Correction de l'exercice 18 — Fonctions exponentielles
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Calcul des limites — 23 questions
Introduction
Le calcul des limites de fonctions exponentielles nécessite une bonne maîtrise des limites fondamentales, des propriétés algébriques et des croissances comparées. Dans cet exercice, certaines expressions se traitent directement par les opérations sur les limites, tandis que d'autres présentent des formes indéterminées qu'il faut transformer avant de conclure.
L'objectif est de reconnaître la méthode appropriée avant de commencer les calculs. Nous utiliserons notamment les factorisations, les changements de variable, les limites usuelles au voisinage de zéro et la domination de l'exponentielle sur les puissances. Quelques questions demandent une réflexion supplémentaire, notamment celles comportant une différence d'exponentielles ou une fonction trigonométrique. Chaque résolution sera justifiée et accompagnée d'une interprétation du résultat.
Repère de cours — Limites fondamentales
Les propriétés suivantes sont essentielles dans cet exercice :
\[ \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}e^x=0. \]Au voisinage de zéro, on utilise :
\[ \boxed{ \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1 } \]Pour tout entier naturel \(n\), les croissances comparées donnent :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty \]pour \(n\ge1\), ainsi que :
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0. \]On pourra également utiliser les limites usuelles :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1, \qquad \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, \qquad \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1. \]Méthode : lorsqu'une forme indéterminée apparaît, il faut effectuer une transformation algébrique adaptée avant d'appliquer les résultats du cours.
Exercice 18 — Calculer les limites suivantes
Énoncé. Calculer les limites proposées en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.
Questions 1 à 6 — Limites à l'infini
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Analyse. Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), les trois exponentielles tendent vers \(+\infty\). La différence présente donc une forme indéterminée.
Méthode. On met en facteur l'exponentielle dont l'exposant est le plus grand, ici \(e^{3x}\).
\[ e^{2x}-e^{3x}+e^x = e^{3x}\left(e^{-x}-1+e^{-2x}\right). \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}e^{3x}=+\infty \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(e^{-x}-1+e^{-2x}\right)=-1. \]Le second facteur tend vers un réel strictement négatif, tandis que le premier tend vers \(+\infty\).
Interprétation. Le terme négatif \(-e^{3x}\) détermine le comportement de l'expression à l'infini.
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Repère de cours. L'exponentielle tend vers zéro lorsque son exposant tend vers \(-\infty\).
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(2x\to-\infty\) et \(3x\to-\infty\).
Par conséquent :
\[ \lim_{x\to-\infty}e^{2x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}e^{3x}=0. \]La différence des deux fonctions admet donc une limite égale à zéro.
À retenir. Ici, aucune forme indéterminée n'apparaît : la différence de deux fonctions convergentes peut être calculée directement.
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Analyse. Les deux termes tendent vers \(+\infty\), mais ils ne croissent pas à la même vitesse.
Repère de cours. La croissance comparée fournit :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x} =+\infty. \]Pour exploiter ce résultat, on factorise par \(x\) :
\[ 3x-e^x = x\left(3-\frac{e^x}{x}\right). \]Lorsque \(x\to+\infty\), le premier facteur tend vers \(+\infty\), tandis que le second tend vers \(-\infty\).
Interprétation. L'exponentielle finit par dépasser toute fonction affine.
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Analyse. Le facteur \(x\) tend vers \(-\infty\), tandis que la différence des exponentielles tend vers zéro.
On retrouve une forme indéterminée du type \(0\times\infty\).
Méthode. On met \(e^x\) en facteur afin de faire apparaître \(xe^x\).
\[ x\left(e^{3x}-e^x\right) = xe^x\left(e^{2x}-1\right). \]Or, d'après le cours :
\[ \lim_{x\to-\infty}xe^x=0 \]et :
\[ \lim_{x\to-\infty} \left(e^{2x}-1\right)=-1. \]On applique donc le théorème sur la limite d'un produit.
Interprétation. La décroissance exponentielle l'emporte sur la croissance de la valeur absolue de \(x\).
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Analyse. Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\frac3x\to0\). La différence \(e^{3/x}-1\) tend donc vers zéro, tandis que \(x\to+\infty\).
Méthode. On fait apparaître la limite fondamentale :
\[ \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1. \]Pour cela, on écrit :
\[ x\left(e^{\frac3x}-1\right) = 3\frac{e^{\frac3x}-1}{\frac3x}. \]En posant \(u=\frac3x\), on a \(u\to0^+\). Le quotient tend vers \(1\).
À retenir. Lorsque l'exposant tend vers zéro, chercher à faire apparaître \(\frac{e^u-1}{u}\) est une méthode très utile.
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Analyse. Les termes exponentiels tendent tous deux vers \(+\infty\). Il faut déterminer lequel impose le comportement de la différence.
Méthode. On factorise par \(e^{3x}\) dans les deux premiers termes.
\[ \begin{aligned} xe^{x^2}-e^{3x}+x^2 &= e^{3x} \left(xe^{x^2-3x}-1\right) +x^2. \end{aligned} \]Or :
\[ x^2-3x=x(x-3) \longrightarrow+\infty. \]Pour \(x\) suffisamment grand, \(x\gt0\), donc :
\[ xe^{x^2-3x}\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ e^{3x} \left(xe^{x^2-3x}-1\right) \longrightarrow+\infty. \]De plus, \(x^2\to+\infty\). On obtient donc :
Interprétation. L'exponentielle \(e^{x^2}\) croît beaucoup plus rapidement que \(e^{3x}\), puisque \(x^2-3x\to+\infty\).
Questions 7 à 10 — Exposants composés
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Repère de cours. L'exponentielle est continue sur \(\mathbb R\). Il suffit donc de déterminer la limite de son exposant.
On transforme :
\[ \frac{x-3}{x-1} = 1-\frac2{x-1}. \]Comme :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac2{x-1}=0, \]on obtient :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{x-3}{x-1}=1. \]Par continuité de la fonction exponentielle :
À retenir. Lorsque l'exposant admet une limite réelle, on utilise directement la continuité de l'exponentielle.
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Méthode. On simplifie l'exposant pour déterminer sa limite à droite de zéro.
\[ \frac{1-x}{x} = \frac1x-1. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\frac1x\to+\infty\). Donc :
\[ \frac1x-1\longrightarrow+\infty. \]On applique la limite fondamentale de l'exponentielle en \(+\infty\).
Interprétation. Le fait que \(x\) tende vers zéro par valeurs positives détermine ici le signe de l'infini obtenu.
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Analyse. Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\). On utilise une croissance comparée plutôt que de conclure directement.
On écrit :
\[ \frac{e^x-2}{x} = \frac{e^x}{x}-\frac2x. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac2x=0. \]Interprétation. La croissance exponentielle domine la croissance linéaire.
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Analyse. Le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. On doit lever cette forme indéterminée.
Méthode. On pose \(u=\sqrt{x}\). Comme \(x\to0^+\), on a \(u\to0^+\).
\[ \frac{e^{\sqrt{x}}-1}{4x} = \frac{e^{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} \times\frac1{4\sqrt{x}}. \]Le premier facteur tend vers \(1\), d'après la limite fondamentale :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{e^{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} =1. \]Le second facteur tend vers \(+\infty\), puisque \(\sqrt{x}\to0^+\).
À retenir. Lorsque l'exponentielle contient une racine, le changement d'inconnue \(u=\sqrt{x}\) permet souvent de retrouver une limite usuelle.
Questions 11 à 17 — Quotients exponentiels
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Méthode. On décompose l'exponentielle pour faire apparaître une exponentielle dont l'exposant tend vers \(-\infty\).
\[ \frac{2e^{1-2x}}x = 2e\,\frac{e^{-2x}}x. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(e^{-2x}\to0\) et \(\frac1x\to0\).
Le produit tend donc vers zéro.
Interprétation. Le numérateur tend vers zéro et le dénominateur croît indéfiniment.
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Analyse. On obtient une forme indéterminée \(\frac00\). L'exposant \(2x\) tend vers zéro.
Méthode. On factorise le dénominateur et on fait apparaître \(\frac{e^{2x}-1}{2x}\).
Pour \(x\ne0\) :
\[ \frac{e^{2x}-1}{x^2-x} = \frac{e^{2x}-1}{2x} \times\frac2{x-1}. \]Lorsque \(x\to0\) :
\[ \frac{e^{2x}-1}{2x}\to1 \]et :
\[ \frac2{x-1}\to-2. \]Interprétation. La limite est finie malgré l'annulation du numérateur et du dénominateur.
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Méthode. Avant de calculer la limite, on cherche une simplification exacte du quotient.
Les propriétés de l'exponentielle donnent :
\[ e^{-2x}+1 = e^{-2x}(1+e^{2x}) \]et :
\[ e^x+e^{-x} = e^{-x}(1+e^{2x}). \]Comme \(1+e^{2x}\gt0\), on peut simplifier :
\[ \frac{e^{-2x}+1}{e^x+e^{-x}} = e^{-x}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), l'exposant \(-x\to+\infty\).
Astuce. Une simplification algébrique peut être plus efficace qu'une comparaison des termes dominants.
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Analyse. Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\). Il faut utiliser une croissance comparée.
Repère de cours. On sait que :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^2}=+\infty. \]Pour exploiter ce résultat, on divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[ \frac{e^x-2}{x^2+3} = \frac{\frac{e^x}{x^2}-\frac2{x^2}} {1+\frac3{x^2}}. \]Au numérateur, le premier terme tend vers \(+\infty\) et le second vers zéro. Le dénominateur tend vers \(1\).
Interprétation. L'exponentielle domine le polynôme de degré deux.
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Analyse. Lorsque \(x\to-\infty\), l'exponentielle \(e^{-x}\) tend vers \(+\infty\), et le numérateur tend vers \(-\infty\).
Méthode. On pose \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\).
\[ \frac{1-e^{-x}}x = \frac{1-e^t}{-t} = \frac{e^t-1}{t}. \]Or :
\[ \frac{e^t-1}{t} = \frac{e^t}{t}-\frac1t. \]D'après les croissances comparées :
\[ \frac{e^t}{t}\to+\infty, \qquad \frac1t\to0. \]À retenir. Le changement \(t=-x\) permet de transformer une limite en \(-\infty\) en une limite en \(+\infty\).
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Analyse. On rencontre la forme indéterminée \(\frac00\). On utilise la limite fondamentale de l'exponentielle.
Pour \(x\gt0\) :
\[ \frac{e^x-1}{\sqrt{x}} = \frac{e^x-1}{x}\sqrt{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{e^x-1}{x}=1 \]et :
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0. \]Le produit tend donc vers zéro.
Interprétation. Après transformation, la limite s'obtient comme produit d'une fonction tendant vers \(1\) et d'une fonction tendant vers zéro.
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Repère de cours. Les croissances comparées permettent de déterminer la limite du quotient de l'exponentielle par une puissance de \(x\).
On écrit :
\[ \frac{e^x}{\sqrt{x}} = \frac{e^x}{x}\sqrt{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x} =+\infty. \]Les deux facteurs étant positifs, leur produit tend vers \(+\infty\).
Interprétation. La fonction exponentielle croît plus rapidement que la fonction racine carrée.
Questions 18 à 23 — Limites composées et méthodes avancées
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Analyse. Le premier facteur tend vers \(-\infty\) et le second vers zéro. Il faut transformer le produit.
Méthode. On distribue \(e^x\) pour faire apparaître deux limites connues.
\[ \left(x+\frac1x\right)e^x = xe^x+\frac{e^x}{x}. \]D'après les croissances comparées :
\[ \lim_{x\to-\infty}xe^x=0. \]De plus, \(e^x\to0\) et \(\frac1x\to0\), donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x}=0. \]Interprétation. Les deux termes de la décomposition tendent vers zéro, ce qui permet de conclure par addition.
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Méthode. On décompose le quotient afin d'utiliser la croissance comparée de \(e^x\) et de \(\sqrt{x}\).
\[ \frac{e^x-1}{\sqrt{x}} = \frac{e^x}{\sqrt{x}} -\frac1{\sqrt{x}}. \]D'après la question 17 :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}} =+\infty. \]Par ailleurs :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac1{\sqrt{x}}=0. \]En combinant ces deux résultats :
À retenir. On peut réutiliser un résultat démontré dans une question précédente lorsque les expressions présentent une structure commune.
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Analyse. On rencontre une forme indéterminée du type \(\infty\times0\).
Méthode. On utilise la limite fondamentale du logarithme :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1. \]Comme \(e^x=\frac1{e^{-x}}\), l'expression devient :
\[ e^x\ln(1+e^{-x}) = \frac{\ln(1+e^{-x})}{e^{-x}}. \]Posons \(u=e^{-x}\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0^+\).
Par conséquent :
\[ \frac{\ln(1+e^{-x})}{e^{-x}} = \frac{\ln(1+u)}u \longrightarrow1. \]Interprétation. Une transformation du produit en quotient permet d'utiliser directement une limite fondamentale.
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Analyse. Les deux exponentielles tendent vers \(1\). Leur différence tend donc vers zéro, tandis que \(x^2\to+\infty\). Le produit est indéterminé.
Méthode. On applique le théorème des accroissements finis à la fonction exponentielle entre les nombres :
\[ a_x=\frac1{x+1}, \qquad b_x=\frac1x. \]Pour \(x\gt0\), on a \(a_x\lt b_x\). La fonction exponentielle étant continue et dérivable sur \(\mathbb R\), les conditions du théorème sont vérifiées.
Il existe donc un réel \(c_x\) compris entre \(a_x\) et \(b_x\) tel que :
\[ e^{b_x}-e^{a_x} = (b_x-a_x)e^{c_x}. \]Or :
\[ b_x-a_x = \frac1x-\frac1{x+1} = \frac1{x(x+1)}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} x^2\left( e^{\frac1x}-e^{\frac1{x+1}} \right) &= x^2\frac{e^{c_x}}{x(x+1)}\\ &= \frac{x}{x+1}e^{c_x}. \end{aligned} \]Comme :
\[ \frac1{x+1}\le c_x\le\frac1x, \]le théorème des gendarmes donne \(c_x\to0\). Par continuité :
\[ e^{c_x}\to1. \]De plus :
\[ \frac{x}{x+1}\to1. \]À retenir. Le théorème des accroissements finis permet de traiter certaines différences de valeurs d'une fonction dérivable sans recourir aux développements limités.
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Analyse. Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\sin x\to0\), tandis que \(e^{1/x}\to+\infty\).
Méthode. On fait apparaître le quotient \(\frac{\sin x}{x}\) et une expression relevant des croissances comparées.
\[ (\sin x)e^{\frac1x} = \frac{\sin x}{x} \left(xe^{\frac1x}\right). \]La limite trigonométrique usuelle donne :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1. \]Pour le second facteur, posons \(t=\frac1x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ xe^{\frac1x} = \frac{e^t}{t}. \]D'après les croissances comparées :
\[ \lim_{t\to+\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty. \]Le produit des deux facteurs tend donc vers \(+\infty\).
Interprétation. La croissance de \(e^{1/x}\) l'emporte sur la diminution de \(\sin x\) lorsque \(x\to0^+\).
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Analyse. Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\tan x\to0^+\). Ainsi, l'exposant \(\frac1{\tan x}\) tend vers \(+\infty\).
Méthode. On transforme le produit en faisant apparaître \(\frac{x}{\tan x}\), puis on utilise une croissance comparée.
\[ xe^{\frac1{\tan x}} = \frac{x}{\tan x} \left( \tan x\,e^{\frac1{\tan x}} \right). \]La limite trigonométrique usuelle donne :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{x}{\tan x}=1. \]Posons :
\[ t=\frac1{\tan x}. \]Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ \tan x\,e^{\frac1{\tan x}} = \frac{e^t}{t}. \]D'après les croissances comparées :
\[ \lim_{t\to+\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty. \]On en déduit :
Interprétation. La limite s'obtient en associant la limite usuelle de la tangente et la domination de l'exponentielle.
Méthodes à retenir
La résolution de ces vingt-trois limites met en évidence plusieurs stratégies complémentaires.
Lorsqu'une expression contient plusieurs exponentielles, une factorisation permet souvent de déterminer laquelle gouverne le comportement de la somme ou de la différence.
Lorsqu'un exposant tend vers zéro, il faut chercher à utiliser la limite fondamentale du quotient \(\frac{e^u-1}{u}\). Les changements d'inconnue permettent de la reconnaître dans des expressions plus complexes.
Les croissances comparées sont essentielles dans les quotients associant exponentielle et puissance de \(x\). La fonction exponentielle domine toute puissance positive de \(x\) en \(+\infty\).
Enfin, le théorème des accroissements finis constitue un outil efficace pour certaines différences d'exponentielles. Il complète les méthodes usuelles tout en restant dans les résultats du programme.
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