Correction des exercices 53 à 56 — Fonction arctangente — Al Moufid

Correction des exercices 53 à 56 — Limite et continuité

Fonction arctangente — Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Les exercices 53 à 56 sont consacrés à la fonction arctangente, fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Cette propriété explique une grande partie des raisonnements utilisés dans la série.

Il faut notamment distinguer soigneusement les deux identités \(\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\), valable pour tout réel \(x\), et \(\operatorname{Arctan}(\tan u)=u\), qui n’est directement valable que lorsque \(u\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). En dehors de cet intervalle, il faut d’abord réduire l’angle modulo \(\pi\).

Les exercices suivants utilisent aussi les formules d’addition et de duplication de la tangente, l’injectivité et la croissance de \(\operatorname{Arctan}\), ainsi que la limite fondamentale \[ \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\longrightarrow1 \qquad (u\to0). \]

Menu des exercices

Exercice 53 Exercice 54 Exercice 55 Exercice 56

Exercice 53

Repère de cours — Fonction Arctan.

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) prend ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Pour tout réel \(x\), \(\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\). En revanche, pour simplifier \(\operatorname{Arctan}(\tan u)\), il faut d’abord déterminer l’unique angle congru à \(u\) modulo \(\pi\) appartenant à cet intervalle.

Énoncé — Question 1).

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{41\pi}{17}\right). \]

Méthode.

L’angle \(\frac{41\pi}{17}\) n’appartient pas à l’intervalle image de \(\operatorname{Arctan}\). On utilise donc la périodicité de la tangente pour le remplacer par un angle congru modulo \(\pi\) appartenant à \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).

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On a :

\[ \frac{41\pi}{17}=2\pi+\frac{7\pi}{17} \]

Comme la fonction tangente est périodique de période \(\pi\), on obtient :

\[ \tan\frac{41\pi}{17}=\tan\frac{7\pi}{17} \]

Or :

\[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{7\pi}{17}\lt\frac{\pi}{2} \]

donc l’angle cherché par \(\operatorname{Arctan}\) est \(\frac{7\pi}{17}\).

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{41\pi}{17}\right)=\frac{7\pi}{17} \]

La réduction modulo \(\pi\) est indispensable : c’est elle qui permet de ramener l’angle dans l’intervalle où \(\operatorname{Arctan}\) est la fonction réciproque de la tangente.

Énoncé — Question 2).

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right)\right). \]

Méthode.

On procède exactement comme dans la question précédente : l’angle est réduit modulo \(\pi\), puis on vérifie que le représentant choisi appartient bien à l’intervalle de définition de la fonction réciproque.

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On réduit l’angle modulo \(\pi\) :

\[ -\frac{79\pi}{3}=-26\pi-\frac{\pi}{3}. \]

La tangente étant de période \(\pi\) :

\[ \tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right). \]

Or :

\[ -\frac{\pi}{2}\lt-\frac{\pi}{3}\lt\frac{\pi}{2}. \]

\[ \boxed{ \operatorname{Arctan}\left( \tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right) \right) =-\frac{\pi}{3} } \]

Le représentant \(-\frac{\pi}{3}\) appartient déjà à l’intervalle principal de la tangente ; il est donc directement renvoyé par \(\operatorname{Arctan}\).

Énoncé — Question 3).

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan} \left(\tan\left(5\operatorname{Arctan}\sqrt3\right)\right). \]

Méthode.

On commence par identifier la valeur remarquable \(\operatorname{Arctan}\sqrt3\). L’angle obtenu après multiplication par \(5\) est ensuite réduit modulo \(\pi\) pour revenir dans l’intervalle principal.

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

On sait que :

\[ \operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{\pi}{3} \]

car \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) et \(\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).

Alors :

\[ 5\operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{5\pi}{3} \]

Or :

\[ \frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3} \]

donc :

\[ \tan\frac{5\pi}{3}=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \]

et \(-\frac{\pi}{3}\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan(5\operatorname{Arctan}\sqrt3)\right) =-\frac{\pi}{3} \]

Même si \(\operatorname{Arctan}\sqrt3\) est une valeur remarquable, le facteur \(5\) fait sortir l’angle de l’intervalle principal : une réduction modulo \(\pi\) reste donc nécessaire.

Énoncé — Question 4).

Simplifier

\[ \operatorname{Arctan} \left(\frac1{\tan\left(\frac{3\pi}{11}\right)}\right). \]

Méthode.

Le quotient \(1/\tan a\) est transformé à l’aide de l’angle complémentaire. Il suffit ensuite de vérifier que l’angle obtenu appartient à l’intervalle principal de la fonction arctangente.

Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4

On utilise l’identité :

\[ \frac{1}{\tan a}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right) \]

lorsque les deux expressions sont définies.

Ici :

\[ \frac{1}{\tan\frac{3\pi}{11}} = \tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{11}\right) = \tan\frac{5\pi}{22} \]

et :

\[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{5\pi}{22}\lt\frac{\pi}{2} \]

\[ \operatorname{Arctan}\left(\frac{1}{\tan\frac{3\pi}{11}}\right) =\frac{5\pi}{22} \]

L’identité de complémentarité transforme l’expression en une composition directe \(\operatorname{Arctan}(\tan u)\) avec \(u\) déjà situé dans le bon intervalle.

Énoncé — Question 5).

Simplifier

\[ \tan\left(\operatorname{Arctan}(2016)\right). \]

Méthode.

Cette fois, la composition est dans l’ordre \(\tan\circ\operatorname{Arctan}\). L’identité du cours est valable pour tout réel, donc aucune réduction d’angle n’est nécessaire.

Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5

Pour tout réel \(x\), on a :

\[ \tan(\operatorname{Arctan}x)=x \]

donc directement :

\[ \tan(\operatorname{Arctan}(2016))=2016 \]

La propriété s’applique sans condition supplémentaire sur \(2016\), car le domaine de \(\operatorname{Arctan}\) est \(\mathbb R\).

Énoncé — Question 6).

Simplifier

\[ \tan\left( \operatorname{Arctan}\frac23-\operatorname{Arctan}\frac37 \right). \]

Méthode.

On nomme les deux angles puis on applique la formule de la tangente d’une différence. Les valeurs de leurs tangentes sont connues immédiatement par définition de \(\operatorname{Arctan}\).

Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6

Posons :

\[ a=\operatorname{Arctan}\frac23 \quad\text{et}\quad b=\operatorname{Arctan}\frac37 \]

Alors :

\[ \tan a=\frac23,\qquad \tan b=\frac37 \]

On utilise la formule :

\[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \]

Donc :

\[ \tan(a-b) = \frac{\frac23-\frac37}{1+\frac23\cdot\frac37} = \frac{\frac{5}{21}}{\frac97} = \frac{5}{27} \]

\[ \tan\left( \operatorname{Arctan}\frac23-\operatorname{Arctan}\frac37 \right) =\frac{5}{27} \]

Ici, la question demande directement la tangente de la différence : il n’est donc pas nécessaire de déterminer séparément la valeur de l’angle.

Énoncé — Question 7).

Simplifier

\[ \tan\left(-\operatorname{Arctan}5\right). \]

Méthode.

On combine l’imparité de la tangente avec l’identité \(\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\).

Afficher la correction de la question 7 Masquer la correction de la question 7

La fonction tangente est impaire, donc \(\tan(-u)=-\tan u\). Avec \(u=\operatorname{Arctan}5\), on obtient :

\[ \tan(-\operatorname{Arctan}5)=-5 \]

Le signe « moins » est conservé par l’imparité de la fonction tangente.

Énoncé — Question 8).

Simplifier

\[ \tan\left(2\operatorname{Arctan}3\right). \]

Méthode.

On pose \(a=\operatorname{Arctan}3\), ce qui donne immédiatement \(\tan a=3\), puis on applique la formule de duplication de la tangente.

Afficher la correction de la question 8 Masquer la correction de la question 8

Posons \(a=\operatorname{Arctan}3\). Alors \(\tan a=3\).

On utilise :

\[ \tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \]

Donc :

\[ \tan(2a)=\frac{2\cdot3}{1-9}=-\frac34 \]

\[ \tan(2\operatorname{Arctan}3)=-\frac34 \]

Le résultat négatif est cohérent avec le fait que \(2\operatorname{Arctan}3\) dépasse \(\frac{\pi}{2}\).

Exercice 54

Repère de cours — Sommes et différences d’arctangentes.

Calculer la tangente d’une somme ou d’une différence ne suffit pas toujours à déterminer l’angle. Deux angles qui diffèrent d’un multiple de \(\pi\) ont la même tangente. Il faut donc toujours établir dans quel intervalle se trouve l’angle avant de conclure à partir de sa tangente.

Énoncé — Question 1.a).

Simplifier

\[ A=\operatorname{Arctan}2+\operatorname{Arctan}\frac12. \]

Méthode.

Les deux nombres \(2\) et \(1/2\) sont réciproques. On utilise donc la relation entre un angle positif et son complément à \(\frac{\pi}{2}\).

Afficher la correction de la question 1.a Masquer la correction de la question 1.a

Posons :

\[ a=\operatorname{Arctan}2,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac12 \]

Alors :

\[ a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

et :

\[ \tan a=2,\qquad \tan b=\frac12 \]

Or :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right) =\frac{1}{\tan a} =\frac12 \]

Comme \(b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan b=\frac12\), on a :

\[ b=\frac{\pi}{2}-a \]

donc :

\[ a+b=\frac{\pi}{2} \]

\[ A=\frac{\pi}{2} \]

Les deux angles sont complémentaires parce que leurs tangentes sont réciproques et qu’ils appartiennent tous les deux à \(]0,\frac{\pi}{2}[\).

Énoncé — Question 1.b).

Simplifier

\[ B=\operatorname{Arctan}(1-\sqrt2) -\operatorname{Arctan}(1+\sqrt2). \]

Méthode.

On pose les deux angles puis on observe que le produit de leurs tangentes vaut \(-1\). Dans la formule de la tangente d’une différence, le dénominateur devient alors nul. Le signe et l’intervalle auquel appartient la différence permettent d’identifier l’angle.

Afficher la correction de la question 1.b Masquer la correction de la question 1.b

Posons :

\[ a=\operatorname{Arctan}(1-\sqrt2), \qquad b=\operatorname{Arctan}(1+\sqrt2) \]

Alors \(a\lt0\) et \(b\gt0\), donc :

\[ B=a-b\lt0 \]

De plus :

\[ \tan a\,\tan b=(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)=-1 \]

donc, dans la formule :

\[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \]

le dénominateur est nul. Ainsi \(B\) est un angle négatif dont la tangente n’est pas définie.

Comme \(a,b\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(B\in]-\pi,0[\). Le seul angle de \(]-\pi,0[\) dont la tangente n’est pas définie est \(-\frac{\pi}{2}\).

\[ B=-\frac{\pi}{2} \]

Le calcul du dénominateur indique ici que l’angle est une valeur où la tangente n’existe pas ; l’encadrement permet de choisir \(-\frac{\pi}{2}\) plutôt que toute autre valeur congrue modulo \(\pi\).

Énoncé — Question 2.a).

Établir l’égalité

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+ \operatorname{Arctan}\frac13 =\frac{\pi}{4}. \]

Méthode.

On calcule la tangente de la somme, mais avant de conclure il faut établir que cette somme appartient à \(]0,\frac{\pi}{2}[\). Dans cet intervalle, la tangente est injective.

Afficher la correction de la question 2.a Masquer la correction de la question 2.a

Posons :

\[ a=\operatorname{Arctan}\frac12, \qquad b=\operatorname{Arctan}\frac13, \qquad C=a+b \]

Alors \(a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\).

Pour savoir si \(C\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\). Comme \(\tan\) est strictement croissante sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), il suffit de comparer leurs tangentes.

Or :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \]

et :

\[ \tan b=\frac13\lt2 \]

donc :

\[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \]

d’où :

\[ a+b\lt\frac{\pi}{2} \]

Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a donc :

\[ C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

Maintenant :

\[ \tan C= \frac{\frac12+\frac13} {1-\frac12\cdot\frac13} = \frac{\frac56}{\frac56}=1 \]

Comme \(C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan C=1\), on obtient :

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+ \operatorname{Arctan}\frac13 =\frac{\pi}{4} \]

La valeur de la tangente seule ne suffit pas : c’est l’encadrement préalable de \(C\) qui garantit que l’angle recherché est bien \(\frac{\pi}{4}\).

Énoncé — Question 2.b).

Établir l’égalité

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+ \operatorname{Arctan}\frac15+ \operatorname{Arctan}\frac18 =\frac{\pi}{4}. \]

Méthode.

On procède en deux étapes. On additionne d’abord les deux premiers angles et on calcule leur tangente. On ajoute ensuite le troisième, en vérifiant à chaque étape que la somme reste dans \(]0,\frac{\pi}{2}[\).

Afficher la correction de la question 2.b Masquer la correction de la question 2.b

Posons :

\[ a=\operatorname{Arctan}\frac12,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac15,\qquad c=\operatorname{Arctan}\frac18 \]

et :

\[ D=a+b+c \]

D’abord, on étudie \(E=a+b\). Pour savoir si \(E\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\).

On a :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \]

et :

\[ \tan b=\frac15\lt2 \]

donc :

\[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \]

ainsi :

\[ E=a+b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

On calcule :

\[ \tan E= \frac{\frac12+\frac15}{1-\frac12\cdot\frac15} = \frac{\frac7{10}}{\frac9{10}} = \frac79 \]

Il reste à vérifier que \(D=E+c\lt\frac{\pi}{2}\). On compare \(c\) avec \(\frac{\pi}{2}-E\).

On a :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-E\right)=\frac1{\tan E}=\frac97 \]

et :

\[ \tan c=\frac18\lt\frac97 \]

donc :

\[ c\lt\frac{\pi}{2}-E \]

d’où :

\[ D=E+c\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]

Maintenant :

\[ \tan D= \frac{\frac79+\frac18}{1-\frac79\cdot\frac18} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1 \]

Comme \(D\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), on conclut :

\[ \operatorname{Arctan}\frac12+ \operatorname{Arctan}\frac15+ \operatorname{Arctan}\frac18 =\frac{\pi}{4} \]

La somme de trois arctangentes est traitée progressivement afin de garder à chaque étape le contrôle de l’intervalle contenant l’angle.

Énoncé — Question 2.c).

Établir l’égalité

\[ 4\operatorname{Arctan}\frac15- \operatorname{Arctan}\frac1{239} =\frac{\pi}{4}. \]

Méthode.

La méthode consiste à calculer successivement \(\tan(2u)\), puis \(\tan(4u)\), avec \(u=\operatorname{Arctan}\frac15\). On contrôle également la position de \(4u-v\) avant d’utiliser sa tangente pour identifier l’angle.

Afficher la correction de la question 2.c Masquer la correction de la question 2.c

Posons :

\[ u=\operatorname{Arctan}\frac15, \qquad v=\operatorname{Arctan}\frac1{239}. \]

On a \(0\lt u\lt\frac{\pi}{4}\), donc \(0\lt2u\lt\frac{\pi}{2}\). Calculons :

\[ \tan(2u) = \frac{2\cdot\frac15}{1-\left(\frac15\right)^2} = \frac5{12}. \]

Comme \(\frac5{12}\lt1=\tan\frac{\pi}{4}\), on obtient \(0<2u<\frac{\pi}{4}\), donc \(0<4u<\frac{\pi}{2}\).

Ensuite :

\[ \tan(4u) = \frac{2\cdot\frac5{12}} {1-\left(\frac5{12}\right)^2} = \frac{120}{119}. \]

Or \(v\in]0,\frac{\pi}{2}[\) et \(\tan v=\frac1{239}\lt\frac{120}{119}=\tan(4u)\).

Ainsi \(0\lt v\lt4u\), puis :

\[ 0<4u-v<\frac{\pi}{2}. \]

Enfin :

\[ \tan(4u-v) = \frac{\frac{120}{119}-\frac1{239}} {1+\frac{120}{119}\cdot\frac1{239}} = 1. \]

Comme \(4u-v\in]0,\frac{\pi}{2}[\), on conclut :

\[ \boxed{ 4\operatorname{Arctan}\frac15 - \operatorname{Arctan}\frac1{239} = \frac{\pi}{4} } \]

La vérification de l’intervalle élimine toute ambiguïté liée à la périodicité de la tangente : l’angle dont la tangente vaut \(1\) est ici nécessairement \(\frac{\pi}{4}\).

Énoncé — Question 3).

On pose

\[ \alpha= 2\operatorname{Arctan}\frac12- \operatorname{Arctan}\frac17. \]

a) Vérifier que \(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}\).
b) Calculer \(\tan\alpha\), puis en déduire la valeur de \(\alpha\).

Méthode.

L’encadrement demandé dans la première partie prépare directement la conclusion de la seconde. On calcule d’abord \(\tan(2u)\), puis on utilise la croissance de la tangente pour comparer les angles. Une fois \(\tan\alpha\) calculée, l’encadrement permet d’identifier \(\alpha\) sans ambiguïté.

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

Posons :

\[ u=\operatorname{Arctan}\frac12, \qquad v=\operatorname{Arctan}\frac17, \qquad \alpha=2u-v. \]

Puisque \(0\lt u\lt\frac{\pi}{4}\), on a \(0\lt2u\lt\frac{\pi}{2}\). De plus :

\[ \tan(2u) = \frac{2\cdot\frac12} {1-\left(\frac12\right)^2} = \frac43. \]

Comme \(\frac43\gt\frac17=\tan v\), la croissance de la tangente sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\) donne \(2u\gt v\). Ainsi :

\[ \alpha\gt0. \]

D’autre part, \(\frac43\lt\sqrt3=\tan\frac{\pi}{3}\). Donc \(2u\lt\frac{\pi}{3}\), puis :

\[ 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}. \]

Calculons maintenant :

\[ \tan\alpha = \frac{\frac43-\frac17} {1+\frac43\cdot\frac17} = 1. \]

L’unique angle de \(]0,\frac{\pi}{3}[\) dont la tangente vaut \(1\) est \(\frac{\pi}{4}\).

\[ \boxed{\alpha=\frac{\pi}{4}} \]

La première partie n’est donc pas accessoire : elle fournit exactement l’information qui permet de passer de \(\tan\alpha=1\) à \(\alpha=\frac{\pi}{4}\).

Exercice 55

Repère de cours — Équations avec Arctan.

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est strictement croissante, donc injective sur \(\mathbb R\). Son image est \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Ces deux propriétés sont fondamentales : l’injectivité permet d’identifier les arguments, tandis que la connaissance de l’image permet parfois de montrer immédiatement qu’une équation n’a aucune solution.

Énoncé — Question 1).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(3x)=\frac{\pi}{8}. \]

Méthode.

Le membre de droite appartient à l’image de \(\operatorname{Arctan}\). On peut donc appliquer la tangente aux deux membres. Il reste ensuite à calculer exactement \(\tan\frac{\pi}{8}\) à l’aide de la formule de l’angle double.

Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1

Comme \(\frac{\pi}{8}\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), l’égalité équivaut à :

\[ 3x=\tan\frac{\pi}{8}. \]

Posons \(t=\tan\frac{\pi}{8}\gt0\). Puisque \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), la formule de l’angle double donne :

\[ \frac{2t}{1-t^2}=1 \iff t^2+2t-1=0. \]

La racine positive est \(t=\sqrt2-1\). Ainsi :

\[ \boxed{S=\left\{\frac{\sqrt2-1}{3}\right\}} \]

La condition \(t>0\) permet de retenir uniquement la racine positive du trinôme obtenu par la formule de duplication.

Énoncé — Question 2).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(x^2+2)=\operatorname{Arctan}(3x). \]

Méthode.

On utilise directement l’injectivité de \(\operatorname{Arctan}\) sur \(\mathbb R\). L’équation se ramène alors à une équation du second degré classique.

Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2

La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est injective sur \(\mathbb R\). L’équation équivaut donc à :

\[ x^2+2=3x. \] \[ x^2-3x+2=0 \iff (x-1)(x-2)=0. \]

\[ \boxed{S=\{1,2\}} \]

Aucune vérification supplémentaire n’est nécessaire : l’injectivité établit une véritable équivalence entre l’équation initiale et l’égalité de ses deux arguments.

Énoncé — Question 3).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}(x^2-x)=\frac{3\pi}{4}. \]

Méthode.

Avant d’effectuer tout calcul algébrique, on compare le membre de droite avec l’image de la fonction \(\operatorname{Arctan}\). Si cette valeur n’appartient pas à l’image, l’équation est impossible.

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

\[ \operatorname{Arctan}(x^2-x)=\frac{3\pi}{4} \]

Or \(\operatorname{Arctan}\) prend toujours ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Mais \(\frac{3\pi}{4}\) n’appartient pas à cet intervalle.

\[ S=\varnothing \]

L’absence de solution provient de l’image de la fonction \(\operatorname{Arctan}\), indépendamment de la forme de \(x^2-x\).

Énoncé — Question 4).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}x = \frac{\pi}{4} + 2\operatorname{Arctan}\frac1x. \]

Méthode.

Le terme \(1/x\) impose d’abord \(x\ne0\). La relation entre \(\operatorname{Arctan}x\) et \(\operatorname{Arctan}(1/x)\) dépend ensuite du signe de \(x\) : il faut donc traiter séparément les cas \(x>0\) et \(x<0\).

Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4

L’expression \(\operatorname{Arctan}\frac1x\) impose \(x\ne0\). On distingue le signe de \(x\).

Premier cas : \(x\gt0\).

On utilise :

\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =\frac{\pi}{2}. \]

L’équation devient :

\[ \frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{12}. \]

Donc :

\[ \frac1x=\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3, \] \[ x=\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \]

Deuxième cas : \(x\lt0\).

Cette fois :

\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =-\frac{\pi}{2}. \]

L’équation devient :

\[ -\frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=-\frac{\pi}{4}. \]

Ainsi \(\frac1x=-1\), donc \(x=-1\).

Les deux valeurs vérifient l’équation initiale.

\[ \boxed{S=\{-1,\,2+\sqrt3\}} \]

Le découpage selon le signe de \(x\) est indispensable, car la somme des deux arctangentes vaut \(\frac{\pi}{2}\) pour \(x>0\), mais \(-\frac{\pi}{2}\) pour \(x<0\).

Énoncé — Question 5).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x) =\frac{\pi}{3}. \]

Méthode.

On applique la tangente aux deux membres pour obtenir une condition algébrique nécessaire. Cette opération peut produire plusieurs valeurs candidates, car la tangente est périodique. Il faut donc revenir ensuite à l’équation initiale pour sélectionner la solution correcte.

Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5

On résout :

\[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)=\frac{\pi}{3} \]

On applique \(\tan\) aux deux membres pour obtenir une condition nécessaire.

\[ \tan\left(\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)\right) = \frac{x+2x}{1-2x^2} = \frac{3x}{1-2x^2} \]

et :

\[ \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3 \]

donc :

\[ \frac{3x}{1-2x^2}=\sqrt3 \]

On obtient :

\[ 2x^2+\sqrt3x-1=0 \]

d’où :

\[ x_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}{4}, \qquad x_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}{4} \]

Il reste à vérifier les solutions dans l’équation initiale.

Comme \(x_2\lt0\), on a :

\[ \operatorname{Arctan}x_2\lt0 \quad\text{et}\quad \operatorname{Arctan}(2x_2)\lt0 \]

donc leur somme est négative. Elle ne peut pas être égale à \(\frac{\pi}{3}\). Ainsi \(x_2\) est rejetée.

Pour \(x_1\), on a \(0\lt x_1\lt\frac12\).

Donc les deux angles \(\operatorname{Arctan}x_1\) et \(\operatorname{Arctan}(2x_1)\) sont positifs. De plus :

\[ x_1\cdot2x_1=2x_1^2\lt1 \]

donc leur somme appartient à \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). Comme sa tangente vaut \(\sqrt3\), cette somme vaut bien \(\frac{\pi}{3}\).

\[ S=\left\{\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}{4}\right\} \]

La vérification finale est essentielle : appliquer la tangente fournit deux candidats algébriques, mais un seul correspond à l’angle positif \(\frac{\pi}{3}\).

Énoncé — Question 6).

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\[ \operatorname{Arctan}\sqrt{x}=-\frac{\pi}{4}. \]

Méthode.

On combine le domaine de la racine carrée avec la croissance de \(\operatorname{Arctan}\). Pour \(x\ge0\), l’argument \(\sqrt{x}\) est non négatif, donc son arctangente ne peut pas être négative.

Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6

Le domaine impose \(x\ge0\), donc \(\sqrt{x}\ge0\). Par croissance de \(\operatorname{Arctan}\) et puisque \(\operatorname{Arctan}(0)=0\), on a :

\[ \operatorname{Arctan}\sqrt{x}\ge0. \]

Cette quantité ne peut donc pas être égale à \(-\frac{\pi}{4}\).

\[ \boxed{S=\varnothing} \]

Le signe suffit à conclure : il n’est pas nécessaire d’appliquer la tangente aux deux membres.

Exercice 56

Repère de cours — Limites avec Arctan.

La limite fondamentale utilisée dans plusieurs questions est \[ \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\longrightarrow1 \qquad\text{lorsque }u\to0. \] On cherche donc à faire apparaître ce quotient après un changement d’expression ou de variable. On utilise aussi \(\operatorname{Arctan}x\to\frac{\pi}{2}\) lorsque \(x\to+\infty\).

Énoncé — Question 1).

Calculer

\[ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{Arctan}(3x)}x. \]

Méthode.

On multiplie et divise par \(3\) afin de faire apparaître exactement la limite fondamentale \(\operatorname{Arctan}u/u\) avec \(u=3x\).

Afficher la correction de la question 1 Masquer la correction de la question 1

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x} \]

Quand \(x\to0\), on a \(3x\to0\), donc :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x}\to1 \]

\[ \lim=3 \]

Le coefficient \(3\) provient directement du changement \(u=3x\).

Énoncé — Question 2).

Calculer

\[ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}x. \]

Méthode.

L’argument \(x^2+4x\) tend vers \(0\). On le fait donc apparaître au dénominateur du premier facteur, puis on traite séparément le quotient algébrique \((x^2+4x)/x\).

Afficher la correction de la question 2 Masquer la correction de la question 2

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}x = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}{x^2+4x} \cdot \frac{x^2+4x}{x} \]

Lorsque \(x\to0\), \(x^2+4x\to0\). Le premier facteur tend vers \(1\), et le second vers \(4\).

\[ \lim=4 \]

La limite fondamentale est appliquée à l’expression entière \(x^2+4x\), et non directement à \(x\).

Énoncé — Question 3).

Calculer

\[ \lim_{|x|\to+\infty}\operatorname{Arctan}(x^4-x). \]

Méthode.

Il suffit de déterminer la limite de l’argument \(x^4-x\) lorsque \(|x|\to+\infty\), puis d’utiliser la limite de \(\operatorname{Arctan}\) en \(+\infty\).

Afficher la correction de la question 3 Masquer la correction de la question 3

Lorsque \(|x|\to+\infty\), on a :

\[ x^4-x\to+\infty \]

Donc :

\[ \lim=\frac{\pi}{2} \]

Le terme \(x^4\) impose une croissance vers \(+\infty\) aussi bien pour \(x\to+\infty\) que pour \(x\to-\infty\).

Énoncé — Question 4).

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} (x^2+1)\operatorname{Arctan}\frac1x. \]

Méthode.

Comme \(1/x\to0\), on fait apparaître \(\operatorname{Arctan}(1/x)/(1/x)\). Le facteur restant contient la croissance de l’expression.

Afficher la correction de la question 4 Masquer la correction de la question 4

On écrit :

\[ (x^2+1)\operatorname{Arctan}\frac1x = \left(x+\frac1x\right) \cdot \frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \]

Lorsque \(x\to+\infty\), le premier facteur tend vers \(+\infty\), et le second vers \(1\).

\[ \lim=+\infty \]

Le quotient contenant \(\operatorname{Arctan}\) tend vers une constante ; la divergence provient donc uniquement de \(x+\frac1x\).

Énoncé — Question 5).

Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty} \left( x\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2}x \right). \]

Méthode.

La différence contient deux termes qui tendent vers \(+\infty\). Pour \(x>0\), la relation entre \(\operatorname{Arctan}x\) et \(\operatorname{Arctan}(1/x)\) transforme cette différence en un quotient directement lié à la limite fondamentale en \(0\).

Afficher la correction de la question 5 Masquer la correction de la question 5

Pour \(x\gt0\), on utilise :

\[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{2} \]

donc :

\[ \operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2} = -\operatorname{Arctan}\frac1x \]

Ainsi :

\[ x\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2}x = -x\operatorname{Arctan}\frac1x = -\frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \]

Le quotient tend vers \(1\).

\[ \lim=-1 \]

La relation de complémentarité transforme la différence indéterminée en la limite fondamentale de la fonction arctangente.

Énoncé — Question 6).

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{ \operatorname{Arctan}\left(\frac1{1-x^2}\right)+\frac{\pi}{2} }{x-1}. \]

Méthode.

Lorsque \(x\to1^+\), l’argument de l’arctangente tend vers \(-\infty\), tandis que le numérateur tend vers \(0\). Une identité avec \(\operatorname{Arctan}(-1/u)\) permet de remplacer cette expression par une arctangente dont l’argument tend vers \(0\).

Afficher la correction de la question 6 Masquer la correction de la question 6

Lorsque \(x\to1^+\), on a \(x^2-1\to0^+\) et :

\[ \frac1{1-x^2}=-\frac1{x^2-1}. \]

Pour tout \(u\gt0\) :

\[ \operatorname{Arctan}\left(-\frac1u\right) +\frac{\pi}{2} = \operatorname{Arctan}u. \]

En prenant \(u=x^2-1\), le quotient devient :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1}. \]

On écrit alors :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x^2-1} \cdot(x+1). \]

Le premier facteur tend vers \(1\) et le second vers \(2\).

\[ \boxed{2} \]

L’identité transforme un comportement en \(-\infty\) en une expression près de \(0\), où la limite fondamentale d’\(\operatorname{Arctan}\) peut être appliquée.

Énoncé — Question 7).

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{ x-2\sqrt{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}-1 }{x-1}. \]

Méthode.

On introduit \(u=\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}\). Le lien entre \(x\) et \(u\) est obtenu avec la formule d’addition de la tangente. Cela permet de déterminer le comportement de \(u/(x-1)\), puis celui du terme contenant \(\sqrt u\).

Afficher la correction de la question 7 Masquer la correction de la question 7

On pose :

\[ u=\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4} \]

Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\).

De \(x=\tan\left(\frac{\pi}{4}+u\right)\), on obtient :

\[ x-1=\frac{2\tan u}{1-\tan u} \]

Donc :

\[ \frac{u}{x-1} = \frac{u(1-\tan u)}{2\tan u} \to\frac12 \]

en utilisant \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1\).

Dans l’expression :

\[ \frac{x-2\sqrt{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}-1}{x-1} \]

on écrit le numérateur sous la forme :

\[ (x-1)-2\sqrt{u} \]

donc le quotient vaut :

\[ 1-2\frac{\sqrt{u}}{x-1} = 1-2\frac{\sqrt{u}}{u}\cdot\frac{u}{x-1} \]

Or \(\frac{\sqrt{u}}{u}=\frac1{\sqrt{u}}\to+\infty\) et \(\frac{u}{x-1}\to\frac12\).

\[ \lim=-\infty \]

Le terme comportant la racine carrée domine ici le terme linéaire \(x-1\), ce qui entraîne la divergence vers \(-\infty\).

Énoncé — Question 8).

Calculer

\[ \lim_{x\to1^+} \frac{\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{x-1}}{x-1}. \]

Méthode.

Le changement \(u=\sqrt[3]{x-1}\) transforme \(x-1\) en \(u^3\). On peut alors séparer l’expression en un facteur qui tend vers \(1\) grâce à la limite fondamentale et un facteur \(1/u^2\) qui diverge.

Afficher la correction de la question 8 Masquer la correction de la question 8

Posons :

\[ u=\sqrt[3]{x-1}. \]

Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\) et \(x-1=u^3\). Ainsi :

\[ \frac{\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{x-1}}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u^3} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\cdot\frac1{u^2}. \]

Le premier facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{u^2}\to+\infty\).

\[ \boxed{+\infty} \]

Le quotient \(\operatorname{Arctan}u/u\) reste proche de \(1\), tandis que \(1/u^2\) devient arbitrairement grand : c’est ce second facteur qui détermine la limite.

À retenir — Fonction arctangente

1. Image de la fonction Arctan.

Pour tout réel \(x\), \[ -\frac{\pi}{2} \lt \operatorname{Arctan}x \lt \frac{\pi}{2}. \] Cette propriété permet notamment de détecter immédiatement certaines équations impossibles.

2. Fonctions réciproques.

Pour tout \(x\in\mathbb R\), \[ \tan(\operatorname{Arctan}x)=x. \] En revanche, \(\operatorname{Arctan}(\tan u)=u\) seulement lorsque \(u\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

3. Réduction modulo \(\pi\).

Lorsque \(u\) n’appartient pas à l’intervalle principal, on cherche un angle \(v\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) tel que \(u-v\in\pi\mathbb Z\). On a alors \(\operatorname{Arctan}(\tan u)=v\).

4. Somme d’arctangentes.

Après avoir calculé la tangente d’une somme ou d’une différence, il faut déterminer l’intervalle auquel appartient l’angle. Cette étape évite les erreurs dues à la périodicité de la tangente.

5. Injectivité.

Comme \(\operatorname{Arctan}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), \[ \operatorname{Arctan}A=\operatorname{Arctan}B \iff A=B. \]

6. Limite fondamentale.

Lorsque \(u\to0\), \[ \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\longrightarrow1. \] Pour utiliser cette limite, on transforme l’expression afin de faire apparaître exactement ce quotient.

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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