Correction Concours ENSA Maroc 2023

Correction Concours ENSA Maroc 2023 — Mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session juillet 2023 — Épreuve de mathématiques.

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc
Session : juillet 2023
Épreuve : Mathématiques

Cette correction reprend les 20 questions du concours ENSA Maroc 2023 avec un rappel de chaque question, une justification claire, l’idée utile à retenir et la réponse finale.

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccccccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & C&A&C&D&B&B&A&B&A&C&D&C&B&C&A&A&C&A&B&C \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1

Rappel de la question : on considère la suite logique : \[ 6;\ 4;\ 8;\ 5;\ 15;\ldots \] On cherche le nombre suivant.

Rappel utile
Dans une suite logique, on cherche d’abord si les opérations alternent. Ici, on observe une soustraction puis une multiplication.

Réponse

On observe l’alternance : \[ 6-2=4,\qquad 4\times2=8. \] Puis : \[ 8-3=5,\qquad 5\times3=15. \] On continue donc avec : \[ 15-4=11. \]

Idée utile : dans une suite logique de concours, il faut souvent chercher une alternance entre deux opérations.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 2

Rappel de la question : \(x\) est un nombre de \(6\) chiffres divisible par \(9\). On déplace le premier chiffre de \(x\) à la fin pour obtenir \(y\). On cherche le reste de la division de \(y\) par \(9\).

Rappel utile
La divisibilité par \(9\) dépend uniquement de la somme des chiffres. Déplacer un chiffre ne change pas cette somme.

Réponse

Un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
Déplacer le premier chiffre à la fin ne change pas la somme des chiffres. Donc \(y\) est aussi divisible par \(9\).
Le reste de la division de \(y\) par \(9\) est donc : \[ 0. \]

Idée utile : la divisibilité par \(9\) dépend seulement de la somme des chiffres.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 3

Rappel de la question : trouver le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut \(150\).

Rappel utile
Si deux entiers sont premiers entre eux, chaque facteur premier du produit doit être placé entièrement dans l’un des deux entiers.

Réponse

On décompose : \[ 150=2\times3\times5^2. \] Pour que deux entiers soient premiers entre eux et que leur produit soit \(150\), chaque puissance première doit aller entièrement dans l’un des deux nombres.
Les blocs premiers sont : \[ 2,\qquad 3,\qquad 5^2. \] Chaque bloc a \(2\) choix : aller dans le premier ou dans le deuxième entier.
Le nombre de couples ordonnés positifs est donc : \[ 2^3=8. \]

Idée utile : pour deux nombres premiers entre eux, une même puissance première ne peut pas être partagée entre les deux.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 4

Rappel de la question : étudier les solutions entières de : \[ 9x^5-12x^4+6x-5=0. \]

Rappel utile
Une racine entière d’un polynôme à coefficients entiers doit diviser le terme constant.

Réponse

Posons :

\[ P(x)=9x^5-12x^4+6x-5. \]

Si \(P\) admet une racine entière, alors cette racine divise le terme constant \(-5\).

Les seules valeurs possibles sont donc :

\[ x\in\{-5,-1,1,5\}. \]

On vérifie :

\[ P(1)=9-12+6-5=-2\ne0. \]

Et :

\[ P(-1)=-9-12-6-5=-32\ne0. \]

Pour \(x=5\), les termes dominants \(9x^5\) et \(-12x^4\) ne peuvent pas donner une annulation avec \(6x-5\), et le calcul direct donne :

\[ P(5)=9\cdot5^5-12\cdot5^4+30-5\ne0. \]

De même :

\[ P(-5)=9(-5)^5-12(-5)^4+6(-5)-5\ne0. \]

Aucun diviseur entier possible de \(-5\) n’annule le polynôme.

Donc l’équation n’admet aucune solution entière.

Idée utile : pour une racine entière d’un polynôme à coefficients entiers, on teste les diviseurs du terme constant.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 5

Rappel de la question : on pose : \[ u_n=\sqrt n-[\sqrt n]. \] Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}u_{n^2+2n}. \]

Rappel utile
Pour une partie entière, il faut encadrer la quantité entre deux entiers consécutifs.

Réponse

On a : \[ u_{n^2+2n}=\sqrt{n^2+2n}-[\sqrt{n^2+2n}]. \] Or : \[ n^2\lt n^2+2n\lt(n+1)^2. \] Donc : \[ n\lt\sqrt{n^2+2n}\lt n+1. \] Ainsi : \[ [\sqrt{n^2+2n}]=n. \] Donc : \[ u_{n^2+2n}=\sqrt{n^2+2n}-n. \] On rationalise : \[ \sqrt{n^2+2n}-n=\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac2n}+1}. \] Par passage à la limite : \[ \lim_{n\to+\infty}u_{n^2+2n}=1. \]

Idée utile : avec une partie entière, il faut encadrer la quantité entre deux entiers consécutifs.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 6

Rappel de la question : calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}e^x\sin(e^{-x}). \]

Rappel utile
La limite usuelle \(\frac{\sin t}{t}\to1\) s’applique après le changement \(t=e^{-x}\).

Réponse

Posons : \[ t=e^{-x}. \] Quand \(x\to+\infty\), on a \(t\to0^+\), et : \[ e^x=\frac1t. \] Donc : \[ e^x\sin(e^{-x})=\frac{\sin t}{t}. \] Or : \[ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}e^x\sin(e^{-x})=1. \]

Idée utile : reconnaître la limite usuelle \(\displaystyle \frac{\sin t}{t}\to1\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 7

Rappel de la question : calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}. \]

Rappel utile
Une fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers \(+\infty\) tend vers \(0\).

Réponse

Pour tout \(x\), on a : \[ -1\leq \cos(x^2+x-1)\leq1. \] Donc : \[ -\frac1x\leq\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}\leq\frac1x. \] Quand \(x\to+\infty\), les deux bornes tendent vers \(0\). Par le théorème des gendarmes : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}=0. \]

Idée utile : une fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers \(+\infty\) tend vers \(0\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 8

Rappel de la question : soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbb R\) à valeurs dans \(\mathbb Z\). Déterminer l’affirmation correcte.

Rappel utile
Une fonction continue définie sur un intervalle et à valeurs dans \(\mathbb Z\) est nécessairement constante.

Réponse

La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), qui est un intervalle.

Donc l’image \(f(\mathbb R)\) est aussi un intervalle.

Or \(f\) prend ses valeurs dans \(\mathbb Z\). Ainsi :

\[ f(\mathbb R)\subset\mathbb Z. \]

Un intervalle contenu dans \(\mathbb Z\) ne peut contenir qu’un seul entier, sinon il contiendrait aussi tous les réels entre deux entiers distincts.

Par conséquent, l’image de \(f\) est réduite à une seule valeur.

Donc \(f\) est constante sur \(\mathbb R\).

Idée utile : une fonction continue à valeurs entières sur un intervalle est constante.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 9

Rappel de la question : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et vérifie : \[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\quad f(x+y)\bigl(1-f(x)f(y)\bigr)=f(x)+f(y). \] Calculer : \[ \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}. \]

Rappel utile
Pour une relation fonctionnelle en \(x+y\), on fixe \(x\) puis on dérive par rapport à \(y\) en \(0\).

Réponse

On commence par prendre \(x=y=0\) dans la relation :

\[ f(0)\bigl(1-f(0)^2\bigr)=2f(0). \]

On obtient :

\[ f(0)-f(0)^3=2f(0). \]

Donc :

\[ -f(0)^3-f(0)=0. \]

Ainsi :

\[ f(0)\bigl(f(0)^2+1\bigr)=0. \]

Comme \(f(0)^2+1\ne0\), on a :

\[ f(0)=0. \]

Fixons maintenant \(x\), puis dérivons la relation par rapport à \(y\) en \(y=0\).

La dérivée du membre de gauche donne :

\[ f'(x)\bigl(1-f(x)f(0)\bigr) + f(x)\bigl(-f(x)f'(0)\bigr). \]

Comme \(f(0)=0\), cela devient :

\[ f'(x)-f(x)^2f'(0). \]

La dérivée du membre de droite \(f(x)+f(y)\), par rapport à \(y\), vaut :

\[ f'(0). \]

Donc :

\[ f'(x)-f(x)^2f'(0)=f'(0). \]

On isole \(f'(x)\) :

\[ f'(x)=f'(0)\bigl(1+f(x)^2\bigr). \]

Finalement :

\[ \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}=f'(0). \]

Idée utile : l’égalité rappelle la formule de \(\tan(x+y)\), mais la dérivation par rapport à \(y\) en \(0\) donne directement le résultat.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 10

Rappel de la question : pour \(\alpha\gt0\), calculer : \[ \int_{\frac1\alpha}^{\alpha}\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx. \]

Rappel utile
Sur des bornes réciproques \(\frac1\alpha\) et \(\alpha\), le changement \(x=\frac1t\) est souvent décisif.

Réponse

Posons : \[ I=\int_{\frac1\alpha}^{\alpha}\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx. \] On effectue le changement de variable : \[ x=\frac1t. \] Alors : \[ dx=-\frac{dt}{t^2}. \] Les bornes sont inversées : \(x=\frac1\alpha\) donne \(t=\alpha\), et \(x=\alpha\) donne \(t=\frac1\alpha\).
On obtient : \[ I=-\int_{\frac1\alpha}^{\alpha}\frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. \] Donc : \[ I=-I. \] Ainsi : \[ I=0. \]

Idée utile : sur des bornes réciproques \(\frac1\alpha\) et \(\alpha\), penser au changement de variable \(x=\frac1t\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 11

Rappel de la question : on considère : \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^2(x)\,dx \] et : \[ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^2(x)\,dx. \] On cherche la valeur de \(I\).

Rappel utile
Quand deux intégrales contiennent \(\sin^2x\) et \(\cos^2x\), on utilise \(I+J\) puis \(I-J\).

Réponse

On pose :

\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^2x\,dx, \qquad J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^2x\,dx. \]

D’abord :

\[ I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2(\sin^2x+\cos^2x)\,dx. \]

Comme \(\sin^2x+\cos^2x=1\), on obtient :

\[ I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^3}{24}. \]

Ensuite :

\[ I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2(\sin^2x-\cos^2x)\,dx. \]

Or :

\[ \sin^2x-\cos^2x=-\cos(2x). \]

Donc :

\[ I-J=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos(2x)\,dx. \]

Notons :

\[ K=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos(2x)\,dx. \]

Par intégration par parties avec \(u=x^2\) et \(v'=\cos(2x)\), on a \(u'=2x\) et \(v=\frac12\sin(2x)\).

Alors :

\[ K=\left[\frac{x^2}{2}\sin(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin(2x)\,dx. \]

Le crochet est nul, donc :

\[ K=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin(2x)\,dx. \]

Une nouvelle intégration par parties donne :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin(2x)\,dx=\frac{\pi}{4}. \]

Donc :

\[ K=-\frac{\pi}{4}. \]

Ainsi :

\[ I-J=-K=\frac{\pi}{4}. \]

On résout maintenant le système :

\[ I+J=\frac{\pi^3}{24}, \qquad I-J=\frac{\pi}{4}. \]

En additionnant :

\[ 2I=\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}. \]

Donc :

\[ I=\frac{\pi^3}{48}+\frac{\pi}{8}. \]

Idée utile : quand deux intégrales contiennent \(\sin^2x\) et \(\cos^2x\), utiliser \(I+J\) et \(I-J\).

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 12

Rappel de la question : calculer : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445}\sin x\,dx. \]

Rappel utile
Dans une intégrale de la forme \((\cos x)^n\sin x\), le changement \(u=\cos x\) donne directement une puissance.

Réponse

Posons : \[ u=\cos x. \] Alors : \[ du=-\sin x\,dx. \] Quand \(x=0\), \(u=1\). Quand \(x=\frac{\pi}{2}\), \(u=0\).
Donc : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445}\sin x\,dx = \int_0^1u^{1445}\,du. \] Ainsi : \[ \int_0^1u^{1445}\,du= \left[\frac{u^{1446}}{1446}\right]_0^1=\frac1{1446}. \]

Idée utile : quand on voit \(\cos^n x\sin x\), poser \(u=\cos x\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 13

Rappel de la question : soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions complexes de : \[ z^2-4iz-4(1+i)=0. \] Calculer : \[ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2). \]

Rappel utile
La somme des racines d’une équation du second degré permet d’éviter de résoudre complètement l’équation.

Réponse

Pour une équation : \[ z^2+bz+c=0, \] la somme des solutions est : \[ z_1+z_2=-b. \] Ici : \[ b=-4i. \] Donc : \[ z_1+z_2=4i. \] Ainsi : \[ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2) = \operatorname{Im}(z_1+z_2) = \operatorname{Im}(4i)=4. \]

Idée utile : il n’est pas toujours nécessaire de résoudre l’équation : la somme des racines suffit.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 14

Rappel de la question : calculer : \[ (1+i)^{2000}. \]

Rappel utile
Pour les grandes puissances complexes, on écrit le nombre sous forme exponentielle.

Réponse

On écrit : \[ 1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}. \] Donc : \[ (1+i)^{2000} = (\sqrt2)^{2000}e^{i\frac{2000\pi}{4}}. \] Or : \[ (\sqrt2)^{2000}=2^{1000}=4^{500}, \] et : \[ e^{i500\pi}=1. \] Donc : \[ (1+i)^{2000}=4^{500}. \]

Idée utile : pour les grandes puissances complexes, utiliser la forme exponentielle.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 15

Rappel de la question : calculer : \[ \left(\frac{7-15i}{15+7i}\right)^{2023}. \]

Rappel utile
Avant de calculer une grande puissance complexe, il faut simplifier le quotient.

Réponse

Simplifions d’abord le quotient : \[ \frac{7-15i}{15+7i} = \frac{(7-15i)(15-7i)}{15^2+7^2}. \] Le dénominateur vaut : \[ 15^2+7^2=274. \] Le numérateur vaut : \[ (7-15i)(15-7i)=-274i. \] Donc : \[ \frac{7-15i}{15+7i}=-i. \] Ainsi : \[ \left(\frac{7-15i}{15+7i}\right)^{2023}=(-i)^{2023}. \] Comme \(2023\equiv3\ [4]\), on obtient : \[ (-i)^{2023}=i. \]

Idée utile : simplifier d’abord le quotient complexe avant de calculer une grande puissance.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 16

Rappel de la question : calculer : \[ \left(1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+e^{\frac{i4\pi}{5}}+e^{\frac{i6\pi}{5}}+e^{\frac{i8\pi}{5}}\right)^{100}. \]

Rappel utile
La somme \(1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}\) est nulle lorsque \(\omega^n=1\) et \(\omega\ne1\).

Réponse

Posons : \[ \omega=e^{\frac{i2\pi}{5}}. \] Alors : \[ \omega^5=1 \qquad\text{et}\qquad \omega\neq1. \] La somme intérieure est : \[ 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4. \] C’est la somme des racines cinquièmes de l’unité : \[ 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0. \] Donc : \[ \left(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\right)^{100}=0. \]

Idée utile : la somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité est nulle.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 17

Rappel de la question : résoudre : \[ y''-7y'+12y=0, \] avec : \[ f(0)=0,\qquad f'(0)=1. \]

Rappel utile
Pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants, on commence par l’équation caractéristique.

Réponse

L’équation différentielle est :

\[ y''-7y'+12y=0. \]

Son équation caractéristique est :

\[ r^2-7r+12=0. \]

On factorise :

\[ r^2-7r+12=(r-3)(r-4). \]

Les racines sont donc :

\[ r_1=3, \qquad r_2=4. \]

La solution générale est :

\[ f(x)=Ae^{3x}+Be^{4x}. \]

La condition \(f(0)=0\) donne :

\[ A+B=0. \]

Donc :

\[ B=-A. \]

On dérive :

\[ f'(x)=3Ae^{3x}+4Be^{4x}. \]

La condition \(f'(0)=1\) donne :

\[ 3A+4B=1. \]

En remplaçant \(B\) par \(-A\) :

\[ 3A-4A=1. \]

Donc :

\[ -A=1, \qquad A=-1. \]

Ainsi :

\[ B=1. \]

Finalement :

\[ f(x)=e^{4x}-e^{3x}. \]

Idée utile : pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants, on commence par l’équation caractéristique.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 18

Rappel de la question : soit \(d_A\) la distance de \(A(1,0,2)\) au plan : \[ (P):2x+y+z+4=0, \] et \(d_B\) la distance de \(B(3,2,1)\) au plan : \[ (Q):-x+5y-4z=5. \] Calculer \(d_A d_B\).

Rappel utile
La distance d’un point à un plan \(ax+by+cz+d=0\) s’obtient avec la formule standard du cours.

Réponse

La distance d’un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) est : \[ d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \] Pour \(A(1,0,2)\) et \((P)\) : \[ d_A=\frac{|2\cdot1+0+2+4|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac8{\sqrt6}. \] Pour \(B(3,2,1)\), on écrit \((Q)\) sous la forme : \[ -x+5y-4z-5=0. \] Donc : \[ d_B=\frac{|-3+10-4-5|}{\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}} = \frac2{\sqrt{42}}. \] Ainsi : \[ d_A d_B = \frac8{\sqrt6}\times\frac2{\sqrt{42}} = \frac{16}{\sqrt{252}}. \] Or : \[ \sqrt{252}=6\sqrt7. \] Donc : \[ d_A d_B=\frac8{3\sqrt7}. \]

Idée utile : mettre d’abord le plan sous la forme \(ax+by+cz+d=0\), puis appliquer la formule de distance.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 19

Rappel de la question : trouver l’aire située sous la courbe : \[ y=\frac1{1+x^2} \] et au-dessus de la parabole : \[ y=\frac{x^2}{2}. \]

Rappel utile
Pour une aire entre deux courbes, on cherche d’abord les points d’intersection, puis on intègre la différence supérieure moins inférieure.

Réponse

On cherche d’abord les points d’intersection : \[ \frac1{1+x^2}=\frac{x^2}{2}. \] Donc : \[ 2=x^2(1+x^2). \] Ainsi : \[ x^4+x^2-2=0. \] Posons \(X=x^2\). On obtient : \[ X^2+X-2=0. \] Donc : \[ (X-1)(X+2)=0. \] Comme \(X=x^2\geq0\), on obtient : \[ x^2=1. \] Les intersections correspondent donc à : \[ x=-1\quad\text{et}\quad x=1. \] L’aire cherchée est : \[ A=\int_{-1}^{1}\left(\frac1{1+x^2}-\frac{x^2}{2}\right)\,dx. \] Donc : \[ A=\left[\arctan x-\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^{1}. \] Ainsi : \[ A=\left(\frac{\pi}{4}-\frac16\right)-\left(-\frac{\pi}{4}+\frac16\right) = \frac{\pi}{2}-\frac13. \]

Idée utile : pour une aire entre deux courbes, on commence toujours par déterminer les points d’intersection.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 20

Rappel de la question : on considère le cercle : \[ x^2+y^2+x-3y-3=0. \] La droite \((D)\) passe par \(A(1,-2)\) et est tangente au cercle en \(M\). On cherche la longueur \(AM\).

Rappel utile
Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence ; on utilise donc le théorème de Pythagore.

Réponse

On met l’équation du cercle sous forme canonique : \[ x^2+x+y^2-3y-3=0. \] Donc : \[ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{11}{2}. \] Le centre est : \[ \Omega\left(-\frac12,\frac32\right), \] et : \[ R^2=\frac{11}{2}. \] Calculons : \[ A\Omega^2= \left(1+\frac12\right)^2+\left(-2-\frac32\right)^2. \] Donc : \[ A\Omega^2= \left(\frac32\right)^2+\left(-\frac72\right)^2 = \frac94+\frac{49}{4} = \frac{58}{4} = \frac{29}{2}. \] Comme \((AM)\) est tangente au cercle en \(M\), le triangle \(A\Omega M\) est rectangle en \(M\). Donc : \[ AM^2=A\Omega^2-R^2. \] Ainsi : \[ AM^2=\frac{29}{2}-\frac{11}{2}=9. \] Donc : \[ AM=3. \]

Idée utile : pour une tangente issue d’un point extérieur, utiliser le triangle rectangle formé par le rayon au point de tangence.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Conseil aux élèves

Les questions du concours ENSA demandent de reconnaître rapidement les outils utiles : divisibilité, partie entière, limites usuelles, intégrales classiques, nombres complexes, distances dans l’espace et géométrie analytique.

Avant de choisir une réponse, il faut toujours vérifier les conditions : domaine de définition, signe, bornes de l’intégrale, forme du plan, ou période d’une puissance complexe.

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