Exercice : suite exponentielle

📚 Lycée Oum Rabiaâ - Prof : Hammou Boudraa 📚

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Exercice :

Soit \( (u_n)_{n \geq 1} \) la suite numérique définie par :

$$ u_n = \left(1 + \frac{1}{2} \right) \left(1 + \frac{1}{2^2} \right) \left(1 + \frac{1}{2^3} \right) \times \dots \times \left(1 + \frac{1}{2^n} \right). $$

Questions :

1. Calculer \( u_1 \) et \( u_2 \).
2. Montrer que : $$ (\forall x \in \mathbb{R}) \quad 1 + x \leq e^x. $$
3. Étudier la monotonie de la suite \( (u_n)_{n \geq 1} \).
4. Montrer que : $$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n < e. $$
5. En déduire que la suite \( (u_n)_{n \geq 1} \) est convergente.

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🎥 Vidéo Explicative :

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📌 Exercice proposé par Hammou Boudraa - Lycée Oum Rabiaâ