Suite définie par un produit et fonction exponentielle — Exercice corrigé

Suite définie par un produit et fonction exponentielle

Exercice corrigé avec vidéo explicative — 2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation de l’exercice

Cette ressource propose l’étude d’une suite numérique définie par un produit. L’exercice met en relation les suites, la fonction exponentielle, une inégalité classique et le théorème de convergence des suites monotones.

L’objectif est de montrer que la suite est croissante, qu’elle reste strictement inférieure à e, puis d’en déduire sa convergence. Une correction écrite est proposée avant la vidéo afin que la page reste pleinement exploitable même sans lecture du contenu audiovisuel.

Niveau 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre Suites numériques

Notions mobilisées Produit, exponentielle, monotonie et majoration

Objectif final Démontrer la convergence de la suite

Énoncé

Pour tout entier n ≥ 1, on définit :

u_n = n ∏ k = 1 (1 + 1 2^k )

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Montrer que, pour tout réel x, on a 1 + x ≤ e^x.
3. Étudier la monotonie de la suite (u_n).
4. Montrer que, pour tout n ≥ 1, u_n < e.
5. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

Correction détaillée

1. Calcul des premiers termes

u₁ = 1 + 12 = 32

Puis :

u₂ = (1 + 12) (1 + 14) = 32 × 54 = 158

2. Inégalité 1 + x ≤ e^x

Considérons la fonction :

φ(x) = e^x − x − 1

On a :

φ′(x) = e^x − 1

Ainsi, φ′ est négative sur ]−∞, 0] et positive sur [0, +∞[. La fonction φ admet donc un minimum en 0.

φ(0) = 0

Par conséquent :

∀x ∈ ℝ,   1 + x ≤ e^x

3. Monotonie de la suite

Pour tout n ≥ 1 :

u_n+1 = u_n (1 + 1 2ⁿ⁺¹ )

Comme 1 + 1 2ⁿ⁺¹ > 1 et u_n > 0, on obtient :

u_n+1 > u_n

La suite (u_n) est donc strictement croissante.

4. Majoration par e

Pour tout entier k ≥ 1 :

1 + 1 2^k ≤ e ^{1 2k}

En multipliant ces inégalités pour k = 1, …, n, on obtient :

u_n ≤ exp( n ∑ k = 1 1 2^k )

Or :

n ∑ k = 1 1 2^k = 1 − 1 2ⁿ < 1

Donc :

u_n ≤ e ^{1 − 1 2n} < e

5. Convergence

La suite (u_n) est strictement croissante et majorée par e.

D’après le théorème de convergence des suites monotones, elle est donc convergente.

Idée essentielle à retenir

Lorsqu’une suite est définie par un produit, il peut être utile de majorer chaque facteur par une exponentielle. Le produit se transforme alors en une exponentielle d’une somme, ce qui simplifie fortement l’étude.

Ici, la somme géométrique :

n ∑ k = 1 1 2^k = 1 − 1 2ⁿ

fournit directement une majoration stricte par e.

Vidéo explicative

La vidéo ci-dessous reprend l’exercice et développe la démarche de résolution. Il est conseillé de tenter l’exercice avant de la consulter.

Conseil : après avoir lu la correction ou regardé la vidéo, refaire l’exercice sans aide permet de vérifier que la méthode est réellement comprise.

Exercice proposé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt