Correction détaillée des exercices 53 à 56
Fonction arctangente — Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Chaque expression, égalité, équation ou limite est rappelée intégralement avant sa correction. L’élève peut ainsi chercher la question, puis ouvrir uniquement la solution correspondante.
\(\operatorname{Arctan}\) prend ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Lorsqu’on applique la tangente à une égalité, il faut toujours contrôler l’intervalle auquel appartient l’angle obtenu et vérifier les solutions.
Exercice 53
réduire les angles modulo \(\pi\), puis retenir l’unique représentant appartenant à \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Pour les expressions de la forme \(\tan(\operatorname{Arctan}u)\), utiliser directement la définition de la fonction réciproque.
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On a : \[ \frac{41\pi}{17}=2\pi+\frac{7\pi}{17} \] Comme la fonction tangente est périodique de période \(\pi\), on obtient : \[ \tan\frac{41\pi}{17}=\tan\frac{7\pi}{17} \]
Or : \[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{7\pi}{17}\lt\frac{\pi}{2} \] donc l’angle cherché par \(\operatorname{Arctan}\) est \(\frac{7\pi}{17}\).
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On réduit l’angle modulo \(\pi\) :
\[ -\frac{79\pi}{3}=-26\pi-\frac{\pi}{3}. \]La tangente étant de période \(\pi\) :
\[ \tan\left(-\frac{79\pi}{3}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right). \]Or :
\[ -\frac{\pi}{2}\lt-\frac{\pi}{3}\lt\frac{\pi}{2}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On sait que : \[ \operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{\pi}{3} \] car \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) et \(\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).
Alors : \[ 5\operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac{5\pi}{3} \] Or : \[ \frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3} \] donc : \[ \tan\frac{5\pi}{3}=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \] et \(-\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\).
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On utilise l’identité : \[ \frac{1}{\tan a}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right) \] lorsque les deux expressions sont définies.
Ici : \[ \frac{1}{\tan\frac{3\pi}{11}} = \tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{11}\right) = \tan\frac{5\pi}{22} \] et : \[ -\frac{\pi}{2}\lt\frac{5\pi}{22}\lt\frac{\pi}{2} \]
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Pour tout réel \(x\), on a : \[ \tan(\operatorname{Arctan}x)=x \] donc directement :
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Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac23 \quad\text{et}\quad b=\operatorname{Arctan}\frac37 \] Alors : \[ \tan a=\frac23,\qquad \tan b=\frac37 \]
On utilise la formule : \[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \] Donc : \[ \tan(a-b) = \frac{\frac23-\frac37}{1+\frac23\cdot\frac37} = \frac{\frac{5}{21}}{\frac97} = \frac{5}{27} \]
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La fonction tangente est impaire, donc \(\tan(-u)=-\tan u\). Avec \(u=\operatorname{Arctan}5\), on obtient :
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Posons \(a=\operatorname{Arctan}3\). Alors \(\tan a=3\). On utilise : \[ \tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \] Donc : \[ \tan(2a)=\frac{2\cdot3}{1-9}=-\frac34 \]
Exercice 54
calculer la tangente de la somme ou de la différence, puis déterminer rigoureusement l’intervalle contenant l’angle. La seule égalité des tangentes ne suffit pas sans ce contrôle.
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Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}2,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac12 \] Alors : \[ a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \] et : \[ \tan a=2,\qquad \tan b=\frac12 \]
Or : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac{1}{\tan a}=\frac12 \] Comme \(b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan b=\frac12\), on a : \[ b=\frac{\pi}{2}-a \] donc : \[ a+b=\frac{\pi}{2} \]
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Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}(1-\sqrt2), \qquad b=\operatorname{Arctan}(1+\sqrt2) \] Alors \(a\lt0\) et \(b\gt0\), donc : \[ B=a-b\lt0 \]
De plus : \[ \tan a\,\tan b=(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)=-1 \] donc, dans la formule : \[ \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b} \] le dénominateur est nul. Ainsi \(B\) est un angle négatif dont la tangente n’est pas définie.
Comme \(a,b\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(B\in]-\pi,0[\). Le seul angle de \(]-\pi,0[\) dont la tangente n’est pas définie est \(-\frac{\pi}{2}\).
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Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac12, \qquad b=\operatorname{Arctan}\frac13, \qquad C=a+b \] Alors \(a,b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\).
Pour savoir si \(C\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\). Comme \(\tan\) est strictement croissante sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), il suffit de comparer leurs tangentes.
Or : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \] et : \[ \tan b=\frac13\lt2 \] donc : \[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \] d’où : \[ a+b\lt\frac{\pi}{2} \]
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a donc : \[ C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]
Maintenant : \[ \tan C= \frac{\frac12+\frac13}{1-\frac12\cdot\frac13} = \frac{\frac56}{\frac56}=1 \] Comme \(C\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et \(\tan C=1\), on obtient :
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Posons : \[ a=\operatorname{Arctan}\frac12,\qquad b=\operatorname{Arctan}\frac15,\qquad c=\operatorname{Arctan}\frac18 \] et : \[ D=a+b+c \]
D’abord, on étudie \(E=a+b\). Pour savoir si \(E\lt\frac{\pi}{2}\), on compare \(b\) avec \(\frac{\pi}{2}-a\). On a : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac1{\tan a}=2 \] et : \[ \tan b=\frac15\lt2 \] donc : \[ b\lt\frac{\pi}{2}-a \] ainsi : \[ E=a+b\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]
On calcule : \[ \tan E= \frac{\frac12+\frac15}{1-\frac12\cdot\frac15} = \frac{\frac7{10}}{\frac9{10}} = \frac79 \]
Il reste à vérifier que \(D=E+c\lt\frac{\pi}{2}\). On compare \(c\) avec \(\frac{\pi}{2}-E\). On a : \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-E\right)=\frac1{\tan E}=\frac97 \] et : \[ \tan c=\frac18\lt\frac97 \] donc : \[ c\lt\frac{\pi}{2}-E \] d’où : \[ D=E+c\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \]
Maintenant : \[ \tan D= \frac{\frac79+\frac18}{1-\frac79\cdot\frac18} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1 \] Comme \(D\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), on conclut :
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Posons : \[ u=\operatorname{Arctan}\frac15 \] Alors : \[ \tan u=\frac15 \]
On calcule : \[ \tan(2u)= \frac{2\cdot\frac15}{1-\left(\frac15\right)^2} = \frac5{12} \] puis : \[ \tan(4u)= \frac{2\cdot\frac5{12}}{1-\left(\frac5{12}\right)^2} = \frac{120}{119} \]
Posons : \[ v=\operatorname{Arctan}\frac1{239} \] Alors : \[ \tan v=\frac1{239} \] On calcule : \[ \tan(4u-v)= \frac{\frac{120}{119}-\frac1{239}}{1+\frac{120}{119}\cdot\frac1{239}} = 1 \]
On vérifie que \(4u-v\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). Ainsi, comme sa tangente vaut \(1\), on obtient :
a) Vérifier que \(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}\).
b) Calculer \(\tan\alpha\), puis en déduire la valeur de \(\alpha\).
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On pose : \[ \alpha=2\operatorname{Arctan}\frac12-\operatorname{Arctan}\frac17 \]
D’abord : \[ \tan\left(2\operatorname{Arctan}\frac12\right) = \frac{2\cdot\frac12}{1-\left(\frac12\right)^2} = \frac43 \] Comme \(\frac43\gt\frac17\), et comme \(\tan\) est croissante sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), on a : \[ 2\operatorname{Arctan}\frac12\gt\operatorname{Arctan}\frac17 \] donc : \[ \alpha\gt0 \]
De plus : \[ \frac43\lt\sqrt3=\tan\frac{\pi}{3} \] donc : \[ 2\operatorname{Arctan}\frac12\lt\frac{\pi}{3} \] et par suite : \[ 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3} \]
Maintenant : \[ \tan\alpha= \frac{\frac43-\frac17}{1+\frac43\cdot\frac17} = \frac{\frac{25}{21}}{\frac{25}{21}} = 1 \] Comme \(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}\) et \(\tan\alpha=1\), on conclut :
Exercice 55
utiliser l’injectivité de \(\operatorname{Arctan}\), son image \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), ou appliquer la tangente en vérifiant ensuite les solutions obtenues.
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Comme \(\frac{\pi}{8}\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), l’égalité équivaut à :
\[ 3x=\tan\frac{\pi}{8}. \]Posons \(t=\tan\frac{\pi}{8}\gt0\). Puisque \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), la formule de l’angle double donne :
\[ \frac{2t}{1-t^2}=1 \iff t^2+2t-1=0. \]La racine positive est \(t=\sqrt2-1\). Ainsi :
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La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est injective sur \(\mathbb R\). L’équation équivaut donc à :
\[ x^2+2=3x. \] \[ x^2-3x+2=0 \iff (x-1)(x-2)=0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
\[ \operatorname{Arctan}(x^2-x)=\frac{3\pi}{4} \] Or \(\operatorname{Arctan}\) prend toujours ses valeurs dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Mais \(\frac{3\pi}{4}\) n’appartient pas à cet intervalle.
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L’expression \(\operatorname{Arctan}\frac1x\) impose \(x\ne0\). On distingue le signe de \(x\).
Premier cas : \(x\gt0\).
On utilise :
\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =\frac{\pi}{2}. \]L’équation devient :
\[ \frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{12}. \]Donc :
\[ \frac1x=\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3, \] \[ x=\frac1{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \]Deuxième cas : \(x\lt0\).
Cette fois :
\[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x =-\frac{\pi}{2}. \]L’équation devient :
\[ -\frac{\pi}{2} -\operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{4} +2\operatorname{Arctan}\frac1x. \] \[ \operatorname{Arctan}\frac1x=-\frac{\pi}{4}. \]Ainsi \(\frac1x=-1\), donc \(x=-1\).
Les deux valeurs vérifient l’équation initiale.
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On résout : \[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)=\frac{\pi}{3} \] On applique \(\tan\) aux deux membres pour obtenir une condition nécessaire.
\[ \tan\left(\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}(2x)\right) = \frac{x+2x}{1-2x^2} = \frac{3x}{1-2x^2} \] et : \[ \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3 \] donc : \[ \frac{3x}{1-2x^2}=\sqrt3 \]
On obtient : \[ 2x^2+\sqrt3x-1=0 \] d’où : \[ x_1=\frac{-\sqrt3+\sqrt{11}}{4}, \qquad x_2=\frac{-\sqrt3-\sqrt{11}}{4} \]
Il reste à vérifier les solutions dans l’équation initiale.
Comme \(x_2\lt0\), on a : \[ \operatorname{Arctan}x_2\lt0 \quad\text{et}\quad \operatorname{Arctan}(2x_2)\lt0 \] donc leur somme est négative. Elle ne peut pas être égale à \(\frac{\pi}{3}\). Ainsi \(x_2\) est rejetée.
Pour \(x_1\), on a \(0\lt x_1\lt\frac12\). Donc les deux angles \(\operatorname{Arctan}x_1\) et \(\operatorname{Arctan}(2x_1)\) sont positifs. De plus : \[ x_1\cdot2x_1=2x_1^2\lt1 \] donc leur somme appartient à \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). Comme sa tangente vaut \(\sqrt3\), cette somme vaut bien \(\frac{\pi}{3}\).
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Le domaine impose \(x\ge0\), donc \(\sqrt{x}\ge0\). Par croissance de \(\operatorname{Arctan}\) et puisque \(\operatorname{Arctan}(0)=0\), on a :
\[ \operatorname{Arctan}\sqrt{x}\ge0. \]Cette quantité ne peut donc pas être égale à \(-\frac{\pi}{4}\).
Exercice 56
utiliser \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{Arctan}u}{u}=1\) et, suivant le signe de \(x\), \[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x = \begin{cases} \frac{\pi}{2},&x\gt0,\\[2mm] -\frac{\pi}{2},&x\lt0. \end{cases} \]
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\[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x} \] Quand \(x\to0\), on a \(3x\to0\), donc : \[ \frac{\operatorname{Arctan}(3x)}{3x}\to1 \]
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\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}{x} = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2+4x)}{x^2+4x} \cdot \frac{x^2+4x}{x} \] Lorsque \(x\to0\), \(x^2+4x\to0\). Le premier facteur tend vers \(1\), et le second vers \(4\).
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Lorsque \(|x|\to+\infty\), on a : \[ x^4-x\to+\infty \] Donc :
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On écrit : \[ (x^2+1)\operatorname{Arctan}\frac1x = \left(x+\frac1x\right) \cdot \frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \] Lorsque \(x\to+\infty\), le premier facteur tend vers \(+\infty\), et le second vers \(1\).
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Pour \(x\gt0\), on utilise : \[ \operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x=\frac{\pi}{2} \] donc : \[ \operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2} = -\operatorname{Arctan}\frac1x \]
Ainsi : \[ x\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{2}x = -x\operatorname{Arctan}\frac1x = -\frac{\operatorname{Arctan}\frac1x}{\frac1x} \] Le quotient tend vers \(1\).
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Lorsque \(x\to1^+\), on a \(x^2-1\to0^+\) et :
\[ \frac1{1-x^2}=-\frac1{x^2-1}. \]Pour tout \(u\gt0\) :
\[ \operatorname{Arctan}\left(-\frac1u\right) +\frac{\pi}{2} = \operatorname{Arctan}u. \]En prenant \(u=x^2-1\), le quotient devient :
\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1}. \]On écrit alors :
\[ \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}(x^2-1)}{x^2-1} \cdot(x+1). \]Le premier facteur tend vers \(1\) et le second vers \(2\).
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On pose : \[ u=\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4} \] Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\).
De \(x=\tan\left(\frac{\pi}{4}+u\right)\), on obtient : \[ x-1=\frac{2\tan u}{1-\tan u} \] Donc : \[ \frac{u}{x-1} = \frac{u(1-\tan u)}{2\tan u} \to\frac12 \] en utilisant \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1\).
Dans l’expression : \[ \frac{x-2\sqrt{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}-1}{x-1} \] on écrit le numérateur sous la forme : \[ (x-1)-2\sqrt{u} \] donc le quotient vaut : \[ 1-2\frac{\sqrt{u}}{x-1} = 1-2\frac{\sqrt{u}}{u}\cdot\frac{u}{x-1} \] Or \(\frac{\sqrt{u}}{u}=\frac1{\sqrt{u}}\to+\infty\) et \(\frac{u}{x-1}\to\frac12\).
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Posons :
\[ u=\sqrt[3]{x-1}. \]Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0^+\) et \(x-1=u^3\). Ainsi :
\[ \frac{\operatorname{Arctan}\sqrt[3]{x-1}}{x-1} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u^3} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u}\cdot\frac1{u^2}. \]Le premier facteur tend vers \(1\), tandis que \(\frac1{u^2}\to+\infty\).
Les 28 questions des exercices 53 à 56 sont désormais accompagnées de leur énoncé complet et de leur correction. Les erreurs de signe, les expressions tronquées et les changements de variable incorrects de l’ancienne version ont été rectifiés.
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