v\in]0,\frac{\pi}{2}[\) et \(\tan v=\frac1{239}<\frac{120}{119}=\tan(4u)\). Ainsi \(0

\[ 0<4u-v<\frac{\pi}{2}. \]

Enfin :

\[ \tan(4u-v) = \frac{\frac{120}{119}-\frac1{239}} {1+\frac{120}{119}\cdot\frac1{239}} = 1. \]

Comme \(4u-v\in]0,\frac{\pi}{2}[\), on conclut :

\[ \boxed{ 4\operatorname{Arctan}\frac15 - \operatorname{Arctan}\frac1{239} = \frac{\pi}{4} } \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Posons :

\[ u=\operatorname{Arctan}\frac12, \qquad v=\operatorname{Arctan}\frac17, \qquad \alpha=2u-v. \]

Puisque \(0

\[ \tan(2u) = \frac{2\cdot\frac12} {1-\left(\frac12\right)^2} = \frac43. \]

Comme \(\frac43>\frac17=\tan v\), la croissance de la tangente sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\) donne \(2u>v\). Ainsi :

\[ \alpha>0. \]

D’autre part, \(\frac43<\sqrt3=\tan\frac{\pi}{3}\). Donc \(2u<\frac{\pi}{3}\), puis :

\[ 0<\alpha<\frac{\pi}{3}. \]

Calculons maintenant :

\[ \tan\alpha = \frac{\frac43-\frac17} {1+\frac43\cdot\frac17} = 1. \]

L’unique angle de \(]0,\frac{\pi}{3}[\) dont la tangente vaut \(1\) est \(\frac{\pi}{4}\).

\[ \boxed{\alpha=\frac{\pi}{4}} \]

Exercice 55

Énoncé

1)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(3x)=\frac{\pi}{8}. \]

2)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(x^2+2)=\operatorname{Arctan}(3x). \]

3)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(x^2-x)=\frac{3\pi}{4}. \]

4)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}x = \frac{\pi}{4} + 2\operatorname{Arctan}\frac1x. \]

5)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x) =\frac{\pi}{3}. \]

6)

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}\sqrt{x}=-\frac{\pi}{4}. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Comme \(\frac{\pi}{8}\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), l’égalité équivaut à :

\[ 3x=\tan\frac{\pi}{8}. \]

Posons \(t=\tan\frac{\pi}{8}\gt0\). Puisque \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), la formule de l’angle double donne :

\[ \frac{2t}{1-t^2}=1 \iff t^2+2t-1=0. \]

La racine positive est \(t=\sqrt2-1\). Ainsi :

\[ \boxed{S=\left\{\frac{\sqrt2-1}{3}\right\}} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est injective sur \(\mathbb R\). L’équation équivaut donc à :

\[ x^2+2=3x. \] \[ x^2-3x+2=0 \iff (x-1)(x-2)=0. \]

\[ \boxed{S=\{1,2\}} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

\[ \operatorname{Arctan}(x^2-x)=\frac{3\pi}{4} \] Or \(\operatorname{Arctan}\) prend toujours ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Mais \(\frac{3\pi}{4}\) n’appartient pas à cet intervalle.

\(\displaystyle S=\varnothing\)

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

L’expression \(\operatorname{Arctan}\frac1x\) impose \(x\ne0\). On distingue le signe de \(x\).

Premier cas : \(x\gt0\).

On utilise :

\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =\frac{\pi}{2}. \]

L’équation devient :

\[ \frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{12}. \]

Donc :

\[ \frac1x=\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3, \] \[ x=\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \]

Deuxième cas : \(x\lt0\).

Cette fois :

\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =-\frac{\pi}{2}. \]

L’équation devient :

\[ -\frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=-\frac{\pi}{4}. \]

Ainsi \(\frac1x=-1\), donc \(x=-1\).

Les deux valeurs vérifient l’équation initiale.

\[ \boxed{S=\{-1,\,2+\sqrt3\}} \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

On résout : \[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)=\frac{\pi}{3} \] On applique \(\tan\) aux deux membres pour obtenir une condition nécessaire.

\[ \tan\left(\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)\right) = \frac{x+2x}{1-2x^2} = \frac{3x}{1-2x^2} \] et : \[ \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3 \] donc : \[ \frac{3x}{1-2x^2}=\sqrt3 \]

On obtient : \[ 2x^2+\sqrt3x-1=0 \] d’où : \[ x_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}{4}, \qquad x_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}{4} \]

Il reste à vérifier les solutions dans l’équation initiale.

Comme \(x_2\lt0\), on a : \[ \operatorname{Arctan}x_2\lt0 \quad\text{et}\quad \operatorname{Arctan}(2x_2)\lt0 \] donc leur somme est négative. Elle ne peut pas être égale à \(\frac{\pi}{3}\). Ainsi \(x_2\) est rejetée.

Pour \(x_1\), on a \(0\lt x_1\lt\frac12\). Donc les deux angles \(\operatorname{Arctan}x_1\) et \(\operatorname{Arctan}(2x_1)\) sont positifs. De plus : \[ x_1\cdot2x_1=2x_1^2\lt1 \] donc leur somme appartient à \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). Comme sa tangente vaut \(\sqrt3\), cette somme vaut bien \(\frac{\pi}{3}\).

\(\displaystyle S=\left\{\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}{4}\right\}\)

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Le domaine impose \(x\ge0\), donc \(\sqrt{x}\ge0\). Par croissance de \(\operatorname{Arctan}\) et puisque \(\operatorname{Arctan}(0)=0\), on a :

\[ \operatorname{Arctan}\sqrt{x}\ge0. \]

Cette quantité ne peut donc pas être égale à \(-\frac{\pi}{4}\).

\[ \boxed{S=\varnothing} \]

Exercice 56

Énoncé

1)

Calculer

\[ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{Arctan}(3x)}x. \]

2)

Calculer

\[ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}x. \]

3)

Calculer

\[ \lim_{|x|\to+\infty}\operatorname{Arctan}(x^4-x). \]

4)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} (x^2+1)\operatorname{Arctan}\frac1x. \]

5)

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \left( x\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2}x \right). \]

6)

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{ \operatorname{Arctan}\left(\frac1{1-x^2}\right)+\frac{\pi}{2} }{x-1}. \]

7)

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{ x-2\sqrt{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}-1 }{x-1}. \]

8)

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{x-1}}{x-1}. \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x} \] Quand \(x\to0\), on a \(3x\to0\), donc : \[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x}\to1 \]

\(\displaystyle \lim=3\)

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}{x} = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}{x^2+4x} \cdot \frac{x^2+4x}{x} \] Lorsque \(x\to0\), \(x^2+4x\to0\). Le premier facteur tend vers \(1\), et le second vers \(4\).

\(\displaystyle \lim=4\)

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Lorsque \(|x|\to+\infty\), on a : \[ x^4-x\to+\infty \] Donc :

\(\displaystyle \lim=\frac{\pi}{2}\)

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On écrit : \[ (x^2+1)\operatorname{Arctan}\frac1x = \left(x+\frac1x\right) \cdot \frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \] Lorsque \(x\to+\infty\), le premier facteur tend vers \(+\infty\), et le second vers \(1\).

\(\displaystyle \lim=+\infty\)

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Pour \(x\gt0\), on utilise : \[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{2} \] donc : \[ \operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2} = -\operatorname{Arctan}\frac1x \]

Ainsi : \[ x\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2}x = -x\operatorname{Arctan}\frac1x = -\frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \] Le quotient tend vers \(1\).

\(\displaystyle \lim=-1\)

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Lorsque \(x\to1^+\), on a \(x^2-1\to0^+\) et :

\[ \frac1{1-x^2}=-\frac1{x^2-1}. \]

Pour tout \(u\gt0\) :

\[ \operatorname{Arctan}\left(-\frac1u\right) +\frac{\pi}{2} = \operatorname{Arctan}u. \]

En prenant \(u=x^2-1\), le quotient devient :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1}. \]

On écrit alors :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x^2-1} \cdot(x+1). \]

Le premier facteur tend vers \(1\) et le second vers \(2\).

\[ \boxed{2} \]

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

On pose : \[ u=\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4} \] Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\).

De \(x=\tan\left(\frac{\pi}{4}+u\right)\), on obtient : \[ x-1=\frac{2\tan u}{1-\tan u} \] Donc : \[ \frac{u}{x-1} = \frac{u(1-\tan u)}{2\tan u} \to\frac12 \] en utilisant \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1\).

Dans l’expression : \[ \frac{x-2\sqrt{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}-1}{x-1} \] on écrit le numérateur sous la forme : \[ (x-1)-2\sqrt{u} \] donc le quotient vaut : \[ 1-2\frac{\sqrt{u}}{x-1} = 1-2\frac{\sqrt{u}}{u}\cdot\frac{u}{x-1} \] Or \(\frac{\sqrt{u}}{u}=\frac1{\sqrt{u}}\to+\infty\) et \(\frac{u}{x-1}\to\frac12\).

\(\displaystyle \lim=-\infty\)

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Posons :

\[ u=\sqrt[3]{x-1}. \]

Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\) et \(x-1=u^3\). Ainsi :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{x-1}}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u^3} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\cdot\frac1{u^2}. \]

Le premier facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{u^2}\to+\infty\).

\[ \boxed{+\infty} \]

Résultats essentiels

Image de la fonction Arctan

Pour tout réel \(x\), \[ -\frac{\pi}{2} < \operatorname{Arctan}x < \frac{\pi}{2}. \]

Fonctions réciproques

Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\). En revanche, \(\operatorname{Arctan}(\tan u)=u\) seulement lorsque \(u\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

Somme d’arctangentes

Après le calcul de la tangente d’une somme ou d’une différence, il faut toujours déterminer l’intervalle auquel appartient l’angle avant de conclure.

Limite fondamentale

Lorsque \(u\to0\), \[ \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\longrightarrow1. \]