Fonction avec racine cubique — Dérivée et inégalité — Exercice 2e Bac PC/SVT

Fonction avec racine cubique — Exercice corrigé

Dérivée, variations et démonstration d’une inégalité — 2e Bac PC/SVT

Énoncé

Soit a un réel strictement positif. On considère la fonction g définie sur ]0,+∞[ par :

$$g\left(x\right)=\sqrt[3]{a{x}^2}-\frac{2}{3}x$$

L’exercice demande de calculer la dérivée de g, puis d’utiliser les variations de cette fonction pour démontrer une inégalité.

Énoncé original de l’exercice

Question 1 — Calcul de la dérivée

Rappel de la question

Montrer que, pour tout x appartenant à ]0,+∞[ :

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{3}(\sqrt[3]{\frac{a}{x}}-1)$$

Réponse

Pour tout x > 0, on a :

$$\sqrt[3]{a{x}^2}=a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}$$

Par conséquent :

$$g\left(x\right)=a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}x$$

La fonction g est dérivable sur ]0,+∞[ et :

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{3}{a}^{\frac{1}{3}}{x}^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}$$

En factorisant par 2/3 :

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{3}(a^{\frac{1}{3}}{x}^{-\frac{1}{3}}-1)$$

Or :

$$a^{\frac{1}{3}}{x}^{-\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{a}{x}}$$

Réponse finale :

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{3}(\sqrt[3]{\frac{a}{x}}-1)$$

Question 2 — Démonstration de l’inégalité

Rappel de la question

Montrer que, pour tous réels strictement positifs a et x :

$$a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}\le \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}x$$

Idée utile : étudier le signe de g′ afin de déterminer le maximum de g sur ]0,+∞[.

Réponse

La fonction racine cubique étant strictement croissante, le signe de g′(x) est celui de a/x − 1.

$$\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$$

Comme x > 0, g′(x) a donc le même signe que a − x. Ainsi :

• g′(x) > 0 lorsque 0 < x < a ;
• g′(a) = 0 ;
• g′(x) < 0 lorsque x > a.

La fonction g est croissante sur ]0,a] puis décroissante sur [a,+∞[. Elle admet donc un maximum en x = a.

Calculons ce maximum :

$$g\left(a\right)=\sqrt[3]{a^3}-\frac{2}{3}a$$

$$g\left(a\right)=a-\frac{2}{3}a=\frac{1}{3}a$$

Pour tout x > 0, on a alors :

$$g\left(x\right)\le g\left(a\right)=\frac{1}{3}a$$

En remplaçant g(x) par son expression :

$$a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}x\le \frac{1}{3}a$$

En ajoutant 2x/3 aux deux membres, on obtient :

Réponse finale :

$$a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}\le \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}x$$

Cas d’égalité : l’égalité est obtenue lorsque x = a.

Méthode à retenir : pour démontrer une inégalité, on peut étudier une fonction égale à la différence entre les deux membres, puis exploiter son maximum ou son minimum.

Exercice corrigé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt